MỤC LỤC
Định nghĩa: Tập hợp M gồm mọi tổ hợp lồi của một số hữu hạn điểm cho trước được gọi là một đa diện lồi sinh bởi hệ điểm đã cho. Như vậy định lý này cho chúng ta biết được một tính chất quan trọng của đa diện lồi, đó là số đỉnh cực biên của một đa diện lồi cho trước là hữu hạn.
Áp dụng định lý đối với miền ràng buộc thì ta có: Do nên theo định lý, nếu (tức là bài toán (I) có phương án) thì D có đỉnh cực biên (bài toán (I) có phương án cực biên). Định lý: Nếu bài toán (I) có phương án thì sẽ có phương án cực biên, và nếu hàm mục tiêu bị chặn dưới trong thì bài toán sẽ có phương án tối ưu, do đó có phương án cực biên tối ưu.
Nếu thì ta luôn có thể bổ xung thêm ( véctơ cột khác của để được một hệ véctơ độc lập tuyến tính cực đại gồm đủ véctơ, nghĩa là ta tìm được tập gồm đủ chỉ số sao cho hệ. Như vậy nếu bài toán QHTT là không suy biến thì số cơ sở nhiều nhất là (vì lấy m véctơ từ véctơ), do đó số phương án cực biên của bài toán QHTT nhiều nhất cũng chỉ là.
Ta thấy rằng nếu dịch chuyển các đường mức song song các đường mức theo hướng véctơ pháp tuyến của chúng thì giá trị của mức sẽ tăng, nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị mức sẽ giảm. Vì vậy chúng ta có thể giải bài toán đặt ra theo cách như sau: Bắt đầu từ một đường mức cắt D, ta dịch chuyển đường mức theo hướng ngược với hướng véctơ cho đến khi nào việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đường mức không cắt D nữa thì dừng.
Vì tập hợp các phương án cực biên là hữu hạn nên ta có thể tìm một phương án tối ưu (hay một lời giải của bài toán). Vì số phương án cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước lặp ta sẽ tìm thấy phương án tối ưu hoặc phát hiện ra rằng bài toán không có phương án tối ưu hữu hạn.
Để có thể tiến hành các bước tiếp theo, ta cần xác định các đại lượng tương ứng và trong cơ sở. Chúng cho phép dựa vào kết quả bước trước để tìm tất cả các yếu tố cần thiết cho việc thực hiện các bước sau của thuật toán đơn hình.
Định lý: Nếu bài toán QHTT là không suy biến thì thuật toán đơn hình sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước. Sau mỗi bước lặp, nếu không xảy ra trường hợp hàm mục tiêu không bị chặn thì ta sẽ tìm được một phương án mới thực sự tốt hơn phương án cũ, tức là không bao giờ trở lại phương án đã đi qua.
Ta thấy và mọi phần tử trên cột 4 đều âm. Do đó ta kết luận hàm mục tiêu của bài toán không bị chặn dưới trong miền ràng buộc. Bài toán không có lời giải hữu hạn. TÍNH HỮU HẠN CỦA THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH 3.1. Trường hợp bài toán không suy biến. Định lý: Nếu bài toán QHTT là không suy biến thì thuật toán đơn hình sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước. nghĩa là thực sự tốt hơn. Sau mỗi bước lặp, nếu không xảy ra trường hợp hàm mục tiêu không bị chặn thì ta sẽ tìm được một phương án mới thực sự tốt hơn phương án cũ, tức là không bao giờ trở lại phương án đã đi qua. Nhưng vì số phương án cực biên là hữu hạn nên sau hữu hạn bước lặp ta sẽ tìm được. phương án cực biên tối ưu. Khi đó nên , thực chất ta vẫn đứng ở đỉnh cũ, chỉ có cơ sở J được thay đổi. Đến bước lặp tiếp theo vẫn có thể xảy ra tình huống đó. a) Sau một số bước nào đó ta may mắn thoát khỏi đỉnh và chuyển sang một đỉnh mới tốt hơn. b) Không rời khỏi được đỉnh. Định lý: Khi áp dụng thuật toán đơn hình giải bài toán QHTT (I) trong mỗi bước ta đều chọn véctơ đưa ra khỏi cơ sở bằng phương pháp tự vựng thì không bị xoay vòng và thuật toán kết thúc sau hữu hạn bước.
Tuy nhiên trong thực tế không có gì đảm bảo được điều này cả, thậm chí có thể miền ràng buộc là rỗng, vậy thì làm sao mà tìm được phương án cực biên xuất phát?. - Trường hợp 2: Nếu trên dòng ( của bảng đơn hình cuối cùng mà ta tìm được chỉ số k ngoài cơ sở mà thì ta thực hiện phép biến đổi bảng đơn hình với phần tử xoay chính là để đưa k vào cơ sở thay cho.
Hơn nữa, nếu là phương án tối ưu của (I) thì cũng là phương án tối ưu của (M). Định lý sau đõy khẳng định rừ điều này:. a) Nếu bài toán (I) có phương án thì mọi phương án cực biên tối ưu của bài toán (M) phải có. Tuy nhiên, khi giải bài toán (M) thì cần chú ý một số điểm sau:. a) Trong khi giải bài toán (M) thì ta không quan tâm đến giá trị cụ thể của. Chỉ biết rằng nó là một số vô cùng lớn. b) Vì hàm mục tiêu của bài toán (M) phụ thuộc vào nên các ước lượng trong thuật toán đơn hình cũng phụ thuộc vào M.
Vậy là phương án tối ưu của bài toán (Q). Từ các kết quả này thì người ta đã chứng minh được định lý sau đây:. a) Nếu bài toán (P) có phương án tối ưu thì bài toán (Q) cũng có phương án tối ưu là và ngược lại. b) Nếu hàm mục tiêu f x( ) của bài toán gốc (P) không bị chặn dưới thì bài toán đối ngẫu (Q) không có phương án. c) Nếu hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu (Q) không bị chặn trên thì bài toán gốc (P) không có phương án. d) Nếu là phương án tối ưu của bài toán gốc (P) với cơ sở tương ứng là J thì là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu (Q), trong đó. Hệ quả: Cặp phương án là phương án tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu (P), (Q) khi và chỉ khi.
Biết rằng mỗi đơn vị thực phẩm thứ chứa đơn vị chất dinh dưỡng i và giá thành đơn vị tiền (. Hãy lập một thực đơn sao cho trong bữa ăn đảm bảo có ít nhất đơn vị chất dinh dưỡng thứ. mà giá thành rẻ nhất. Gọi là số đơn vị thực phẩm loại dùng trong bữa ăn. Bài toán trên dẫn về bài toán QHTT sau: Tìm véctơ sao cho. Trong thực tế, nhiều trường hợp có thể hoặc thậm chí thay thế một số thực phẩm bằng thuốc bổ. Bây giờ ta xét công việc kinh doanh của một chủ sản xuất thuốc bổ. Gọi là giá một đơn vị chất dinh dưỡng thứ chứa trong thuốc bổ của nhà sản xuất thuốc. Khi đó nhà sản xuất cần định được giá. y ii = m) sao cho nếu bà nội trợ dùng thuốc thay thực phẩm thì giá thành của một thực đơn không đắt hơn khi dùng thực phẩm mà nhà sản xuất có doanh thu cao nhất. - Nếu thì , tức là nếu nhà sản xuất định giá dương cho một đơn vị thuốc bổ thứ thì bà nội trợ sẽ tìm cách giảm tối thiểu chất dinh dưỡng thứ i trong khẩu phần ăn.
Hỏi rằng nhà thám hiểm cần lấy các loại đồ vật nào và số lượng bao nhiêu để cho tổng giá trị sử dụng của các đồ vật mang theo là nhiều nhất?. Xuất phát từ thành phố người du lịch muốn đi qua tất cả các thành phố khác, mỗi thành phố đi đúng một lần rồi quay trở lại thành phố xuất phát.
- Mọi phương án chấp nhận được của bài toán (1)-(4) đều phải thoả mãn (tức là nó không cắt đi bất kỳ phương án chấp nhận được nào của bài toán xuất phát). - , nghĩa là nó cắt bỏ phương án tối ưu của bài toán QHTT ở bước trước ra khỏi miền ràng buộc của bài toán QHTT ở bước sau.
Sau đây ta sẽ tìm hiểu một siêu phẳng cắt thoả mãn tất cả các điều kiện đó do nhà toán học Gomory đề xuất. Nghĩa là nếu bài toán (1)-(4) thoả mãn các điều kiện của định lý thì thuật toán cắt Gomory sẽ dừng sau hữu hạn bước lặp và sẽ trả về nghiệm tối ưu hoặc kết luận bài toán không có nghiệm tối ưu. Một số ví dụ. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng ta thu được bảng đơn hình:. x = ) là nghiệm tối ưu của bài toán QHTT nhưng chưa là nghiệm nguyên.
Tuy vậy để thực hiện được sơ đồ nhánh cận thì ta phải xây dựng cách phân hoạch các tập và tìm được thủ tục tính cận dưới. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một thuật toán dựa trên sơ đồ này để giải bài toán QHTT nguyên do hai nhà toán học Land và Doig đề xuất.
Như vậy khi k đủ lớn thì ta sẽ phân hoạch tập D ra thành các tập con chỉ có một phần tử (do là tập hữu hạn). Do đó thuật toán sẽ kết thúc sau hữu hạn bước. Tuy vậy để thực hiện được sơ đồ nhánh cận thì ta phải xây dựng cách phân hoạch các tập và tìm được thủ tục tính cận dưới. Đây là hai vấn đề cần được xem xét. Chúng ta không thể có một công thức chung để tìm chúng mà phải tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một thuật toán dựa trên sơ đồ này để giải bài toán QHTT nguyên do hai nhà toán học Land và Doig đề xuất. Thuật toán nhánh cận Land-Doig giải bài toán QHTT nguyên. Khi đó ta có thuật toán giải nó như sau:. a) Bước chuẩn bị : Giải bài toán QHTT tương ứng với thu được phương án tối ưu. Chú ý: Việc giải bài toán QHTT tương ứng với các bài toán thì ta có thể dùng thuật toán đơn hình hoặc phương pháp hình học hoặc một phương pháp nào đó.
Chúng ta sẽ xét phương pháp đưa hệ phương trình tuyến tính với các hệ số và biến số nguyên về một phương trình tương đương là tổ hợp tuyến tính của các phương trình đã cho. * Chú ý: Ta có thể chọn các tham số là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thoả mãn một trong các điều kiện sau.
Sau đây ta sẽ xét một phương pháp khá hiệu quả giải bài toán cái túi. Giá trị bằng chỉ số lớn nhất của biến số dương trong phương án tối ưu.