Biện pháp sư phạm tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học Giải tích ở trường Trung học phổ thông

Mục đích của việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán ở trờng Trung học phổ thông

Môn Toán có tiềm năng rất lớn trong việc góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh nh t duy trừu tợng, t duy lôgic, t duy biện chứng, rèn luyện các trí tuệ cơ bản nh phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa…, các phẩm chất t duy nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo… Chính trong quá trình dạy học theo hớng tăng cờng liên hệ với thực tiễn mà các năng lực trí tuệ này đợc hình thành và phát triển. Cruchetxki: ''Năng lực Toán học đợc hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc nh nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với t cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học'' (dẫn theo [16]). Dựa theo quan điểm của Lý thuyết thông tin, V. Krutecxki cho rằng Cấu trúc năng lực toán học bao gồm những thành tố sau:. 1) Về mặt thu nhận thông tin toán học. Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán. 2) Về mặt chế biến thông tin toán học.

Cơ sở thực tiễn

Theo Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn (1998) khi nhận xét về tình hình dạy và học Toán hiện nay ở nớc ta thì một vấn đề quan trọng - một yếu kém cơ bản là trong. thực tế dạy Toán ở trờng phổ thông, các giáo viên không thờng xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn. Học sinh bây giờ thờng phải đi tìm những mắt xích suy diễn phức tạp trong các bài toán khó, đặc biệt là các trờng chuyên. Họ đợc rèn luyện thêm về t duy kỹ thuật khi phải tìm những thủ thuật lắt léo để giải những bài toán không mẫu mực. Nhng những khía cạnh nhân văn trong thực tế cuộc sống đời thờng hay bị bỏ qua. Trong Tạp chí Tia sáng 12/2001 giáo s Hoàng Tuỵ có ý kiến nhận xét: Trong dạy học toán ở nớc ta hiện nay có tình trạng "chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tập oái ăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản" [54, tr. Nguyễn Tùng Lâm cho rằng: "Thiếu sót của giáo dục chúng ta trong nhiều năm qua là đã xa rời mục tiêu chất lợng, không thực hiện phơng châm. Vấn đề này theo JA. Perelman thì học sinh ''đang học Toán chỉ giới hạn trong phạm vi bốn bức tờng của lớp học, thành thử không để ý đến những tơng quan Toán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tợng xung quanh, không biết ứng dụng những kiến thức Toán học đã. Qua xâm nhập quan sát thực tế giảng dạy và sau một số năm dạy học, thông qua dự giờ, tham gia các cuộc họp rút kinh nghiệm giờ dạy và trao đổi với các đồng nghiệp. Chúng tôi cũng có nhận định rằng, hiện nay việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong qúa trình dạy học Toán ở trờng phổ thông hầu nh các giáo viên không quan tâm. Các lí lẽ mà các giáo viên đa ra để biện minh cho việc này thờng là không đủ thời gian, do áp lực thi cử… và một lí do cần đợc quan tâm là "sách giáo khoa cũng không thể hiện nhiều đến tính thực tiễn của tri thức"!?. Theo quan điểm của chúng tôi, sở dĩ để xảy ra tình trạng trên có thể do một số nguyên nhân chính sau đây:. 1) Thứ nhất, do áp lực và cách đánh giá trong thi cử, kết hợp với bệnh thành tích của nền giáo dục phổ thông nớc ta trong một thời gian dài. Mà đề ra trong các kì thi thì hầu nh các ứng dụng ngoài toán học không đ- ợc đề cập đến. 2) Thứ hai, do ảnh hởng của sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Trong một thời gian dài trớc đây cũng nh hiện nay, các sách giáo khoa cũng nh các tài liệu tham khảo không quan tâm nhiều đến tính thực tiễn ngoài Toán học của các tri thức (xem 1.4.1) mà thông thờng chỉ tập trung vào các ứng dụng trong "nội bộ" môn toán. Đành rằng, muốn ứng dụng đợc vào cuộc sống thì trớc hết học sinh phải có những thông hiểu nhất định các kiến thức, kĩ năng, phơng pháp toán. Tuy nhiên, với sự liên hệ quá ít nh vậy sẽ không hình thành và rốn luyện cho học sinh ý thức vận dụng toỏn học và khụng làm rừ đợc vai trũ công cụ của toán học trong hệ thống các khoa học và thực tế cuộc sống. 3) Thứ ba, còn một nguyên nhân sâu xa nữa là từ khâu đào tạo của các tr- ờng s phạm.

Sơ lợc về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giải tÝch

- Giải tích là ngành Toán học có đối tợng nghiên cứu là các hàm số và các suy rộng của nó bằng phơng pháp giới hạn hay phơng pháp vô cùng bé (vì khái niệm giới hạn có liên quan mật thiết với khái niệm biến l ợng vô cùng bé), trong đó bao gồm hai t tởng chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân. Theo nghĩa thông thờng, cơ sở của Giải tích bao gồm: Lí thuyết số thực, khái niệm hàm số, giới hạn, dãy số, chuỗi số và liên tục. Giải tích đợc đa vào chơng trình môn Toán trong nhà trờng phổ thông nớc ta ở hai lớp 11 và 12 với những nội dung chính sau: 1) Dãy số: bao gồm định nghĩa, những tính chất thông thờng của dãy số và hai dãy số đặc biệt là Cấp số cộng và Cấp số nhân; 2) Giới hạn: bao gồm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục; 3) Đạo hàm; 4) ứng dụng của đạo hàm; 5) Nguyên hàm và Tích phân. Mệnh đề cơ sở nh sau: "Nếu từ bất kì một đại lợng nào đó và bỏ đi một phần không nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần khác không nhỏ hơn một nửa của nó, vân vân thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lợng nhỏ hơn bất kỳ đại l- ợng nào đợc ấn định cùng loại".

Tiềm năng của một số chủ đề Giải tích trong việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên hệ với thực tiễn

Sự kiện này đợc diễn đạt một cách chặt chẽ theo Toán học nh sau: Sự dần tiến tới không có nghĩa là với một lân cận nhỏ tuỳ ý của 0 (Độ dài thờng đợc biểu thị bằng ε"epsilon") bao giờ cũng tìm đợc một số thứ tự mà mọi số hạng. có số thứ tự lớn hơn của dãy phải nằm trong lân cận đó. d) Giới hạn về năng lực thể thao của con ngời. Bây giờ ta hãy liên hệ định lí này vào lĩnh vực thể thao. Cách đây không lâu thì thành tích mà các vận động viên chạy 100m cần cố gắng là 9s và bây giờ đã đạt đợc. Có thể khẳng định một nhà quán quân tơng lai nào đó sẽ rút ngắn thời gian thêm 1 đến 2 giây. Nhà Toán học gọi nó là dãy đơn. Nếu khẳng định đợc rằng không ai có thể chạy 100m ít hơn 2s thì ta nói rằng các số hạng của dãy số của chúng ta bị chặn ở dới. Theo định lí trên thì. trên bậc thang kết quả chạy 100m có một mốc mà dãy các kỉ lục sẽ dần tới. Dù chọn một lân cận nhỏ tuỳ ý của mốc, mọi số hạng của dãy bắt đầu từ một số hạng nào đó sẽ nằm trong lân cận. Dãy các kỉ lục có thể dần tới giới hạn mà không đạt tới giới hạn đó. Kỉ lục hôm nay khác với giới hạn một phần mời giây thì kỉ lục tiếp sau sẽ có thể khác năm phần trăm, kỉ lục tiếp theo khác một phần trăm, tiếp theo nữa là một phần nghìn… và mỗi kết quả đứng sau sẽ là một kỉ lục vì nó nhỏ hơn kết quả đứng trớc. Ta nói rằng dãy các kỉ lục chạy 100m của con ngời là có giới hạn. e) Chiều cao của con ngời. Cứ mỗi lần sinh nhật con ngời cha lại đánh dấu chiều cao và cẩn thận ghi chiều cao vào bên cạnh. Qua năm tháng, cậu bé lớn dần lên đã tạo nên một bậc thang toàn bộ các vạch dấu trên khung cửa. Đó là dãy các độ tăng chiều cao từ năm này qua năm khác. Các vạch dấu trên dầm cửa xích lại gần nhau và đến một thời gian nào đó chúng ngừng tăng. Nói theo Toán học thì dãy các chiều cao ghi trên dầm cửa có giới hạn và dãy các độ tăng. chiều cao của con ngời từ năm này qua năm khác giảm dần đến không. f) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Những thành ngữ trên phản ánh sự phụ thuộc của hiện tợng này (thứ hai) vào một hiện tợng khác (thứ nhất) sao cho hiện tợng thứ nhất tăng (về số lợng hay chất lợng) thì hiện tơng thứ hai cũng tăng (về số lợng hay chất lợng). Những liên hệ phụ thuộc nh vậy khá phổ biến trong thực tiễn. Kiến thức giải tích phản ánh sự liên hệ nh vậy là các hàm số đơn điệu tăng. Chất lợng cháo có thể xem nh một hàm của khối lợng bơ. Theo châm ngôn thì hàm này không giảm nếu thêm bơ vào. Nó có thể tăng lên hoặc có thể giữ nguyên nh cũ. Một loại hàm tơng tự nh vậy đợc gọi là hàm đơn điệu không giảm. Nh vậy, tăng - có nghĩa là vợt hơn lên. Không giảm - có nghĩa là hoặc vợt hơn lên hoặc không hơn lên, không kém đi. Tăng là trơng hợp đặc biệt của không giảm. Thí dụ hàm hằng thuộc vào số các hàm số không giảm mặc dù nó không tăng lên ở bất kì bộ phận nào của miền xác định cả. Hàm này chỉ ra cách biên thiên của độ đo tội lỗi. Khoảng cách đến cha đỡ dầu. theo độ xa ngời cha đỡ đầu. Đây là một hàm đơn điệu giảm. Kinh nghiệm này chứng tỏ: Mùa màng chỉ tăng theo mật độ cấy đến một lúc nào đó, nếu quá đi thì nó sẽ giảm xuống vì khi mọc dày quá thì cây lúa sẽ lấn át nhau. Mức thu hoạch là cực đại khi ruộng đợc cấy vừa phải. Nó nh là đỉnh núi, từ đó mọi con đờng. đều đi xuống thấp, bất kể bớc về hớng nào. Tuy nhiên, nếu bớc đi xa hơn thì ở đâu đó sự đi xuống sẽ thay đổi và đi lên. Ta nói, cực đại là giá. trị lớn nhất của hàm số trong những điểm lân cận nào đó hay cực đại có tính chất địa phơng. Trái ngợc với cực đại có cực tiểu. Cực tiểu - xem nh là đáy của thung lũng, từ đó mọi con đờng đều đi lên cao, bất kể bớc về hớng nào. Tuy nhiên, nếu bớc. đi xa hơn thì ở đâu đó sự tăng lên có thể sẽ thay đổi và đi xuống. Khi đó ta nói rằng cực tiểu có tính chất địa phơng. ∗ Viên đạn bắn ra từ nòng súng nghiêng một góc nào đó với mặt nằm ngang sau khi đạt độ cao cực đại, nó bắt đầu rơi xuống. Quĩ đạo bay của nó là một parabol lồi. ∗ Độ tăng chiều cao của con ngời giảm đi theo thời gian, khi đến tuổi tr- ởng thành chiều cao con ngời không tăng nữa và khi về già chiều cao lại giảm xuống. Trái lại dân số trên Trái Đất tăng càng nhanh theo thời gian. Nếu biểu thị 2 sự kiện này lên đồ thị thì trong trờng hợp thứ nhất ta đợc một đồ thị lồi, cũn trờng hợp thứ 2 là một đồ thị lừm. d) Chu kì của hàm tuần hoàn. Điểm đạt cực đại. Mật độ gieo Thu. ngôn ngữ thông thờng. Tuy nhiên chỉ có thể nói về sự xen kẽ của các hoạt. động, nhng không thể nói về tính tuần hoàn theo ý nghĩa chặt chẽ đợc. Vì nếu nh mọi hiện tợng trên Mặt Trời đợc qui định bởi tính tuần hoàn chặt chẽ thì các cơ quan nghiên cứu Mặt Trời ở trên khắp thế giới này sẽ trở nên không cần thiết. Các tạp chí thì đợc phát hành 1 số/1 tháng. Tuy nhiên ở đây khái niệm về chu kì. cũng cha có ý nghĩa chặt chẽ tuyệt đối vì các bài báo không trùng nhau hoặc thời gian phát hành cha hẳn đã chính xác tuyệt đối. e) Tính liên tục và gián đoạn của hàm số.

Chủ đề Giới hạn

Tăng cờng hơn nữa các ứng dụng của Giải tích trong nội bộ môn Toán nhằm giúp học sinh nắm vững các tri thức, kĩ năng, phơng pháp và tạo tiền đề cho các ứng dụng ngoài Toỏn học. Hiển nhiên trên khoảng này f(x) là hàm liên tục. Vì vậy, trên mỗi. Cho k thay đổi trên Â, phơng trình đã cho có vô số nghiệm. a) Một đa thức bậc lẻ thì có ít nhất một nghiệm thực. b) Một đa thức bậc chẵn có ít nhất 2 nghiệm thực, nếu nó nhận ít nhất một giá trị trái dấu với hệ số của số hạng cao nhất của đa thức. Phơng pháp giải:. đa thức bậc lẻ nào đó. nhất hai nghiệm thực. 1.2) ứng dụng giới hạn để tìm đạo hàm: mặc dù Đạo hàm đợc định nghĩa thông qua giới hạn nhng có một thực trạng là học sinh chỉ biết tìm đạo hàm bằng công thức, thậm chí tính rất nhanh nhng lại không tìm đợc đạo hàm của một hàm số bằng định nghĩa. Do đó, theo chúng tôi giáo viên phải thực sự quan tâm đến ứng dụng này. Một mặt vừa rèn luyện đợc một kĩ năng giải toán, mặt khác nhằm củng cố, khắc sâu định nghĩa Đạo hàm và phơng pháp tìm giới hạn. Số gia hàm số là:. 1.3) Giải quyết một số bài toán về bất đẳng thức. Ví du 1: Chứng minh bất đẳng thức sau và hãy chứng tỏ rằng không thể thay hằng số ở vế phải bằng một số nhỏ hơn. Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC không phải là tam giác tù ta. Phơng pháp giải:. Trờng hợp ∆ABC là tam giác nhọn bất kì. Trờng hợp ∆ABC là tam giác vuông. Trở lại trờng hợp ∆ABC vuông tại A ta có:. Xét trờng hợp ABC∆ cân tại C. 2) ứng dụng của định lí Lagrange.

Về dãy số Fibonacci

Vấn đề ứng dụng Giải tích trong các lĩnh vực ngoài toán học Việc tăng cờng các ứng dụng ngoài Toán học sẽ làm rõ hơn vai trò công cụ của môn toán trong các môn học khác ở trờng phổ thông và trong đời sống lao. Những số đợc thành lập nh vậy gọi là dãy số Fibonacci (Fibonacci là biệt danh của Léonardo Pisano - nhà toán học ngời ý). ∗ Bài toán dòng họ của loài ong: Ong đực chỉ có mẹ, còn ong cái có cả bố và mẹ. Hỏi một con ong đực có bao nhiêu tổ tiên ở đời thứ n?. Cũng giống nh bài toán trên, để trả lời câu hỏi trớc hết hãy vẽ sơ đồ cây các đời của loài ong và viết số tổ tiên lên dòng ứng với đời thứ n. đó nên ta có dãy số:. Và nh nhận xét đã nêu thì dãy số này đợc xác định:. b) Với thực vật học.

Về chủ đề Cấp số nhân

Và nh nhận xét đã nêu thì dãy số này đợc xác định:. b) Với thực vật học. Từ dãy số Fibonacci, chia mỗi số cho số liền sau nó ta đợc dãy tỉ số :. 1 2 3 5 8 13 Các phân số của dãy tỉ số này biểu thị cho một loại chỉ số phát triển của một số loại thực vật nhất định, thể hiện bằng sự phân bố của các lá xung quanh thân cây. Khi quan sát sự phân bố này, ngời ta thấy chúng đợc phân phối đều và cuộn theo một. Trong trờng hợp này đờng xoắn ốc quấn 5 vòng xung quanh thân cây từ lá số 1. §èi với mỗi cây nhất định , tỉ số này là một hằng số sinh học. Chẳng hạn, với cây thông. Các tỉ số này giúp cho các nhà thực vật học có thêm những số liệu để phân loại và tìm ra quy luật phát triển của các loài cây. a) Cấp số nhân trong chăn nuôi. Trong chăn nuôi, thông thờng cần phải giải quyết 2 bài toán:. - Tính số đàn gia súc sau mỗi kì chăn nuôi từ tỉ lệ tăng đàn từng kì và số gia sóc ban ®Çu. - Tính số đàn gia súc đầu kì các năm về trớc nếu biết số lợng đàn gia súc và tỉ lệ tăng đàn hàng năm. Ví dụ 1: Qua điều tra chăn nuôi bò ở huyện X cho thấy ở đây trong nhiều năm qua, tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 2%. Thông thờng bài toán trên đợc giải nh sau:. Bài toán đã đợc giải quyết xong. Tuy nhiên ta nhận thấy nếu yêu cầu tính số đàn bò sau nhiều năm hơn thì cách tính đi từng bớc nh trên sẽ rất vất vả, chậm và có thể nhầm lẫn. Bằng kiến thức về cấp số nhân ta sẽ tìm ra cách tính tổng quát hơn. Gọi S0 là tổng số đàn gia súc theo thống kê ban đầu; q là tỉ lệ tăng hàng năm;. Vậy sau n năm tổng số đàn gia súc là:. áp dụng công thức này cho bài toán trên ta có:. Thông thờng bài toán trên đợc giải nh sau:. Nếu gặp phải yêu cầu tính số bò của đàn vào đầu năm nào đó cách xa thời điểm hiện tại thì rõ ràng cách tính "lùi" này sẽ gặp khó khăn. Nếu gọi S là tổng số bò của đàn tại thời điểm thống kê; n là số năm trớc thời điểm thống kê; q là tỉ lệ tăng đàn hàng năm. Thì tổng số bò cách thời điểm thống kê n năm trớc đó là:. Ví dụ: Đầu mùa thu hoạch xoài, một bác nông dân đã bán cho ngời thứ nhất, nửa số xoài thu hoạch đợc và nửa quả, bán cho ngời thứ hai nửa số còn lại và nửa quả, bán cho ngời thứ ba nửa số xoài còn lại và nửa quả v.v.. Đến lợt ngời thứ bảy bác cũng bán nửa số xoài còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa. Hỏi bác nông dân đã thu họach đợc bao nhiêu quả xoài đầu mùa?. Gọi x là số quả Xoài thu hoạch đợc đầu mùa của ngời nông dân. Ngời khách hàng thứ nhất đã mua:. và ngời khách hàng thứ 7 mua:. Ta có phơng trình:. Tính tổng các số hạng của cấp số nhân trong ngoặc ta đợc:. c) Cấp số nhân trong âm nhạc. - Nh vậy, khoảng cách (gần đúng) giữa mỗi bán cung lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn. Do đó, chiều dài dây buông chỉ phụ thuộc vào phím bán cung. d) Một phần thởng thú vị. Một ngời nông dân đợc Vua thởng cho một số tiền trả trong 30 ngày và cho phép anh ta chọn 1 trong 2 phơng án:. Hỏi phơng án nào có lợi cho ngời nông dân?. Đơng nhiên cách đơn giản là thực hiện phép cộng tất cả số tiền có đợc sau 30 ngày. Tuy nhiên làm nh vậy không có lợi về mặt thời gian. ở phơng án thứ nhất, số tiền thởng là:. Chọn phơng án nào có lợi hơn?!. e) Cấp số nhân trong phân tích tài chính.

Về chủ đề Cấp số cộng

Nhà quản lí xí nghiệp đa ra một dự đoán rằng sau x năm kể từ bây giờ nhu cầu hàng tháng cho sản phẩm sẽ là: D(x) =. Hỏi nhu cầu đối với sản phẩm hàng tháng sẽ tới vị trí giới hạn nào sau một khoảng thời gian thath dài?.

Số e - hằng số ngân hàng

Các nhân viên y tế tin rằng sau x tháng kể từ bây giờ, số phần trăm ngời mang mầm bệnh sẽ là: D(x) =. Tiền lãi sau mỗi đơn vị thời gian đợc gộp vào vốn để tính lãi cho đơn vị thời gian tiếp sau đó.

Chủ đề Đạo hàm