Cực trị của hàm số bậc 4 - Định lý Viét

Cực trị của hàm số

Bước 2 : Với từng giá trị củamvừa tìm được, thử lại xem x0có đúng là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) khi và chỉ khi phương trìnhy′ =0có hai nghiệm phân biệt. Chú ý : Hàm bậc 4 có số điểm cực tiểu nhiều hơn cực đại thìa>0và số điểm cực đại nhiều hơn cực tiểu thìa<0.

Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) khi và chỉ khi phương trìnhy′ =0có hai nghiệm phân biệt. - Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là điểm cực đại, điểm nào là điểm cực tiểu thì ta cần lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị. - Với bài toán có vai trò của điểm cực đại và điểm cực tiểu là như nhau thì ta thường dùng định lí Viét.

Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định. Chứng minh rằng với mọimhàm số luôn có cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số là trái dấu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

Tìmmđể hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thẳngy= x−1. Chứng minh rằng với mọimđồ thị hàm số có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không đổi. Với những giá trị nào của tham sốathì đồ thị hàm số ấy có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của hệ trục tọa độ.

Tìmmđể hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nhỏ hơn3. Tìmmđể hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng2x+y−1=0.

Tiệm cận

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiệm cận xiên đồ thị các hàm số trên chắn trên hai trục tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 với các tiệm cận của đồ thị các hàm số trên. Chứng minh rằng khiMdi động trên(C)thì tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

Chứng minh không có tiếp tuyến nào của(C)đi qua giao điểm của hai tiệm cận. Tìmmđể đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Tìmαđể khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất.

Tìmmđể(C)có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tạiAvàBsao cho tam giácOABcó diện tích bằng 4.

Tâm đối xứng và trục đối xứng. Điểm thuộc đồ thị

Tìm điểm Mtrên(C) sao cho khoảng cách từM đến đường thẳngy = x−1là bằng √2, biết điểm Mcó tung độ dương.

Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị

Từ(C0)chuyển sang(C2)bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của(C0)qua trục hoành. Từ(C0) chuyển sang(C3)bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung của (C0)qua trục tung. Từ(C0)chuyển sang(C4)bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳngx= 1, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x=1của(C0)qua trục hoành.

Từ(C0)chuyển sang(C5)bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳngx= −2, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x=−2của(C0)qua trục hoành. Từ(C0)chuyển sang(C6)bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳngx= −1, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x=−1của(C0)qua trục hoành.

Bài toán về sự tương giao

Tìmmđể đường thẳngy=mcắt đồ thị hàm số trên tại hai điểmA,Bthỏa mãn OA⊥OB. Xác định đường thẳng d song song với đường thẳng y= x+5và cắt(C)tại hai điểmB,Csao cho tam giácABCđều.

Sự tiếp xúc của hai đường cong và tiếp tuyến

Tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số và viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm đó. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng tiếp tuyến đó là tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất. Tìm tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến đó với các trục tọa độ và với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Tìm điểmMtrên(C)sao cho tiếp tuyến tạiMcắt hai trục tọa độ tại hai điểm A,Bvà tam giácOABcân. Tìm các điểm trên(C)có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Chứng minh rằng tại mọi điểm của(C)tiếp tuyến luôn cắt hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

Xác địnhmđể(C)cắt trụcOxtại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Xác địnhmđể(C)cắt trụcOxtại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn luôn đi qua một điểm cố định.

Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hai điểm ấy vuông góc với nhau. Yêu cầu bài toán là viết phương trình tiếp của đồ thị hàm sốy= f (x)biết tiếp tuyến đi quaA(xA; yA). Tìm các điểm Mtrên trục tung để từ đó kẻ được tiếp tuyến đến(C)song song vớid : y=−3.

Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến đến(C). Với những giá trị nào củamthì đồ thị của hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất.

Hàm số trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Tìmmđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. Tìmmđể hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ các điểm cực tiểu của(Cm)đến tiệm cận xiên của(Cm)bằng 1. Tìmmđể hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độOtạo thành một tam giác vuông tạiO.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệtAvàBvà tam giácOABcân tại gốc tọa độO. Viết phương trình tiếp tuyến∆của(C)tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆là tiếp tuyến của (C)có hệ số góc nhỏ nhất. Chứng minh rằng vớimbất kì, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng √20.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị(C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểmI(1; 2)với hệ số góck(k >−3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệtI,A,Bđồng thờiIlà trung điểm của đoạnAB. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳngy= 1 6x−1.

(b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳngd : y=4x+2. Tìm các giá trị củamđể đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.

Tìmmđể đồ thị(Cm)có cực đại tại điểmAsao cho tiếp tuyến với(Cm)cắt trụcOytại Bmà tam giácOBAvuông cân. Viết phương trình tiếp tuyến với(C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trụcOx.

Bài tập tổng hợp

Tìmmđể đồ thị(Cm)có cực trị tại hai điểmA,Bsao cho đường thẳngABđi qua gốc toạ độO. Viết phương trình tiếp tuyếndcủa(C)sao chodvà hai tiệm cận của(C)cắt nhau tạo thành một tam giác cân. Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểmE(1;−2).

Tìmkđể đường thẳngdcắt(C)tại hai điểm phân biệt khácB sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khim=1. (a) GọiAvàBlà 2 điểm cực đại và cực tiểu của(C)và Mlà điểm bất kỳ trên cungABvới MkhácA,B.

Chứng minh rằng trên(C)ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tạiMvới(C). (c) TìmE∈∆để quaEcó ba tiếp tuyến với(C)và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. (d) Địnhpđể trên(C)có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.

(i) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với(Cm)thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. (b) Trong trường hợp đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này. Trong trường hợp này hãy chứng tỏ tiếp tuyến với(C−1)tại Msẽ vuông góc vớiI M.