Ứng dụng phương pháp phân tích khoảng trong xác định phản ứng động của hệ kết cấu một bậc tự do

ĐẠI SỐ KHOẢNG .1 Số học khoảng

• Các phép toán của số học khoảng .1 Phép toán so sánh
• Đặc trưng cơ bản của lý thuyết phân tích khoảng .1 Vấn đề phụ thuộc

Do không có khả năng nhân diện được sự lặp lại của các biến trong biểu thức tính toán nên phương pháp khoảng chịu ảnh hưởng rất lớn với sự ước lượng quá mức (overestimation) thường dẫn đến sai số không thể chấp nhận được. Vấn đề này ảnh hưởng trực tiếp đến các kết quả của số học khoảng của việc tính toán đạo hàm của hệ số chuỗi khoảng Taylor trong luận văn.Do đó, khi lập trình tính đạo hàm một cách tự động, tác giả cũng đã lưu ý đến việc xử lý sự sắp xếp của các luật đại số kể trên. Nếu lấy miền bao số 1 (hình kẻ sọc bên trái phía ngoài cùng) là kết quả ban đầu thì do hiệu ứng bao phủ, miền bao số 2 bị mở rộng gấp 2 lần so với miền bao số 1 (được thể hiện bằng hình vuông ngoài cùng).

Hiện nay có rất nhiều phương pháp khác nhau để giảm ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ như: phương pháp sắp xếp lại giá trị biểu thức, phương pháp biến đổi hệ tọa độ, phương pháp elip, phương pháp zonotopes,..[12] trong đó phương pháp biến đổi tọa độ dạng trực giao gồm hai phương pháp: hình hộp và phân tách QR được nghiên cứu áp dụng trong luận văn để giảm hiệu ứng bao phủ.

MÔ HÌNH TAYLOR .1 Khái niệm

• Xây dựng mô hình Taylor

Theo phương pháp này, cạnh ngắn của miền bao thực tế song song với trục ′ của hệ tọa độ “trực giao hóa” ′ ′. Phần dư được tính bằng cách thay trực tiếp số học khoảng hoặc bằng các phương pháp khác được đề xuất bởi Berz, Markino [15], Galen [16]. Xây dựng một thư viện mô hình Taylor từ các hàm đơn giản sử dụng lý thuyết đại số vi phân dư (remainder differential algebra, RDA) [15].

Khi muốn đưa mô hình Taylor về dạng trung tâm, người ta có thể điều chỉnh hằng số này về phần dư để thu được miền dư mới có = 0.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ĐỐI VỚI CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN ĐẦU (ODEs IVP)

• Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP

Trong chuỗi Taylor khoảng, các hệ số = [ ] ,Θ với ∈ , ∈ Θ là miền bao của [ ]( , ) được tính toán bằng cách thay trực tiếp số học khoảng hoặc sử dụng cá phương pháp khác như: định lý trung bình, dạng trung tâm nhằm giảm ảnh hưởng bài toán phụ thuộc. Theo tác giả luận văn này, thuật toán VSPODE là tương đối dễ tiếp cận và có tính cập nhật so với các thuật toán khác đồng thời trong thuật toán này có kể đến ảnh hưởng của tham số khoảng mà các tài liệu khác chưa đề cập đến. Cơ sở của thuật toán VSPODE của Stadtherr gồm hai giai đoạn giống như các thuật toán khác nhưng có xét đến ảnh hưởng phụ thuộc của các biến tham số trong quá trình tính toán [14].

Trong giai đoạn 2, nhằm giảm ước lượng quá mức do vấn đề phụ thuộc và hiệu ứng bao phủ gây ra, bên cạnh áp dụng mô hình Taylor, thuật toán còn áp dụng thêm định lý trung bình, phương pháp phân tách QR và sử dụng dạng trung tâm trong tính toán. Tuy vậy, theo quan điểm của tác giả luận văn, trong thuật toán có một vài điểm chưa rừ ràng gõy nhầm lẫn và một chỗ viết chưa đỳng làm những người quan tâm mất khá nhiều thời gian hiểu đúng vấn đề và phương hướng đúng của thuật toán đã nêu. Điều kiện trên được Corliss và Rihm đề xuất ở định lý 3 của [24], trong đó biểu thức (2.50) ứng với phương pháp bậc cao (High-Order Enclosure method, HOE) của Jackson và Pryce.

Phương pháp này được Corliss khai triển bằng chuỗi Taylor [24] thay cho cách dùng toán tử Picard−Lindelöf kết hợp với lý thuyết điểm cố định Banach trước đó (trang 9,10 của [25] [26]). Lưu ý rằng có hai cách hiểu về dạng trung tâm khi tham khảo tài liệu [14], trong đó dạng trung tâm 1 là điểm lấy tại chính giữa của khoảng nghiệm; còn dạng trung tâm 2 là một khoảng nằm đối xứng với đường trung tâm của khoảng nghiệm. Tuy vậy, cả hai phương pháp tiếp cận trên vẫn cho kết quả chưa tốt khi kích thước miền giới hạn ngày càng tăng do phần dư trong vẫn tiếp tục tăng bởi các số hạng của tổng ∑ ℎ [ ] và vẫn tiếp tục tăng; dẫn đến ( )≥ ( ).

Để giải quyết vấn đề trên, ta tìm cách tách vấn đề phụ thuộc và hiệu ứng bao phủ thành thành 2 phần độc lập nhau bằng cách áp dụng định lý giá trị trung bình vào hệ số đạo hàm [ ] của biểu thức (2.56). Do tính chất của phân tách QR (xem ở chương 2) nên lúc này là hình chữ nhật xoay, vẫn luôn có cạnh dài song song với trục tọa độ nên đảm bảo tính ổn định trong quá trình thực hiện tích phân theo thời gian.

QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH TAYLOR .1 Quy đổi phương trình động lực học về ODEs IVP

Nếu không thỏa mãn, ta tiến hành thực hiện như đã trình bày ở mục II.3.3.1 của chương 2. Do đây là giai đoạn tìm nghiệm sơ bộ nên nếu chọn lớn thì ℎ dễ dàng thỏa mãn biểu thức (2.50). Trong giai đoạn này, ta dùng mô hình Taylor kết hợp với cách biểu diễn về dạng trung tâm, định lý trung bình để khắc phục những đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng.

Chú ý rằng và [ ] khi khai triển Taylor theo biến được định trị giá trị khoảng với biến và giá trị số là biến lân cận trong biểu thức ( − ) với. Chú ý rằng là một vector có 2 hàng tương ứng với hai thành phần của biến trạng thái ở đây là ,.

QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO .1 Nghiệm giải tích của phương trình vi phân

Ví dụ ∗ tương ứng là .∗ để Matllab thực hiện nhân 2 vector và , không bị báo lỗi. Bước 4: Tìm chuyển vị và vận tốc nhỏ nhất và lớn nhất tại mỗi thời điểm. Từ đó ta vẽ được đồ thị dao động của chuyển vị và vận tốc theo thời gian.

Chú ý: cách thực hiện phương pháp Monte-Carlo được thực hiện tương tự như thực hiện trọng VD2 của chương I mà luận văn đã trình bày.

PHẦN MỀM THỰC HIỆN TÍNH TOÁN

Dưới đây là kết quả tính toán chi tiết chuyển vị và vận tốc cho chu kỳ đầu tiên của hệ ứng tương với khoảng thời gian 3.9 (s) trong các giai đoạn 1, giai đoạn 2 của mô hình Taylor (mục a, mục b). Mục c) là tổng hợp kết quả của mô hình Taylor và kết quả của phương pháp Monte-Carlo. Sau đó các kết quả được phân tích và đánh giá ở mục d).  Chuyển vị khống chế tuyệt đối là chuyện vị tính ở giai đoạn 1 có giá trị khoảng với cận dưới là và cận trên là ứng với từng sai số tương đối δ, đơn vị tính cm.  Chuyển vị làm chặt tuyệt đối là vận tốc tuyệt đối của mô hinh Taylor sau khi đã được tính toán trong giai đoạn 2, có giá trị khoảng với cận dưới là và cận trên là , đơn vị tính cm.

- Trường hợp không đúng với lý thuyết là 5/23, chiếm 22% trong đó có 3 trường hợp miền bao Taylor nằm trong miền bao Monte-Carlo, 2 trường hợp miền bao Taylor bị lệch. - Độ rộng lớn nhất đều tập trung ở vùng đạt cực trị, sau đó độ rộng có xu hướng “co dần lại” đạt cực tiểu và mở rộng dần ra đến khi đạt cực trị đại kế tiếp (xem biểu đồ trang 62). - Độ rộng lớn nhất đều tập trung ở vùng đạt cực trị, sau đó độ rộng có xu hướng “co dần lại” đạt cực tiểu và mở rộng dần ra đến khi đạt cực trị đại kế tiếp (xem biểu đồ trang 62).

Như vậy, vận tốc đạt kết quả tốt gấp 2 lần so với chuyển vị; trung bình sau mỗi khoảng thời gian quy đổi ∗ có 5 trường hợp chuyển vị và 2 trường hợp vận tốc chưa đúng. Theo tác giả nhận định, điều này xảy ra do bậc của đa thức chưa đủ lớn ( = 5) nên độ rộng lớn nhất sau mỗi khoảng thời gian ∗ tăng nhanh và ở những vị trí có độ rộng nhỏ nhất lại bị thu hẹp nhiều. Từ các số liệu theo tỷ số tần số ⁄ , ta lập được biểu đồ tổng hợp tỷ số chuyển vị và vận tốc của mô hình Taylor so với phương pháp Monte-Carlo theo tần số ⁄ trong khoảng thời gian quy đổi ∗ = [0 , 1].

Từ đồ thị và bảng số liệu ta thấy số trường hợp đúng của vận tốc nhiều hơn so với chuyển vị và kết quả thu được bao ngoài sát hơn so với phương pháp Monte- Carlo. Điều này có thể được giải thích như sau: trong cùng khai triển Taylor theo thời gian đến lũy thừa = 5, các hệ số đạo hàm của chuyển vị được lấy đến bậc 5, còn của vận tốc là bậc 6 (nếu tính chuyển vị là bậc 0). Vì vậy, khi bậc lũy thừa tăng lên kết quả tính toán sẽ đạt kết quả chính xác của bài toán đã cho, các trường hợp không đúng (bao trong, bao lệch) sẽ bao sát ngoài kết quả Monte-Carlo.

Nếu các vấn đề khoảng giá trị ít liên quan đến bài toán vi phân theo thời gian do chịu hiệu ứng bao phủ thì phương pháp mô hình Taylor có thể áp dụng hiệu quả vào ngành xây dựng bởi vấn đề phụ thuộc trong lý thuyết phân tích khoảng dễ giải quyết hơn vấn đề hiệu ứng bao phủ.