MỤC LỤC
Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0.
Ta sử dụng bất đẳng thức Chebyschev kết hợp với phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Nói cách khác, ta sẽ chứng minh rằng, nếu các số thực a, b, c lớn hơn 1 thoả mãn.
Như đã nói ở trên, tính chất quan trọng nhất của các biểu thức đối xứng ba biến là vai trò bình đẳng giữa các biến, và do đó ta có thể sắp xếp lại theo một trật tự tuỳ ý giá trị các biến số đó trong chứng minh. Việc giải các bài toán bất đẳng thức có những biến số được sắp xếp theo một thứ tự nào đó là rất thuận tiện và có thể tổng quát hoá được. Trong mục này, ta nghiên cứu việc chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến với kĩ thuật tạo ra các bộ ba số đồng thứ tự.
Việc nghiên cứu các biểu thức đối xứng có thể được quy về bằng việc nghiên cứu các đa thức đối xứng được chứng minh qua định lí sau. Định lí cơ bản của đại số: Mọi đa thức đối xứng luôn có thể biểu diễn qua các đa thức đối xứng sơ cấp. Như vậy tất cả các bất đẳng thức đối xứng ba biến số đều có thể quy về các hàm đối xứng cơ bản của.
Trong phần này, ta sẽ lần lượt xét các bài toán bất đẳng thức, từ dễ đến khó, có thể giải theo đường lối này. Sau khi viết bất đẳng thức cần chứng minh theo p, q, r, ta chỉ cần khảo sát bất đẳng thức này theo ba biến mới p, q, r. Điểm mạnh nhất của phương pháp này là xử lý được những bất đẳng thức đối xứng ba biến, chặt và khó, vì ta không thực hiện nhiều phép ước lượng trung gian thô và điều đó cũng có nghĩa là ta phải làm việc với nhiều bước tính toán nhất là trong bài toán dạng phân thức hoặc bậc cao.
Từ kết quả trên đây, người ta có thể áp đặt điều kiện để xây dựng các bất đẳng thức đối xứng ba biến có điều kiện. Cũng dựa vào các kết quả cơ bản trên, ta đi xem xét các bài toán bất đẳng thức đối xứng ba biến giải theo đường lối này. Định lí này có ứng dụng với hầu hết các bất đẳng thức ba biến, một điều thật may mắn và rất ngạc nhiên là mọi hàm đối xứng ( , , )f a b c thỏa mãn.
Trước khi vào một số ví dụ cụ thể của phương pháp này chúng ta chú ý một số đẳng thức thường được sử dụng trong quá trình phân tích. Áp dụng hai đẳng thức trên vào khai triển ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. Các bất đẳng thức cổ điển ta đã biết như bất đẳng thức AM-GM, Cauchy Schwarz, Holder, Chebyshev, Schur,…, đều là các bất đẳng thức dạng đồng bậc.
Dựa trên tính đồng bậc, tính bình đẳng giữa các biến số, ta sẽ sắp thứ tự và chọn phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất, từ đó giảm biến số. Với cách làm này ta giải quyết được một lớp các bất đẳng thức bốn biến số, để dưa về việc chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến số.
Sử dụng giả thiết ta viết được bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng thần nhất tương đương là. Bất đẳng thức trên không đồng bậc, ta đưa nó về dạng thuần nhất bậc như sau. Nên để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh được.
Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 4 và bất đẳng thức AM-GM, ta có. Do đó bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng và phép chứng minh của ta được hoàn tất. Sử dụng điều kiện ab bc ca+ + =1, ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đồng bậc tương đương là.
Đây chính là bất đẳng thức Schur ở dạng bậc ba nên nó hiển nhiên đúng.
Việc giải được một bài toán hay và khó thực sự là điều rất thú vị, song nếu chúng ta có thể tự mình sáng tạo ra các bất đẳng thức như vậy thì niềm vui còn tăng lên rất nhiều lần, đó cũng là một việc đáng quan tâm và nhiều ý nghĩa. Trong mục này chúng ta sẽ bước đầu làm quen với việc sáng tạo bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức đối xứng ba biến nói riêng. Mở đầu về bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất là bất đẳng thức cực kì nổi tiếng và có nhiều ứng dụng, đó là bất đẳng thức Schur.
Ta đã biết bất đẳng thức trên thường được phát biểu dưới dạng quen thuộc hơn như. Một cách tự nhiên, ta xem xét mở rộng tương tự bất đẳng thức trên. Với mọi số thực không âm a, b, c, liệu có tồn tại một hằng số k sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng.
Không tồn tại một hằng số k nào thoả mãn, và do đó cũng không có hằng số nhỏ nhất. Cả hai kết quả thử nghiệm trên đều dẫn đến một kết quả phủ định. Mục đích bây giờ là ta sẽ thêm đại lượng chứa a b c2 2 2 vào biểu thức vế trái, và giảm hệ số 2 đến mức nhỏ nhất có thể được để có một bất đẳng thức đúng.
Như vậy với việc mở rộng bất đẳng thức Schur bậc ba ta tìm ra được một bất đẳng thức mới. Thật dễ dàng, ta chứng minh được bất đẳng thức này một cách hoàn toàn tương tự như trên. Chứng minh rằng với mọi a, b, c thực và phân biệt ta luôn có bất đẳng thức.
Việc sử dụng liên tiếp các hằng đẳng thức và thêm bớt các biểu thức một cách hợp lí đã giúp chúng ta tạo ra những bất đẳng thức mới khá đẹp mắt.
Điều độc đáo và cũng là điều khó nhất của kĩ thuật này là việc chuẩn hoá biểu thức nào cho hợp lí nhất để có chứng minh đơn giản nhất. Chẳng hạn trong ví dụ trên, ta hoàn toàn có thể giả sử bất kì một biểu thức nào khác. Nói chung, những bài bất đẳng thức có một vế là tổng của ba phân thức như trên là rất khó hoặc không thể đánh giá được từng phân thức.
Trong nhiều trường hợp thì việc chuẩn hoá các điều kiện còn giúp chúng ta tạo ra những bất đẳng thức mới đẹp hơn về mặt hình thức. Dựa vào điều kiện bài toán dễ dàng thấy bất đẳng thức này hiển nhiên đúng. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy ngược chiều ta suy ra đpcm.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz và giả thiết bài toán ta suy ra đpcm. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều trên ta suy ra được điều phải chứng minh. Nếu p≥ 2 áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 3 ta cũng có ngay điều phải chứng minh.