Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán phương trình và bất phương trình

Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở trờng trung học phổ thông 1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phơng trình và bất phơng trình

Bài toán giải phơng trình đại số đợc nhà toán học Galois (1811-1832) giải quyết trọn vẹn khi tìm ra đợc tiêu chuẩn để biết một phơng trình đã cho có giải đợc bằng căn thức hay không. Trong chơng trình môn toán bậc Trung học phổ thông, chủ đề phơng trình và bất phơng trình đợc thể hiện thông qua các dạng nh sau:. + Phơng trình, bất phơng trình đa thức và phân thức:. Đối với dạng toán phơng trình đa thức và phân thức, thì các phơng trình. “cơ bản” đợc trình bày trong chơng trình là phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai. Thông thờng, các dạng phơng trình khác, trong quá trình giải đều đa về các dạng cơ bản trên. Vì vậy Sách giáo khoa đã nêu thuật giải chi tiết để giải các loại phơng trình đó. Bên cạnh đó, nhằm mục đích phục vụ cho việc khảo sát hàm số ở lớp 12, nên từ lớp 10, Sách giáo khoa cũng đã đa ra phơng trình bậc ba và phơng trình bËc bèn. Phơng trình bậc ba đợc nêu ra trong chơng trình chủ yếu là các phơng trình đặc biệt, có thể tìm ra một nghiệm nguyên một cách tơng đối dể dàng, sau. đó học thực hiện phép phân tích để đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai. Phơng trình bậc bốn chỉ giới thiệu dạng trùng phơng, bằng cách đặt ẩn phụ sẽ đa về phơng trình bậc hai. Đối với các bài tập bất phơng trình đa thức và phân thức, thì kiến thức về xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai lại là kiến thức cơ bản. Bất phơng trình đa thức và phân thức tổng quát đợc giải bằng cách chuyển tất cả các hạng tử về một vế, phân tích thành thừa số bậc nhất hoặc bậc hai rồi lập bảng xét dấu để lấy nghiệm. Ví dụ 2: Giải bất phơng trình. Bảng xét dấu vế trái:. + Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối:. Và các phép biến đổi tơng đơng cơ bản:. Đối với dạng toán này, trong chơng trình toán trung học phổ thông, thờng có các định hớng nh sau:. + Thứ nhất, nếu dùng công cụ là định nghiã giá trị tuyệt đối, ta có bài toán tơng. đơng nh sau:. + Thứ hai, nếu dùng các phép biến đổi tơng đơng, ta có:. + Phơng trình, bất phơng trình vô tỉ. Phơng trình, bất phơng trình vô tỉ là phơng trình, bất phơng trình chứa biểu thức vô tỉ của ẩn. Để giải dạng toán này, cần cho học sinh nắm vững các kiến thức:. Và cần áp dụng các phép biến đổi tơng đơng cơ bản sau đây:. xg xg xg xf. + Phơng trình, bất phơng trình mũ và logarit. Vì vậy bài toán trở nên “quen thuộc” nếu ta đặt. + Phơng trình, bất phơng trình lợng giác. So với chơng trình cũ, kiến thức trong các sách giáo khoa hiện hành đợc trình bày theo hớng giảm nhẹ lý thuyết kinh viện, tăng cờng thực hành, coi trọng vai trò của ghi nhận trực giác, coi trọng rèn luyện khả năng quan sát và dự. Trên tinh thần đó, sách giáo khoa hiện hành chỉ giới thiệu khái niệm và thuật toán giải các phơng trình lợng giác cơ bản; phơng trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lợng giác; phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx; ph-. ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Còn các dạng phơng trình khác và cách giải bất phơng trình lợng giác đợc đa vào bài đọc thêm. Cũng trên quan điểm giảm tải đối với học sinh, gắn toán học vốn mang tính khô khan với. đời sống hàng ngày, nên các bài tập đa ra không còn nhiều bài khó, các bài tập mang tính ứng dụng đợc đa ra nhiều hơn, điều đó tạo hứng thú tốt cho ngời học. + Những tình huống điển hình liên quan đến phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số. Trong các bài tập toán ở bậc Trung học phổ thông thờng hay gặp các bài tập về phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số, mà muốn giải đợc các. bài toán có chứa tham số ngời giải phải nắm đợc kiến thức một cách có hệ thống, biết suy luận chính xác, biết phân tích và tổng hợp. Bài toán chứa tham số đòi hỏi ngời giải quyết phải vận dụng khả năng t duy cao độ, và do vậy nó là chủ đề mà học sinh vẫn thờng gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, những bài toán về phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số luôn giúp cho học sinh có cái nhìn đầy đủ, sâu sắc, toàn diện hơn về một vấn đề và cũng có thể nói dạng toán này là thớc đo chính xác về mức độ nắm vững kiến thức của học sinh, qua đó phát huy đợc t duy sáng tạo cho các em. Dạng toán liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số là vô cùng đa dạng và phong phú nên Luận văn này không có ý định thống kê tất cả, mà chỉ điểm qua những tình huống điển hình cơ bản thờng gặp trong chơng trình môn Toán bậc Trung học phổ thông. ở mỗi tình huống điển hình, sẽ nêu lên đặc điểm của từng dạng và có thể sẽ tiến hành phân tích, tìm lời giải một số ví dụ cụ thể để ngời đọc nhận thức sâu sắc, cảm nhận tốt hơn về các dạng toán. - Giải và biện luận. Giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình có nghĩa là tùy theo các giá. trị của tham số tiến hành giải phơng trình, bất phơng trình đó. Đây là dạng toán cơ bản trong bài toán có chứa tham số, việc giải và biện luận cũng giống nh giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị cụ thể của tham số ta có đợc tr- ờng hợp riêng của bài toán đó. Dạng toán giải và biện luận đòi hỏi ngời học phải có năng lực t duy, nên cha phù hợp để đa vào dạy ở bậc Trung học cơ sở. Ngay từ đầu cấp Trung học phổ thông việc giải và biện luận phơng trình, bất ph-. ơng trình đợc dạy một cách đầy đủ, chặt chẽ, lôgic. Sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, lần lợt giới thiệu phơng pháp giải và biện luận phơng dạng ax + b = 0, giải và biện luận phơng dạng. Sách giỏo viờn Đại số 10, Nõng cao, chỉ rừ cỏc kỹ năng giải, biện luận cần đạt của học sinh là:. +) Phơng trình bậc nhất và bậc hai một ẩn. +) Phơng trình trùng phơng. +) Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất, bậc hai đơn giản có chứa tham sè. Nội dung giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình chứa một thời lợng khá lớn trong nội dung phơng trình và bất phơng trình, điều này đợc thể hiện ngay trong bài giảng và bài tập rèn luyện sau mỗi tiết học. Số lợng bài tập giải và biện luận mà sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, đa ra là tơng đối lớn. Tuy nhiên bài tập giải và biện luận có nhiều mức độ khác nhau nhằm vào các mục. đích: củng cố kiến thức đợc học, tăng cờng khả năng vận dụng kiến thức và rèn luyện khả năng t duy cho học sinh. Bài tập củng cố kiến thức đợc học, chẳng hạn nh:. Ví dụ 6: Giải và biện luận các phơng trình sau theo tham số m:. Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức đợc học và tiến hành gần nh tơng tự thì sẽ giải quyết đợc. ở mức độ khó hơn, Sách giáo khoa đa ra những bài tập đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn nh:. Học sinh cha đợc cung cấp phơng pháp chung để giải phơng trình:. Nhng ở đây, nếu học sinh suy nghĩ sẽ nhận xét thấy đây là tích của hai ph-. ơng trình dạng ax + b = 0, là phơng trình mà phơng pháp giải và biện luận đã. Để giải biện luận ta tiến hành giải và biện luận từng phơng trình: 2x + m -. Ví dụ 7b) là dạng toán mà cách giải và biện luận học sinh vẫn cha đợc cung cấp. (có vô số nghiệm, có hữu hạn nghiệm). ứng với mỗi giá trị tham số khi giải sẽ cho kết quả về nghiệm và bài toán rất hay đợc khai thác là cho kết luận về nghiệm, yêu cầu tìm giá trị tham số thỏa mãn kết luận đó. Bài toán tìm điều kiện tham số để nghiệm của phơng trình thỏa mãn tính chất cho trớc có rất nhiều dạng, trong mục này sẽ liệt kê một số dạng cơ bản nh: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất;. Tìm điều kiện của tham số để hai phơng trình có nghiệm chung; Tìm điều kiện của tham số để hai phơng trình tơng đơng; Tìm điều kiện của tham số để ph-. ơng trình có số nghiệm xác định; Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phơng trình có vị trí thỏa mãn yêu cầu bài toán;. a) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm. Ví dụ 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:. Vậy để phơng trình có nghiệm thì điều kiện của tham số sẽ là: m ≥ 0. Trên đây là dạng toán cơ bản mà việc giải chúng là khá đơn giản nhờ vào việc vận dụng kiến thức cơ bản trong nội dung chơng trình. Tuy nhiên, trong thực tế còn nhiều bài toán với mức độ phức tạp cao hơn. Phơng trình trên có thể dễ dàng nhận ra là một phơng trình bậc 4, nếu giải bằng phơng pháp đa về phơng trình tích là rất khó khăn. Nhờ vào việc phân tích kỹ đặc điểm bài toán, ta có thể sử dụng phơng pháp đặt ẩn số phụ:. Với cách đặt ẩn phụ này ta chuyển bài toán về hệ phơng trình đối xứng 2 Èn sè:. Học sinh đã biết phơng pháp giải hệ đối xứng này, thực hiện phép trừ 2 vế hai phơng trình ta có:. Đây là bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm và nó huy động khả năng t duy sáng tạo của học sinh khi nhận ra việc đặt ẩn phụ y = m - 3x2, để đa về hệ phơng trình đối xứng, tất nhiên ngoài ra học sinh còn phải có kĩ năng giải hệ phơng trình đối xứng. b) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm. Bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm, thực chất là bài toán ngợc của bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm. Nếu nh tập hợp các giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm là S, miền giá. trị của tham số là D, thì tập hợp các giá trị của tham số để phơng trình vô. nghiệm là D\S. Quay trở lại với ví dụ: tìm điều kiện tham số m để phơng trình sau có nghiệm:. c) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất.

2cos

Tính nhuần nhuyễn của t duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đa ra giả thuyết mới. - Hai là khả năng xem xét đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tợng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.

1cos

Chính những bài toán không chứa tham số này làm cho học sinh hay quên bớc đặt điều kiện chính xác cho ẩn phụ, các em có thể đặt có thể không, có thể đặt thừa điều kiện của ẩn phụ mà vẫn không ảnh hởng đến lời giải bài toán và lối suy nghĩ nh vậy dễ dẫn học sinh đến sai lầm trong bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số. Nhng nếu đợc giáo viên thờng xuyên bồi dỡng năng lực giải toán, cộng với t duy sáng tạo của mình, học sinh có thể suy nhanh chóng phát hiện ra vấn đề: Với những bài toán có dạng “đặc biệt” nh thế này thì ắt cũng phải dùng phơng pháp “đặc biệt”, đối với bài toán này đó là phơng pháp đánh giá hai vế của phơng trình.