Nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật chịu tương tác electron-phonon

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN

Chương này trình bày tổng quan về phép chiếu toán tử loại II, bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật, về Hamiltonian của hệ electron-phonon khi có mặt trường ngoài; trình bày tính toán giải tích để thu được biểu thức tenxơ độ dẫn và hàm dạng phổ. (1.4) Ta thấy, phương chiếu được chọn sao cho toán tử P luôn là phương của toán tử chứa trong biểu thức cần khai triển, phương còn lại vuông góc với phương chiếu của P là Q = 1 - P. Ngoài ra, dựa trên hình thức luận Mori, người ta đưa ra nhiều phương pháp chiếu khác nhau, tùy thuộc vào mục đích tính toán, như kỹ thuật chiếu cô lập, kỹ thuật chiếu mật độ cân bằng,.

Nhiều công trình của nhóm Kang, Choi, Sug đã đưa ra phép chiếu độc lập trạng thái [22], [23], trong đó biểu thức của tenxơ độ dẫn chứa các thừa số có thể tính được một cách độc lập với trạng thái. Đặc biệt từ biểu thức của hàm dạng phổ thu được có thể giải thích được quá trình chuyển mức năng lượng của electron kèm theo sự phát xạ hoặc hấp thụ phonon khi điều kiện bảo toàn năng - xung lượng được thỏa mãn. Năm 2008, nhóm Kang, Choi [12] đã đưa ra kĩ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái loại II, so sánh với kĩ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái loại I của nhóm Badjou và Argyres [6] và nhận thấy nhiều ưu điểm vượt trội của phép chiếu loại II này.

Sử dụng loại thế nào là tùy thuộc vào điều kiện của từng bài toán (các giả thiết về cấu hình electron, cấu trúc hình học của dây, nhiệt độ, trường ngoài, ..), yêu cầu thực nghiệm và mức độ phức tạp của hố thế đó. Hamiltonian của hệ electron - phonon trong điện trường Xét một hệ điện tử không tương tác với nhau mà chỉ tương tác với phonon trong một dây lượng tử đặt trong điện trường ngoài biến thiên theo thời gian có dạng. Trong các biểu thức trên,He và Hp là các Hamitonian của hệ electron và hệ phonon tự do;a+η (aη) là toán tử sinh (toán tử hủy) của electron ở trạng thái η với năng lượng εη = hη|he|ηi; b+~q (b~q) là toán tử sinh (hủy) phonon cú vectơ súng ~q, năng lượng ~ω~q.

TR{Jkρ(n)(t)}, (1.23) trong đó TR là phép lấy vết nhiều hạt (many-body trace) , h.i là kí hiệu trung bình thống kê và toán tử dòng của hệ nhiều electron Jk được viết dưới dạng khai triển theo các toán tử dòng của một electron jk.

Biểu thức độ rộng vạch phổ

TÍNH GIẢI TÍCH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ. Với toán tử sinh hủy electron, ta có. Với toán tử sinh hủy phonon, ta có. BT )]−1 là hàm phân bố Fermi-Dirac của electron ở trạng thái |αi; εF là năng lượng Fermi ở nhiệt độ T;. BT)−1]−1 là hàm phân bố Bose-Einstein của phonon có năng lượng ~ω~q. Biểu thức hàm dạng phổ (2.10) có thể tính cụ thể từ khai triển các số hạng và tính trung bình thống kê theo toán tử mật độ. Tám số hạng này sẽ cho đóng góp bằng 0 vì trị trung bình của hai toán tử cùng sinh phonon hoặc cùng hủy phonon bằng không.

Đối với 4 số hạng còn lại khác 0, ta tính cụ thể cho một số hạng rồi suy ra tương tự cho các số hạng còn lại. Mỗi số hạng trong (2.20) thể hiện một quá trình tương tác giữa các hạt và sự dịch chuyển electron giữa các mức. Chẳng hạn với số hạng thứ tư, fη(1−fα) thể hiện quá trình một electron ở trạng thái trung gian η chuyển về trạng thái ban đầu α.

Mẫu số thể hiện quá trình chuyển mức tuân theo định luật bảo toàn năng lượng, nghĩa là εη − ~ω~q −~ω¯ = εα. Nghĩa là các electron hấp thụ hoặc phát xạ một photon có năng lượng ~ω¯ rồi dịch chuyển giữa các mức cơ bản α, β và mức trung gian η kèm theo hấp thụ hoặc phát xạ một phonon có năng lượng ~ω~q. Trong hình 2.1, các dấu mũi tên thẳng nằm ngang chỉ phonon năng lượng ~ωq và mũi tên lượn sóng chỉ photon năng lượng ~ω.

Để thu được biểu thức độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật có thế cao vô hạn ta cần tính tường minh yếu tố ma trận tương tác electron-phonon. Trong biểu thức độ rộng vạch phổ ở phương trình (2.24) có chứa tổng theo trạng thái của electron |ηi và tổng theo vectơ sóng phonon. Do |ηi ≡ |nη, kηzi nên ta phân tích tổng theo |ηi thành tổng theo chỉ số mức năng lượng nη và tổng theo vectơ sóng kzη (P.

Ngoài ra, vectơ sóng electron và phonon là những đại lượng được xem một cách gần đúng là liên tục nên phép lấy tổng có thể chuyển thành các tích phân như sau. (2.28) Thành phần vectơ sóng phonon ~q xuất hiện trong yếu tố ma trận tương tác electron-phonon, còn thành phần vectơ sóng electron kη xuất hiện trong các hàm phân bố electron và trong đối số hàm Delta ở biểu thức độ rộng vạch phổ. Để tính tường minh biểu thức tốc độ hồi phục ở phương trình (2.24) ta tiến hành lấy tích phân theo ~q, nghĩa là tính tổng P.

Để tính số hạng SH1, ta phải lấy tổng theo tất cả các trạng thái trung gian, nghĩa là ta phải lấy tổng theo tất cả các số lượng tử nηx, nηy. Từ kết quả này ta có thể lập trình để tính số và khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ hồi phục vào các thông số của dây lượng tử hình chữ nhật và trường ngoài.

KHẢO SÁT SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Khai bỏo biến T-nhiệt độ, Lx, Ly, Lz-kích thước dây lượng tử, ω-tần số trường ngoài. Thiết lập các hàm số như hàm phổ năng lượng của electron ở trạng thái có vectơ sóng k và hàm phân bố phonon Nq. Ta lần lượt khảo sát sự phụ thuộc của tenxơ độ dẫn, độ rộng vạch phổ và công suất hấp thụ vào các biến của nó.

Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số trường ngoài. Từ đồ thị ta nhận thấy, khi nhiệt độ tăng thì số lượng đỉnh cộng hưởng không đổi nhưng độ cao của các đỉnh cộng hưởng tăng lên. Điều đó có nghĩa là nhiệt độ không làm ảnh hưởng đến hiệu ứng dò tìm cộng hưởng electron - phonon.

Kết quả này có thể nhận thấy bằng giải tích, vì trong đối số của các hàm Delta - Dirac mô tả sự bảo toàn năng xung lượng không có. Mặc dù chưa có kết quả thực nghiệm để so sánh nhưng ta thấy đồ thị có dáng điệu tương tự như đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon trong cấu trúc hố lượng tử, của nhóm tác giả Nam Lyong Kang và Sang Don Choi [17] (hình vẽ bên phải). Từ đồ thị ta nhận thấy, khi giảm dần kích thước của dây thì số lượng đỉnh cộng hưởng không đổi mà chỉ làm thay đổi độ cao của đỉnh cộng hưởng.

Điều này được lý giải là do khi thay đổi kích thước của dây lượng tử, khoảng cách giữa hai mức năng lượng của electron thay đổi, do đó độ cao của đỉnh cộng hưởng electron-phonon thay đổi. Có nhiều giá trị của kích thước dây tại đó xảy ra cộng hưởng là do qui tắc lọc lựa giữa các trạng thái khác nhau khi chỉ số vùng con trong dây lượng tử thay đổi. Khảo sát sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ và kích thước của dây.

So sánh với đồ thị mô tả sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ trong cấu trúc hố lượng tử ứng với bề rộng hố Lz= 4 nm của nhóm tác giả Nam Lyong Kang và Sang Don Choi [17], ta thấy hình dạng của chúng là tương tự nhau (hình vẽ bên phải). Từ đồ thị ta thấy, khi tăng dần kích thước của dây (giảm dần tần số trường ngoài) thì nửa độ rộng vạch phổ giảm dần. Điều đó có nghĩa là sự thay đổi của nửa độ rộng vạch phổ phụ thuộc mạnh đồng thời vào tần số trường ngoài và kích thước của dây, do đó ta có thể thay đổi kích thước của dây vừa thay đổi tần số trường ngoài để dò tìm cộng hưởng.