Dạy học phương pháp hàm số giải phương trình, bất phương trình ở trường phổ thông: Một số sai lầm thường gặp và thực trạng vận dụng phương pháp này của học sinh

Nội dung dạy học PT, BPT ở trường phổ thông

Vị trí và tầm quan trọng của nội dung PT, BPT trong chương trình toán học ở nhà trường phổ thông. PT, BPT là một trong những khái niệm quan trọng của toán học. Theo Ănghen: Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai số lượng, giữa hai đại lượng là những quan hệ cơ bản. Lý thuyết PT đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu, phát triển thành lý thuyết đại số, số học và nó còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác của toán học. Người ta nghiên cứu không chỉ là những PT đại số mà còn cả các PT vi phân, PT tích phân, PT toán lý, PT hàm…. PT và BPT là một trong những nội dung chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình môn toán ở nhà trường phổ thông. với PT và BPT dưới dạng ẩn tàng là các bài toán điền vào chỗ trống, so sánh…. Có thể nói, xuyên suốt từ lớp 1 cho đến lớp 12, nội dung PT và BPT xuất hiện ở mọi cấp học, bậc học và mọi lớp học. Do đó, trình bày lý thuyết PT, BPT một cách hợp lý cũng là một yêu cầu của cải cách giáo dục [19]. Triển khai dạy học PT, BPT qua các lớp ở trường phổ thông. Căn cứ vào nội dung chương trình môn toán ở nước ta hiện nay, chúng ta có thể thấy:. Trước khi học tường minh về PT và BPT, HS ở bậc tiểu học cũng đã được làm quen một cách ẩn tàng với những bài toán về PT và BPT. Ở lớp 1, HS được làm quen với các bài toán về PT, BPT dưới dạng “điền vào ô trống”. x b trên tập hợp số tự nhiên. Khái niệm PT và BPT được định nghĩa ở lớp 7, sau đó được định nghĩa lại ở lớp 10. Các kiến thức về PT và BPT như quan hệ tương đương, quan hệ hệ quả giữa hai PT và hai BPT, giải PT và BPT được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng lớp và có phần lặp đi lặp lại, nâng cao dần từ lớp 8 đến lớp 10. HS được dần dần làm quen với từng loại PT, BPT thích ứng với những yếu tố lý thuyết đã học. - Lớp 8: HS được học khái niệm PT, ẩn số, nghiệm của PT và giải PT, quan hệ tương đương giữa hai PT và BPT. - Lớp 10: Tổng kết và nâng cao những kiến thức về PT mà HS đã được học ở THCS. Các dạng PT tương ứng: PT lượng giác cơ bản, PT bậc nhất, bậc 2 đối với một hàm số lượng giác.. Mục đích yêu cầu trong dạy học PT và BPT ở trường phổ thong Dạy học PT và BPT ở trường THPT nhằm mục đích yêu cầu sau [19]:. - HS nắm vững khái niệm PT, BPT và những khái niệm có liên quan như: Nghiệm của PT, BPT; giải PT, BPT; phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả.. - Thông qua chủ đề PT, BPT cần củng cố và đào sâu cho HS một số kiến thức về tập hợp và lôgic toán như: tập hợp, quan hệ bao hàm, quan hệ giao nhau, các phép toán về tập hợp, giao của các tập hợp, các phép toán lôgíc như kéo theo, tương đương.. - HS có kỹ năng giải PT và BPT, thành thạo với việc giải PT và BPT theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi, xác định. HS có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập PT, BPT thông qua đó rèn luyện khả năng toán học hóa những tình huống thực tế, làm quen với một số bài toán tối ưu đơn giản có vận dụng kiến thức về PT và BPT. - HS biết nhìn nhận khái niệm PT, BPT cả về mặt ngữ nghĩa và cú pháp. HS biết cách giải PT, BPT bằng đồ thị, thông qua đó giúp HS thấy được mối quan hệ giữa nội dung PT, BPT với nội dung hàm số. - HS được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải PT và BPT theo thuật giải hoặc theo một hệ quy tắc xác định. HS được rèn luyện về tính linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những PT theo nội dung, những PT không mẫu mực. - HS được rèn luyện về tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỷ luật trong việc giải PT và BPT theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc. biến đổi xác định được giáo dục về tính cẩn thận, tính chính xác và thói quen tự kiểm tra trong việc giải PT và BPT nói chung. - HS thấy rừ được ý nghĩa thực tế của PT và BPT thụng qua việc giải những bài toán có nội dung vật lý, kỹ thuật và thực tế. Dạy học giải các bài toán về PT và BPT ở trường phổ thông a) Dạy học biến đổi PT và BPT. Nhận xét: Trong lời giải trên, HS đã mắc sai lầm: phép biến đổi từ PT (2) sang PT (3) là không tương đương do đã làm mở rộng miền xác định của PT. Trong khi đó, HS lại không tiến hành thử lại để loại nghiệm ngoại lai. Do đó, lời giải bài toán không chính xác. Vậy khi biến đổi PT mà không thay đổi biến ta cần lưu ý HS những phép biến đổi đồng nhất làm cho biểu thức mở rộng hoặc thu hẹp miền xác định. Khi biến đổi PT có thay đổi biến ta cần lưu ý HS về quan hệ tập xác định của hai PT đối với hai biến. Có vậy thì hai bài toán mới tương đương. Bài toán 1 và bài toán 2 tương đương với nhau, tức là với giá trị m tìm được mà điều kiện bài toán 2 thỏa mãn thì điều kiện bài toán 1 cũng thỏa mãn và ngược lại. b) Giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp. Trong toán học người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu ta xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn đi vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng thì đó là phương diện cú pháp. Nếu ta xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, vào nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biểu diễn thì đó là phương diện ngũ nghĩa. Cả hai phương diện này cần được coi trọng trong việc hình thành phát triển con người toàn diện, bởi vì chúng thể hiện tính linh hoạt, sáng tạo, tính quy củ, hợp lý trong suy nghĩ và hành động. Hai phương diện này cũng phản ánh hai loại hình tư duy quan trọng trong toán học: tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp. Việc dạy học PT, BPT có thể được khai thác để rèn luyện cho HS cả hai loại hình tư duy và hoạt động nói trên. Muốn vậy, ta cần giải quyết hợp lý mối quan hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học PT và BPT. Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng trong dạy học PT, ban đầu cần chú trọng chủ yếu là phương diện ngữ nghĩa, càng về sau càng tăng cường thêm những yếu tố về mặt cú pháp nhưng không được lãng quên mặt ngữ nghĩa [19]. Đến lớp 12, thông qua việc học đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, ta có thể hướng dẫn HS vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải bài toán "so sánh số  với hai nghiệm của PT bậc hai" theo một phương pháp khác chú trong hơn về mặt ngữ nghĩa. Nhờ đó, HS được làm quen với những phương pháp tương ứng mà nhận ra sự cần thiết của phương pháp này. Ta có thể hướng dẫn HS lớp 12 ứng dụng đạo hàm để giải bài toán này. Từ kiến thức về hàm số và đồ thị ta có thể hướng dẫn HS nhận thấy:. Khi HS chưa được học về đạo hàm, GV có thể hướng dẫn HS giải bài toán trên như sau:. Ta có lời giải như sau:. Bảng biến thiên:. Như vậy, ta có thể hướng dẫn HS giải bài toán trên bằng hai cách khác nhau. Theo cách thứ nhất, ta vận dụng cho HS quy tắc có tính thuật giải. Việc làm đó được lặp đi lặp lại nhiều lần với một quy tắc xác định sẽ giúp HS nâng cao được năng lực giải toán về PT, BPT và kỹ năng, kỹ xảo giải PT, BPT được phát triển. Theo cách thứ hai, xuất phát từ nội dung bài toán, trên quan điểm hàm số ta hướng dẫn HS tìm được lời giải. Việc làm đó có tác dụng gây hứng thú học tập, bồi dưỡng khả năng sáng tạo, tư duy linh hoạt, chống máy móc hình thức theo khuân mẫu cho HS. Như vậy, tương ứng với mỗi nội dung tri thức, ta có thể tập luyện cho HS những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp cần được thông báo cho HS trong hoạt động giải toán về PT và BPT. Đây cũng là một trong. những hoạt động quan trọng trong chương trình môn toán ở trường phổ thông cho HS. c) Một số phương pháp giải các dạng toán về PT và BPT.

Một số sai lầm thường gặp khi giải toán PT và BPT bằng phương pháp hàm số

Thực trạng vận dụng phương pháp hàm số để giải một số dạng toán về PT và BPT của HS phổ thông

Qua trao đổi đối với 35 HS của hai lớp 12A2, 12A3 của trường THPT Sáng Sơn, khi gặp một bài toán mà ngoài cách giải thông thường có thể sử dụng phương pháp hàm số, 15/35 HS nghĩ đến sử dụng phương pháp hàm số, 20/35 HS còn lại không biết định hướng giải bài toán theo phương pháp nào hay sử dụng các phương pháp thông thường. Một rào cản cũng khiến GV và HS gặp khó khăn khi sử dụng phương pháp hàm số đó là làm sao để có thể chọn được đúng hàm số cần xét, khi nào, gặp bài toán nào thì có thể sử dụng được phương pháp hàm số?.

Một số kiến thức liên quan giữa hàm số, PT và BPT

Nhưng thực tế nhiều năm giảng dạy cho thấy, khi đã tiếp cận phương pháp hàm số, HS rất có hứng thú học và điểm thi đại học của trường THPT Sáng Sơn cũng đã được cải thiện đáng kể. Sau đó tìm những phần mà đồ thị hàm số y f x( ) nằm trên đồ thị hàm số y g x ( ), lấy hình chiếu của phần đồ thị ấy trên trục hoành thì giao của nó với tập D là nghiệm của BPT.

Vận dụng kết quả nghiên cứu hàm số để giải các bài toán về phương trình và Bất phương trình

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm

• Nội dung thực nghiệm sư phạm 1 Nội dung thực nghiệm sư phạm
• Đánh giá thực nghiệm sư phạm

Việc chọn nội dung dạy thử nghiệm theo các chủ đề trên nhằm mục đích giúp HS nắm chắc các kiến thức đã học một cách hệ thống, có đào sâu và mở rộng, nắm chắc phương pháp giải các dạng toán thường gặp và biết cách vận dụng kiến thức đã học để giải bài tập một cách linh hoạt, sang tạo, đồng thời tạo cho HS thói quen tìm tòi, khám phá và mở rộng các kiến thức, kỹ năng ngoài phạm vi sách giáo khoa. (38 HS) có số lượng HS gần bằng nhau, trình độ nhận thức, kết quả học tập toán khi bắt đầu khảo sát là tương đương nhau. - Lớp đối chứng 12A3 do GV Lê Minh Hoàn đảm nhiệm và được dạy học theo phương pháp truyền thống. - Lớp thực nghiệm 12A2 do GV Nguyễn Hùng Tráng đảm nhiệm và được dạy học theo hướng áp dụng các kết quả nghiên cứu của luận văn. Đánh giá thực nghiệm sư phạm. Sau quá trình tổ chức thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thu được một số kết quả và tiến hành phân tích trên hai phương diện: Đánh giá về mặt định tính và đánh giá về mặt định lượng. Phân tích định tính. Sau quỏ trỡnh tổ chức thực nghiệm sư phạm, chỳng tụi đó theo dừi sự chuyển biến trong hoạt động học tập của HS khi gặp các bài toán về PT, BPT. Chúng tôi nhận thấy lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực hơn so với trước thực nghiệm:. - HS hứng thú trong giờ học Toán: Điều này được giải thích là do trong quá trình học tập, khi gặp các bài toán về PT, BPT, HS đã có thêm một phương pháp, công cụ mới để giải quyết bài toán thuận tiện và gọn gàng hơn. Các em không còn cảm thấy sợ các bài toán về PT, BPT đặc biệt là các bài có chứa tham số. Cũng từ việc sử dụng phương pháp hàm số mà HS có thể giải quyết được thêm một số bài toán về bất đẳng thức, một dạng toán mà rất ít HS dám làm và làm được. - Khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa của HS tiến bộ hơn: Điều này được giải thích là do GV đã chú ý hơn trong việc rèn luyện các kỹ năng này cho HS. - HS đã tập trung chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn: Điều này được giải thớch là do trong quỏ trỡnh nghe giảng, HS phải theo dừi, tiếp nhận nhiều hơn các nhiệm vụ học tập mà GV giao cho, nghe những hướng dẫn, gợi ý, điều chỉnh.. của GV để thực hiện các nhiệm vụ đề ra. - Việc ghi chép, ghi nhớ của HS thuận lợi hơn: Có được điều này là do phương pháp giải toán có quy trình đơn giản, dễ tiếp thu và các dạng toán khác nhau nhưng có thể sử dụng phương pháp tương đối giống nhau để giải quyết. - Việc đánh giá, tự đánh giá bản thân của HS được sát thực hơn: Có được điều này là do trong quá trình dạy học, GV đã cho HS thảo luận giữa thầy. và trò, trò với trò được trả lời bằng các phiếu trắc nghiệm và khả năng suy luận của bản thân. - HS tự học, tự nghiên cứu bài ở nhà thuận lợi hơn: Điều này được giải thích là do trong các tiết học ở trên lớp, GV đã quan tâm tới việc hướng dẫn HS tổ chức việc tự học, tự nghiên cứu ở nhà. Phân tích định lượng. Rèn luyện kỹ năng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của PT. Dạng toán ứng dụng của đạo hàm để giải và biện luận PT, BPT nhằm kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức đã học vào bài toán cụ thể, rèn luyện kỹ năng lập bảng biến thiên, tính GTLN, GTNN của hàm số. b) Kết quả kiểm tra:. Từ các kết quả trên ta có nhận xét sau:. Điểm trung bình chung học tập ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Số HS có điểm dưới điểm trung bình ở lớp thực nghiệm thấp hơn lớp đối chứng và số HS có điểm khá giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Nhìn chung, HS lớp 12A2 đã biết vận dụng các kiến thức về hàm số để giải các bài toán về PT, BPT. Dựa trên kết quả kiểm tra hai lớp ta có thể thấy tuy mới dạy được 10 tiết nhưng kết quả thu được tương đối khả quan và điều này thể hiện rừ tớnh khả thi và hiệu quả của việc hướng dẫn HS sử dụng phương pháp hàm số để giải các bài toán về PT và BPT. Để có thể khẳng định về chất lượng của đợt thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành xử lý số liệu thống kê Toán học. Kết quả xử lý số liệu thống kê thu được như sau:. Nội dung Kiểm tra 45 phút. Thực nghiệm Đối chứng. Điểm trung bình n1 i. điểm xi mà SV đạt đợc).