Bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp sử dụng đường cong Brody giới hạn
MỤC LỤC
Mď dầu
Dȃy là bài toán thú vị và có thễ dem lại m®t lmợng áng dụng dáng kễ nếu nó dmợc giải quyết m®t cách trọn vẹn.Với nhǎng d®ng cơ nhm thế, chúng tȏi dǎ cố gắng nghiȇn cáu theo hmớng dú, và hi vọng cỏc kết quả trỡnh bày trong luên ỏn giỳp làm sỏng tỏ thȇm phần nào các cȃu hỏi dmợc bàn ở trȇn. Vỡ thế luên ỏn sả dụng nhiều cỏc cȏng cụ cơ bản của giải tớch cỗ diễn nhm chuối, bỏn kớnh chuối hđi tụ, v.v.; dại số tuyến tớnh về ma trên (giỏ trị riȇng, vector riȇng, da thỏc d°c trmng, dạng Jordan, dạng hǎu t v.v.), hằ phmơng trình và cách tuyến tính hóa các da thác v.v.; kiến thác cơ bản về da thác n®i suy (cȏng thác n®i suy Newton và Hermite) v.v.
Các dưďng cong Brody giďi hạn
Ba tác giả Dố Dác Thái, Mai Anh Dác và Ninh Văn Thu [7] có lě xuất phỏt tà dịnh lý Zalcman và d°t ra khỏi niằm khȏng gian loại E− giới hạn nhằm mục dích tìm ý tmởng giải quyết giả thuyết về tính Zalcman của khȏng gian Cn dmợc d°t ra trong bài báo ba tác giả Dố Dác Thái, Phạm Nguyến Thu Trang, Phạm Dinh Hmơng [8]. Dễ làm dmợc diều dó, chúng tȏi bắt chmớc hoàn toàn cách cháng minh của dịnh lý Mittag-Leffler, dó là dùng lý thuyết bó: xȃy dựng các mầm hàm dịa phmơng và chỏng minh cỏc mầm hàm cú thễ dỏn lại dmợc nhờ dối dồng diều bêc 1 của bú triằt tiȇu.
Bài toán nâng ánh xạ tfi da dĩa dối xfíng hóa
Bài toán này dmợc nhiều ngmời quan tȃm là vì nó có cơ sở thực tế là bài toán xuất phát tà lý thuyết diều khiễn mạnh (tiếng Anh: Robust control theory), ta cú thễ tham khảo bài tỗng quan của N. Ý tmởng của hai tác giả là chuyễn dỗi bài toán Nevanlinna-Pick phỗ về bài toán n®i suy trong da dǐa dối xáng hóa, với hi vọng rằng: da dǐa dối xáng húa là miền bị ch°n, siȇu lồi và hyperbolic v.v.
S6 lGỢc các nghiên cfíu về bài toán nâng không có diều kiằn dạo hàm
Trong này, chúng tȏi xin phép khȏng trình bày chi tiết dịnh nghǐa của các số di, ta chỉ cần hiễu dơn giản là các số di là các số d°c trmng cho dạng Jordan của ma trên A1 (cǔng chớnh là B0 nhm dǎ bàn ở trȇn, nhmng vỡ lý do trựng ký hiằu nȇn tại dú chỳng tȏi thay dỗi chỳt cho tiằn trỡnh bày). Thomas quan tȃm tới cȏng thác nȃng kiễu nhm này là nó cho phép giải quyết cả bài toán nȃng tại nhiều diễm, và nó phục vụ cả d®ng cơ nghiȇn cáu tính liȇn tục của hàm Lempert trong quả cầu phỗ.Tuy nhiȇn, chúng tȏi chỉ ra rằng công thúc nâng dó chỉ có thể hoạt d®ng ở chiều n ≤ 5 và thất bại ở chiều n ≥ 6.
S6 lGỢc cỏc nghiờn cfớu về bài toỏn nõng cú diều kiằn dạo hàm bêc nhất
• Cỏch tiếp cên mới cần thống nhất cả hai bài toỏn nȃng cú và khȏng cú diều kiằn dạo hàm, chỏ khȏng coi hai bài toỏn này là riȇng biằt. Chỳng tȏi chỉ têp trung nghiȇn cỏu bài toỏn nȃng dịa phmơng với hy vọng rằng nếu giải quyết trọn vẹn bài toán nȃng dịa phmơng, thì ta có thễ giải quyết dmợc bài toán nȃng toàn cục theo cách làm của R.
Cỏch tiếp cên bài toỏn nõng cú diều kiằn dạo hàm bêc nhất trong chiều n = 4
Diều này húa ra cǔng khȏng quỏ khú khăn: nếu ta cú thễ tỡm dmợc mđt nghiằm{Bk} cú dạng Bk là cỏc ma trên chỉ gồm dỳng mđt dũng khỏc 0, thỡ sự hđi tụ dmợc dảm bảo, do dǎy Bk sě bị chi phối bởi mđt quan hằ hồi quy tuyến tớnh và ta có thễ dánh giá dmợc chuẫn của chúng. Để làm diều này, chỳng tụi phải tỡm mđt ma trắn B2 thớch hợp sao cho hạn chế của LB ,B ,B lờn khụng gian con của Cn,n, gồm cỏc ma trắn cú dỳng dòng cuối khác 0, có hạng cüc dại, túc là có hạng bằng n.
Về sfi không tồn tại các dGďng cong E−Brody giďi hạn
Dẫn nhêp
Hàm dđ dài là khỏi niằm tỗng quỏt hơn khỏi niằm metric, nhmng nú sě khȏng liȇn quan gì tới chúng ta ở dȃy, ta có thễ tham khảo bài báo của ba tác giả [7] cho dịnh nghǐa dó. Dễ cho tiằn, chỳng tȏi nhắc lại dịnh nghǐa họ chuẫn tắc và tớnh phȃn kỳ compact, các dịnh nghǐa này có thễ tìm thấy ở trong các bài báo [8] ho°c [7].
Sfi không tồn tại các dGďng cong Brody giďi hạn
Lmu ý rằng nếu chúng tȏi viết Ep(→v), thì diều dó có nghǐa là d® dài của vector tiếp xúc →v tại diễm p theo metric E. Ký hiằu O là bú cỏc hàm chỉnh hỡnh trȇn C và I là bú cỏc hàm chỉnh hỡnh trȇn C nhên αj là khȏng diễm cú bêc lớn hơn 1.
Bài toán nâng ánh xạ tfi da dĩa dối xfíng hóa không có diều
Các dộng c6 nghiên cfíu và các phát biểu
Phmơng pháp dmợc phát triễn ở Mục 2.5 hoạt d®ng trong m®t số trmờng hợp khỏc (vớ dụ khi cỏc ma trên nđi suy cú mđt giỏ trị riȇng duy nhất), nhmng nói chung thất bại dối với các chiều tà 6 trở lȇn, nhm dmợc cháng minh trong Mục 2.7. Trong ngȏn tà ớt ky thuêt hơn, nếu A cyclic, và nếu B thỏa mǎn rằng sự tồn tại ỏnh xạ nȃng của ϕ tà da dǐa dối xỏng húa qua (A, B), nhên giỏ trị cyclic trà B, dmợc d°c trmng húa bởi mđt số hǎu hạn cỏc diều kiằn lȇn các giá trị của ϕ và các dạo hàm của nó (tại m®t số diễm thích hợp của nó), khi dú ta cú dmợc tớnh liȇn tục bđ phên của hàm Lempert dối với dối số thỏ nhất tại (A, B).
Cỏc diều kiằn cần
Ta cǔng có thễ diến giải dj = dj(B) nhm là số nguyȇn d nhỏ nhất sao cho cú mđt têp S của d vector trong Cn với tớnh chất rằng cỏc l°p lại của S bởi B sinh ra m®t khȏng gian con của Cn với chiều khȏng bé hơn j (ta sě khȏng cần d°c trmng này, và vì thế chúng tȏi khȏng trình bày cháng minh). Núi riȇng, diều này núi rằng tất cả cỏc diều kiằn cần cú thễ cú mà cú thễ nhên dmợc tà biễu hiằn của Φ trong mđt lȃn cên α ∈ D dều dmợc vét cạn bởi (2.2).
Một công thfíc cho ánh xạ nâng
Cȏng thỏc sau dma ra mđt nghiằm "phȃn hỡnh" cho bài toỏn nȃng: tỏc là mđt số cỏc hằ số của ma trên dmợc cho bởi cỏc thmơng và cú thễ cú cực. Dmơng nhiȇn, khi các kỳ dị có thễ bỏ dmợc, ta mở r®ng các hàm số theo cách thȏng thmờng và các tính chất dmợc khẫng dịnh bȇn dmới dmợc mở r®ng bằng tính liȇn tục.
Bài toán nâng ánh xạ tfi da dĩa dối xfớng húa cú diều kiằn dạo
Tích hộp
Cỏc ma trên vuȏng cǔng cú thễ coi là cỏc tự dồng cấu của cỏc khȏng gian vector Euclid Cn, do dú tớch hđp cú thễ dmợc dịnh nghǐa cho cỏc ma trên vuȏng. Do ta chủ yếu thao tỏc với cỏc ma trên vuȏng, nȇn chỳng tȏi cung cấp mđt ký hiằu mới.
Nhfing phân tích dầu tiên về bài toán
Mđt nghiằm {Bk}k≥2 của các phmơng trình này khȏng nhất thiết tạo thành m®t ánh xạ chỉnh hình dìa phmơng Φ quanh ζ = 0. Diều dó có nghǐa là ta cần phải xả lý vấn dề h®i tụ của nghiằm.
TrGďng hỢp thfí nhất của B 0
Dễ làm diều này, chỳng tȏi phải tỡm mđt ma trên B2 thớch hợp sao cho hạn chế của LB ,B ,B lȇn khȏng gian con của Cn,n, gồm cỏc ma trên cú dỳng dòng cuối khác 0, có hạng cực dại, tác là có hạng bằng n. Nhmng sự khỏc biằt trong tỡnh huống này là chỳng ta có thȇm m®t phmơng trình theo B2, tác là ta có năm phmơng trình liȇn quan tới B2.
TrGďng hỢp thfí hai của B 0
Quan sát Bảng 3.3, ta suy ra rằng hạng của LB0,B1 bằng 2 khi và chỉ khi các diều kiằn sau dồng thời dmợc thỏa mǎn. Nhên xột rằng ba phmơng trỡnh thỏ nhất là tuyến tớnh theo B2, do dú, viằc giải chỳng dấn tới mđt vài b(2) là biến tự do và mđt vài biến khỏc là biến phụ thuđc vào cỏc biến tự do trong dú cú b(2), dȃy là sự kiằn quan trọng.
TrGďng hỢp thfí ba B 0
Chfớng minh Dịnh lj 3.13 Nhm trong chỏng minh trmớc, cỏc diều kiằn cần là dmơng nhiȇn trà diều kiằn cuối ϕ(5)(0) = 0 mà chỏng minh của nú là tớnh toỏn trực tiếp dmợc hố trợ bởi nhên xột sau. Ta biết là BY là mđt ma trên cú cỏc cđt là tỗ hợp tuyến tớnh của cỏc cđt của B, và X—1B là mđt ma trên cú cỏc hàng là tỗ hợp tuyến tớnh của các hàng của B. Ta cú thễ l°p lại cỏc lý luên ở dú nhmng thay vỡ 5 phmơng trỡnh, ta sě cú 6 phmơng trình mà trong dó 3 phmơng trình dầu tiȇn là tuyến tính và áng với hạng 3 của LB ,B.
Nhm vêy ta sě nhên dmợc phmơng trỡnh thỏ sỏu theo B2, dȃy là phmơng trỡnh bêc ba mà hạng tả bêc ba duy nhất (sai khỏc hằng số nhȃn khỏc 0) là.
Dỏnh giỏ và bàn luên cỏc kết quả
Thomas [13] theo nghǐa: các kết quả dmợc trình bày mà khȏng có biến dỗi nhiều về m°t tọa d® nhm các tác giả trmớc dǎ làm (m°c dù cháng minh thì có sả dụng biến dỗi tọa d®, nhmng kết quả phỏt biễu thỡ khȏng phụ thuđc vào chuyằn dú). Ngoài các kết quả dǎ nȇu, còn chúng tȏi còn tìm ra m®t số kết quả nhỏ lẻ về hạng của dạo hàm DπB0 trong mối liȇn hằ với dạng chớnh tắc hǎu t của B0 và nghiằm hǎu t của bài toỏn nđi suy.
Kết luên
Dǎ liằu {ϕ, B0, B1} nȃng dmợc dịa phmơng khi và chỉ khi cỏc diều kiằn sau dmợc thỏa mǎn. Dǎ liằu {ϕ, B0, B1} nȃng dmợc dịa phmơng khi và chỉ khi cỏc diều kiằn sau dmợc thỏa mǎn.