Giáo trình Toán Nâng cao THPT - Đại số và Giải tích
MỤC LỤC
Hàm số bậc nhất và bậc hai
Đại cơng về hàm số. - Cách cho hàm số. - Hàm số đồng biến, nghịch biến. Về kiến thức:. - Hiểu khái niệm hàm số, tập xác định của hàm số, đồ thị của hàm số. - Hiểu khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, lẻ. Biết đợc đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ. Về kỹ năng:. - Biết tìm tập xác định của các hàm số đơn giản. - Biết cách chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một số hàm số trên một khoảng cho trớc. - Biết xét tính chẵn lẻ của một hàm số đơn giản. - Xác định đợc một điểm nào đó có thuộc một đồ thị cho trớc hay không. Tìm tập xác định của các hàm số:. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số sau đây trên khoảng đã chỉ ra:. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:. Về kiến thức:. - Hiểu đợc chiều biến thiên và đồ thị của hàm số bậc nhất. Về kỹ năng:. - Thành thạo việc xác định chiều biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất. - Biết cách tìm toạ độ giao điểm của hai đ- ờng thẳng có phơng trình cho trớc. - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số cho bởi các hàm bậc nhất trên các khoảng khác nhau. a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. Ví dụ: Tìm tập xác định, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị. Về kiến thức:. - Hiểu đợc sự biến thiên của hàm số bậc hai trên R. - Giới thiệu phép tịnh tiến đồ thị để khảo sát hàm số bậc hai. Về kỹ năng:. Lập bảng biến thiên của hàm số sau:. Vẽ đồ thị các hàm số:. - Thành thạo việc lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai. - Biết vẽ đồ thị hàm số bậc hai. c) Từ đồ thị, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Phơng trình. Hệ phơng trình
Chỉ xét phơng trình trùng phơng, phơng trình đa về bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ đơn giản: ẩn phụ là đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai hoặc căn bậc hai của ẩn chính, phơng trình có ẩn ở mẫu thức, phơng trình quy về dạng tích bằng một số phép biến đổi đơn giản. - Giải đợc một số hệ phơng trình bậc hai hai ẩn: hệ gồm một phơng trình bậc hai và một phơng trình bậc nhất; hệ phơng trình mà mỗi phơng trình của hệ không thay đổi khi thay x bởi y, y bởi x.
Bất đẳng thức. Bất ph-
Một số hệ phơng trình bậc hai đơn giản. Về kiến thức:. Hiểu cách giải hệ phơng trình bậc hai. Về kỹ năng:. - Giải đợc một số hệ phơng trình bậc hai hai ẩn: hệ gồm một phơng trình bậc hai và một phơng trình bậc nhất; hệ phơng trình mà mỗi phơng trình của hệ không thay đổi khi thay x bởi y, y bởi x. Chỉ xét các hệ phơng trình bậc hai hai ẩn: hệ gồm một phơng trình bậc hai và một phơng trình bậc nhất; hệ ph-. ơng trình đối xứng. Giải các hệ phơng trình:. trung bình nhân. - Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số. - Biết bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số. - Biết đợc một số bất đẳng thức có chứa giá. trị tuyệt đối nh:. Về kỹ năng:. - Vận dụng đợc định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tơng. đơng để chứng minh một số bất đẳng thức. - Biết vận dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số vào việc chứng minh một số bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. - Chứng minh đợc một số bất đẳng thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối. Chứng minh rằng:. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có. Bất phơng trình. - Khái niệm bất phơng trình. Nghiệm của bất phơng trình. - Bất phơng trình tơng đơng. - Phép biến đổi tơng đơng các bất phơng trình. Về kiến thức:. - Biết khái niệm bất phơng trình, nghiệm của bất phơng trình. - Biết khái niệm hai bất phơng trình tơng đ-. ơng, các phép biến đổi tơng đơng các bất ph-. Về kỹ năng:. - Nêu đợc điều kiện xác định của bất phơng trình. - Nhận biết đợc hai bất phơng trình tơng đ-. - Vận dụng đợc phép biến đổi tơng đơng bất phơng trình để đa một bất phơng trình đã. cho về dạng đơn giản hơn. a) Nêu điều kiện xác định của bất phơng trình. - Vận dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất để lập bảng xét dấu tích các nhị thức bậc nhất, xác định tập nghiệm của các bất phơng trình tích (mỗi thừa số trong bất ph-. ơng trình tích là một nhị thức bậc nhất). - Biết giải và biện luận bất phơng trình bậc nhÊt mét Èn. - Giải đợc hệ bất phơng trình bậc nhất. - Giải đợc một số bài toán thực tiễn dẫn tới việc giải bất phơng trình. Giải các hệ bất phơng trình:. Giải các bất phơng trình:. Xác định m để hệ bất phơng trình. Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn. Hệ bất phơng trình bËc nhÊt hai Èn. Về kiến thức:. Hiểu khái niệm bất phơng trình, hệ bất ph-. ơng trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm của nó. Về kỹ năng:. Xác định đợc miền nghiệm của bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn. Thừa nhận kết quả: Trong mặt phẳng toạ độ, mỗi đờng thẳng d: ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Xác định miền nghiệm của hệ bất phơng trình. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phơng trình bậc hai. Một số hệ bất phơng trình bậc hai một ẩn đơn giản. Về kiến thức:. Hiểu định lí về dấu của tam thức bậc hai. Về kỹ năng:. - áp dụng đợc định lí về dấu tam thức bậc hai để giải bất phơng trình bậc hai; các bất phơng trình quy về bậc hai: bất phơng trình tích, bất phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức. - Giải đợc một số hệ bất phơng trình bậc hai một ẩn đơn giản. - Biết áp dụng việc giải bất phơng trình bậc. Xét dấu các tam thức bậc hai:. Giải các bất phơng trình:. Giải các bất phơng trình:. hai để giải một số bài toán liên quan đến ph-. ơng trình bậc hai nh: điều kiện để phơng trình có nghiệm, có hai nghiệm trái dấu. - Biết giải một số phơng trình đa về bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp hoặc phơng trình quy về dạng tích. - Giải đợc một số bất phơng trình quy về bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. Giải các hệ bất phơng trình:. Với những giá trị nào của m thì:. a) Phơng trình có nghiệm?. b) Phơng trình có các nghiệm trái dấu nhau?.
Góc lợng giác và công thức lợng giác
- Vận dụng đợc các hằng đẳng thức lợng giác cơ bản giữa các giá trị lợng giác của một góc để tính các giá trị còn lại của một góc khi cho một trong bốn giá trị lợng giác của một góc, chứng minh các hệ thức đơn giản. - Vận dụng đợc công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biển đổi tổng thành tích vào một số bài toán biến đổi, rút gọn biểu thức.
Vectơ
- Biết diễn đạt đợc bằng vectơ: ba điểm thẳng hàng, trung điểm của một đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, hai điểm trùng nhau. Chỉ xét hệ toạ độ Đề-các vuông góc (đơn vị trên hai trục toạ độ bằng nhau). a) Tính chu vi tam giác ABC. b) Xác định toạ độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC,. a) Xác định toạ độ điểm D`sao cho ABCD là hình bình hành. c) Tìm toạ độ trọng tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng
- Biết áp dụng định lý cosin, định lý sin, công thức về độ dài đờng trung tuyến trong một tam giác để giải một số bài toán có liên quan đến tam giác. Tính đợc các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi biết ba yếu tố về cạnh và góc (chẳng hạn: cho trớc độ dài ba cạnh của tam giác; cho trớc độ dài một cạnh và số đo hai góc của tam giác; cho trớc độ dài hai cạnh và số đo góc xen giữa hai cạnh đó).
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng
- Viết đợc phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn trong các trờng hợp: Biết toạ độ của tiếp điểm (tiếp tuyến tại một điểm nằm trên. đờng tròn); biết tiếp tuyến đi qua điểm M nằm ngoài đờng tròn; biết tiếp tuyến song. song hoặc vuông góc với một đờng thẳng có phơng trình cho trớc. ơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Định nghĩa elip. Phơng trình chính tắc của elip. hình dạng elip. Về kiến thức:. - Biết định nghĩa elip. - Hiểu phơng trình chính tắc, hình dạng của elip. Về kỹ năng:. - Từ phơng trình chính tắc của elip:. xác định đợc độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai của elip; xác định đợc toạ độ các tiêu điểm, giao điểm của elip với các trục toạ. - Viết đợc phơng trình chính tắc của elip khi cho một số yếu tố xác định elip đó. Định nghĩa elip là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến hai điểm phân biệt cho trớc không đổi. Có giới thiệu về sự liên hệ giữa đờng tròn và elip. a) Tìm toạ độ các đỉnh và tiêu điểm của elip. b) Tính tâm sai của elip. Hiểu đợc khái niệm hàm số lợng giác (của biến số thùc). Về kỹ năng:. - Tìm tập xác định. - Tìm tập giá trị. - Hàm số đã cho có là hàm số tuần hoàn không? Cho biết chu kỳ?. - Xác định các khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số đó. Phơng trình l- ợng giác cơ bản Các phơng trình lợng giác cơ. Minh hoạ trên. đờng tròn lợng giác. Về kiến thức:. Biết đợc phơng trình lợng giác cơ bản: sinx = m;. Về kỹ năng:. Giải thành thạo phơng trình lợng giác cơ bản. Biết sử dụng máy tính bỏ túi để giải phơng trình lợng giác cơ bản. Giải và minh hoạ trên đờng tròn lợng giác nghiệm của mỗi phơng trình sau:. Một số phơng trình lợng giác thờng gặp. Về kiến thức:. Biết đợc dạng và cách giải phơng trình: bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác; phơng trình. Chủ đề Mức độ cần đạt Ghi chú Phơng trình bậc. nhÊt, bËc hai. đối với một hàm số lợng giác. Một số phơng trình lợng giác khác. asinx + bcosx = c; phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx; phơng trình có sử dụng công thức biến đổi để giải. Về kỹ năng:. Giải thành thạo phơng trình thuộc dạng nêu trên. Khái niệm xác suất 1. Đại số tổ hợp. Quy tắc cộng và quy tắc nh©n. Nhị thức Niu- tơn. Về kiến thức:. Về kỹ năng:. - Bớc đầu vận dụng đợc quy tắc cộng và quy tắc nh©n. - Tính đợc số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử và vận dụng đợc vào bài toán cụ thể. - Biết khai triển nhị thức Niu-tơn đối với một số mũ cụ thể. Một đội thi đấu bóng bàn gồm 8 vận động viên nam và 7 vận động viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách:. a) Cử vận động viên thi đấu đơn nam, đơn nữ. b) Cử vận động viên thi đấu đôi nam - nữ.
Giới hạn 1. Giới hạn của
Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số (giới hạn một bên, giới hạn ở vô cực và giới hạn vô cực). - Định nghĩa hàm số liên tục (tại một điểm, trên. Xét tính liên tục của hàm số 1. Chủ đề Mức độ cần đạt Ghi chú số liên tục tại. một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng. Một số định lí về hàm số liên tôc. một khoảng, một đoạn).
Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 1. Phép biến
Hãy dựng đờng thẳng d đi qua điểm A và cắt Ox, Oy tơng ứng tại B và C thì A là trung điểm của BC. Chủ đề Mức độ cần đạt Ghi chú thức toạ độ - Phép tịnh tiến có các tính chất của phép dời hình;.
Đờng thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
- Biết (có chứng minh) định lí: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lợt chứa hai đờng thẳng song song mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song (hoặc trùng) với một trong hai đờng đó”. Về kỹ năng:. - Xác định đợc vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng. - Biết cách chứng minh hai đờng thẳng song song. - Biết áp dụng định lí trên để xác định giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trờng hợp đơn giản. Các đờng thẳng AB và MN có song song với nhau không?. b) các đờng thẳng SC và AB là hai đờng thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau, hay trùng nhau?. - Biết (không chứng minh) định lí: “ Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng P thì mọi mặt phẳng Q chứa a và cắt P thì cắt theo giao tuyến song song víi a”. Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’, chỉ ra trên hình vẽ các đờng thẳng:. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi. a) Chứng minh AB song song với mặt phẳng(SCD). b) Gọi M là trung điểm của SC, xác định giao tuyến của mặt phẳng (BAM) và (SCD).
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
- Tính chất hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phơng;. - Vận dụng đợc tính chất của lăng trụ đứng, hình hộp, hình chóp đều, chóp cụt đều vào giải một số bài tập.
Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit 1. Luỹ thừa
- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit. - Giải đợc phơng trình, bất phơng trình mũ: phơng pháp đa về luỹ thừa cùng cơ số, phơng pháp lôgarit hoá, phơng pháp dùng ẩn số phụ, phơng pháp sử dụng tính chất của hàm số.
Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 1. Nguyên hàm
- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn − Lai-bơ-nit. - Sử dụng đợc phơng pháp đổi biến số (khi đã chỉ rừ cỏch đổi biến số và khụng đổi biến số quỏ một lần) để tính tích phân.
Khối đa diện
Dạng lợng giác của số phức và ứng dụng. - Biết dạng lợng giác của số phức. - Biết công thức Moa-vrơ và ứng dụng. Về kỹ năng:. - Biết cách nhân, chia các số phức dới dạng lợng giác. qua cosα và sinα. Tính đợc thể tích khối lăng trụ và khối chóp. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Ví dụ : Cho khối hộp MNPQM'N'P có thể tích V. Tính thể tích của khối tứ diện P'MNP theo V. Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy. Tỉ số thể tích của hai khối tứ diện MNIQ và MNIP. Giao của mặt cầu và mặt phẳng. Mặt phẳng kính, đờng tròn lớn. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Giao của mặt cầu với đờng thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu. Công thức tính diện tích mặt cÇu. - Hiểu các khái niệm mặt cầu, mặt phẳng kính, đ- ờng tròn lớn, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, tiếp tuyến của mặt cầu. - Biết công thức tính diện tích mặt cầu. Về kỹ năng:. Tính đợc diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. Một mặt cầu bán kính R đi qua 8 đỉnh của hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'. a) Tính cạnh của hình lập phơng đó theo R. b) Mặt phẳng kính chứa cạnh AB cắt hình lập phơng theo một thiết diện. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh O, đáy là đờng tròn ngoại tiếp ABCD.