Chia sẻ kinh nghiệm học toán hiệu quả

NHẨM NGHIỆM ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Xin “mách” các bạn nguyên tắc nhẩm (dựa trên kết quả đã được khẳng định nhưng không trình bày trong chương trình sách giáo khoa). Nhẩm nghiệm : Ta thấy nghiệm nguyên nếu có của f(x) sẽ là ước của 14. Thí dụ dưới đây để các bạn lưu ý về tác dụng của ẩn phụ. Mời các bạn thử làm các bài tập sau :. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XẤ HÀ ĐÔNG, HÀ TÂY. b) có giá trị nguyên nhỏ nhất. Qua M là trung điểm của BC người ta kẻ đường vuông góc vớ iđường phân giác trong của ∠ A đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D và E. Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, hãy cho biết kết quả điểm bắn của mỗi người. Lần lượt dựng trên AB, AC, bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E. a) Chứng minh các điểm E, A, D thẳng hàng. b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông. c) Tính diện tích tứ giác BDEC. d) Đường thẳng ED cắt đường thẳng CB tại K.

KHÔNG COI NHẸ KIẾN THỰC CƠ BẢN

Để giải toán nói chung, đương nhiên bạn cần phải biết vận dụng linh hoạt, tổng hợp các kiến thức của mình, trong đó các kiến thức phức tạp được hình thành từ chính các kiến thức đơn giản nhất, các kiến thức cơ bản. Qua bài viết này, tôi muốn nhắn nhủ tới các em học sinh rằng : Hãy đừng coi nhẹ những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa mà thầy cô giáo đã truyền đạt cho các em.

MỘT LẦN VÀO "BẾP"

Suy ra S(BDFOM) = S(CEFOM) hay đường gấp khúc FOM chia đôi diện tích hình thang BDEC (2). Lời bình : 1) Đôi khi để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta phải chứng minh tam giác có ba đỉnh là ba điểm ấy có diện tích bằng 0. 2) Kết hợp kết quả của bài toán 1 và bài toán 3 ta có bài toán sau : “Trong một hình thang, giao điểm hai cạnh bên kéo dài, giao điểm hai đường chéo và hai trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng” (Bổ đề hình thang). Lời bình : Đây là một tính chất quan trọng của hình học nhưng do hạn chế về kiến thức (chưa học về đường trung bình trong tam giác) nên khi đưa vào chương trình lớp 7 chỉ yêu cầu học sinh thừa nhận.

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2003 - 2004

SUY NGHĨ TỪ CÁC BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA LỚP 9

Trong cả hai trường hợp ta vẽ thêm cát tuyến MCD bất kì (khác cát tuyến MAB). Dễ dàng chứng minh được hai tam giác MAC và MDB đồng dạng, suy ra MA.MB = MC.MD. Kết quả này đã được chứng minh trong TTT2 số 12. Nhận xét 4 : Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta chứng minh được bài toán sau :. AB cắt CD tại M và AC cắt BD tại N. Chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương :. a) ABCD là tứ giác nội tiếp. Nhận xét 5 : Xét hai đường tròn giao nhau (với một cát tuyến chung đi qua hai giao điểm) ta có các kết quả khác. a) Chứng minh CDFE là tứ giác nội tiếp. b) Kết luận trên còn đúng không nếu (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau (M nằm trên tiếp tuyến chung của hai đường tròn) ?.

TIẾP TỤC PHÁT HIỆN VÀ MỞ RỘNG

Gọi BC là đường kính của (O, R), BC không trùng với OA. b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE di chuyển trên đường thẳng cố định khi BC quay quanh O. * Từ bất đẳng thức (III) thầy Tấn đã nâng lên lũy thừa bậc n các tử số của các phân số ở vế trái để tìm kết quả mới, còn tôi đã mạnh dạn tiếp tục nâng lên lũy thừa bậc m các mẫu số của chúng.

THI TRẮC NGHIỆM NHƯ THẾ NÀO

Một người bơi một khoảng a ngược dòng mất 6 phút và bơi xuôi dòng cùng khoảng cách đó mất 3 phút. Câu 18 : Bốn vòng tròn bằng nhau, mỗi vòng tiếp xúc với 2 cạnh hình vuông và tiếp xúc ngoài với 2 vòng khác (như hình vẽ).

CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC GIẢI ĐƯỢC NHỜ TÍNH BẤT BIẾN

SÁNG TẠO KHI TỰ HỌC TOÁN

Vẫn chưa vừa lòng với kết quả nhận được tôi thử tìm cách thay đổi tử của các phân thức ở vế trái của bất đẳng thức ở bài toán 1 và nhận được bài toán mới. Bài toán 1, chắc chắn còn nhiều điều thú vị nữa nếu chúng ta tiếp tục khai thác tìm tòi.

BÀN LUẬN VỀ BÀI TOÁN "BA VỊ THẦN"

Bài toỏn rừ ràng là khụng dễ chỳt nào, nhưng tụi tin rằng cỏc bạn sẽ tỡm ra nhiều phương án tối ưu đấy !. Xin mời các bạn hãy giải trí bài toán này bằng một phương án tuyệt vời nào đó (Nhớ là chỉ hỏi một thần và chính vị đó trả lời).

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHềNG

NHIỀU CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN

Rất mong chúng mình thường xuyên thông tin cho nhau những tìm tòi nho nhỏ nhưng rất thú vị khi học toán.

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Nếu chỉ sử dụng một vòi thì mỗi vòi phải chảy bao nhiêu lâu mới đầy bể?.

MỘT PHONG CÁCH HỌC TOÁN

Bài toán 5 : Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác lồi gặp nhau tại một điểm. Bài toán A chắc chắn còn nhiều điều hấp dẫn và thú vị, nếu ta tiếp tục suy nghĩ và tìm tòi.

TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

TP HỒ CHÍ MINH

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E.

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ

Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất.

TỈNH THÁI BÌNH

TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

HỌC MỘT BIẾT MƯỜI

Tìm giá trị nhỏ nhất của. Rèn luyện tính độc lập, sáng tạo là yêu cầu để phát huy phẩm chất của người lao động. Vì thế các bạn cần tập suy luận và sáng tạo, phát hiện những bài toán mới, những vấn đề mới, xuất phát từ những bài toán đã biết. Cho một góc vuông xOy. Trên tia Ox ta lấy điểm A cố định sao cho OA = a, trên tia Oy ta lấy điểm B di động. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. a) Kẻ DH vuông góc với Ox. Giới hạn : Khi B trùng với O thì hình vuông ABCD trở thành hình vuông AOC’D’ => D trùng với D’. * Khi D trùng với D’ thì hình vuông ABCD trở thành hình vuông AOC’D’. Hình vuông này có diện tích nhỏ nhất và bằng a2. Do đó có thể thay bài toán quỹ tích bằng bài toán cực trị. Trên tia Ox lấy điểm A cố định sao cho OA = a, trên tia Oy lấy điểm B di động. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. Xác định vị trí của đỉnh D để hình vuông ABCD có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. * Nếu từ C và D kẻ các đường thẳng lần lượt song song với Ox và Oy thì hình tạo thành cũng là hình vuông ngoại tiếp hình vuông ABCD. Ta có bài toán khác. Vẽ hình vuông ABCD. Qua C và D dựng các đường thẳng lần lượt song song với Ox và Oy, chúng cắt nhau tại P và lần lượt cắt Oy tại Q, Ox tại H. a) Chứng minh tứ giác OHPQ là hình vuông. b) Chứng minh tâm đối xứng của hai hình vuông ABCD và OHPQ trùng nhau. * Nếu APB = 450 quay xung quanh P, nhưng luôn cắt hai cạnh OH và OQ của hình vuông thì chu vi ΔOAB có luôn luôn bằng 2m không?.

MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ

XOAY QUANH MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Từ D và E lần lượt vẽ DF vuông góc với AB ; EG vuông góc với AC. Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD tại M, qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt AE tại N.

QUA VIỆC CHỨNG MINH MỘT ĐỊNH LÍ

Cách 7 : Qua D dựng đường thẳng song song với AB, qua A dựng đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Cách 9 : Dựng qua B đường thẳng vuông góc với AB ; dựng qua C đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại K.

MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT

MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Trên đây là các bài tập định lượng, được khai thác từ bài toán 1 theo hướng đặc biệt hóa. Bằng phương pháp tương tự mời bạn đọc hãy đề xuất các bài toán mới.

QUẬN TÂN BÌNH - TP. HỒ CHÍ MINH

MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c phải có một số âm, một số dương. Tìm số tự nhiên đó. Cho tam giác vuông ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H. b) Chứng minh BEFC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không ?. c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất.

VỀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG (TIẾP THEO KÌ TRƯỚC)

Vì lí do trên, để cho đơn giản, ta chỉ tiến hành chứng minh phần còn lại của BT4 trong trường hợp 2 (hình 5b). “Tôi đã từng dạy rất nhiều học sinh giỏi, trong số đó có nhiều em sau này đi thi toán quốc tế đạt thành tích cao.

ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI ẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

TỪ MỘT LỜI GIẢI ĐI ĐẾN BÀI TOÁN TỔNG QUÁT

Ngoài ra với những giá trị cụ thể khác của m, n, p ta sẽ nêu được nhiều bất đẳng thức “đẹp” như bất đẳng thức (1). Một kinh nghiệm các bạn nên vận dụng khi học toán : Thử xem với lời giải nào thì có thể đi đến bài toán tổng quát dễ dàng nhất.

CỦA HÌNH THANG

Đường phân giác của các góc DAB , CBA và đường thẳng CD đồng quy khi và chỉ khi DA + CB = DC. => ΔBKC đồng dạng với ΔOYK ; tương tự : ΔCHB đồng dạng với ΔOZA ; ΔOXB đồng dạng với ΔAKC.

VẬN DỤNG BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀO GIẢI TOÁN

Chỉ dùng thước thẳng, hãy dựng qua M một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng (d) cho trước. Chứng minh rằng nếu SO đi qua trung điểm M của AB thì SO cũng đi qua trung điểm N của CD và tứ giác ABCD là hình thang. MỘT KĨ NĂNG Cể NHIỀU ỨNG DỤNG. Tại sao biết được điều đó ? Tại vì ta nhìn x2 là bình phương số thứ nhất, 2x là hai lần tích số thứ nhất với số. thứ hai nên số thứ hai chính là 1, vậy phải thêm bình phương số thứ hai tức là thêm 1 ! Đây là một kĩ năng mà các bạn cần thành thạo để giải quyết nhiều bài toán. Bõy giờ cỏc bạn hóy lần lượt theo dừi cỏc thớ dụ :. Nhưng ta thấy bất đẳng thức này không thể trở thành đẳng thức nên “con đường” này không đi đến được kết quả. Lưu ý tổng và tích của hai biểu thức này là dương nên ta có :. Kĩ năng làm xuất hiện bình phương của một biểu thức còn được sử dụng trong rất nhiều bài toán khác. Mong các bạn lưu ý để giải quyết các bài toán cần tới kĩ năng này. Lê Anh Tuấn. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH. 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng. Hạ A1H vuông góc với AB, A1K vuông govd với AC. 1) Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC và AHK. 2) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh).

CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH. 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng. Hạ A1H vuông góc với AB, A1K vuông govd với AC. 1) Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC và AHK. 2) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoặc một cột bất kì và trên hàng hoặc cột được chọn, đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0.

KHÔNG CHỈ DỪNG LẠI Ở VIỆC GIẢI TOÁN !

* Tiếp tục phát triển theo hướng trên : tạo ra đường thẳng song song với AM, đường thẳng đó ắt vuông góc với BN. Qua đây, tác giả mong muốn các bạn luôn có thói quen chủ động tìm tòi, khai thác, phát triển các bài toán, thông qua đó tự rèn luyện tư duy và tích lũy được nhiều kiến thức bổ ích.

MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN

Trong chương trình số học lớp 6, sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN. Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông. Trên đường ca nô trở về bến A, khi còn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa nói ở trên. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D. 1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh ΔMNK cân. 3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định.

TÔI CŨNG TÌM RA RỒI !

Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh, một đoạn màu đỏ và một đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu. Thú thật, với kiến thức nhỏ bé của tôi, đây quả là một bài toán “chông gai” , bởi vì mặc dù đã có lời giải nhưng nào là “căn”, nào là “bất đẳng thức Bunhiacốpski”.

CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài toán 6 : Cho tam giác ABC đều và điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác. Lời giải : Không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc cung BC (không chứa A) của đường tròn ngoại tiếp tam giác. CHỨNG MINH MỘT SỐ. Vậy : là số chính phương. Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt. Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”. Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài toán thú vị về số chính phương :. 1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương :. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 THỊ XÃ HÀ ĐÔNG HÀ TÂY. Hồng và Lan đã nhận được 5 gói và số kẹo của hồng gấp hai số kẹo của Lan. Tính số kẹo nhận được của mỗi bạn. a) Vẽ các tia Om, On lần lượt là tia phân giác của các góc xOz và zOy. Tính góc mOn ? b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOy bằng 35o. Với các điểm O, A, B, C, D, E kẻ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? Kể tên những đường thẳng đó. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TỈNH THÁI BÌNH. 2) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho.

TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN

PHẦN THUẬN CỦA BÀI TOÁN QUĨ TÍCH

NHỮNG MỞ RỘNG BAN ĐẦU TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SÁCH GIÁO KHOA

Kết quả phát biểu trong BT7 chính là nội dung một định lí nổi tiếng của hình học phẳng, định lí Ptô-lê- mê. Trong BT7, hãy coi điểm M như là đường tròn tâm M, bán kính bằng không, một cách tự nhiên, BT7 được mở rộng thành bài toán đặc sắc sau.

CHỦ ĐỘNG SÁNG TẠO KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Hướng giải quyết bài toán không phải là vẽ giao điểm của hai đường thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ giữa đường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ đi qua điểm M) với những đường thẳng khác có thể vẽ được trên trang giấy. Lời giải (tóm tắt) mong đợi là như sau :. Tính HJ2 : Trong tam giác vuông BHC, HJ là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Chú ý rằng, theo chương trình mới, học sinh lớp 7 chưa học định lí : Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. c) Trong tam giác CDE thì cạnh nào lớn nhất ?. Đây là một bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiều cách giải khác nhau. Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hỡnh học lớp 7 được ra theo kiểu này thỡ chắc chắn học sinh sẽ bộc lộ rừ ràng mức độ nắm vững kiến thức cơ bản, kĩ năng cơ bản của mình và ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng hi vọng giải được hầu hết các câu hỏi của bài toán. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THÀNH PHỐ PLEIKU-GIA LAI. a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giácBHE. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH BẮC NINH. Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB cố định trương cung 120o. Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC. 1) Cho M cố định, hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi. 2) Cho M cố định, hãy chứng minh giá trị không thay đổi khi C thay đổi.

RÚT GỌN BIỂU THỨC