MỤC LỤC
Như chúng ta đã biết phương pháp quy nạp toán học được sử dụng để giải những bài toán khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực của toán học, trong chương này khóa luận sẽ trình bày một số dạng toán thường gặp trong chương trình phổ thông giải bằng phương pháp quy nạp. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học Trong số học các phép chia hết cho ta rất nhiều tính chất về số nguyên. Biểu thức trong dấu ngoặc vuông thứ nhất chia hết cho ak1 (theo giả thiết quy nạp). Như vậy bài toán đúng với nk1. Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. Bài giải Bước cơ sở:. Bước quy nạp:. Ta chứng minh bài toán đúng với nk1 nghĩa là chứng minh:. Cần chứng minh bài toán đúng với nk2. Vậy bài toán đúng nlà số tự nhiên lẻ. Cần chứng minh bài toán đúng với nk2. Vậy bài toán đúng n là số tự nhiên chẵn. Với dạng toán tìm n chữ số tận cùng của một số thật ra là đi tìm số dư của số đó khi chia cho 10n. Ta sẽ chứng minh Ak1 cũng có chữ số tận cùng là 7. Thật vậy, do Ak có chữ số tận cùng là 7 nên tồn tại số nguyên dương m để. Chứng minh rằng xn 1n. cũng là một số nguyên với mọi số nguyên dương n. Bước quy nạp: Giả sử với mọi số nguyên dương từ 1 đến k, biểu thức xk 1k. Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. Chứng minh rằng. Ta chứng minh bài toán đúng với nk1, nghĩa là chứng minh:. Thật vậy khai triển biểu thức trên ta có:. Nhóm thứ nhất theo giả thiết quy nạp là số nguyên, còn các nhóm sau đều nguyên. Suy ra tổng của chúng là số nguyên. Theo nguyên lí quy nạp toán học bài toán đúng với mọi n. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán đại số Phương pháp quy nạp toán học không những vận dụng vào giải các bài toán thuộc lĩnh vực số học mà trong lĩnh vực đại số, việc vận dụng phương pháp này cũng được thể hiện rất phong phú. Đặc biệt là vận dụng vào giải các dạng toán như chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức. Dưới đây khóa luận xin trình bày một số ví dụ về sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh các bài toán đại số trong chương trình THPT. b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. b) Từ kết quả của câu a ta có thể dự đoán.
Bất đẳng thức này đúng ( do a b và akbk có cùng dấu), suy ngược lại bất đẳng thức ta cần chứng minh là đúng và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán giải tích Trong chương trình THPT, chúng ta đã quen với ba phân môn: số học, đại số và hình học. Việc giải các dạng toán thuộc phân môn giải tích sẽ được áp dụng nhiều phương pháp và một trong số đó không thể không nhắc đến phương pháp quy nạp toán học.
Các bài tập liên quan đến dãy số hay tính đạo hàm cấp cao tưởng chừng như rất khó khăn, nhưng sử dụng phương pháp quy nạp như một chìa khóa để mở ra các bài toán này. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán hình học Phương pháp quy nạp toán học không chỉ được áp dụng để giải quyết các bài toán số học, đại số, giải tích,… mà còn được áp dụng để giải quyết các bài toán hình học. Trong hình học phương pháp quy nạp toán học được vận dụng vào nhiều mục đích như tính toán, chứng minh, tìm quỹ tích và đặc biệt là dựng hình, hay những bài toán liên quan đến số lượng điểm, đường thẳng, độ lớn góc, các đa giác lồi….
Bước cơ sở: Với n1 , vì hình vuông là đa giác lồi nên có thể chia hình vuông thành 4 tam giác (hình 6a) bởi các đường nằm trong hình vuông. Thật vậy, với nk, giả sử ta có thể chia hình vuông thành 2k2 tam giác mà các đỉnh tam giác nằm trong k điểm hoặc các tam giác nằm bên trong hình vuông. Phương pháp quy nạp là phương pháp chứng minh cổ điển, là một trong những công cụ được sử dụng đắc lực trong giải toán, không chỉ dừng lại ở các bài toán cơ bản mà còn vận dụng khá nhiều trong các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán học quốc tế.
Trong chương này khóa luận đã nghiên cứu, hệ thống và trình bày lời giải chi tiết các bài toán phong phú về ứng dụng của phương pháp quy nạp trong các phân môn khác nhau của Toán học: số học, đại số, giải tích và hình học. Trong quá trình thực hiện khóa luận việc ứng dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải khá nhiều bài toán rất khó trở nên khá đơn giản và dễ hiểu, nếu chúng ta giải hay chứng minh theo phương pháp thông thường thì rất khó khăn và phức tạp. Tuy nhiên trong quá trình làm bài cũng gặp một số khó khăn và khó khăn chủ yếu là trong bước quy nạp toán học, khi mệnh đề giả sử đã đúng cho.
Khóa luận đã trình bày một số nội dung lý thuyết liên quan đến quy nạp trong toán học như: quy nạp và quy nạp toán học, quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn, nguyên lý quy nạp toán học có chứng minh, giới thiệu một số kỹ thuật vận dụng vào giải toán cũng như đưa ra các ví dụ minh họa. Khóa luận đã thống kê, hệ thống một số bài toán giải chi tiết sử dụng phương pháp quy nạp ở từng ứng dụng cụ thể trong các các phân môn khác nhau của Toán học: số học, đại số, giải tích và hình học. Vì trong khuôn khổ của một khóa luận nên tôi chỉ khai thác một số dạng toán hay gặp trong chương trình toán phổ thông.
Các bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp còn rất nhiều dạng nhưng trong bài khóa luận này tôi chỉ trình bày một phần nhỏ.