Áp dụng mô hình Taylor trong phân tích khoảng để xác định phản ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do

SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Khi đó, việc áp dụng đại lượng khoảng vào công thức giải tích (1.4) như trường hợp tĩnh học còn hợp lý không?.

PHƯƠNG HƯỚNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Với lịch sử ra đời cùng với sự xuất hiện của máy tính điện tử những năm 40 của thế kỷ trước, phương pháp Monte-Carlo là phương pháp giải “thô” một cách nhanh chóng các bài toán nhiều chiều trong giải tích số cũng như được sử dụng để tiến hành và quan sát trên máy tính điện tử các thí nghiệm theo kiểu mô phỏng của việc xuất hiện các hiện tượng ngẫu nhiên trong nhiều bài toán quan trọng của toán học,vật lý và của nhiều lĩnh vực khác. Tư Hình 5 cho ta thấy, trong hai phương pháp sử dụng lý thuyết khoảng thì phương pháp mô hình Tayor cho kết quả phù hợp hơn với phương pháp Monte- Carlo (kết quả bao sát bên ngoài phương pháp Monte-Carlo), hiện tượng mở rộng miền bao bị hạn chế đáng kể.

ĐẠI SỐ KHOẢNG .1 Số học khoảng

• Các phép toán của số học khoảng .1 Phép toán so sánh
• Đặc trưng cơ bản của lý thuyết phân tích khoảng .1 Vấn đề phụ thuộc

Do không có khả năng nhân diện được sự lặp lại của các biến trong biểu thức tính toán nên phương pháp khoảng chịu ảnh hưởng rất lớn với sự ước lượng quá mức (overestimation) thường dẫn đến sai số không thể chấp nhận được. Hiện nay có rất nhiều phương pháp khác nhau để giảm ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ như: phương pháp sắp xếp lại giá trị biểu thức, phương pháp biến đổi hệ tọa độ, phương pháp elip, phương pháp zonotopes,.

MÔ HÌNH TAYLOR .1 Khái niệm

• Xây dựng mô hình Taylor

Phần dư được tính bằng cách thay trực tiếp số học khoảng hoặc bằng các phương pháp khác được đề xuất bởi Berz, Markino [15], Galen [9]. Nếu sử dụng mô hình Taylor của các hàm đơn giản kết hợp với các phép toán ở trên, ta có thể biểu diễn được mô hình Taylor của các hàm toán phức tạp khác.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ĐỐI VỚI CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN ĐẦU (ODEs IVP)

• Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP

Trong chuỗi Taylor khoảng, các hệ số = [ ] ,Θ với ∈ , ∈ Θ là miền bao của [ ]( , ) được tính toán bằng cách thay trực tiếp số học khoảng hoặc sử dụng cá phương pháp khác như: định lý trung bình, dạng trung tâm nhằm giảm ảnh hưởng bài toán phụ thuộc. Theo tác giả luận văn này, thuật toán VSPODE là tương đối dễ tiếp cận và có tính cập nhật so với các thuật toán khác đồng thời trong thuật toán này có kể đến ảnh hưởng của tham số khoảng mà các tài liệu khác chưa đề cập đến. Trong giai đoạn 2, nhằm giảm ước lượng quá mức do vấn đề phụ thuộc và hiệu ứng bao phủ gây ra, bên cạnh áp dụng mô hình Taylor, thuật toán còn áp dụng thêm định lý trung bình, phương pháp phân tách QR và sử dụng dạng trung tâm trong tính toán.

Lưu ý rằng có hai cách hiểu về dạng trung tâm khi tham khảo tài liệu [12], trong đó dạng trung tâm 1 là điểm lấy tại chính giữa của khoảng nghiệm; còn dạng trung tâm 2 là một khoảng nằm đối xứng với đường trung tâm của khoảng nghiệm. Tuy vậy, cả hai phương pháp tiếp cận trên vẫn cho kết quả chưa tốt khi kích thước miền giới hạn ngày càng tăng do phần dư trong vẫn tiếp tục tăng bởi các số hạng của tổng ∑ ℎ [ ] và vẫn tiếp tục tăng; dẫn đến ( )≥ ( ). Với các phần trình bày ở trên, đây là các kiến thức cơ sở làm nền tàng để tác giả giải quyết vấn đề đặt ra ban đầu ở Chương 3, đó là áp dụng lý thuyết phân tích khoảng xác định phản ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do.

QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH TAYLOR .1 Quy đổi phương trình động lực học về ODEs IVP

Do đây là giai đoạn tìm nghiệm sơ bộ nên nếu chọn lớn thì ℎ dễ dàng thỏa mãn biểu thức (2.50). Trong giai đoạn này, ta dùng mô hình Taylor kết hợp với cách biểu diễn về dạng trung tâm, định lý trung bình để khắc phục những đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng. Chú ý rằng và [ ] khi khai triển Taylor theo biến được định trị giá trị khoảng với biến và giá trị số là biến lân cận trong biểu thức ( − ) với.

Chú ý rằng là một vector có 2 hàng tương ứng với hai thành phần của biến trạng thái ở đây là ,.

QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO .1 Nghiệm giải tích của phương trình vi phân

Chú ý rằng các hệ số thành phần này là vector có hướng nên trong khi biểu diễn trong phần mềm MATLAB phải thêm dấu chấm sau đại lượng đó. Ví dụ ∗ tương ứng là .∗ để Matllab thực hiện nhân 2 vector và , không bị báo lỗi. Bước 4: Tìm chuyển vị và vận tốc nhỏ nhất và lớn nhất tại mỗi thời điểm.

Từ đó ta vẽ được đồ thị dao động của chuyển vị và vận tốc theo thời gian. Chú ý: cách thực hiện phương pháp Monte-Carlo được thực hiện tương tự như thực hiện trọng VD2 của chương I mà luận văn đã trình bày.

THỰC HIỆN MÔ PHỎNG SỐ Cho số liệu ban đầu như sau

Dưới đây là kết quả tính toán chi tiết chuyển vị và vận tốc cho chu kỳ đầu tiên của hệ ứng tương với khoảng thời gian 3.9 (s) trong các giai đoạn 1, giai đoạn 2 của mô hình Taylor (mục a, mục b). Mục c) là tổng hợp kết quả của mô hình Taylor và kết quả của phương pháp Monte-Carlo. Sau đó các kết quả được phân tích và đánh giá ở mục d).  Chuyển vị làm chặt tuyệt đối là vận tốc tuyệt đối của mô hinh Taylor sau khi đã được tính toán trong giai đoạn 2, có giá trị khoảng với cận dưới là và cận trên là , đơn vị tính cm. - Độ rộng lớn nhất đều tập trung ở vùng đạt cực trị, sau đó độ rộng có xu hướng “co dần lại” đạt cực tiểu và mở rộng dần ra đến khi đạt cực trị đại kế tiếp (xem biểu đồ trang 62).

- Độ rộng lớn nhất đều tập trung ở vùng đạt cực trị, sau đó độ rộng có xu hướng “co dần lại” đạt cực tiểu và mở rộng dần ra đến khi đạt cực trị đại kế tiếp (xem biểu đồ trang 62). Theo tác giả nhận định, điều này xảy ra do bậc của đa thức chưa đủ lớn ( = 5) nên độ rộng lớn nhất sau mỗi khoảng thời gian ∗ tăng nhanh và ở những vị trí có độ rộng nhỏ nhất lại bị thu hẹp nhiều. Từ các số liệu theo tỷ số tần số ⁄ , ta lập được biểu đồ tổng hợp tỷ số chuyển vị và vận tốc của mô hình Taylor so với phương pháp Monte-Carlo theo tần số ⁄ trong khoảng thời gian quy đổi ∗ = [0 , 1].

Điều này có thể được giải thích như sau: trong cùng khai triển Taylor theo thời gian đến lũy thừa = 5, các hệ số đạo hàm của chuyển vị được lấy đến bậc 5, còn của vận tốc là bậc 6 (nếu tính chuyển vị là bậc 0). Nếu các vấn đề khoảng giá trị ít liên quan đến bài toán vi phân theo thời gian do chịu hiệu ứng bao phủ thì phương pháp mô hình Taylor có thể áp dụng hiệu quả vào ngành xây dựng bởi vấn đề phụ thuộc trong lý thuyết phân tích khoảng dễ giải quyết hơn vấn đề hiệu ứng bao phủ.

CÁC TỒN TẠI, KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 1 Các tồn tại

Xác định phản ứng động lực học của hệ kết cấu khi các tham số là đại lượng khoảng với các trường hợp tải trọng khác nhau: tải trọng tuyến tính, tải trọng phân bố, tải trọng bất kỳ. Tìm mối quan hệ giữa độ rộng của phản ứng động với các điều kiện ban đầu và các tham số đặc trưng và điều kiện tải trọng thay đổi trong trường hợp hệ một bậc tự do và nhiều bậc tự do. Xác định phản ứng động lực học của hệ kết cấu khi các tham số vận tốc và gia tốc là các giá trị khoảng với các trường hợp tải trọng khác nhau trong hai trường hợp: hệ một bậc tự do và hệ nhiều bậc tự do.

Ứng dụng lý thuyết phân tích khoảng vào các lĩnh vực khác của ngành xây dựng cho ngành cơ học đất, nền móng trong các tính toán thiết kế và thực tiễn tổ chức thi công. Trong lĩnh vực động lực học, bên cạnh các phương pháp truyển thống thì việc tìm hiểu các phương pháp khác cho kết quả tin cậy cao là hết sức cần thiết. Hiện nay, lý thuyết phân tích khoảng áp dụng phương pháp mô hình Taylor vẫn đang tiếp tục được nghiên cứu và có nhiều ứng dụng vào thực tế cuộc sống.