Phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT thông qua phối hợp rèn luyện kỹ năng giải phương trình với dạy học Đại số và Giải tích

Tư duy hàm

Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó, trong sự vận động của chúng. Với cách hiểu này, tư duy hàm không chỉ cần đối với nhà khoa học mà nó cũng rất cần thiết đối với người lao động, nó là yếu tố quan trọng trong văn hoá Toán học giúp người lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và tư duy.

Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học phương trình

Mặc dù vậy, ta vẫn hình thành cho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải phương trình (dù trong trường hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ có tác dụng kiểm tra kết qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết quả công việc, một trong những đức tính cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho đều là nghiệm của phương trình mới nhận được, như vậy phép biến đổi phương trình không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phương trình đã cho là tập con của tập nghiệm của phương trình thu được, nghiệm ngoại lai nếu xuất hiện sẽ rơi vào phần mở rộng của tập xác định.

RÈN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO CÁC TƯ TƯỞNG CHỦ ĐẠO CỦA TƯ DUY HÀM

Bên cạnh việc luyện tập cho học sinh áp dụng thành thạo một quy tắc tổng quát nào đó áp dụng cho mọi bài toán cùng loại, cần lựa chọn một số bài toán dựa vào sự phân tích tính đặc thù riêng có thể giải được bằng phương pháp riêng đơn giản hơn khi áp dụng giải theo quy tắc tổng quát. Bên cạnh các dạng toán đã có sẵn thuật giải như SGK đã trình bày, cần hình thành cho học sinh thói quen tự tìm tòi các dạng phương trình, bất phương trình (nếu có thể) từ bài toán cụ thể, đề xuất bài toỏn tổng quỏt, xõy dựng qui tắc làm, rừ ràng xỏc định. Nhấn mạnh cho học sinh thấy rừ vấn đề quan trọng của việc rốn luyện kỹ năng biến đổi phương trình, hầu như khi tiến hành giải phương trình, người ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về phương trình đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến phương trình đã biết cách giải, có thể biến đổi phương trình đó về phương trình tương đương với phương trình đã cho hoặc là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi nói chung, kỹ năng biến đổi phương trình nói riêng, đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm chắc các khái niệm cơ bản và kiến thức cơ sở, coi trọng học cỏc khỏi niệm, hiểu rừ những điều cốt lừi của khỏi niệm, hiểu được cỏch vận dụng chỳng để giải bài tập và đề phũng những sai lầm thường gặp. Sau khi học sinh liệt kê một số dạng đồng nhất thường gặp khi biến đổi phương trình vô tỷ, giáo viên cần giúp học sinh ý thức được việc biến đổi phương trình khi áp dụng phép biến đổi đồng nhất có thể làm thay đổi tập nghiệm, cũng có thể làm mở rộng hoặc thu hẹp tập nghiệm, tùy thuộc quá trình biến đổi chúng ta tách hoặc gộp các biểu thức có làm thay đổi tập xác định của bài toán không?. Có hàng lớp các bài toán mà việc giải chúng có nhiều cách khác nhau, thậm chí có cả thuật giải để giải từng dạng toán đó, nhưng đối với từng bài cụ thể nếu ta chịu khó xem xét sự biểu hiện các mối liên hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán, tìm được sự đối lập tương đối, giữa các biểu thức thành phần, sự tương ứng giữa các giá trị của các biểu thức đó với điều kiện của bài toán và sự tương ứng giữa các giá trị của ẩn x với giá trị của các biểu thức khi đánh giá, ta có thể nhanh chóng tìm ra đáp số của bài toán.

Đồng thời ý thức đựoc sự tương quan giữa tính có nghiệm của phương trình ban đầu với phương trình sau khi chuyển đổi, tránh thói quen áp đặt yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ thì bài toán trên còn có cách giải khác (dĩ nhiên trong bài toán này việc tìm điều kiện cho ẩn phụ không dễ dàng gì nên chọn cách làm ở trên vẫn hơn). Việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán về bài toán tương đương bằng cách đặt ẩn phụ, cần rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn phụ có lập luận, có căn cứ chặt chẽ, tránh đưa ra những nhận định về điều kiện của ẩn phụ một cách cảm tính thiếu cơ sở chặt chẽ như t 3= x 1+ thì điều kiện là t > 0. Trong trường hợp này, nếu ta lờ đi việc đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc đặt có điều kiện cho ẩn phụ nhưng không chính xác (điều kiện của ẩn phụ quá rộng hoặc quá hẹp) đều dẫn đến việc giải bài toán sai ngay từ bước đầu khi chuyển đổi bài toán thậm chí bế tắc không tìm ra được hướng giải.

Nếu không ý thức được mối quan hệ giữa miền biến thiên của ẩn phụ với miền xác định x của bài toán, lãng quên điều kiện của ẩn phụ thì học sinh sẽ lúng túng khi chuyển đổi bài toán hoặc giữ nguyên yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu áp đặt sang bài toán đối với ẩn phụ tức là chuyển đổi sai bài toán. Như vậy, ở bài toán này sau khi xác định được phương pháp giải bài toán bằng ẩn phụ, dùng bảng biến thiên để tìm điều kiện của ẩn phụ và một lần nữa dùng bảng biến thiên để tìm tập giá trị của hàm số cho bởi ẩn phụ với điều kiện xác định của ẩn phụ.