MỤC LỤC
(từ nội bộ toán học). +) Hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống. +) Xét trường hợp tương tự. Ví dụ: Trong mặt phẳng ta đã xét hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng, trong không gian hãy xét tương tự: hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng, hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng, hai, ba đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng. MB = ) là đường trung trực của đoạn AB. Còn tập hợp các điểm M sao cho MA. +) Tìm mối liên hệ, phụ thuộc giữa các đại lượng, các yếu tố. Trên đây chúng ta đã trình bày nội dung gợi động cơ cho hoạt động, việc sử dụng tất cả các hình thức gợi động cơ cho một hoạt động là điều không thể thực hiện được vì mỗi một hoạt động chỉ thích hợp với một số hình thức gợi động cơ.
Trong nghiên cứu phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch sử, Mac và Ăng-ghen đã chứng minh được khoa học, trong đó có toán học, không những phát sinh mà luôn phát triển trên cơ sở vật chất nhất định, đó là thực tiễn đời sống, hoạt động sản xuất, và những vấn đề của các khoa học khác. Rừ ràng phương trỡnh cuối này vụ nghiệm nờn phương trỡnh (*) là vô nghiệm (mâu thuẫn). Chính mâu thuẫn này là cơ sở nghĩ đến việc chấp nhận căn bậc hai của số âm và làm nảy sinh số phức. Mâu thuẫn nảy sinh trong quá trình giải quyết mâu thuẫn. Theo lịch sử toán học, do nhu cầu nhằm chia sự vật làm xuất hiện số hữu tỷ, đến đây thì tưởng chừng mâu thuẫn đã được giải quyết, nhưng mâu thuẫn mới lại xuất hiện làm nảy sinh số phức [30-tr28]…. Tóm lại, mâu thuẫn luôn xuất hiện và là động lực thúc đẩy toán học. Khi mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là toán học đã làm hết công việc của mình, mà vấn đề mới luôn đặt ra, mâu thuẫn mới luôn xuất hiện, đòi hỏi và thúc đẩy toán học ngày càng phát triển, ngày càng hoàn thiện và mở rộng không ngừng. Như vậy mâu thuẫn được giải quyết thì mâu thuẫn mới được hình thành làm cho toán học phát triển không ngừng. Mâu thuẫn trong nghiên cứu và giảng dạy toán học. Trong nghiên cứu toán học. Những vấn đề nghiên cứu trong toán học phải bắt nguồn từ mâu thuẫn- đó là những bài toán mà thực tiễn cuộc sống đang đặc ra cũng như những vấn đề mà nội bộ toán học đang bế tắc. Nói như thế không có nghĩa là ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội bộ toán học cần gì thì ta sẽ giải quyết điều đó. Cần có cái nhìn biện chứng, tự thân phủ định và tạo mâu thuẫn trong toán học. Mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là kết thúc nghiên cứu. Khi bài toán đặt ra được giải quyết, dưới cái nhìn biện chứng không cho phép nhà toán học dừng lại mà phải tiếp tục nghiên cứu. Khi đó có thể trả lời những câu hỏi sau :. 1) Có cách nào giải quyết tối ưu hơn?. 3) Nếu phủ định một hoặc một số kết quả trung gian thì có những hướng phát triển nào khác?.
Phương pháp giải tích còn cho phép chuyển từ không gian hai chiều lên không gian ba chiều một cách dễ dàng bằng cách thêm vào biểu thức một toạ độ thứ ba là cao độ, trong lúc đó với phương pháp tổng hợp thì việc chuyển từ không gian hai chiều lên không gian ba chiều là một điều rất khó khăn đối với học sinh. Trong dạy học toán nếu chỉ coi trọng mặy cú pháp: các biểu thức hình thức mô tả các đối tượng, các quan hệ, các quy luật thì học sinh bị hạn chế phát triển năng lực vận dụng toán học; nếu coi trọng nghữ nghĩa: cấu trúc nội dung của đối tượng, quan hệ, quy luật thì học sinh thiếu các kỹ năng giải toán trên các biểu thức hình thức.
Khi học sinh hoạt động để tìm khoảng cách trong bài toán 2 thì học sinh đã gặp phải một mâu thuẫn giữa tri thức đã có và tình huống mới; khi này SA không phải là khoảng cách cần tìm, khi này mâu thuẫn được giải quyết thông qua phân tích đầu đề bài toán là hình chóp đều nên SO ( với O là tâm của tam giác ABC) vuông góc với (ABC), từ đó học sinh thấy được khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng SO. Khi bước vào bài toán 3 thì mâu thuẫn giống bài trên lại xuất hiện, nhưng việc phân tính đầu đề bài toán không giúp ta giải quyết được mâu thuẫn tạm thời là việc dựng đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (SBC) là rất khó, khi này lại nảy sinh mâu thuẫn mới là liệu bài toán này có tính khoảng cách trên một cách trực tiếp được hay không.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề dựa trên cơ sở mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với tri thức cũ và kinh nghiệm cũ, đòi hỏi học sinh phải tích cực tư duy để tìm tòi tri thức mới, phương thức mới. Học sinh phải tìm tòi để tự tìm cách giải quyết những mâu thuẫn nảy sinh trong quá trình tìm lấy những con đường và những phương pháp để giải quyết.
Briner đã viết: “Người học tạo nên kiến thức của bản thân bằng cách điều khiển những ý tưởng và cách tiếp cận dựa trên những kiến thức và kinh nghiệm đã có, áp dụng chúng vào những tình huống mới, hợp thành tổng thể thống nhất giữa những kiến thức mới thu nhận được với những kiến thức đang tồn tại trong trí óc”. Theo những quan điểm này, học sinh không học bằng cách thu nhận một cách thụ động những tri thức do người khác truyền cho một cách áp đặt, mà bằng cách đặt mình vào trong một môi trường tích cực, phát hiện ra các mâu thuẫn giữa kiến thức, kinh nghiệm cũ không giải quyết được trong trường hợp mới ( sơ đồ nhận thức đã có và tình huống mới không tương hợp), phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề bằng những kinh nghiệm đã có sao cho thích ứng với những tình huống mới, từ đó xây dựng nên những hiểu biết mới cho bản thân.
Chướng ngại sự phạm là chướng ngại có thể tránh được, chướng ngại này cần được quan tâm chú ý khi dạy học, bởi vì nó nảy sinh do những biện pháp sai lầm về mặt sư phạm. Ví dụ 1: Khi dạy học đẳng thức nếu thầy giáo chỉ đưa ra ví dụ về đẳng thức đúng và nếu trong quá trình làm việc về sau, thầy cũng chỉ sử dụng thuật ngữ "đẳng thức " khi gặp đẳng thức đúng thì sẽ gây nên một quan niệm phiến diện về đẳng thức; quan niệm này sẽ trở thành một chướng ngại khiến học sinh cho rằng 3 = 5 + 2 hoặc x + 2 = x + 3 không phải là những đẳng thức.
Việc thừa nhận kiến thức nào đó có nghĩa là học sinh không hiểu kiến thức đó một cách tường minh, sâu sắc, dẫn tới hạn chế trong việc khai thác các ứng dụng của kiến thức đó. Khi học sinh gặp các bài toán dạng này nhiều em chỉ biết áp dụng quy trình để làm bài toán mà không lý giải được là tại sao lại sử dụng như vậy, vì trong chương trình sách giáo khoa mới hiện hành thì dạng phương trình tổng quát là hệ của hai phương trình mặt phẳng đã được giảm tải.
+ Nội dung sách giáo khoa có gì là GV cố gắng dạy bằng hết, vì thế để có đủ thời gian cho tiết dạy thì GV phải thuyết trình nhiều mà ít vận dung các mâu thuẫn, chướng ngại trong việc tổ chức các hoạt động dạy học để giúp học sinh tích cực hoạt động tìm tòi tri thức mới vì thế học sinh còn tiếp nhận tri thức mới một cách thụ động. + Hình thức dạy học chưa đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho HS, HS chủ yếu tiếp nhận kiến thức còn bị động.
Mâu thuẫn đã được giải quyết, nhưng mâu thuẫn mới lại xuất hiện vì việc tích thể tích hình chóp D.AMN và diện tích tam giác AMN gặp phải khó khăn là không tính được độ dài cạnh AA'. Qua mấy ví dụ trên ta thấy nếu chúng ta biết cách phát hiện ra mâu thuấn thì ta có thể vận dụng mâu thuẫn, và sử dụng các mâu thuẫn đó để tạo ra các tình huống học tập cho học sinh nhằm tăng cường hoạt động tìm tòi tri thức.
S và O là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vậy giao tuyến của hai mặt phẳng trên là đường thẳng đi qua hai điểm S và O. b) Đối với hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) thì ta thấy ngay S là một điểm chung của hai mặt phẳng trên, vẫn đề được đặt ra cho học sinh là đi tìm điểm chung thứ hai khác điểm S. Qua các ví dụ trên ta thấy nếu khi dạy học giáo viên biết cách khai thác các mâu thuẫn (mâu thuẫn giữa trực quan và trừu tượng), để từ các mâu thuẫn đó tạo ra các tình huống có vấn đề giúp học sinh tiếp cận tri thức mới một cách tốt hơn thông qua dạy học giải quyết vẫn đề.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (Oy song song với AB). Tọa độ các đỉnh. Nên các trung điểm. uuuur uuur uuur. Do đó thể tích khối tứ diện CMNP là. Qua bài toán trên chúng ta đã tạo ra cho học sinh một cách nhìn nhận là cùng một bài toán chứa đựng nội dung hình học tổng hợp, nhưng chúng ta biết cách phân tích bài toán để đưa bài toán đó về dạng thể hiện dưới hình thức khác nhau. Cụ thể ở đây là ta đưa bài toán về dưới dạng hình học giải tích. Yếu tố quan trọng để chuyển về hình học giải tích là chúng ta cần xác định được hệ trục toạ độ vuông góc trong không gian. Sau đây là một số ví dụ về việc sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học tổng hợp. Tương tự như các bài toán trên ta có một số bài toán sau dùng phương pháp toạ độ để giải quyết các bài toán hình học tổng hợp. b) Chứng minh SD (AMI)⊥ và AMNI thuộc một đường tròn. c) Tính khoảng cách từ trung điểm của AD đến mặt phẳng (AMNI). Vậy mặt phẳng (AMI) cắt SC tại trung điểm của SC. Vậy các điểm tứ giác AMNI nội tiếp trong đường tròn đường kính AI. c) Khoảng cách cần tìm là:. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AN, CM. Đối với bài toán này thì việc xác định hệ trục toạ độ lại gặp khó khăn hơn vì trong bài toán chưa thấy xuất hiện yếu tố vuông góc để gắn hệ trục toạ độ vào. Khi đó chúng ta hướng dẫn cho các em phân tích đầu đề bài toán để nhằm tìm ra yếu tố vuông góc. Mặt khác SA SB SC= = nên hình chiếu của điểm S trên mặt đáy là trung điểm O của AB. Đến đây ta thấy xuất hiện yếu tố vuông góc đó là. OS AB⊥ vì vậy chúng ta có thể chọn hệ trục toạ độ như sau:. Tọa độ các đỉnh của hình chóp là. uuur uuuur uuur. Khoảng cách giữa hai đường thẳng. uuur uuuur uuur uuur uuuur. Góc giữa hai đường thẳng. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A,. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và BC. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,MN. Học sinh gặp phải mâu thuẫn là không xác định được hệ trục toạ độ có gắn liền với các yếu tố của bài toán. Để giải quyết điều thắc mắc đó thì GV gợi ý cho các em là trong bài toán có sự xuất hiện của yếu tố BS vuông với đáy. Nhưng mà BA lại không vuông góc với BC, vì thế nên chúng ta cần tạo ra yếu tố vuông góc vói BC. Từ đó ta có cách giải sau:. Tọa độ các điểm. Ta có uuur uuuur =. uuur uuuur uuuur uuur uuuur. những đại lượng không đổi. b) Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.
Sự dung mâu thuẫn giữa cú pháp và ngữ nghĩa để tạo tình huống. Trong kết quả trên học sinh thấy thắc mắc là tại sao hai đường thẳng cắt nhau thì lại có điều kiện. A ≠ học sinh không thể giải thích được tại. Sự cắt nhau của đường thẳng liên quan gì đến tỷ số này. Trong quá trình dạy, giáo viên cần phải làm cho học sinh nắm được về mặt ngữ nghĩa của các kết quả trên:. +) Vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1) và (d2) trong mặt phẳng phụ thuộc vào số giao điểm của hai đường thẳng này do đó việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng quy về xét số nghiệm của phương trình (*). Nếu giải theo định hướng này, học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó khăn và phải là những học sinh khá giỏi về bất đẳng thức và kỹ năng phân chia trường hợp riêng mới có thể giải quyết được bài toán.
Ở đây học sinh gặp phải mâu thuẫn là giữa bài toán trong ví dụ 4 và bài toán trong ví dụ 5 tuy có sự liên quan (bài toán mở rộng) nhưng trong bài toán ở ví dụ 4 có một yếu tố cố định là M còn đối với bài toán này cả ba yếu tố là M, N, P không có yếu tố nào cố định cả. Qua mấy ví dụ trên chúng ta thấy nếu trong khi dạy học chúng ta biết cách phát hiện các mâu thuẫn và vận dụng các mâu thuẫn đó vào việc kiến tạo tri thức thì học sinh tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng hơn, đồng thời còn tạo cho học sinh có sự nhạy bén, phát triển tư duy sáng tạo.
Nhưng buộc học sinh phải điều ứng lại khi yêu cầu tính thể tích tứ diện ABCD nói trên, vì học sinh gặp phải chướng ngại là trong khi tính diện tích đáy và độ dài đường cao đã gặp phải kỹ thuật tính toán quá phức tạp. Khi được thay đổi hình thức bài toán như trên thì học sinh sẽ nghĩ ngay đến việc để tính được thể tích của ABCD nói trên, thì phải dựa vào thể tích của tứ diện đều ABEF và các mức yêu cầu như vậy sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết bài toán, phù hợp với khả năng điều ứng kiến thức để giải quyết vấn đề.
Trên đây là một số ví dụ về sử dụng chướng ngại trong dạy học toán nhằm tạo ra các tình huống học tập sư phạm theo quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống.