Biến đổi Fourier và Ảnh hưởng của Độ trễ Thời gian trong Hệ thống Trường ĐHBK TPHCM

Một số đặc tính của biến đổi Fourier

Xét sóng coswtđược dời đi t0 được cho bởi cosw(t-t0)=cos(wt-wt0). Do đó, khi dời sóng sin có tần số w đi t0 theo thời gian tạo ra độ dời pha wt0. Đây là hàm tuyến tính theo w, tức là các thành phần tần số cao hơn phải có độ dời pha cao hơn nhằm có được cùng thời gian trễ. Hiện tượng này được vẽ trong hình 4.20 với hai sóng sin, tần số sóng vẽ bên dưới có tần số gấp đôi sóng vẽ phía trên. Với cùng thời gian trễ t0 tạo độ dời pha là p/2 cho sóng phía trên và dời. pha p cho sóng phía dưới. Điều này cho thấy một thực tế là để đạt được cùng thời gian trễ, các sóng sin tần số cao phải có độ dời pha cao hơn. Nguyên tắc về dời pha tuyến tính rất quan trọng và ta sẽ khảo sát lại trong ứng dụng truyền tín hiệu không méo và lọc. Tìm biến đổi Fourier của e-at-t0. Quan sỏt thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tớnh -wt0. Thớ dụ này làm rừ thờm ảnh hưởng của dời theo thời gian. Tìm biến đổi Fourier của e-at-t0. Quan sỏt thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tớnh -wt0. Thớ dụ này làm rừ thờm ảnh hưởng của dời theo thời gian. Nhưng phổ pha có thêm thừa số wt/2. Dùng đặc tính dời theo thời gian vào các cặp 18, chứng minh là biến đổi Fourier của )]. Ta thấy là để có cùng thời gian trễ td với mỗi thành phần tần số thì cần trễ pha tuyến tính là wtd (hình 4.20). Phương trình này cho thấy thời gian trễ do truyền tín hiệu qua hệ thống với đáp ứng pha có độ dốc ).

Mạch lọc lý tưởng và mạch lọc thực tế

Hệ thống auđiô có thể có pha phi tuyến, nhưng độ méo tín hiệu do các hệ thống auđiô thực tế ghi nhận được với độ thay đổi lớn nhất của độ dốc ÐH(w)thường chỉ là vài phần của miligiây. Méo pha cũng rất quan trọng trong thông tin số do đặc tính pha phi tuyến của kênh truyền làm xung bị tán xạ (phân bố ra), là, xung gây nhiễu lên các xung lân cận, tao sai số cho máy thu: bit 1 sẽ được đọc là 0, và ngược lại. Tuy nhiên, nếu H(w)=0 tai một tần số (hay tập các tần số rời rạc), thì tích phân trong phương trình (4.61) có thể vẫn còn hữu hạn dù thành phần lấy tích phân là vô hạn.

Theo quan điểm miền tần số, các kỹ sư này xem hệ thống là mạch lọc, với tính truyền chọn lọc một số thành phần tần số và loại trừ các tần số khác [đáp ứng tần số H(w)]. Cả miền thời gian và miền tần số đều cần cho nghiên cứu tín hiệu và hệ thống như người ta phải có hai mắt để cảm nhận tốt tín hiệu thực, con người có thể nhìm với một mắt, nhưng để cảm nhận đúng ãnh thực ba chiều thì đòi hỏi phải dùng hai mắt. Nếu ta dùng miền tần số để xác định đáp ứng của hệ thống, ta cần các tín hiệu được biểu diễn theo phổ (biến đôi Fourier) và mọi hệ thống được viết theo hàm truyền.

Năng lượng tín hiệu

Ta cũng thấy là phổ tín hiệu điều chế tập trung tại wc gồm hai phần: một phần nằm trên wc, được gọi là biên tần trên (USB: upper side band), và phần nằm dưới wc được gọi là biên tần dưới (LSB: lower side band). Kết quả này cho thấy là khi tín hiệu tần số nền (tin tức) là một sóng sin có tần số wm, tín hiệu được điều chế gồm hai thành phần sòng sin: thành phần tần số wc +wm (biên tần trên) và thành phần tần số wc-wm(biên tần dưới). Quan sát thấy nếu phổ của tín hiệu được điều chế trong hình 4.31c, có chứa các thành phần phổ nền (baseband) mong muốn và thành phần phần phổ không mong muốn tại ±2wc, và có thể loại dùng mạch lọc thông thấp.

Thí dụ, nếu tần số sóng mang tại mỏy phỏt và mỏy thu chỉ sai nhau 1 Hz, thỡ ngừ ra là tớn hiệu mong muốn m(t) nhõn với tín hiệu thay đổi theo thời gian có độ lợi từ tối đa đến 0 từng nửa giây. Phương pháp đầu tiên là phương phá p lọc – chọn dùng bộ lọc với độ chọn lọc cao để loại các biên tần không mong muốn, và phương pháp thứ hai dùng mạng dịch pha để thực hiện mục tiêu trên. May mắn là tín hiệu thoại (tiếng nói) cung cấp được điều kiện này, do có phổ vẽ ở hình 4.39 cho thấy là các thành phần có tần số thấp hơn 300 Hz là không quan trọng, tức là ta có thể triệt các thành phần tần số âm thoại thấp hơn 300 HZ mà không làm ảnh hưởng đến thông tin.

Điều chế góc

Do tần số sóng mang luôn duy trì trong băng tần có độ rộng là 2Dw radian/s, ta có thể nói là phổ có được là năm trong băng tần này và băng thông của tín hiệu điều chế góc là 2Dw không?. Một linh kiện khác có thể dùng giài điều chế FM là mạch điều hợp (tuned circuit) có tần số cộng hưởng được chọn trên hay dưới tần số sóng mang của tín hiệu FM cần giải điều chế. Hiện nay, vòng khóa pha (PLL: phase - locked loop) ưu việt hơn so với các phương pháp đã thảo luận trước đây (đặc biệt trong điều kiện môi trường có nhiều nhiễu) càng trở nên phổ biến trong bộ giải điều chế góc do có giá thành ngày càng thấp.

Trong chương 5, ta sẽ thảo luận về phương pháp ghép kênh dùng cách phân chia theo thời gian (TDM), với nhiều tín hiệu được truyền theo cách phân phối thời gian trên một kênh truyền, như cáp hay cáp quang. Trong phương pháp ghép kênh dùng cách phân chia theo tần số (FDM: Frequency Division Multiplexing), qua việc dùng phương pháp điều chế với nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu đượ điều chế với tần số sóng mang khác nhau, để chia sẻ băng thông của kênh truyền như vẽ trong hình 4.45. Tại máy thu, tín hiệu thu trước hết được giải điều chế dùng sóng mang RF để khôi phục tín hiệu hỗn hợp băng nền, rổi đưa qua bộ lọc thông dải để tách từng tín hiệu được điều chế.

Giới hạn tín hiệu: Hàm cửa sổ

Một ảnh hưởng là yếu tố rải phổ, tức là nếu f(t) có hai thành phần phổ tần số cách nhau ít hơn 4p/Trad/s (2/T Hz), nên không thể phân biệt được chúng khi tín hiệu có giới hạn. Trong chương 3, ta đã biết là phổ Fourier giảm theo 1/w cho tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, và giảm theo 1/w2với tín hiệu có đạo hàm bậc nhất gián đoạn, v.v.,. Thí dụ, trong các độ rộng cửa sổ, thì cửa sổ vuông có rải phổ bé nhất (độ rộng búp chính), nhưng lại có búp biên độ có biên độ cao nhất và giảm chậm nhất.

Ta chủ định chọn biến x do giới hạn cửa sổ có thể thực hiện trong miền thời gian cũng như trong miền tần số; nên x có thể là t hay w, tùy theo ứng dụng. Giới hạn hàm h(t) dùng cửa sổ thích hợp (hình 4.48a) cho phép thực hiện mạch lọc này, dù mạch lọc có được là dạng xấp xỉ của mạch lọc lý tưởng cần có. Phổ của mạch lọc có giới hạn cho thấy tính rải phổ tại rìa, và thay vì có thay đổi đột ngột ta có chuyển tiếp từ từ từ dải dẫn sang dải ngưng của mạch lọc.

BÀI TẬP

(b) Kiểm nghiệm lại kết quả bằng cách tìm biến đổi Fourier của các thành phần hàm chẵn và hàm lẻ của các tín hiệu sau: (i) u(t) (ii) e-atu(t). Bài tập này cho thấy các đặc tính quan trọng của hệ thống nhân quả: là phần thực và phần ảo quan hệ với nhau trong hàm truyền của hệ thống nhân quả. Chứng từ hàm truyền này là khụng thực hiện được trong thực tế dựng cỏc tiờu chuẩn trong miền thời gian [hàm h(t) không nhân quả và các tiêu chuẩn trong miền tần số (Paley-Wiener). Bộ lọc này có thể thực hiện xấp xỉ không với việc chọn t0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn riêng về xấo xỉ của bạn để xác định t0. Là không thực hiện được. Có thể thực hiện mạch xấp xỉ khi cho t0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn xấp xỉ của bạn để xác định t0. Hướng dẫn: chứng từ và đỏp ứng xung là khụng nhõn quả. 4.5-3 Xác định xem các bộ lọc với hàm truyền sau là thực hiện được trong thực tế. Nếu không thực hiện được, thì có thể thực hiện chúng một cách chính xác hay xấp xỉ bằng cách cho thời gian trễ hữu hạn trong đáp ứng?. Kiểm nghiệm kết quả bằng cách tìm năng lượng Ef từ ).

4.6-3 Tớn hiệu thụng thấp f(t) được đưa qua linh kiện cú tớnh bỡnh phương. Chứng từ là nếu. Hướng dẫn: Nếu. 4.6-4 Tổng quát hóa định lý Parseval để chứng minh là với tín hiệu thực, có biến đổi Fourier ). Xác định băng thông chủ yếu B Hz của f(t) sao cho năng lượng chứa trong các thành phần phổ của f(t) có tần số thấp hơn B Hz là 99% của năng lượng tín hiệu Ef. (b) Xác định phổ tín hiệu tại điểm b và c, và cho biết dải tần số của các phổ trên (c) Cho biết giá trị tối thiểu để wc còn được dùng?.