Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán sinh viên: Phần Giải tích

Các dạng toán về dãy số

Vậy (vn) không hội tụ. Mặt khác lim. a) Chứng minh rằng các dãy (xn+yn) và (xnyn) là những dãy đơn điệu tăng. Chứng minh rằng chúng cùng hội tụ về một điểm. Muốn vậy chỉ cần chứng minh. Tương tự ta cần chứng minh rằngxn+1yn+1 ≥xnyn. Muốn vậy chỉ cần chỉ ra xn+yn. b) Vì các dãy(xn)và(yn)bị chặn nên(xn+yn)và(xnyn)cũng bị chặn, mà đây là những dãy đơn điệu tăng nên hội tụ về các giới hạnsvàptương ứng. Cho dãy số (an) được xác định bởi công thức truy hồi. Các dạng toán về dãy số a) Chứng minh rằng (an)là một dãy đơn điệu. Hãy tìm lim. Trong trường hợp này hãy tính lim. c) Khi dãy (an)có giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó phải là 0.

Bài tập tự luyện

Cho dãy số (un) xác định bởi. a) Tính giới hạn lim. b) Chứng minh rằng lim.

Các dạng toán về hàm số

Một hàm số liên tục trên một đoạn thì luôn có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó. Do đó hàm số liên tục f(x)−f0(x) nhận giá trị không âm và giá trị không. Theo cách xác định f0, nghiệm đó hiển nhiên thỏa mãn. Ta có thể trình bày bài giải như sau. Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,π2. Các dạng toán về hàm số Chương 3 Hướng dẫn. Tích phân từng phần để làm cho f0 xuất hiện dưới dấu tích phân. Chỉ còn phải chứng minh f π2. Tương tự bài trên ta chỉ cần tìm được hàm sốf0thỏa Z 1. Các dạng toán về hàm số. Tính toán cụ thể dành cho bạn đọc. Với cách chọn này thì lời giải sẽ gọn nhẹ hơn nhưng thiếu tự nhiên hơn. Đây là các bài toán yêu cầu tìm các hàm số thỏa một phương trình hoặc bất phương trình cho trước. Thử giá trị và đổi biến. Ý tưởng chung trong việc giải một phương trình và bất phương trình hàm 1. nguyên, giá trị biên, đảo biến, lặp biến. ) để rút dần ra các tính chất của hàm số cần tìm,. Trực giác cho thấy vế trái có độ lớn cỡ hàm mũ trong khi vế phải cỡ hàm lũy thừa nên ta dự đoán chỉ có hàm sốf(x)≡1 thỏa bài toán.

Phương trình hàm hồi qui tuyến tính dạng liên tục Tổng quát để tìm tất cả các hàm liên tục f thỏa mãn. Bằng công cụ đạo hàm, dễ dàng kiểm trasint≤tvới mọit ≥0và phương trỡnh sint=t chỉ cú nghiệm duy nhất t= 0. Định hướng giải chủ yếu là chọn các giá trị đặc biệt của biến để giảm số ẩn hàm, khi đó bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn.

Các dạng toán về phép tính vi phân

Sử dụng kĩ thuật thu gọn biểu thức chứa đạo hàm để biến đổi đẳng thức về dạng g0(x) = cvới g là một hàm số khả vi trên [a, b]. Sử dụng định lí Lagrange hoặc định lí Rolle để chỉ ra sự tồn tại của x thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh rằng:. Các dạng toán về phép tính vi phân Chương 4 Hướng dẫn. Một nguyên hàm của tan1x là. Với câu ii) ta có thể sử dụng định lí Rolle hoặc công thức Newton-Leibniz để khai thác mối liên hệ giữaf và f0. Bằng trực giác ta thấy nếu tồn tại (x1, x2) thỏa bài toán thì có lẽ sẽ tồn tại vô hạn cặp số như vậy vì từ cặp(x1, x2)ban đầu ta chỉ cần thay đổi phù hợp một chút giá trị củax1 vàx2 thì ta thu được cặp mới cũng thỏa mãn. Chứng minh rằng phương trình2x=P(x) có không quá n+ 1 nghiệm thực. 2 x2 cũng là hàm số đơn điệu tăng trên R. b) Giả thiết đã cho có thể viết lại là.

Ngược lại nếu f tăng thì giá trị trung bình này không vượt quá f(x), từ đó suy ra lim. Các dạng toán về phép tính vi phân Chương 4 b) Để tìm một phản ví dụ ta sẽ xuất phát từ một hàm số nào đó thỏa mãn câu a), ví dụ hàm sốf(x) =x. Kĩ thuật thu gọn biểu thức chứa đạo hàm đóng vai trò then chốt trong việc đơn giản hóa giả thiết trong các bài toán về phương trình vi phân, bất phương trình vi phân và bất đẳng thức vi phân. Để giải được các dạng toán này, cần xác định chính xác các biến số và hàm số cần thiết để lập được mô hình bài toán, sau đó giải bằng các công cụ đạo hàm.

Bài tập tự luyện

Chỉ cần áp dụng định lí Rolle cho hàm sốg trên [0,1] là tìm được giá trị cthỏa bài toán. Thảo cầm viên muốn dựng một lồng nuôi chim hình hộp chữ nhật có thể tích 500 mét khối bằng lưới thép (mặt đáy của hình hộp chữ nhật là mặt đất, 5 mặt còn lại được phủ lưới thép). Hỏi ban quản lí của thảo cầm viên nên xác định chiều dài các cạnh của lồng là bao nhiêu để tiết kiệm lưới thép nhất?.

Xác định vị trí của 2 vận động viên trên đường đua để góc nhìn θ từ C đến họ đạt giá trị lớn nhất. Hãy phân tích tác động của giá vốn và lao động tới mức lợi nhuận tối đa. Nếu giá tăng 7% thì mức sản lượng và lợi nhuận tối ưu sẽ biến động tương đối ra sao?.

Các dạng toán về phép tính tích phân

Ta không nên hi vọng tìm được công thức nguyên hàm của hàm lượng giác phức tạp nằm trong hàm logarit mà nên xem xét các tính chất đặc biệt của hàm số và các cận tích phân. Nếu có thể khử hết các tích phân thì bài toán trở thành một bất đẳng thức vi phân, hãy sử dụng kĩ thuật thu gọn biểu thức đạo hàm và khảo sát hàm số để chứng minh. Thông thường ta sẽ chọng sao cho bất đẳng thức f(x)≥g(x)có thể chứng minh dễ dàng bằng các bất đẳng thức sơ cấp như bất đẳng thức AM-GM (Cauchy), Cauchy–Schwarz,.

Ràng buộc bởi một đẳng thức tích phân với cận cố định thường khá yếu (bài toán rất dễ có vô số nghiệm), do đó bản chất của các bài toán dạng này là chứng minh một bất đẳng thức tích phân rồi tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra. Để khai thác được giả thiết f00(x) > 0 trên (0,1) ta nghĩ đến việc biến đổi tích phân trong bất đẳng thức trên thành tích phân của biểu thức chứaf00. Một số bất đẳng thức mặc dù phát biểu ở dạng tích phân nhưng có thể đưa được về dạng vi phân bằng công thức tích phân với cận biến thiên (tổng quát của công thức Newton-Leibniz):. Từ đó ta vận dụng được kĩ thuật thu gọn biểu thức đạo hàm đã học trong chương trước. Chứng minh rằng nếug là hàm không tăng thì f đồng nhất 0. Chứng minh rằng. Ta nhận thấy f chỉ bị ràng buộc tại lân cận của 0, do đó cận trên 1trong bất đẳng thức cần chứng minh không có vai trò gì đặc biệt. Do đó bài toán chỉ có thể giải được nếu ta chứng minh được bất đẳng thức với cận trên được thay bởit bất kì, nghĩa là chứng minh. là không âm. Bất đẳng thức đã được chứng minh. Chứng minh rằng hàmg không thể bị chặn trên [0,+∞).

Bài tập tự luyện

Để sử dụng được kĩ thuật thu gọn đạo hàm ta viết lại dưới dạng 1. Để trình bày chính xác dự đoán trên lấy tích phân từ 1đến t của (*) ta được.

Đề thi chọn đội tuyển năm 2016

Điều này mâu thuẫn với tính liên tục củaf, vậy bất đẳng thức đầu tiên của (3)không thể trở thành đẳng thức. Chứng minh tương tự bất đẳng thức thứ hai của(3) cũng không thể trở thành đẳng thức. Do đó không thể thay 18 bởi số lớn hơn hoặc 38 bởi số nhỏ hơn để kết luận của bài toán vẫn đúng.

Đề thi chọn đội tuyển năm 2017

Do (un) là dãy số không giảm và bị chặn trên bởi1 nên hội tụ và lim. An là một tập hợp vô hạn đếm được, mâu thuẫn vì [0,1] là một tập hợp vô hạn không đếm được. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có tối đa hai nghiệm dương.

Đề thi chọn đội tuyển năm 2018

Áp dụng công thức này liên tiếp ta có. với mọi x∈R. Áp dụng công thức này liên tiếp ta có. Thay hàm số này vào phương trình ban đầu ta tìm đượcc= 0. Thay hàm số này vào phương trình ban đầu ta tìm đượcc= 0. Hiển nhiên hàm số này thỏa mãn câu a). Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất, công ty nên lựa chọn tỉ lệ chiều cao : đường kính đáy hộp bằngk. Trong chương này, chúng tôi liệt kê một số đề thi gần đây để bạn đọc tự luyện và nắm bắt được xu hướng ra đề.

Nhìn chung, đề thi những năm gần đây có xu hướng giảm bớt tính kinh viện, tăng tính ứng dụng thực tiễn. Mỗi đề đều có một bài toán liên quan đến ứng dụng hoặc mô hình thực tế. Về đáp án chi tiết, bạn đọc có thể tìm thấy trong các cuốn kỷ yếu của ban tổ chức cuộc thi [8].

Đề thi năm 2018

Xác định vị trí của 2 vận động viên trên đường đua để góc nhìn θ từ. Hãy tìm ví dụ về một hàm số f thỏa mãn tất cả điều kiện của đề bài.