Giáo trình Toán rời rạc cho ngành Công nghệ thông tin

Thuật toán cho các phép tính số nguyên

Tiếp tục quá trình này bằng cách cộng các bit tương ứng trong hai khai triển nhị phân và số nhớ để xác định bit tiếp sau tính từ bên phải trong khai triển nhị phân của tổng a+b. Do đó, ta có thể nhận được (abj)2j bằng cách dịch khai triển nhị phân của abj đi j chỗ về phía trái, tức là thêm j số không vào cuối khai triển nhị phân của nó.

Thuật toán đệ quy

Cơ sở của phép đếm, tổ hợp, chỉnh hợp

• Cơ sở của phép đếm
• Trong số những người có mặt trên trái đất, phải tìm được hai người có hàm răng giống nhau. Nếu xem mỗi hàm răng gồm 32 cái như là một xâu nhị phân có chiều dài
• Chỉnh hợp, tổ hợp
• Sinh các hoán vị và tổ hợp
• Hệ thức truy hồi
• Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Có bao nhiêu xâu nhị phân như thế có độ dài bằng 5?

Rừ ràng trong phũng khụng thể đồng thời cú người cú số người quen là 0 (tức là khụng quen ai) và có người có số người quen là n − 1 (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành n −1 nhóm. Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất 2 người, tức là luôn tìm được ít nhất 2 người có số người quen là như nhau. 2) Trong một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu mỗi ngày ít nhất 1 trận nhưng chơi không quá 45 trận. Chứng minh rằng tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận. Gọi aj là số trận mà đội đã chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j. Do đó theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 trong 60 số này bằng nhau. 3) Chứng tỏ rằng trong n + 1 số nguyên dương không vượt quá 2n, tồn tại ít nhất một số chia hết cho số khác. Vì vậy, nếu ki ≤ kj thì aj chia hết cho ai còn trong trường hợp ngược lại ta có ai. chia hết cho aj. Thí dụ cuối cùng trình bày cách áp dụng nguyên lý Dirichlet vào lý thuyết tổ hợp mà vẫn quen gọi là lý thuyết Ramsey, tên của nhà toán học người Anh. Nói chung, lý thuyết Ramsey giải quyết những bài toán phân chia các tập con của một tập các phần tử. Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau. Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của A hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều này suy ra từ nguyên lý Dirichlet tổng quát, vì ]5/2[ = 3. Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D là bạn của A. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người B, C, D không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau. Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của A. Chỉnh hợp, tổ hợp. Cho X là một tập hợp gồm n phần tử, và r là một số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n. Mỗi phép chọn r phần tử phân biệt của X theo một thứ tự nào đó sẽ cho ta một chỉnh hợp n chọn r. Nói cách khác, ta có thể xem một chỉnh hợp như là một dãy hay một bộ gồm r phần tử phân biệt được chọn từ n phần tử cho trước. Chỉnh hợp 3 chọn 3 nầy còn được gọi là một hoán vị của 3 phần tử. Công thức chỉnh hợp. Chứng minh: Mỗi chỉnh hợp của n phần tử chọn r tương ứng với một phép chọn ra r phần tử phân biệt gồm r bước chọn liên tiếp nhau, và ở mỗi bước ta chọn một phần tử. Phần tử thứ nhất của chỉnh hợp có thể được chọn theo n cách vì có n phần tử trong tập hợp. đã chọn ở lần thứ nhất trong việc chọn). Định nghĩa 1: Hệ thức truy hồi (hay công thức truy hồi) đối với dãy số {an} là công thức biểu diễn an qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy. Dãy số được gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này. Sau 30 năm anh ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình?. Gọi Pn là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm. Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n − 1 năm cộng lãi suất của năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau:. 2) Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Có bao nhiêu xâu nhị phân như thế có độ dài bằng 5?. Gọi an là số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp. Để nhận được hệ thức truy hồi cho {an}, ta thấy rằng theo quy tắc cộng, số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp bằng số các xâu nhị phân như thế kết thúc bằng số 1 cộng với số các xâu như thế kết thúc bằng số 0. Vậy chúng có tất cả là an-1. Trong trường hợp này chúng có tất cả là an-2. Cuối cùng ta có được:. Định nghĩa 2: Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số là hệ thức truy hồi có dạng:. Theo nguyên lý của quy nạp toán học thì dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi nêu trong định nghĩa được xác định duy nhất bằng hệ thức truy hồi này và k điều kiện đầu:. Phương pháp cơ bản để giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất là tìm nghiệm dưới dạng an = rn, trong đó r là hằng số. Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi, nghiệm của nó gọi là nghiệm đặc trưng của hệ thức truy hồi. Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an. Ví dụ: 1) Tìm công thức hiển của các số Fibonacci.

Đồ thị

• Khái niệm
• Bậc của đỉnh
• Đơn đồ thị đặc biệt
• Biểu diễn đồ thị bằng ma trận
• Tính liên thông

Tuy nhiên, nhiều bài toán với số lượng tính toán rất lớn như bài toán mô phỏng thời tiết, tạo hình trong y học hay phân tích mật mã không thể giải được trong một khoảng thời gian hợp lý nếu dùng thuật toán nối tiếp ngay cả khi dùng các siêu máy tính. Nếu như trong số các đỉnh kề với v tìm được đỉnh w là chưa được xét thì ta sẽ xét đỉnh này (nó sẽ trở thành đã xét) và bắt đầu từ nó ta sẽ bắt đầu quá trình tìm kiếm còn nếu như không còn đỉnh nào kề với v là chưa xét thì ta nói rằng đỉnh này đã duyệt xong và quay trở lại tiếp tục tìm kiếm từ đỉnh mà trước đó ta đến được đỉnh v (nếu v=v0, thì kết thúc tìm kiếm).

Cây

• T không chứa chu trình nhưng khi thêm một cạnh mới thì có được một chu trình duy nhất
• Cây nhị Phân

Mặt khác, u và v phải là hai đỉnh treo, vì nếu một đỉnh, u chẳng hạn, không phải là đỉnh treo thì u phải là đầu mút của một cạnh (u,x), với x là đỉnh không thuộc đường đi từ u đến v. Các điều sau là tương đương:. 5) Giữa hai đỉnh phân biệt bất kỳ của T luôn có duy nhất một đường đi sơ cấp. 6) T không chứa chu trình nhưng khi thêm một cạnh mới thì có được một chu trình duy nhất. Ta chứng minh bằng quy nạp. Điều này hiển nhiên khi n=2. Thật vậy, trong T nếu ta xoá một đỉnh treo và cạnh treo tương ứng thì đồ thị nhận được là một cây k đỉnh, cây này có k−1 cạnh, theo giả thiết quy nạp. 2)⇒3) Nếu T có chu trình thì bỏ đi một cạnh trong chu trình này thì T vẫn liên thông. Làm lại như thế cho đến khi trong T không còn chu trình nào mà vẫn liên thông, lúc đó ta được một cây có n đỉnh nhưng có ít hơn n−1 cạnh, trái với 2). Hơn nữa, khi bỏ đi một cạnh thì T hết liên thông, vì nếu còn liên thông thì T là một cây n đỉnh với n−2 cạnh, trái với điều đã chứng minh ở trên. 4)⇒5) Vì T liên thông nên giữa hai đỉnh phân biệt bất kỳ của T luôn có một đường đi sơ cấp, nhưng không thể được nối bởi hai đường đi sơ cấp vì nếu thế, hai đường đó sẽ tạo ra một chu trình và khi bỏ một cạnh thuộc chu trình này, T vẫn liên thông, trái với giả thiết. 5)⇒6) Nếu T chứa một chu trình thì hai đỉnh bất kỳ trên chu trình này sẽ được nối bởi hai đường đi sơ cấp. Ngoài ra, khi thêm một cạnh mới (u,v), cạnh này sẽ tạo nên với đường đi sơ cấp duy nhất nối u và v một chu trình duy nhất. 6)⇒1) Nếu T không liên thông thì thêm một cạnh nối hai đỉnh ở hai thành phần liên thông khác nhau ta không nhận được một chu trình nào.

Giới thiệu bài toán ứng dụng