Sắp xếp TopoDAG trong Đồ thị định hướng không chứa chu trình

Đường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn

Thuật toán được trình bày sau đây là thuật toán Dijkstra (mang tên E. Dijkstra, người phát minh ra thuật toán). Ta xác định đường đi ngắn nhất từ đỉnh nguồn s tới các đỉnh còn lại qua các bước, mỗi bước ta xác định đường đi ngắn nhất từ nguồn tới một đỉnh. Tại mỗi bước ta sẽ chọn một đỉnh u không thuộc S mà D[u] nhỏ nhất và thêm u vào S, ta xem D[u] là độ dài đường đi ngắn nhất từ nguồn tới u (sau này ta sẽ chứng minh D[u] đúng là độ dài đường đi ngắn nhất từ nguồn tới u).

Bước trên đây được lặp lại cho tới khi S gồm tất cả các đỉnh của đồ thị, và lúc đó mảng D[u] sẽ lưu độ dài đường đi ngắn nhất từ nguồn tới u, với mọi u∈V. Trong thuật toán trên đây, chúng ta mới sử dụng mảng D để ghi lại độ dài đường đi ngắn nhất từ nguồn tới các đỉnh khác. Muốn lưu lại vết của đường đi, ta sử dụng thêm mảng P, trong đó P[v] = u nếu cung (u,v) nằm trên đường đi đặc biệt.

Giả sử rằng tại một thời điểm nào đó ta đã có D[a] là độ dài đường đi ngắn nhất từ nguồn tới a, với mọi đỉnh a ∈ S, và u là đỉnh được chọn bởi lệnh (2) trong thuật toán để bổ sung vào S. Từ đó bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được nhận xét sau: Nếu a là đỉnh bất kỳ trong S và b là đỉnh bất kỳ ngoài S thì D[b] <=. Giả sử ta có một đường đi bất kỳ từ nguồn s tới u, độ dài của nó được ký hiệu là d(s,u).

Như vậy ta đã chứng minh được D[u] nhỏ hơn hoặc bằng độ dài d(s,u) của đường đi bất kỳ từ nguồn s tới u. Trong thuật toán Dijkstra, tại mỗi bước ta cần chọn một đỉnh u không nằm trong S mà D[u] là nhỏ nhất (lệnh (2)), và sau đó với các đỉnh v còn lại không nằm trong S, D[v] có thể bị giảm đi bởi lệnh (3). Phép toán DecreaseKey chỉ cần thời gian O(log(|V|) khi ta cài đặt hàng ưu tiên P bởi cây thứ tự bộ phận (xem 12.2).

Tổng kết lại, thời gian chạy của thuật toán Dijkstra, nếu ta sử dụng hàng ưu tiên được cài đặt bởi cây thứ tự bộ phận, là O(|V|log|V| + |E|log|V|).

Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh

Trong mỗi lần lặp đó, nhiều nhất là một phép toán DecreaseKey (lệnh(6)) được thực hiện. Gọi Ak(i,j) là độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh i tới đỉnh j nhưng chỉ đi qua các đỉnh trong tập Sk. Trước hết ta có nhận xét rằng, nếu đỉnh k nằm trên đường đi ngắn nhất từ đỉnh i tới đỉnh j, thì đoạn đường từ i tới k và đoạn đường từ k tới j phải là đường đi ngắn nhất từ i tới k và từ k tới j tương ứng.

Muốn lưu lại vết của đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh, trong thuật toán Floyd ta sử dụng thêm mảng P, trong đó P[i][j] lưu đỉnh k nếu đường đi ngắn nhất từ i tới j tìm được bởi thuật toán Floyd đi qua đỉnh k.

Thuật toán Prim

Tiếp tục phát triển cây T cho tới khi U = V, ta nhận được T là cây bao trùm. Để thấy thuật toán Prim làm việc như thế nào, ta hãy xét đồ thị trong hình 18.8a. Chúng ta sẽ chứng minh rằng, cây bao trùm T được xây dựng bởi thuật toán Prim là cây bao trùm ngắn nhất.

Giả sử T’ là một cây bao trùm ngắn nhất và T’ không chứa cạnh (u,v) của cây T. Chúng ta sẽ biến đổi cây T’ thành cây T1 chứa cạnh (u,v) sao cho T1 cũng là cây bao trùm ngắn nhất. Bây giờ chúng ta xét xem cần phải cài đặt tập V - U như thế nào để có thể thực hiện hiệu quả hành động (1) trong thuật toán Prim.

Sau đó trong mỗi bước lặp của thuật toán Prim, ta loại đỉnh v có khoá nhỏ nhất khởi hàng ưu tiên và thêm cạnh (near[v],v) vào tập T. Sau khi đỉnh v được bổ xung vào U thì với các đỉnh còn lại w trong hàng ưu tiên, khoá của nó có thể giảm, cần phải cập nhật. Chúng ta có thể mô tả thuật toán Prim một cách cụ thể hơn như sau.

Chúng ta có nhận xét rằng, dòng điều khiển của thuật toán Prim trên là giống hệt thuật toán Dijkstra, do đó ta có thể kết luận rằng, nếu sử dụng hàng ưu tiên trên được cài đặt bởi cây thứ tự bộ phận, thì thời gian chạy của thuật toán Prim cũng là O(|V|log|V| + |E|log|V|).

Thuật toán Kruskal

Thời gian chạy của thuật toán này phụ thuộc vào cách cài đặt họ các tập con không cắt nhau bởi các cây hướng lên (up-tree) (xem mục 13.3). Ta cần chứng minh rằng, cây T được xây dựng bởi thuật toán Kruskal là cây bao trùm ngắn nhất. Nếu cây T còn có cạnh không thuộc cây T1, thì bằng cách trên ta lại biến đổi T1 thành T2.

Áp dụng thuật toán đi qua đồ thị theo bề rộng và theo độ sâu cho đồ thị này khi xuất phát từ đỉnh a, đưa ra thứ tự các đỉnh được thăm cho mỗi cách duyệt. Sử dụng kỹ thuật đi qua đồ thị theo bề rộng, hãy đưa ra thuật toán để trả lời cho câu hỏi: đồ thị có liên thông không, nếu không thì đồ thị có mấy thành phần liên thôn và mỗi thành phần gồm các đỉnh nào?. Sử dụng kỹ thuật đi qua đồ thị theo độ sâu, hãy đưa ra thuật toán để cho biết đỉnh w có đạt tới từ đỉnh v không, và nếu có thì cho biết đường đi ngắn nhất từ v tới w.

Vẽ ra cây được tạo thành và cho biết cung nào là cung cây, cung tiến, cung ngược, cung xiên?. Hãy đưa vào hàm DFS( ) các lệnh để gắn nhãn cho các cung (mỗi cung có thể là cung cây, cung tiến, cung ngược hoặc cung xiên). Sử dụng kỹ thuật đi qua đồ thị theo độ sâu, hãy viết thuật toán để cho biết đồ thị có chu trình không, nếu có thì cần cho biết đó là các chu trình nào?.

Hãy đưa ra thuật toán tìm đường đi ngắn nhấy từ tất cả các đỉnh khác tới đỉnh đích v. Thuật toán tìm đừơng đi ngắn nhất Dijkstra chỉ áp dụng cho đồ thị có trọng số không âm. Hãy đưa ra một đồ thị có chứa cung với trọng số âm, nhưng không chứa chu trình âm mà thuật toán Dijkstra cho ra kết quả sai.

11.Giả sử ta cần tìm đường đi dài nhất từ một đỉnh nguồn tới các đỉnh còn lại của đồ thị.