MỤC LỤC
Phần tử r thuộc vành R được gọi là phần tử khả nghịch phải (trái) nếu như tồn tại r0∈R sao cho. Nếu như tồn tại phần tử nghịch đảo trái và phần tử nghịch đảo phải của r thì chúng bằng nhau và do đó tồn tại phần tử nghịch đảo củar. Như các ví dụ đã chứng minh, tồn tại các phần tử khả nghịch trái, khả nghich phải nhưng không khả nghịch.
Ta xét các vành mà trong đó các phần tử không khả nghịch có cấu trúc đặc biệt. (4) R có một ideal phải (trái) tối đại duy nhất, đó là ideal thực sự lớn nhất. Đầu tiên ta chứng minh mọi phần từ khả nghịch trái (phải) đều khả nghịch.
Một vành thỏa mãn các tính chất tương đương của định lý 2.1.1 được gọi là vành địa phương. ChoR là vành địa phương vàA là ideal của các phần tử không khả nghịch trong R. Mọi vành khác 0 là ảnh của vành địa phương dưới một toàn cấu vành, bản thân nó là địa phương.
Vành chuỗi lũy thừa K[x] trên trường K là vành địa phương, vì các phần tử không khả nghịch là các phần tử có số hạng không đổi = 0 và tập các phần tử này là tập đóng với phép toán cộng. Có thể kiểm tra để thấy rằng với hai phép toán này RP là một vành địa phương.
Cho R là một vành của các ma trận nxn với hệ số trên trường hay vành. (2) Cho Glà một nhóm hữu hạn cấpn,K là một trường vàGK là vành nhóm nguyên. Trong bổ đề sau đây một số tính chất phân tích của các vành được đề cập đến, những tính chất này cũng cần thiết sau này trong các trường hợp khác.
Giả sửe∈S là một phần tử lũy đẳng thì1−ecũng là một phần tử lũy đẳng. Vì e và 1−e đều không khả nghịch, nên trong trường hợp vành địa phương 1 =e+ 1−e cũng phải không khả nghịch (mâu thuẫn với giả thiết). Cho MR 6= 0 là mô-đun không thể phân tích trực tiếp có độ dài hữu hạn, khi đó End (MR) là địa phương và các phần tử trong End (MR) không khả nghịch phải là các phần tử lũy linh.
Trong trường hợp đặc biệt, từ định lý này, chúng ta có thể suy ra kết quả mà chúng ta đã biết là vành nội cấu của một môđun đơn giản là một trường nghiêng; đối với lũy linh tự đồng cấu duy nhất của một mô-đun đơn giản là ánh xạ không. Vì Q là không thể phân tách trực tiếp, nên Im(ϕ) =Q, tức là ϕlà tự đồng cấu và do đó không khả nghịch trong End (QR). Do đó, mọi nội cấu không khả nghịch của Q đều có một hạt nhân khác 0.
Theo Định lý Krull-Remak-Schmidt sau đây, điều đáng quan tâm là mô-đun nào có thể được phân tích thành tổng trực tiếp của các mô-đun con với các vành nội cấu cục bộ. (b) Cho M có độ dài hữu hạn (tức là artinian và noetherian), khi đó có các môđun con không thể phân tích trực tiếp đượcM1,. Đặt B0 ở mức tối thiểu trong Γ, thì B0 không phân tích trực tiếp được (vì nếu không thì B0 sẽ không ở mức tối thiểu trong Γ ).
Mặt khác, vì C0 lại là artinian dưới dạng mô-đun con của mô-đun artinian, nên theo nhận xét. Bây giờ giả sử M là thuyết Noether vàΓ là tập hợp các mệnh đề trực tiếp A6=M của M. Bây giờ giả sử Λ là tập hợp tất cả các mô-đun con củaM là các lệnh triệu trực tiếp của M và là tổng trực tiếp hữu hạn của các mô-đun con không thể phân tích trực tiếp.
Giả sử C0 6= 0, thì theo xem xét trước đó, mô-đun noetherian C0 phải chứa một hạng tử trực tiếp không thể phân tích trực tiếp,6= 0. Nhận xét: Tính “đối xứng” của cả hai cách chứng minh phụ thuộc vào thực tế là trong cách chứng minh đầu tiên chỉ cần điều kiện tối thiểu và trong cách chứng minh thứ hai chỉ yêu cầu điều kiện tối đa cho phép triệu hồi trực tiếp.
End (Mi) các phần tử không khả nghịch tạo thành một iđêan và ít nhất 1Mj là khả nghịch một trong các phần tử πjσιj, πjτi phải khả nghịch, tức là phải là một tự đồng cấu của Mi. Lưu ý: Ci2 không nhất thiết phải bằng Ui2, vì bây giờ một phân tích khác của M xuất hiện!. Theo nghĩa của 7.3.3, bây giờ hãy xác định các mô-đun Cij và các đẳng cấu γii.
Vì đẳng cấu là một quan hệ tương đương, Φ là biểu diễn diễn đại diện độc lập (trong I¯và J¯), tức là trên thực tế nó là một ánh xạ. Từ tính đối xứng của giả thiết, chỉ tồn tại một phép nội xạ Φ(¯l)→ ¯l, cần được chứng minh. Vì i là vô hạn, nên theo một kết quả đã biết của lý thuyết tập hợp sẽ có song ỏnh ¯lìN →¯i.
Trong bài sản phẩm nghiên cứu này, em đã nghiên cứu về định nghĩa và các tính chất của vành địa phương, song là những ứng dụng của vành địa phương trong việc phân tích và giản ước các modun. Đặc biệt là đã tìm hiểu rằng nếu một môđun là tổng trực tiếp của những môđun con mà vành các tự đồng cấu của những môđun con này là vành địa phương thì cách phân tích đó là duy nhất (định lí Krull - Remark-Schmidt). Thông qua cơ hội được làm sản phẩm nghiên cứu này, em đã bước đầu học được cách nghiên cứu một vấn đề toán học như thế nào.
Tuy vậy, với sự hiểu biết còn hạn chế rất nhiều nên sản phẩm nghiên cứu của em không tránh khỏi những sai sót, em mong rằng các quý thầy cô sẽ giúp em đóng góp về bài sản phầm, điều đó sẽ giúp cho em có thêm hành trang cho tương lai.