MỤC LỤC
Nhóm G là một nhóm được sắp thứ tự nếu nó có một tập con P sao cho. Do đó ta thường gọi tập con gồm tất cả các phần tử lớn hơn đơn vị của nhóm thứ tự (G, <) là nón dương của thứ tự<trên G(hay ngắn gọn là nón dương trên G). Ta cũng sử dụng ba tính chất trong Mệnh đề 1.2 làm tiêu chuẩn cho nón dương.
Như vậy, nhóm G được sắp thứ tự khi và chỉ khi ta có thể xây dựng được một nón dương trên G (tức là một tập con P của G thỏa ba điều kiện trong Mệnh đề 1.2). Ta viết (G, P) để biểu thị nhóm G được sắp thứ tự bởi thứ tự toàn phần có nón dương P.
Phần còn lại của mục này sẽ trình bày hai ví dụ quan trọng cho nhóm được sắp thứ tự, đó là lớp các nhóm aben không xoắn và lớp các nhóm tự do. Nhắc lại rằng một nhóm G được gọi là nhóm không xoắn nếu mọi phần tử khác 1 của G đều có cấp vô hạn. Do đó gn không thể bằng 1 với mọi số nguyên dươngn, tức là g có cấp vô hạn.
Một nhóm aben G có thể được sắp thứ tự nếu và chỉ nếu G không xoắn. Hơn nữa G1 trở thành Q-không gian véctơ với phộp nhõn ngoài là mở rộng của quy tắc (a⊗Zx)ãq=a⊗Z(xq) (vớia∈A và. Ta sẽ xây dựng nón dương P cho G1 bằng cách sử dụng ý tưởng của thứ tự từ điển.
Dễ thấy P thỏa tiêu chuẩn của nón dương (ba tính chất trong Mệnh đề 1.2), và do đó G1 trở thành nhóm được sắp thứ tự. Trong phần cuối của mục này, ta sẽ xây dựng một thứ tự cho một nhóm tự do G. Muốn vậy, ta cần sử dụng Định lý Magnus-Witt về chuỗi tâm giảm của nhóm tự do (một chứng minh của định lý này được các tác giả trình bày trong [9, pages 380-383]).
GọiP là tập con củaGgồm các phần tửg 6= 1thỏa mãn: nếu nlà số nguyên dương (duy nhất). Để kết thúc chứng minh P là một nún dương trờn G, ta chỉ cũn cần chứng tỏ P ãP ⊆ P. Ta cũng gọi thứ tự được xây dựng cho nhóm tự do như trong chứng minh trên là thứ tự từ điển cho nhóm tự do.
Lớp tương đương của s ∈ P đối với quan hệ tương đương Archimedean, kí hiệu [s], được gọi là lớp Archimedean của s. Bây giờ, ta xây dựng một thứ tự toàn phần trên tập tất cả các lớp Archimedean của G. Khi đó tập hợp tất cả các lớp Archimedean của G là tập hợp được sắp thứ tự toàn phần với thứ tự xác định bởi.
Đầu tiên ta chứng tỏ rằng quan hệ thứ tự < trong mệnh đề trên được định nghĩa tốt. Như vậy quan hệ thứ tự trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện của các lớp Archimedean. Dễ thấy < thỏa mãn các điều kiện của một thứ tự trên tập hợp tất cả các lớp Archimedean của G.
Lớp Archimedean của một tích là lớp của nhân tử lớn nhất trong tích đó, nghĩa là.
Để chỉ ra S∪T được sắp thứ tự tốt, ta xét tập con A khác rỗng của S ∪T. Với kết luận thứ hai, giả sử phản chứng rằng U không là tập được sắp thứ tự tốt. Lưu ý rằng hợp vô hạn các tập con được sắp thứ tự tốt của một tập được sắp thứ tự toàn phần không nhất thiết được sắp thứ tự tốt.
Cho (G, P) là một nhóm được sắp thứ tự và S là một tập con được sắp thứ tự tốt của P. Để ý rằng chỉ có hữu hạn các ui có dạng (i), vì nếu ngược lại thì ta sẽ có một dãy giảm ngặt trong S, trái giả thiết. Ta sẽ chứng minh tiếp định lý trong trường hợp tồn tại một dãy các ui có dạng (iv), hai trường hợp còn lại được suy ra từ các lập luận tương tự như trong trường hợp này.
Bằng cách thay dãy ban đầu bởi dãy con gồm các ui có dạng (iv), ta có thể giả sử ui =visiwi với mọi i. Nếu C không được sắp thứ tự tốt, lập luận tương tự ta cũng dẫn đến mâu thuẫn. Vì S∞ được sắp thứ tự tốt nên ta có thể chọn được u nhỏ nhất thỏa điều kiện trên.
Như thụng thường, ta sẽ xem R là vành con Rã1 của A và đồng nhất G với nhúm con1ãG của nhúm cỏc phần tử khả nghịch U(A) củaA. Nhắc lại rằng vànhk được gọi làvành chianếu mọi phần tử khác0củak đều khả nghịch. Tiếp theo ta sẽ chứng minh nếuR là một vành chia thìA=R((G, ω)) cũng là một vành chia, và khi đóR((G, ω))được gọivành chia Mal’cev-Neumann của nhóm được sắp thứ tự G trên vành R.
Vành chia Mal’cev-Neumann R((G, ω)) của nhóm được sắp thứ tự G trên vành R cho ta nhiều ví dụ về vành chia vô hạn tâm. Nhắc lại rằng vành chia D được gọi là vành chia vô hạn tâm nếu dimZ(D)D =∞. Ta sẽ không xác định tâm của A = R((G, ω)) trong trường hợp tổng quát mà chỉ xét trường hợp đặc biệt như trong Hệ quả 2.3.
Cuối cùng, vì G là nhóm được sắp thứ tự không tầm thường nên trong G có phần tử g 6= 1.
Để tiện, ta ký hiệu chuỗi tâm giảm của nhóm nhân D∗ trong vành chia D bởi. Ở Chương 1 ta đã chứng minh mọi nhóm tự do G đều có thể được sắp thứ tự (Định lý 1.8), tức là ta có thể xây dựng được vành chia Mal’cev-Neumann của nhóm tự do. Mục tiêu của mục này là mô tả chuỗi tâm giảm trong vành chia Mal’cev-Neumann của nhóm tự do trên trường.
Trong mục này, ta luôn giả sử F là trường và ω là đồng cấu tầm thường từ nhóm được sắp thứ tự không tầm thường G vào Aut(F). Dễ thấy F∗ ãG là nhúm con của nhúm nhõn F((G))∗ và thu hẹp của σ trờn F∗ãG chớnh là ỏnh xạ đồng nhất. Các tác giả Aaghabali và Bien đã chứng minh kết quả sau đây trong [10, Lemma 4.2].
Sử dụng Bổ đề 2.5, ta sẽ mô tả chuỗi tâm giảm trong vành chia Mal’cev- Neumann của nhóm tự do trên trường.