Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu affine

Bất đẳng thức biến phân véc tơ affine đơn điệu

Mục này trình bày một số định lý cơ bản về tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine. Trong mục này chúng ta chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân AVI, trong đó M không đòi hỏi giả thiết. Trước tiên chúng ta trình bày các định lý tồn tại nghiệm dựa trên giả thiết.

Bổ đề dưới đây chỉ ra rằng giả thiết đồng dương chặt trong định lý trên thực chất là tương đương với điều kiện bức. Định lý tồn tại nghiệm dưới đây không đòi hỏi ma trận M phải là đồng dương chặt trên ∆. Nếu ma trậnM là đồng dương trên tập đa diện lồi khác trống∆và không tồn tại v¯∈ Rn\ {0} sao cho.

Do đó Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w là liên thông. Hai tính chất sau tương đương:. i) Sol(AVI) là khác rỗng và bị chặn. Xét các tính chất sau:. Ta xét các tính chất sau:. i') Sol(AVVI) khác rỗng và bị chặn. Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn. Xét bài toán AVVIw với giả thiết Mi là các ma trận nửa xác định dương. Các khẳng định sau là đúng:. i) Nếu Sol(AVVI)w bị chặn thì nó là tập liên thông. ii) Nếu Sol(AVVI)w không liên thông thì mỗi thành phần liên thông của nó không bị chặn. Thật vậy, ta giả sử rằng Sol(AVVI)w không liên thông, nhưng có một thành phần liên thông A của nó là bị chặn. VìSol(VI)ξ là một tập lồi vàAlà một thành phần liên thông củaSol(AVVI)w nên Sol(VI)ξ ⊂A nếu chỉ nếu Sol(VI)ξ ∩A 6= ∅. Ta sẽ chỉ ra rằng Λ˜ là tập vừa mở vừa đóng đối với tôpô cảm sinh của Λ. Đặc biệt, hàm đa trị này là nửa liên tục trên tại ξ. Ta chứng minhΛ˜ là tập đóng. do đó ta có. Xét bài toán AVVI với giả thiết Mi là các ma trận nửa xác định dương. Các khẳng định sau là đúng:. i) Nếu Sol(AVVI) bị chặn thì nó là tập liên thông. ii) Nếu Sol(AVVI) không liên thông thì mỗi thành phần liên thông của nó không bị chặn.

Do đó, một bài toán (P) có thể chuyển về việc xét một bài toán bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số tương ứng. Điều này cho phép ta nhận được một số kết quả của bài toán bất đẳng thức biến phân afine từ bài toán tối ưu véc tơ phân thức tuyến tính và ngược lại. Các kết quả sau đúng cho một lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân affine tương ứng với lớp các bài toán (P).

Dưới đây chúng ta sẽ chỉ ra rằng Ew(P) = Sol(AVVI)w không thể có một thành phần liên thông bị chặn nào, nếu như nó không liên thông. Các kết quả thu được giúp ta hiểu rõ hơn cấu trúc tôpô của các tập nghiệm với tập chấp nhận được không bị chặn. Nếu tập nghiệm hữu hiệu E(P) = Sol(AVVI) là bị chặn, thì nó là liên thông.

Nếu tập nghiệm hữu hiệu yếu Ew(P) = Sol(AVVI)w là bị chặn, thì nó là liên thông. Trong chương này chúng tôi sử dụng Định lí 1.2.5 và Hệ quả 1.2.6 để tính tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu cho một số ví dụ cụ thể.

ThÝ dô 1

Tập nghiệmSol(AVVI) chỉ là một điểm, trong khi đó Sol(AVVI)w là hợp của hai đoạn thẳng. Hơn nữa Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w là các tập khác rỗng, compact, liên thông. Các ma trận M1, M2 trong thí dụ này là các ma trận đơn điệu, nửa xác.

ThÝ dô 2

Có những điểm trên biên, phần trong của tập hạn chế là nghiệm và cũng có những điểm trên biên, phần trong của tập hạn chế không là nghiệm. Hơn nữa ta cóSol(AVVI)là tập con thực sự củaSol(AVVI)w và cl(Sol(AVVI)) không bằng Sol(AVVI)w. Mặc dù Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w là các tập không bị chặn nhưng là các tập liên thông, nên.

Mặc dù tập hạn chế không là tập compact nhưngSol(AVVI)vàSol(AVVI)w là các tập liên thông, nên điều kiện compact trong Định lý 1.2.31 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần.

ThÝ dô 3

Tập nghiệm Sol(AVVI) = Sol(AVVI)w là một đoạn thẳng nằm trong phần trong của tập hạn chế và không có bất kì một điểm trên biên nào là nghiệm. Do đó điều kiện đồng dương chặt của Định lí 1.2.16 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Mặc dù tập hạn chế không phải là tập compact nhưng tập nghiệm trong thí dụ là một tập liên thông, liên thông đường gấp khúc và liên thông đường.

ThÝ dô 4

Tập nghiệm gồm một đoạn thẳng thuộc phần trong và một đoạn thẳng nằm trên biên của tập hạn chế. Các tập nghiệm Sol(AVVI)và Sol(AVVI)w trong thí dụ này bị chặn nhưng không liên thông. Ta có M1, M2 trong thí dụ này là các ma trận đối xứng còn trong các thí dụ trước là ma trận phản xứng.

Chính vì vậy mà việc nghiên cứu tìm một điều kiện đủ cho lớp ma trận phản xứng là đáng được quan t©m.

ThÝ dô 5

Tập nghiệm gồm một tia thuộc phần trong và một tia nằm trên biên của tập hạn chế. Các tập nghiệmSol(AVVI) vàSol(AVVI)w trong thí dụ này không bị chặn và không liên thông. Ta cóM1, M2 là các ma trận nửa xác định dương và đơn điệu trên∆nên.

ThÝ dô 6

Tập nghiệm gồm hai tia thuộc phần trong và một đường thẳng nằm trên biên của tập hạn chế. Tập nghiệm Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w trong thí dụ này không bị chặn và không liên thông. Giả thiết của thí dụ 5 chỉ khác giả thiết của thí dụ này ở tập hạn chế ∆.

Khi tập hạn chế thay đổi thì số thành phần liên thông của các tập nghiệm Sol(AVVI)vàSol(AVVI)w cũng có sự thay đổi. Như vậy bài toán ước lượng số thành phần liên thông của tập nghiệm Sol(AVVI) và Sol(AVVI)w phụ thuộc vào tập hạn chế ∆.

ThÝ dô 7

Tập nghiệmSol(AVVI) =Sol(AVVI)w trong thí dụ này không bị chặn và không liên thông.

ThÝ dô 8

Sol(AVVI) là một đường gấp khúc gồm một đoạn thẳng nằm trên biên và một nửa đường thẳng thuộc phần trong, còn Sol(AVVI)w gồm hai thành phần là Sol(AVVI) và nửa trục tung. Ta có Sol(AVVI) là tập con thực sự của Sol(AVVI)w và cl(Sol(AVVI)) không bằng Sol(AVVI)w. Hơn nữa, Sol(AVVI) là một tập liên thông trong khi Sol(AVVI)w không phải là một tập liên thông và số thành phần liên thông là 2.

ThÝ dô 9

Tập nghiệm gồm ba tia nằm trên biên của tập hạn chế và không có bất kì.