Cơ sở toán học và thực tiễn dạy học nội dung phân số ở tiểu học

CƠ SỞ LÝ LUẬN

Ở trẻ dần hình thành công cụ nhận thức mới: Từ tư duy với hành động trực tiếp (ở bên ngoài) chuyển thành tư duy bên trong (trong óc), thành hành động nội hiện nhờ chức năng kí hiệu (tức khả năng diễn đạt, biểu thị các đồ vật, sự kiện tri giác được bên ngoài bằng những kí hiệu, hình ảnh thay thế và gợi lại bằng nhiều biểu tượng những cái không còn ở trước mắt). Xét theo một số nội dung khác trong khi dạy học số thập phân như: số thập phân bằng nhau; so sánh và sắp thứ tự số thập phân; các phép tính cộng và nhân số thập phân mà không nhất thiết phải thông qua đổi xuôi, đổi ngược các đơn vị đo (vừa dài dòng, vừa làm học sinh dễ hiểu lầm về số thập phân là một dạng của số tự nhiên do đổi đơn vị đo mà có).

CƠ SỞ THỰC TIỄN

Khi dạy học phân số có ưu điểm là phù hợp với sự phát triển tự nhiên của hệ thống số, giỳp học sinh thấy rừ hơn phõn số và số thập phõn là loại số mới; mở rộng tác dụng, vai trò so với số tự nhiên; khái niệm số thập phân, các tính chất và các phép tính trên số thập phân có thể được lí giải thông qua phân số ma không bị lệ thuộc vào đơn vị đo của một đại lượng cụ thể nào. Quan điểm chỉ đạo trong giai đoạn này là trên cơ sở mục tiêu mới của Giáo dục Tiểu học, mọi hoạt động dạy học đều hướng tới việc góp phần đào tạo những người “lao động tự chủ, sáng tạo” (Nghị quyết Trung ương 4). Hoạt động dạy học phải coi mỗi học sinh như một cá nhân, đồng thời mỗi cá nhân lại có sự khác nhau về mức độ phát triển riêng và có một sở trường nào đó… sở trường của mỗi cá nhân chỉ có thể bộc lộ và phát huy đúng mức nếu cá nhân có môi trường học tập phù hợp.

Với những yêu cầu của phổ cập Giáo dục Tiểu học hướng tới năm 2000, việc thiếu tính hoàn chỉnh về nội dung số học của một bậc học (cụ thể là thiếu kiến thức về phân số và thiếu thời gian rèn luyện kĩ năng tính toán trên phân số và số thập phân) đã làm cho việc dạy học các nội dung khác ở Tiểu học cũng có ảnh hưởng nhất định. - Trên cơ sở các bài kiểm tra giáo viên giao,học sinh đã thực hiện, dựa trên điểm số tổng kết về các mức độ đạt được của học sinh, từ đó đưa ra nhận xét về mức độ đạt được các kĩ năng thực hiện 4 phép tính liên quan tới phân số của học sinh.

Các khái niệm 1. Tập hợp

* Cũng như đối với trường hợp hai số, ta thấy tập hợp các ước chung của m số nguyên khác 0 là một tập rỗng và bị chặn trên, do đó có số lớn nhất. Khi biểu diễn số hữu tỉ theo hệ ghi cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phần vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt qua giá trị tuyệt đối của b.

Áp dụng định lí về phép chia lớp theo quan hệ tương đương, ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương “ ~” và nhận được tập thương P/~, kí hiệu là. Rừ ràng là quan hệ tương đương “~” đồng nhất với quan hệ bằng nhau giữa các phân số (được xây dựng ở phổ thông) nhưng không đồng nhất với quan hệ bằng nhau giữa các cặp thứ tự.

CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA DẠY HỌC HỌC KHÁI NIỆM PHÂN SỐ 1. Sự xuất hiện của phân số

• Đưa khái niệm phân số vào dạy học ở Tiểu học (cách mô tả khái niệm phân số ở Tiểu học)

Xuất phát từ việc đo đại lượng: Với nhu cầu cung cấp một công cụ toán học cho việc đo đại lượng, hình thành khái niệm ban đầu về phân số, sau đó trên cơ sở trừu tượng hóa, khái quát hóa phát triển và hoàn chỉnh khái niệm ban đầu dưới tên mới (số hữu tỉ). Đây có thể coi là bước một trong hình thành khái niệm phân số cho học sinh Tiểu học (tương ứng với việc hình thành khái niệm phân số theo thời kì đầu trong kịch sử phát triển khái niệm phân số). Các tập số trong chương trình Tiểu học (phân số, số tự nhiên) đều có cấu trúc cộng (một số có thể phân tích được thành tổng của nhiều số hạng) và cấu trúc nhân (một số có thể phân tích được thành tổng của nhiều số hạng bằng nhau hay tích của một số với số tự nhiên).

Trong bài toán sau, giá trị của từng số (theo đơn vị) không giữ vai trò quan trọng mà diễn đạt bằng quan hệ hơn – kém nhau bao nhiêu lần (tức là bằng thương của phép chia hai số giữ vai trò chủ đạo). Như vậy, khi đã làm xuất hiện dạng số mới (phân số) từ mâu thuẫn khi tìm thương đúng của phép chia hai số tự nhiên (có dư), thì nhận xét cũng khẳng định rằng: không chỉ thương của phép chia hai số tự nhiên có dư mới gọi là phân số mà phân số còn biểu diễn được cả thương của phép chia hết (giữa hai số tự nhiên), với điều kiện số chia phải là số tự nhiên khác 0. Như vậy, khi so sánh hai đại lượng khác loại để biết chúng hơn, kém nhau bao nhiêu lần, với số lần có thể là một số tự nhiên hay không phải là một số tự nhiên, ta có thể dùng phân số để biểu diễn sự so sánh đó.

Từ ví dụ trên ta thấy, với hai đại lượng là một cặp số tự nhiên (hai số tự nhiên không bằng nhau), bao giờ cũng có đồng thời sự so sánh hơn và kém (số bé kém bao nhiêu lần số lớn thì số lớn gấp bấy nhiêu lần số bé).

CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA DẠY HỌC CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN SỐ

• Nội dung dạy học học các phép tính về phân số trong chương trình sách giáo khoa toán Tiểu học

Sau khi qui đồng, hai phân số là và sẽ lần lượt trở thành hai phân số và vì phân số và là những phân số tương đương (hay bằng nhau, cùng biểu diễn một số hữu tỉ không âm); tương tự như vậy: phân số và là những phân số tương đương. Sau khi tìm ra lời giải cho ví dụ, sách giáo khoa đưa ra qui tắc cộng hai phân số khác mẫu số như sau: muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta qui đồng mẫu số hai phân số, rồi cộng hai phân số đó. Sách giáo khoa toán 4 đã phát biểu tính chất kết hợp của phép cộng phân số như sau: khi cộng một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể cộng phân số thứ nhất với tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba.

Sau khi tìm lời giải cho ví dụ, sách giáo khoa đưa ra qui tắc trừ hai phân số khác mẫu số như sau: muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta qui đồng mẫu số hai phân số, rồi trừ hai phân số đó. Từ nhận xét trên, học sinh tự phát biểu tính chất kết hợp của phép nhân phân số như sau: khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba. Từ nhận xét trên, học sinh tự phát biểu qui tắc nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba như sau: khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba rồi cộng các kết quả lại.

Đối chiếu với cách giải quyết bài toán trong sách giáo khoa toán 4, qui tắc chia hai phân số chỉ được thừa nhận: để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau: lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.