Lý thuyết xác suất và kỳ vọng trong thống kê toán
MỤC LỤC
HỆ SỐ NHỊ THỨC a) Các tính chất cơ bản
Khi ủú mỗi tổ hợp chập n của cỏc phần tử trong E là một kết hợp của một tổ hợp chập k của các phần tử trong A và tổ hợp chập n−k của các phần tử trong B.
SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT
- PHÉP THỬ VÀ SỰ KIỆN 1. ðịnh nghĩa
- XÁC SUẤT
- XÁC SUẤT Cể ðIỀU KIỆN
• Sự kiện A gọi là sự kiện riêng của sự kiện B, ký hiệu A ⊂ B, nếu sự kiện A xuất hiện kéo theo sự kiện B cũng xuất hiện. Nếu ta ký hiệu A là sự kiện xuất hiện mặt lẻ và B là sự kiện xuất hiện mặt chẵn thỡ {A, B} cũng là nhúm ủầy ủủ cỏc sự kiện. Tớnh chất (v) chứng minh bằng quy nạp. Cỏch tớnh xỏc suất trong trường hợp ủồng khả năng. a) Trường hợp sự kiện sơ cấp hữu hạn.
Vậy xác suất của sự kiện rút k quả cầu trắng là P(Ak) =. Hệ quả: công thức de Vandermonde. Tớnh xỏc suất rỳt ủược ớt nhất 1 quả cầu trắng. Gọi A là sự kiện rỳt ủược ớt nhất 1 quả cầu trắng. Khi ủú sự kiện bự của A, tức A, là sự kiện cả n quả cầu ủược rỳt ủều ủen. Suy ra xác suất sự kiện A là. b) Trường hợp sự kiện sơ cấp vô hạn. Với mỗi sự kiện A ∈ B, xỏc suất ủể A xuất hiện với giả thiết sự kiện B xảy ra gọi là xỏc suất cú ủiều kiện của sự kiện A với ủiều kiện B. Vỡ ảnh hưởng nhiễu nờn cú thể xảy ra hiện tượng mỏy thu khụng nhận ủược tín hiệu của máy phát, hoặc ngược lại máy phát không phát tín hiệu nhưng máy thu vẫn nhận tín hiệu giả do tạp âm.
BIẾN NGẪU NHIÊN
BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
(v) Trong một số ứng dụng kỹ thuật, ta thường gặp biến ngẫu nhiên rời rạc vô hạn có luật xác suất. Hai biến ngẫu nhiờn X và Y trờn cựng khụng gian xỏc suất gọi là ủộc lập, nếu luật phõn phối của X khụng phụ thuộc giỏ trị của Y và ngược lại. Như vậy hàm phõn phối là hàm giỏn ủoạn bậc thang cú bước nhảy pk tại x=xk , k=1,…,n, và là hàm liên tục phải.
(ii) Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X có luật phân phối Poisson tham số λ > 0, P(λ). Người ta lấy ngẫu nhiờn từng quả cầu ra khỏi thựng (khụng bỏ lại vào thựng) cho ủến khi lấy ủược quả cầu ủen. Mỗi khách hàng chọn ngẫu nhiên một quầy hàng với xỏc suất giống nhau và hoàn toàn ủộc lập với nhau.
BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Tuổi thọ T của chất phúng xạ tại thời ủiểm bất kỳ khụng phụ thuộc vào thời gian sống trước ủú của nú. (iii) Biến ngẫu nhiờn X cú hàm mật ủộ. Suy ra hàm phân phối. là hàm mật ủộ của biến ngẫu nhiờn Giải. Cỏc tham số ủặc trưng a) Kỳ vọng. Cho biến ngẫu nhiờn X liờn tục, với hàm mật ủộ f(t), trờn khụng gian xỏc suất (Ω,B,P).
Khi ủú, nếu tồn tại mômen gốc cấp s của X, thì tồn tại mômen gốc cấp r của X. Ghi chỳ: ðể chứng minh f(t) là hàm mật ủộ, ta sử dụng tớch phõn Euler. Khi a thay ủổi, ủường cong dịch chuyển song song với trục Ox cũn dạng thỡ giữ nguyờn.
Mọi biến ngẫu nhiên X có phân phối chính qui N(a,σ) có thể biểu diễn dưới dạng. (i) Hóy tớnh xỏc suất ủể ủộ dài chi tiết khụng lệch quỏ a dung sai là 0.3cm. (ii) Muốn ủảm bảo tỉ lệ phế phẩm khụng quỏ 5% thỡ phải chọn dung sai α bằng bao nhiêu ?.
Khi ủo lực chịu nộn của một loại xà người ta thấy lực chịu bỡnh quõn là 320kg, sai số quõn phương là 5kg. Trong nhiều ứng dụng, ủặc biệt trong lý thuyết phục vụ ủỏm ủụng, người ta thường gặp các biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ. Tớnh xỏc suất sao cho thời gian hoạt ủộng của búng ủốn khụng dưới 600 giờ.
1 = 1 Cuối cùng ta có
BIẾN NGẪU NHIÊN n CHIỀU
Luật phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần. a) Vectơ ngẫu nhiên rời rạc. b) Vectơ ngẫu nhiên liên tục. Phõn phối cú ủiều kiện. a) Vectơ ngẫu nhiên rời rạc. b) Vectơ ngẫu nhiên liên tục.
KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI
Suy ra từ ủịnh nghĩa và phộp ủổi biến của tớch phõn Lebesgue (cụng nhận).
HỘI TỤ NGẪU NHIÊN
HỘI TỤ XÁC SUẤT
Bất ủẳng thức này cú thể ủược sử dụng ủể tỡm khoảng tin cậy của tham số p.
HỘI TỤ THEO LUẬT
Mệnh ủề suy ra từ ủịnh nghĩa và từ nhận xột rằng với mọi k∈K ta có.
THỐNG KÊ MÔ TẢ
KHÔNG GIAN MẪU
Ghi chú: Phân lớp ghép chỉ áp dụng cho X là biến ngẫu nhiên liên tục.
BIỂU DIỄN PHÂN PHỐI MẪU
Vậy theo luật số lớn yếu (ðịnh lý Bernoulli) ta có. Trường hợp phân lớp ghép. Giả sử ta cú mẫu cỡ n với phõn lớp ghép. • Tổ chức ủồ tần suất là cỏch biểu diễn tần suất trờn mặt phẳng toạ ủộ trong ủú tần suất. ủược biểu diễn bằng hỡnh chữ nhật ủỏy [ai; ai+1) và chiều cao là. • ða giỏc tần suất là ủường gấp khỳc (màu xanh) nối cỏc trung ủiểm ủỏy trờn của cỏc hỡnh chữ nhật kề nhau trờn tổ chức ủồ tần suất. • Hàm tần suất tớch luỹ là hàm phõn phối mẫu cú ủường cong tần suất tớch luỹ là ủường gấp khỳc nối cỏc ủiểm.
CÁC THAM SỐ ðẶC TRƯNG
Trung vị mẫu , ký hiệu med, là giỏ trị mà tại ủú hàm tần suất tớch luỹ F bằng. (ii) Trường hợp mẫu phân lớp ghép. mode ủược xỏc ủịnh như sau:. − mode ủược tớnh theo cụng thức. Các tham số phân tán. Giả thiết X cú mẫu cỡ n hoặc phõn lớp ủơn. ðộ trải rộng của mẫu là hiệu xk − x1 cho mẫu phõn lớp ủơn và. b) Phương sai mẫu và ủộ lệch chuẩn. 1 cho mẫu phõn lớp ủơn. 1 cho mẫu phân lớp ghép. Ghi chú: Trong trường hợp phân lớp ghép, nếu các khoảng [ai; ai+1) bằng nhau và bằng c, thì có thể sử dụng phương sai hiệu chỉnh. gọi là hiệu chỉnh Shepard). c) ðộ lệch trung bình. cho mẫu phõn lớp ủơn và. cho mẫu phân lớp ghép d) Momen mẫu. 1 cho mẫu phõn lớp ủơn và. 1 cho mẫu phân lớp ghép. 1 cho mẫu phõn lớp ủơn. 1 cho mẫu phõn lớp ủơn. • Momen trung tâm rút gọn bậc a:. Các tham số hình dạng a) Hệ số bất ủối xứng mẫu. b) Hệ số nhọn mẫu. Cỏc ủiểm phần tư. a) Trường hợp mẫu phõn lớp ủơn. b) Trường hợp mẫu phân lớp ghép.
PHÂN TÍCH THỐNG KÊ BIẾN NGẪU NHIÊN 2 CHIỀU
• Tần suất cú ủiều kiện của yj với ủiều kiện xi là ủại lượng. • Cỏc tham số ủặc trưng. - Trị trung bình mẫu:. - Hiệp phương sai mẫu:. b) Mẫu phân lớp ghép. Ta ủịnh nghĩa cỏc tham số ủặc trưng tương tự như trường hợp phõn lớp ủơn. Mỗi cặp (xi , yj ) với tần suất nij ủược biểu diễn bằng nij ủiểm tụ xung quah ủiểm Mij(xi, yj) hoặc bằng hỡnh trũn tõm Mij(xi, yj) bỏn kớnh tỉ lệ thuận với nij.
Khỏi niệm ủỏm mõy ủiểm biểu diễn mẫu 2 chiều phõn lớp ghộp cũng ủịnh nghĩa tương tự. Vỡ ủõy là ủiểm duy nhất cú cỏc ủạo hàm triệt tiờu và S(a,b) > 0 bị chặn dưới nờn nú cũng là ủiểm cực tiểu. Tương tự như trờn ta tớnh ủược phương trinh ủường thẳng hồi qui ∆’ của x theo y là.
- Trong trường hợp phõn lớp ủơn ta coi lớp (xij, nij) cú nij ủiểm trựng nhau và cỏc phương trỡnh ủường thẳng hồi qui vẫn ủỳng.
LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
Vấn ủề ủặt ra là phải chọn hàm ước lượng theo tiờu chuẩn nào ủể cú thể coi là tốt. Trong một lô sản phẩm, cứ lấy 1 sản phẩm thì xác suất lấy phải phế phẩm là p. Phương trình này gọi là phương trình hợp lý và mọi nghiệm của nó, nếu thoả (2) hoặc (3) ủều là ước lượng hợp lý cực ủại của θ. Hóy tỡm ước lượng hợp lý cực ủại của à. σ Vậy, phương trình hợp lý là. Hóy tỡm ước lượng hợp lý cực ủại của à. Hệ phương trình hợp lý là. Giải ra ta có. σ vào cỏc ủạo hàm riờng ta cú. σ ) là ước lượng hợp lý cực ủại.
- Trường hợp X là biến ngẫu nhiờn rời rạc, ta cũng ủịnh nghĩa tương tự khỏi niệm ước lượng hợp lý cực ủại. Khi n khỏ lớn, nú cú phân phối tiệm cận chuẩn và khá gần ước lượng hiệu quả. - Khỏi niệm ước lượng hợp lý cực ủại ủịnh nghĩa theo (2) hoặc (3) dựa trờn quan ủiểm “giỏ trị của θ trong thực tế là giỏ trị ứng với xỏc suất xảy ra lớn nhất” (vỡ vậy nó là hợp lý nhất).
Một giống lỳa gieo trờn 10 miếng ủất thớ nghiệm cú ủiều kiện giống nhau, cho sản lượng tớnh theo cựng ủơn vị như sau. Hóy xỏc ủịnh khoảng tin cậy của sản lượng giống lỳa với ủộ tin cậy γ = 0.95, biết sản lượng lỳa là ủại lượng ngẫu nhiờn cú phõn phối chuẩn N(à,σ2) với γ và σ2 chưa biết. Xỏc ủịnh khoảng tin cậy của phương sai sản lượng lỳa σ2 với ủộ tin cậy γ = 0.9.
Trong các bài toán trước ta giả thiết X có phân phối chuẩn và sử dụng hàm phõn phối chớnh xỏc của cỏc ủại lượng thống kờ. Tuy nhiờn, nếu cỡ mẫu lớn, ta cú thể sử dụng phõn phối tiệm cận chuẩn ủể tỡm khoảng tin cậy cho ủơn giản. Vậy với hệ số tin cậy γ cho trước ta chỉ cần xỏc ủịnh εγ > 0 thoả.
Biết trọng lượng em bộ 18 thỏng là ủại lượng ngẫu nhiờn cú ủộ lệch quõn phương σ = 2.1.