Phương pháp chia miền cho phương trình song điều hòa phi tuyến

Lý thuyết về phương trình elliptic

Nhận xét 1.3 Ta mới chỉ xét những trường hợp trên biên ∂Ω chỉ cho một loại điều kiện biên. Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễn trong dạng. Kiểm tra các điều kiện của định lý Lax-Milgram: Ta thấy,B(u, v)là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục.

Như vậy B(u, v) là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định dương trênH.

Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản

Trong trường hợp này, ta làm đủ không gian hA bằng phương pháp bổ sung không gian Metric để được không gian đủ HA. Ta thường nói gọn là: Không gian năng lượng HA là không gian Hilbert thu được bằng cách bổ sung tập D(A) cho thành không gian đủ theo tích vô. Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉyk+1 có thể tính được thông qua một hoặc hai giá trị lặp trước đó.

Thông thường, nghiệm được tìm với độ chính xác ε (liên quan đến độ chính xác kyk −uk. ky0 −uk), có nghĩa là sự tính toán được dừng khi. Từ đây dẫn đến vấn đề về sự hội tụ của phép lặp theo ước lượng chuẩn của toán tử Tn. Lược đồ (1.23) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệmucủa phương trìnhAu = f với bất kỳ toán tử Bk và cách chọn tham số θk+1.

Nội dung chương 1 đã giới thiệu một số kiến thức cơ bản về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm Lax-Milgram, các bất đẳng thức Poincare, lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. Những kiến thức quan trọng này làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luËn v¨n.

Giới thiệu về phương pháp chia miền

Các phương trình ba và bốn trong (2.2) là các điều kiện chuyển tiếp trên biên phân chia. Về mặt ý nghĩa vật lý, chúng muốn mô tả điều kiện liên tục của hàm và đạo hàm khi biến thiên qua biên chung Γ giữa hai miền con Ω1. Như vậy, việc giải bài toán trong miền Ω được đưa về việc giải bài toán trong hai miền con.

Nghiệm của hai bài toán trong hai miền con phải đảm bảo điều kiện chuyển tiếp qua biên phân chia. Xuất phát từ công thức đa miền, phương trình Steklov-Poincare, toán tử Steklov-Poincare,. Xuất phát từ cơ sở của phương pháp chia miền cùng các sơ đồ lặp cơ bản, nhiều tác giả trên thế giới đã đề xuất hàng loạt phương pháp lặp giải bài toán.

Phần tiếp theo của luận văn trình bày hai phương pháp khác nhau tiếp cận đến việc giải bài toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên Dirichlet của 2 nhóm tác giả Nhật Bản và Việt Nam trong những n¨m gÇn ®©y.

Phương pháp chia miền Saito-Fujita

Ta thấy rằng, điều kiện liên tục của đạo hàm qua biên phân chiaΓ đã thỏa mãn, còn điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia Γ phụ thuộc vào sự hội tụ của dãy lặp (2.9). Như vậy, Si là toán tử đối xứng và cũng là toán tử xác định dương bởi vì. Khi đó, theo lý thuyết tổng quát sơ đồ lặp hai lớp ở chương 1 ta suy ra víi.

Như vậy, trong phương pháp Saito-Fujita trình bày ở trên, mỗi lần lặp cần giải quyết một bài toán Dirichlet (2.7) trong Ω1, sau đó giải một bài toán Neumann (2.8) trong Ω2. Dựa trên các tài liệu tham khảo [1, 13], trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp chia miền với tư tưởng khác phương pháp Saito-Fujita.

Phương pháp chia miền Dang Quang A-Vu Vinh Quang

Ta thấy rằng, điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia Γ được thỏa mãn, còn điều kiện liên tục của đạo hàm qua biên phân chiaΓ phụ thuộc vào sự hội tụ của dãy lặp (2.17). Ta đi nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp: (2.17) được viết lại dưới dạng. Như vậy, theo lý thuyết tổng quát của sơ đồ lặp hai lớp ở chương 1 ta suy ra rằng nếu.

Ta phát biểu kết quả thu được ở trên về sự hội tụ của phương pháp bởi.

Phương pháp giải bài toán song điều hòa bằng phương pháp phân rã về dãy hai bài toán elliptic

Tính đúng đắn của sơ đồ lặp đã được khẳng định bằng thực nghiệm tính toán trên máy tính điện tử (xem [7]). Như vậy xuất phát từ việc phân rã bài toán song điều hòa về 2 bài toán elliptic, việc tìm nghiệm của bài toán song điều hòa có thể thông qua các kết quả giải các bài toán elliptic đã biết.

Phương pháp chia miền giải bài toán song điều hòa với

Dễ thấy rằng điều kiện liên tục của đạo hàm qua biên phân chia đã được thỏa mãn trong sơ đồ chia miền còn điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia phụ thuộc vào sự hội tụ của dãy lặp (3.18). Bằng cách xét tính chất của toán tử B1 trong các không gian hàm thích hợp với lý thuyết toán tử, có thể chứng minh được sơ đồ lặp hội tụ. Kết quả thực nghiệm tính toán của phương pháp được đưa ra trong trường hợp miền Ω là hình chữ nhật được chia đôi thành hai hình vuông có kích thước a = b = 1.

• So sánh hai phương pháp SF và AQH bằng kết quả thực nghiệm Các kết quả thực nghiệm được thực hiện với các hàm nghiệm đúngu∗(x1, x2) (trong các tính toán thực nghiệm chúng tôi luôn chọn bước lướih = 1. Các sơ đồ chia miền trên cũng hội tụ trong trường hợp không biết trước nghiệm đúng, khi đó điều kiện dừng lặp được sử dụng là sai số lớn nhất giữa nghiệm xấp xỉ của hai bước lặp liên tiếp nhỏ hơn sai số cho trước. - Hai sơ đồ chia miền SF và AQH do chúng tôi đề xuất giải bài toán song.

- Việc chứng minh tính đúng đắn của cả hai phương pháp trên cơ sở lý thuyết toán tử là chưa thực hiện được tuy nhiên qua các kết quả thực nghiệm trên các hàm mẫu cũng có thể thấy rằng các sơ đồ đề xuất là hội tụ. - Các sơ đồ chia miền trên hoàn toàn có thể mở rộng cho các bài toán song điều hòa thứ hai cũng như bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các kết quả trên cũng có thể mở rộng khi miền hình học là miền phức tạp.

- Việc so sánh tốc độ hội tụ của hai phương pháp trên quan điểm lý thuyết là một bài toán khó. Tuy nhiên, qua các kết quả thực nghiệm trên ta có thể khẳng định phương pháp AQH có tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp SF. Trong trường hợp miền hình học phức tạp được chia thành nhiều miền con bởi nhiều biên phân chia thì việc lựa chọn các tham số lặp θ trên các biên phân chia để đảm bảo tốc độ hội tụ là tối ưu là một vấn đề cần nghiên cứu đối với cả hai phương pháp này.

Kết quả lý thuyết được kiểm tra bằng thực nghiệm tính toán trong trường hợp khi miềnΩ là hình chữ nhật được chia đôi thành hai hình vuông có kích thước a = b = 1. - Trong quá trình tính toán, theo chúng tôi nếu thực hiện các phép tính toán đồng thời sẽ huy động được dữ liệu trong các lần lặp trước cho các lần lặp sau, điều đó chắc chắn sẽ tăng tốc độ hội tụ của các sơ đồ lặp. - Hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể xây dựng các sơ đồ lặp giải các bài toán biên dựa theo tư tưởng của các tác giả Saito-Fujita.

Phương pháp chia miền giải bài toán song điều hòa với

Tham số tối ưu của sơ đồ lặp đã được xác định bằng lý thuyết trong trường hợp miền chữ nhật. Như vậy sự hội tụ của phương pháp lặp đề xuất đã được khẳng định bằng lý thuyết trong trường hợp tổng quát. Với các kết quả trên có thể khẳng định rằng việc mở rộng phương pháp chia miền giải bài toán song điều hòa đối với điều kiện biên hỗn hợp mạnh là hoàn toàn khả thi, việc chứng minh tính đúng đắn của các sơ đồ lặp về lý thuyết đã được khẳng định.

Việc mở rộng thuật toán chia miền có thể áp dụng cho lớp các bài toán song điều hòa với dạng phương trình và điều kiện biên phức tạp hơn nữa.