Luận văn thạc sĩ phương pháp hệ số phản xạ khúc xạ cải tiến cho môi trường phân lớp trực hướng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ————————— Trương Th% Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP Hfi SO PHAN XA, KHÚC XA CAI TIEN CHO MÔI TRƯèNG PHÂN LéP TRUC HƯéNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ————————– Trương Th% Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP Hfi SO PHAN XA, KHÚC XA CAI TIEN CHO MÔI TRƯèNG PHÂN LéP TRUC HƯéNG Chuyên ngành: Cơ HQc v¾t ran Mã so: 60440107 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS TRAN THANH TUAN Hà N®i - 2015 LèI CAM ƠN Lòi đau tiên em muon gui lòi cam ơn chân thành tói thay hưóng dan Tran Thanh Tuan - ngưòi truyen cho em niem đam mê khoa HQc hưóng dan em ti mi, t¾n tình suot q trình làm lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn tói nhóm Seminar tai b® mơn Cơ HQ c GS TS Pham Chí Vĩnh chn trì, thay anh ch% trang b% cho em kien thúc nen tang nguon đ®ng lnc đe chúng em theo đuői nghiên cúu khoa HQ c Đ¾c bi¾t, cơng thúc muc 2.1 HQc viên thu nh¾n đưoc tù giang cna nhóm seminar thay Pham Chí Vĩnh trình bày Em xin cam ơn tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên Đai HQc Quoc Gia Hà N®i truyen đat kien thúc giúp em hồn thành lu¾n văn Bên canh đó, em cam ơn gia đình ln đ®ng viên, tao đieu ki¾n tot nhat cho em suot q trình HQc v thnc hiắn luắn H Nđi, thỏng 12 năm 2015 Mnc lnc Lài ma đau Phương pháp ma tr¾n h¾ so phan xa, khúc xa tong qt hóa R/T 1.1 Dang ma tr¾n cna phương trình ban 1.2 Ma tr¾n h¾ so phan xa, khúc xa tőng quát hóa 15 1.3 1.2.1 Sóng qSH 15 1.2.2 Sóng qP-SV 20 Phương trình tán sac cna sóng Rayleigh 23 Phương pháp h¾ so R/T tốn tìm band-gaps cua sóng m¾t 26 2.1 Cơng thúc tính v¾n toc sóng mơi trưịng trnc hưóng 27 2.2 Bài tốn phő band-gaps 30 2.3 Band-gaps cna sóng qSH sóng qP-SV .32 2.4 Tính tốn so phő band-gaps cna sóng qP .34 Ket lu¾n 37 Danh mnc báo khoa HQC 38 Tài li¾u tham khao 38 Lài ma đau Trong lóp tốn phan xa khúc xa cna sóng m¾t truyen qua mơi trưịng phân lóp, h¾ so phan xa khúc xa can tìm se đưoc tìm thơng qua h¾ so phan xa khúc xa cna sóng tói qua tùng m¾t phân cách giua lóp bang cách su dung đieu ki¾n biên liên tuc cna chuyen d %ch úng suat Cách làm tương tn phương pháp ma tr¾n chuyen đưoc giói thiắu mđt so sỏch chuyờn khao ve súng nh cna Achenbach (1975) [11], Brekhovskikh (1973) [2] Cách làm thu¾n ti¾n l¾p trình tính tốn so đoi vói mơi trưịng hưóng đưoc GQI phương pháp ma tr¾n chuyen hay "T-matrix" đưoc su dung nghiên cúu ve h¾ so phan xa khúc xa Golub c®ng sn (2012) [7, 8] khao sát phő band-gaps cna sóng m®t thành phan SH , sóng hai thành phan P − SV Tuy nhiên, phương pháp có m®t nhưoc điem co huu cna phương pháp ma tr¾n chuyen ket qua tính tốn so có the khơng őn đ%nh đoi vói sóng tói có tan so cao đưoc phân tích ky báo cna Chen (1993) [21], phương pháp khơng phan ánh đưoc rõ ràng tính chat v¾t lý cna tốn phan xa khúc xa đ¾c trưng cna sóng tói, sóng phan xa, khúc xa (ví du biên đ®, góc tói, góc phan xa, khúc xa) đưoc chuyen qua đai lưong chuyen d%ch úng suat tai be m¾t đe áp dung đieu ki¾n biên liên tuc Đieu làm cho hình anh v¾t lý ve tính phan xa khúc xa cna sóng lóp khơng cịn đưoc tưòng minh Trong báo cna Chen (1993) [21] ve phương pháp phan xa khúc xa tőng quát hóa, hai nhưoc điem đe c¾p o đưoc khac phuc Phương pháp cna Chen su dung trnc tiep h¾ so phan xa khúc xa tőng qt hóa (là h¾ so phan xa, khúc xa tai mđt mắt phõn cỏch giua hai bỏn khụng gian chi thơng qua m®t sóng tói) bang cách su dung trnc tiep tham so biên MUC LUC đ® cna sóng tùng lóp, tương tn Kennett (1983) [12] su dung công thúc cna Luco Apsel (1983) [14] đe loai trù h¾ so tăng theo hàm mũ, h¾ so gây mat őn đ%nh tính tốn so đoi vói tan so cao Do đó, phương pháp khơng nhung khac phuc đưoc nhưoc điem mat őn đ%nh so đoi vói mien tan so cao mà cịn cung cap m®t hình anh rõ ràng ve sn phan xa khúc xa tùng lóp Vói nhung ưu điem này, phương pháp cna Chen đưoc viet thành m®t phan mem tính tốn ve sóng đưoc su dung m®t cách r®ng rãi Trong lu¾n văn này, phương pháp cna Chen đưoc nghiên cúu phát trien cho lóp v¾t li¾u bat hưóng, cu the v¾t li¾u trnc hưóng Các phương trình cna Chen, ví du cơng thúc cna h¾ so phan xa, khúc xa tőng qt hóa, cơng thúc truy hoi đe tính tốn chúng, đưoc viet lai phù hop đoi vói mơi trưịng v¾t li¾u trnc hưóng Các phương trình se đưoc su dung đe thiet l¾p phương trình tán sac cna sóng m¾t Rayleigh truyen mơi trưịng phân lóp, đưoc su dung đe nghiên cúu toán phan xa, khúc xa cna sóng truyen mơi trưịng Lu¾n văn se t¾p trung vào tính tốn so phő band-gaps cna sóng qSH (kí hi¾u q quasi) sóng qP − SV , (hay cịn GQI sóng tna SH sóng tna P − SV ), sóng tương tn sóng SH P − SV mơi trưịng hưóng, truyen qua mơi trưịng phân lóp trnc húng Nđi dung cna luắn ngoi phan mo đau ket lu¾n gom hai chương Chương se thiet l¾p phương trình ban cna phương pháp ma tr¾n h¾ so phan xa, khúc xa tőng qt hóa R/T se thiet l¾p phương trình tán sac cna sóng m¾t Rayleigh truyen mơi trưịng phân lóp trnc hưóng Chương se su dung ket qua cna Chương đe khao sát tốn tìm phő band-gaps cna sóng m¾t qSH qP − SV truyen qua mơi trưịng phân lóp trnc hưóng Chương Phương pháp ma tr¾n h¾ so phan xa, khúc xa tong qt hóa R/T Mơ hình tőng qt cna mơi trưịng phân lóp đưoc nghiên cúu lu¾n văn bao gom N lóp song song đong nhat, trnc hưóng đ¾t giua hai bán khơng gian (Hình ve 1) Các truc cna bán khơng gian lóp đưoc gia thiet phương Sóng phang truyen mơ hình có tan so góc ω có so sóng theo phương ngang k ChQn h¾ truc TQA đ® cho truc Ox song song vói lóp có chieu hưóng theo phương truyen sóng l phng cna mđt húng chớnh cna vắt liắu Truc Oz có chieu dương hưóng xuong dưói có goc TQA đ nam tai mắt biờn cna lúp trờn cựng Trong m®t so trưịng hop, đe cho cơng thúc đơn gian hắ TQA đ (x, y, z) cú the oc thay bang (x1 , x2 , x3 ) Các lóp có tham (j) (j) (j) (j) so(j)v¾t(j)li¾u c , c , c , c , c ,c 11 13 33 55 44 ρ(j), j = 1, , N so thú tn 66 cna lóp Bán khơng gian bên đưoc coi lóp thú (0) bán khơng gian bên dưói đưoc coi lóp thú (N + 1) Chương se trình bày h¾ thúc ban cna phương pháp h¾ so phan xa, khúc xa tőng qt hóa mơ hình phân lóp xét Cu the h¾ so phan xa khúc xa tőng quát hóa se đưoc nh¾n tai m¾t phân cách giua hai lóp thú (j) thú (j + 1) Các cơng thúc h¾ so se đưoc su dung đe khao sát tốn truyen sóng m¾t Rayleigh tốn phan xa, khúc xa đưoc trình bày chương cịn lai Các n®i dung cna chương đưoc thnc hi¾n tương tn báo cna Chen (1993) [21] phát trien cho v¾t li¾u trnc hưóng, thay v¾t li¾u hưóng, vói bien đői chi tiet 2.2 Bài toán band-gaps Xét mđt lúp vắt liắu trnc húng, huu han cú cau trúc tuan hồn theo phương 0z đ¾t giua hai bán khơng gian trnc hưóng thuan nhat (Hình 2.1) Hai bán khơng gian dưói đưoc kí hi¾u mơi trưịng (1) (3) tương úng Và lóp tuan hồn o giua đưoc kí hi¾u mơi trưịng (2) Các truc v¾t li¾u cna hai bán khơng gian lóp đưoc gia thiet có phương Xét tốn truyen sóng sóng tói qSH (ho¾c qP SV ) nam mđt mắt phang oi xỳng cna v¾t li¾u tù bán khơng gian qua lóp v¾t li¾u truyen vào bán khơng gian bên dưói Sóng tói có tan so góc ω Tai m¾t phân cách giua bán khơng gian lóp vắt liắu, súng túi se tỏch lm hai phan Mđt phan phan xa lai vào bán không gian trên, v mđt phan se khỳc xa i vo lúp vắt li¾u Thành phan khúc xa se truyen tói m¾t phân cách vói bán khơng gian dưói se khúc xa qua m¾t phân cách Bài tốn can xét tìm biên đ® cna sóng khúc xa bán khơng gian dưói phu thu®c vào biên đ® cna súng túi Hỡnh 2.1: Mụ hỡnh mđt lúp vắt liắu phân lóp trnc hưóng nam giua hai bán khơng gian thuan nhat trnc hưóng Sóng tói qSH xuong tù bán khơng gian sinh h¾ sóng phan xa khúc xa Gia su sóng tói tù bán khơng gian sóng qSH tao m®t góc θ vói truc z (hay truc x3) có dang u = T TqSH eik1(x1p qSH (1) +x3p (1) ) (2.12) Hỡnh 2.2: Mụ hỡnh mđt lúp vắt liắu phõn lóp trnc hưóng nam giua hai bán khơng gian thuan nhat trnc hưóng Sóng tói qP xuong tù bán khơng gian sinh h¾ sóng phan xa khúc xa ω k = , (p(1), p(1)) vector đơn v% cna hưóng truyen sóng, c(1) c(1) qSH qSH v¾n toc truyen sóng theo phương cho Vì sóng tói qSH tói be mắt cna lúp vắt liắu se sinh mđt sóng phan xa qSH m®t sóng khúc xa qSH nên sóng phan xa khúc xa có dang sau (xem Hình ve 2.1) u PqSH = P u eik1(x1q (1) +x3q qSH (1) ) (2.13) , = K (3) KqSH eik3(x1p qSH (3) +x3p ) , (2.14) PqSH , KqSH biên đ® cna sóng phan xa khúc xa cna sóng qSH , k3 = ω , c (3) dưói (3) S H c Σ vector đơn v% truyen sóng cna sóng phan xa SH (1) q so sóng v¾n toc cna sóng khúc xa bán không gian (1) ,q (1) (1) p1 , p3 Σ vector đơn v% truyen sóng cna sóng khúc xa bán khơng gian dưói Bài tốn đ¾t tìm ti so giua biên đ® cna sóng khúc xa sóng tói KqSH /TqSH Trong trưịng hop sóng tói sóng qP có dang uTqP = T eik1(x1p1 (1) +x3p3 (1) ) , (2.15) đó, p1 = sin θ1, p3 = cos θ1, θ1 góc tói, k1 = ω/c(1) P so sóng bán khơng gian (1), c(1) v¾n toc sóng qP bán khơng gian (1) theo hưóng truyen P sóng Chi so dưói “ T ” cơng thúc cna chuyen d%ch bieu th% sóng tói Sóng phan xa sóng khúc xa cna sóng qP − SV đưoc gia su có biên đ® PqP , PqSV , KqP , KqSV có góc phan xa, khúc xa đưoc bieu dien Hình ve 2.2 Các chu “ P ” “ K ” bieu th% cho sóng phan xa sóng khúc xa Đe đơn gian, ta bo qua nhân tu e−iωt cơng thúc chuyen d%ch Muc đích cna tốn se tìm giá tr% biên đ® cna sóng khúc xa |KqP | |KqSV | phu thu®c vào biên đ® cna sóng tói TqP Phő band-gaps cna sóng tói phő tan so biên đ® cna sóng khúc xa b% tri¾t tiêu 2.3 Band-gaps cua sóng qSH sóng qP-SV Do tốn truyen sóng mơi trưịng khơng thuan nhat khó có the giai đưoc bang phương pháp giai tích nên ta se giai quyet tốn bang cách xap xi lóp khơng thuan nhat o thành m®t chuoi N lóp mong thuan nhat Khi đó, ta se coi bán khơng gian lóp thú (0), bán khơng gian dưói lóp thú (N + 1) N lóp xap xi se đưoc đánh so tù cho đen N (xem Hình 2.3) Hình 2.3: Chia lóp v¾t li¾u khơng thuan nhat thành N lóp thuan nhat Đe tính h¾ so khúc xa qua lóp v¾t li¾u ta su dung cơng thúc (1.50) tai m¾t phân cách Gia su sóng tói sóng qSH, cơng thúc (1.50)1 tai m¾t phân cách cho ta biên đ® cna sóng khúc xa vào lóp thú nhat C (1) d= (2.16) (0) (0) Tˆ d C d C(0) = TqSH Sóng khúc xa se xuong m¾t phân cách thú hai d tiep tuc sinh sóng khúc xa vào lóp thú ba có biên đ® (2) (1) (1) = C TdˆC (0) ˆ(0) Tˆd T dC (1) =d d (2.17) d Quá trình tiep tuc l¾p lai cho đen m¾t phân cách thú N ta có (2.18) (N ˆ(N ) C (N ) = Tˆ(N ) Tˆ(N −1) Tˆ(N −2) (0)+1)(0) C Tˆ C = T d d d d d d d Vỡ vắy, e tớnh oc biờn đ cna sóng khúc xa KqSH = C(N+1) tính tích Tˆ d (N ) d d can (N −1) ˆ (N −2) (0) Tˆ T Tˆ Giá tr% se đưoc tính tù cơng thúc truy d d d hoi (1.53) giá tr% đau cna d u (N ) Rˆ công thúc truy hoi (1.53) vàˆ(N d) T se đưoc tính tù đieu ki¾n sau Tai m¾t phân cách giua lóp thú N bán khơng gian, khơng có sóng tù bán khơng gian dưói lên nên cơng thúc h¾ so phan xa khúc xa (1.42) se tro thành (N +1) Cd (N ) Cu d =T (N )d (N ) C (2.19) , (N ) (N ) = Rdu Cd So sánh cơng thúc vói cơng thúc đ%nh nghĩa cna h¾ so R/T tőng qt hóa (1.50) ta có Rˆ (N ) du =R du (N ) (N ) , Tˆ =T d d (N ) (2.20) Tương tn v¾y đoi vói sóng tói qP , cơng thúc (1.62)1 tai m¾t phân cách cho ta biên đ® cna sóng khúc xa vào lóp thú nhat C (1) d= (0) (0) Tˆ d C d (2.21) C(0) = TqP Sóng khúc xa se xuong m¾t phân cách thú hai d tiep tuc sinh sóng khúc xa vào lóp thú ba có biên đ® (2) ˆ (1)(0)(1) (1) ˆT (0) C Tˆd = T d C dC = d d d (2.22) Quá trình tiep tuc l¾p lai cho đen m¾t phân cách thú N ta có (N +1) ˆ (0) (0) C Tˆ C = T d d (N ) C (N ) d = Tˆ (N ) d d Tˆ (N −1) d Tˆ (N −2) d Vì v¾y, đe tính biên đ® cna sóng khúc xa KqP = C(N+1) d (2.23) d can tính tích (N ) ˆ (N −1) ˆ (N −2) (0) Tˆ T T Tˆ Giá tr% se đưoc tính tù công thúc truy hoi (1.63) d d d d bat đau vói giá tr% phương trình (1.67) 2.4 Tính tốn so band-gaps cua sóng qP Do cơng thúc tính tốn h¾ so khúc xa cna sóng qSH qP − SV có dang giong nên muc se minh hQA ví du tính tốn so phő band-gaps cho sóng tói qP Mơ hình dùng cho tính tốn so m®t lóp nam giua hai bán khơng gian Bán khơng gian v¾t li¾u Graphite/epoxy bán khơng gian dưói v¾t li¾u Glass/epoxy vói tính chat v¾t li¾u đưoc cho Bang (xem Liu Xi, 2002, Chương [9]) Lóp o giua đưoc gia su có tính chat v¾t li¾u bien thiên liên tuc theo hàm sin tù bán khơng gian xuong bán khơng gian dưói So chu kỳ bien đői lóp đưoc gia thiet bang N Đây m®t mơ hình gia thiet, nhiên mơ hình có the đưoc tao bang cách cho hai bán khơng gian dưói có biên hình lưoc phân bo dày b% ép đan xen vào Do áp lnc cna lnc ép, biên hình lưoc có the b% nén bien đői theo hàm sin vói N chu kỳ Khi mien biên cna hai bán khơng gian có the đưoc xap xi boi m®t lóp có đ® dày bang đ® cao cna biên có tính chat bien đői theo hàm sin cau trúc hai lóp bán khơng gian có biên phân chia dang đưoc nghiên cúu Pham Chí Vĩnh (2010) [18] Như v¾y tính chat cna lóp có the đưoc tính theo cơng thúc P (2) (x2 ) = P (1) + P (3) −P (1) Σ sin (πx2 /h) , (2.24) h đ dy cna mđt chu k, P diắn cho hang so v¾t li¾u cna lóp Chú ý rang đe đam bao tính liên tuc cna tính chat v¾t li¾u, phan dưói cna lóp o giua chi gom mđt nua chu k cna lúp vắt liắu e ỏp dung phương pháp trình bày phan trên, se chia moi chu kỳ bien đői cna lóp thành M = 20 lóp trnc hưóng thuan nhat So lóp đn lón đe lóp khơng thuan nhat đưoc xap xi boi lóp mong thuan nhat So chu kỳ đưoc cHQN cho tính tốn so cna muc N = 50 Các hang so v¾t li¾u cij đưoc tính tốn qua thơng so v¾t li¾u Bang (Ví du xem Ting, 1996 [17]) Trong trưịng hop ta có hang so v¾t li¾u cna bán khơng gian 1 c(1) = 30.04, (1 = 143.21, c) = 0.18, = 0.75, = 0.37 cna bán khơng gian dưói c(3) 13 c (3) 13 c(1) c(1) (3) = 3.11, c = 9.32, c(3) = 4.79 Hình 2.4 bieu th% đưịng cong cna ty so biên đ® 33 66 sóng khúc xa bên bán khơng gian dưói biên đ® cna sóng tói qP bán khơng gian có góc nghiêng bang 30o mien tan so bien thiên tù Hz đen Hz Chú ý rang mơi trưịng v¾t li¾u bat hưóng, v¾n toc cna sóng qP thay đői theo góc tói đưoc tính boi cơng thúc (2.10) ho¾c boi cơng thúc Chattopadhyay Rajneesh (2006) [4] Trong mien tan so có the quan sát đưoc có m®t phő band gaps có đ® r®ng tù khoang Hz đen 2.35 Hz Chú ý rang, ve mắt lý thuyet, mđt lúp huu han khụng the tri¾t tiêu hồn tồn lưong cna sóng khúc xa Tuy nhiên, lưong cna sóng khúc xa có the rat nho thơng thưịng tính tốn, phő band gaps đưoc tính ty so biên đ® cna sóng khúc xa sóng tói nho 10−3 (xem Golub c®ng sn, 2014 [5]) Hình 2.4: Ty so biên đ® cna sóng khúc xa qP − SV vúi biờn đ cna súng túi qP Kớ hiắu E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) ν12 ρ(g/cm3) Graphite/epoxy 30 0.75 0.375 0.25 1.9 Glass/epoxy 142.17 9.255 4.795 0.334 1.9 Bang 1: Thơng so v¾t li¾u cna Graphite/ epoxy Glass/ epoxy Ket lu¾n Lu¾n văn thiet l¾p phương trình ban cna phương pháp phan xa khúc xa tőng qt hóa cho mơ hình phân lóp trnc hưóng nh¾n đưoc cơng thúc tính tốn h¾ so khúc xa cna sóng truyen qua mơ hình phân lóp Các h¾ thúc nh¾n đưoc ket qua mo r®ng cho mơi trưịng hưóng đưoc đưa boi Chen năm 1993 Vói ket qua mói nh¾n đưoc này, lu¾n văn tính tốn so phő band gaps cna m®t mơ hình m®t lóp trnc hưóng có cau trúc tuan hồn bien đői liên tuc theo hình sin nam giua hai bán khơng gian trnc hưóng Đây m®t mơ hình ve ngun tac có the tao bang cách cho hai bán khơng gian trnc hưóng vói biên có đ® nhám cao hình lưoc b% ép xen ke vào Nhung hưóng nghiên cúu tiep theo: mo rđng cỏc ket qua nghiờn cỳu luắn văn đoi vói mơi trưịng có tính bat hưóng có can nhót 90 Danh mnc cơng trình khoa HQC cơng bo Các cơng trình liên quan đen lu¾n văn Tran Thanh Tuan, Trương Th% Thùy Dung (2013) Sn phan xa khúc xa cna sóng SH mơi trưịng phân lóp khơng thuan nhat Tuyen hđi ngh% C HQc vắt ran bien dang ton quoc lan thú XI, HCM 2013, pp 1265-1274 Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Mai, Tran Thanh Tuan (2014) Dis- persion equation of Rayleigh surface waves in stratified layer by ray and R/T theories International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3) Hanoi, October 15-16, 2014, pp 602 - 608 Trương Th% Thùy Dung, Tran Thanh Tuan (2015) Phương pháp h¾ so phan xa, khúc xa (R/T ) tőng qt hóa cho mơi trưịng phân lóp trnc hưóng úng dung tốn tìm band-gaps cna sóng qP SV Tuyen hđi ngh% C HQc v¾t ran bien dang tồn quoc lan thú XII, Đà Nang 2015 (Accepted) Các cơng trình khác Tran Thanh Tuan, Raul Palau Clares, Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Thu, Tran Ngoc Trung (2014) Amplification of the surface layer to the body waves International Conference on Engineering Mechanics and Automa- tion (ICEMA-3) Hanoi, October 15-16, 2014, pp 588 - 594 Nguyen Th% Lưu, Trương Th% Thùy Dung, Lê Th% Hu¾, Tran Thanh Tuan (2015) Cơng thúc xác xap xi cna phương trình tán sac ty so H/V cna sóng Rayleigh mơ hình m®t lóp trnc hưóng đ¾t bán khơng gian trnc hưóng Tuyen hđi ngh% C HQc vắt ran bien dang ton quoc lan thú XII, Đà Nang 2015.(Accepted) Tài li¾u tham khao Aki, K and Richards, P G (1980), [1] Quantitative Seismology: Theory and Methods, W H Freeman, San Francisco [2] Brekhovskikh, L M Waves in stratified media Izd Akad Nauk SSSR, Mos (1973) [3] Brillouin, L (1946) "Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices, ser" International Series in Pure and Applied Physics [4] Chattopadhyay and Rajneesh (2006) "Reflection and refraction of waves at the interface of an isotropic medium over a highly anisotropic medium", Acta Geophysica, 54 (3), pp 239-249 [5] Fomenko, S I., Golub, M V., Zhang, C., Bui, T Q., and Wang, Y S (2014) "In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally graded phononic crystals" International Journal of Solids and Structures, 51 (13), 2491-2503 [6] Goffaux, C., Vigneron, J.P (2001) "Theoretical study of a tunable phononic band gap system" Physical Review B 64, 075118 [7] Golub, M.V., Fomenko, S.I., Bui, T.Q., Zhang, C., Wang, Y.S (2012) "Trans-mission and band gaps of elastic SH waves in functionally graded periodic laminates" International Journal of Solids and Structures 49, 344–354 92 TÀI LIfiU THAM KHÁO [8] Golub, M.V., Zhang, C., Wang, Y.S (2012) "SH-wave propagation and scattering in periodically layered composites with a damaged layer" Journal of Sound and Vibration 331, 1829–1843 [9]G R Liu and Z C Xi (2002) Elastic waves in anisotropic laminates CRC press [10]Haskell, N A., (1953) "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bull seism Soc Am., 43, 17-34 [11]J D Achenbach (1975) Wave Propagation in Elastic Solids, North-Holland publishing company Amsterdam, New York, Oxford [12] Kennett, B L N (1983), Seismic Wave Propagation in Stratified Media, Cambridge University Press, New York Ku [13] shwaha, M.S (1999) "Band gap engineering in phononic crystals" Re- cent Research Developments in Applied Physics 2, 743–855 [14] Luco, J E and Apscl, R J., (1983) "On the Green’s function for a layered half-space, Part I", Bull seism SOC Am., 73, 909-929 [15] Maldovan, M., Thomas, E.L (2009) Periodic Materials and Interference Lithography for Photonics, Phononics and Mechanics WileyVCH Verlag GmbH and Co KGaA, Weinheim, Germany [16] Thomson, W T., (1950) "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", J uppl Phys., 21, 89-93 [17] Ting.T.C.T (1996) Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Ox- ford Unversity Press NewYork [18] Vinh, P C., Tung, D X (2010) "Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces" Mech Res Comm 37, pp 285-288 [19] Wang, Y.Z., Li, F.M., Kishimoto, K., Wang, Y.S., Huang, W.H (2009) "Elastic wave band gaps in magnetoelectroelastic phononic crystals" Wave Motion 46, pp 47–56 TÀI LIfiU THAM KHÁO [20] Wu, M.L., Wu, L.Y., Chen, L.W (2009) "Elastic wave band gaps of one- dimensional phononic crystals with functionally graded materials" Smart Materials and Structures 18, 115013 [21] Xiaofei Chen (1993), "A systematic and efficient method of computing nor- mal modes for multilayered half-space", Geophys J Int 115, pp 391-409 94 ... ————————– Trương Th% Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP Hfi SO PHAN XA, KHÚC XA CAI TIEN CHO MÔI TRƯèNG PHÂN LéP TRUC HƯéNG Chuyên ngành: Cơ HQc v¾t ran Mã so: 60440107 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN... nhiên, phương pháp có m®t nhưoc điem co huu cna phương pháp ma tr¾n chuyen ket qua tính tốn so có the khơng őn đ%nh đoi vói sóng tói có tan so cao đưoc phân tích ky báo cna Chen (1993) [21], phương. .. truyen qua mơi trưịng phân lóp trnc hưóng N®i dung cna lu¾n văn ngồi phan mo đau ket lu¾n gom hai chương Chương se thiet l¾p phương trình ban cna phương pháp ma tr¾n h¾ so phan xa, khúc xa tőng quát