Tài liệu môn học lý thuyết điều khiển bền vững

Bộ lọc Kalman .1 Đặt vấn đề

Mục tiêu của thiết kế bộ lọc Kalman : Tìm độ lợi ước lượng L để có sự ước lượng tối ưu trong sự hiện diện của nhiễu w(t) và v(t). Từ phương trình (3.75) được thêm vào bởi nhiễu quá trình, trạng thái x(t) bây giờ cũng là một quá trình ngẫu nhiên như là y(t). Để khảo sát những đặc tính thông thường của quá trình ngẫu nhiên cần nhắc lại một số khái niệm lý thuyết xác suất (Papoulis 1984).

Trong tình huống này, giá trị mong đợi và ma trận hiệp phương sai là những hàm thời gian vì thế chúng có thể biểu hiện z (t) và Pz(t). Nhiều quá trình ngẫu nhiên z(t) quan trọng là có PDF bất biến theo thời gian Đó là những quá trình tĩnh, thậm chí chúng là hàm thời gian ngẫu nhiên chúng vẫn có trị trung bình và hiệp phương sai là hằng số. Điều này có nghĩa là giá trị của quá trình z(t) tại thời điểm t không có sự liên hệ với giá trị tại các thời điểm τ ≠ t.Vì vậy z(t) là một nhiễu trắng .Ví dụ như nhiễu nhiệt ở mạch điện nguyên nhân vì sự chuyển động nhiệt ở các electron ở điện trở.

Nếu bộ quan sát là ổn định tiệm cận và w(t) và v(t) là quá trình tĩnh khi đó sai số ~x (t) sẽ thực sự tiến đến trạng thái ổn định với trị trung bình và hiệp phương sai là hằng số. Do đó, E{ }~x là lượng biến đổi theo thời gian tuân theo phương trình vi phân với ma trận hệ thống A0.Nếu A0=A-LC là ổn định thì E{ }x~ luôn bền vững tại giá tri tĩnh zero. Nếu như nhiễu quá trình w(t) hoặc nhiễu đo được v(t) có giá trị trung bình không phải là zero thì theo (3.107) giá trị E{ }x~ của trạng thái tĩnh cũng không bằng zero.

Trong trường hợp này xˆ(t) không đến được ổn định tiệm cận để đạt được trạng thái thật x(t), nhưng có được một khoảng offset bằng giá trị hằng- E{ }~x. Thực sự những độ lợi cho kết quả P(t) càng nhỏ thì càng tốt vì sai số x~(t) càng gần với trị trung bình bằng 0.Do đó P(t) là thước đo chất lượng của bộ quan sát ,và ma trận hiệp phương sai càng nhỏ thì bộ quan sát càng tốt hơn Chúng ta nói rằng P là thước đo sự không chắc chắn trong ước lượng. Để lấy độ lợi của bộ quan sát là hằng số, có thể chọn lựa L để làm tối thiểu hoá hiệp phương sai của sai số P trạng thái bền vững.

Có nhiều cách giải (3.130) để tìm P.Độ lợi tối ưu L xác định nhờ sử dụng (3.128) gọi là độ lợi Kalman và bộ quan sát được xây dựng gọi là bộ lọc Kalman .Trạng thái bền vững ở đây chỉ đến một sự thật rằng mặc dù độ lợi tối uu làm tối thiểu hoá P(t) là biến đổi theo thời gian, chúng ta đã chọn lựa độ lợi tối ưu mà nó làm tổi thiểu sai số tương quan trạng thái bền vững để đạt được độ lợi quan sát là hằng số. Nếu như nhiễu quá trình w(t) và nhiễu đo được v(t) là nhiễu Gaussian nó cũng là bộ ước luợng trạng thái bền vững tối ưu cho bất kì hình thức nào. Nếu có một vài tín hiệu nhiễu tự do và bộ lọc phức tạp được biết đến như bộ lọc Deyst được sử dụng để giải quyết vấn đề này.Hơn nữa giả sử rằng (A, γ W)tìm được có nghĩa là nhiễu quá trình kích thích tất cả các trạng thái.

Đó là độ lợi L của bộ lọc được tìm ra bằng những kĩ thuật đã thảo luận cung cấp ước lượng trạng thái.Khi đó tất cả các trạng thái không thể đo và điều khiển (3.138) không thể thực hiện trong thực tế, giả sử rằng ước lượng hồi tiếp xˆ(t) thay thế các trạng thái thực x(t) luật điều khiển hồi tiếp là. Nếu K được chọn sử dụng phương trình Riccati LQR và L được chọn bởi sử dụng phưong trình Ricati của bộ lọc Kalman.Điều này được gọi là thiết kế LQG.

Ví dụ

Bộ điều chỉnh toàn phương tuyến tính (LQR) và bộ lọc Kalman được sử dụng với nhau để thiết kế bộ điều chỉnh động. Thủ tục này được gọi là thiết kế bộ tuyến tính toàn phương Gaussian (LQG). Điều thuận lợi quan trọng của việc thiết kế LQG là cấu trúc của bộ điều khiển được cho bởi thủ tục.

Điều này làm cho các bộ LQG được thiết kế rất có ích cho việc điều khiển các hệ thống hiện đại (ví dụ như điều khiển không gian và hàng không ) khi cấu trúc bộ điều khiển không biết trước được. Tuy nhiờn luật điều khiển (3.138) không thể thực hiện khi tất cả các trạng thái không thể đo được. Điều quan trọng của các kết quả này là trạng thái hồi tiếp của K và độ lợi của bộ quan sát L có thể được thiết kế riêng rẽ.

Xét hệ thống con lắc ngược như hình sau.Con lắc ngược được gắn vào xe kéo bởi động cơ điện.Chúng ta chỉ xét bài toán hai chiều,nghĩa là con lắc chỉ di chuyển trong mặt phẳng.Con lắc ngược không ổn định vì nó luôn ngã xuống trừ khi có lực tác động thích hợp.Giả sử khối lượng con lắc tập trung ở đầu thanh như hình vẽ (khối lượng thanh không đáng kể).Lực điều khiển u tác động vào xe.Yêu cầu của bài toán là điều khiển vị trí của xe và giữ cho con lắc ngược luôn thẳng đứng. Bài toán điều khiển hệ con lắc ngược chính là mô hình của bài toán điều khiển định hướng tàu vũ trụ khi được phóng vào không gian. Trước tiên ta hãy xây dựng mô hình toán học của hệ con lắc ngược Gọi (xG,yG) là toạ độ của vật nặng ở đầu con lắc,ta có:. Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động theo phương x,ta có:. Thay xG ở biểu thức trên ta có:. Khai triển các đạo hàm,rút gọn ta được:. Mặt khác, áp dụng định luật II Newton cho chuyển động quay của con lắc quanh trục ta được:. Thay vào ta có:. θ) cos cos sin sin sin.

Chúng ta sẽ khảo sát hệ con lắc ngược có các thông số nhưsau:M=1kg,l=1m Lấy giá trị gia tốc trọng trường g=9.8m/s2. Nếu không có đường phản hồi qua L thì x~ không tiệm cận về x được vì vậy L được chọn sao cho ~x x. Lọc Kalman được xây dựng trên cơ sở:xác định L sao cho kỳ vọng toán E{ }xTx cực tiểu.

Trong bộ điều khiển LQ ta hồi tiếp trạng thái tuy nhiên trong thực tế nhiều khi ta phải quan sát để lấy được biến trạng thái ước lượng (do không đo được) và hồi tiếp trạng thái ước lượng => LQG.

Biểu Đồ Bode Đa Biến (Multivariable Bode Plot)

Chỳ ý rằng giỏ trị suy biến là liờn tục, ngọai trừ gía trị suy biến cực đại và cực tiểu. Những giá trị suy biến có thể giao nhau , được minh chứng bằng hình học. Để minh họa sự khác biệt giữa đồ thị trị suy biến hệ MIMO và giản đồ Bode hệ SISO riêng biệt, xét hệ thống sau.