Luận văn thạc sĩ về một tính chất hữu hạn của qũy đạo dưới tác động của nhóm đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HOÀNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 846010104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HỒNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 846010104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đào Phương Bắc Mnc lnc Lài ma au Bang mđt so ký hiắu Bang mđt so thuắt ngE Kien thẫc chuan b% 1.1 Sơ lưoc ve đa tap đai so affine 1.2 Sơ lưoc ve nhóm đai so tuyen tính 1.3 1.2.1 Nhóm đai so affine 1.2.2 Nhóm đai so tuyen tính 10 1.2.3 Tôpô Zariski, thành phan bat kha quy cna nhóm đai so 12 1.2.4 Đ%nh lý thú hai cna Hilbert 15 Khai trien Jordan cna m®t tn đong cau cna phan tu nhóm đai so20 1.4 .Đai so Lie cna m®t nhóm đai so G 23 1.4.1 Cách xây dnng .23 1.5 1.6 1.4.2 Các ví du 25 1.4.3 Các tác đ®ng liên hop phu hop 26 Nhóm reductive, nhóm nua đơn, sơ lưoc ve h¾ nghi¾m .28 1.5.1 Đ%nh lý ve nhóm nua đơn 28 1.5.2 Sơ lưoc ve h¾ nghi¾m 30 Quy đao cna nhóm đai so 31 M®t so phiên ban cua tính chat hEu han quy đao 2.1 Đ%nh lý huu han cna Richardson 33 2.2 Đ%nh lý huu han cna Slodowy .39 2.3 C¾p reductive lóp liên hop phan tu lũy đơn 41 ii i 33 M®t so Éng dnng cua tính chat hEu han láp liên hap 49 3.1 Úng dung vào đa tap lũy đơn 49 3.1.1 Phan tu quy cna nhóm đai so 49 3.1.2 Lóp lũy đơn 54 3.2 Các câu hoi cna Kulshammer ve tính huu han cna so lóp bieu dien 57 Ket lu¾n 59 LèI Me ĐAU Các đieu ki¾n, tính chat liên quan đen tính huu han đóng vai trị quan TRQNG tốn mang nhieu n®i dung Đai so Có the ke o m®t so tính chat, ket qua quan TRQNG như: tính chat Noether cna vành (MQI iđêan đeu huu han sinh), Đ%nh lý so Hilbert nói rang vành đa thúc huu han bien trưịng ln Noether, tính huu han cna m®t so loai đoi đong đieu (chang han, đoi đong đieu Galois) Trong lu¾n văn tác gia trình bày ket qua cna Richardson đe c¾p đen tính huu han cna so quy đao úng vói nhóm nhóm lón xét tác đ®ng liên hop, m®t phiên ban khác cna Slodowy (khi xét tác đ®ng liên hop đong thịi), m®t so úng dung vào sn ton tai cna phan tu quy lũy đơn câu hoi cna Kulshammer lý thuyet bieu dien cna nhóm huu han Cho G m®t nhóm đai so vói H m®t nhóm cho (H, G)l mđt cắp reductive Ta xột tỏc đng liên hop cna G lên thơng qua tn cau Tác đ®ng cam sinh tác đ®ng phu hop cna G lên đai so Lie g tương úng Cho phan tu x h, h H Ký hi¾u G.x, G.h lan lưot quy đao cna x h đoi ∈ vói hai ∈ The Đ%nh lý huu han cna Richardson (xem Đ%nh lý 2.1.2) khang tác đ®ng nói đ%nh giao G.x∩ h (tương úng G.h H) chi gom huu han quy đao cna H trưịng K có đ¾c so H¾ qua cna khang đ%nh đưoc chúng minh trưóc boi B ∩ Kostant nói rang: neu K trưịng đ¾c so 0, đai so Lie g (tương úng nhóm đai so G) nua đơn chúng chi có huu han lóp liên hop phan tu lũy linh (tương úng, lũy đơn) Thêm vào vói ắc so trũng K tựy( ý v cắp l mđt c¾p ( )) H, GL V reductive đ%nh lý huu han van (xem Đ%nh lý 2.1.4) Do G nhóm reductive xác đ%nh mđt trũng ắc so tot (good characteristic, xem %nh ngha 2.3.4), so lóp liên hop phan tu lũy đơn ln huu han Đieu tra lịi m®t phan lón cho gia thuyet ve tính huu han cna so lóp lũy đơn cna R Steinberg đ¾t tai Đai h®i Tốn HQ c the giói năm 1966 (khơng có giói han ve h¾ so) Sau gia thuyet đưoc chúng minh hoàn toàn boi G Lusztig năm 1976 (xem Đ%nh lý 2.3.8) bang cách su dung công cu cna lý thuyet đong đieu giao (intersection homology) Tiep đen, thay cho tác đ®ng liên hop thơng thưịng, P Slodowy nghiên cúu câu hoi tương tn G tác đ®ng lên Gn G G (tương úng, gn g = ×…× = ×…× g) bang phép liên hop (tương úng, phu hop) đong thòi thu đưoc nhung ket qua tương tn cna Richardson (xem [12]) Đ¾c bi¾t H¾ qua 2.2.2 khang đ%nh neu nhóm sinh boi phan tu h1 , , hn H tách G (nghĩa cau∈xa quy đao G → G.(h1 , , hn ) tách), H ≤ G c¾p reductive G (h1, h2, ), hn H n van chi gom huu han quy đao cna H Gan trưịng hop nhóm∩con sinh boi phan tu h1, , h∈n H không tách G đưoc n nhieu sn quan tâm m®t so ví du (khá phúc tap) cho vi¾c G ( h1, h2, ) , hn H ∩ [17] (xem Ví du 2.2.4, gom vơ han lóp liên hop đong thịi cna H đưoc tìm o [1], Đ%nh lý 2.2.5) Tuy v¾y neu xét lóp liên hop bình thưịng (khi n 1), so lóp liên = hop cna H van huu han theo m®t ket qua cna R Guralnick (xem Đ%nh lý 2.2.6) M®t úng dung quan TRQNG cna tính chat huu han cna lóp liên hop phan tu lũy đơn sn ton tai cna phan tu quy lũy đơn (xem Đ%nh lý 3.1.8) Tù dan đen tốn tìm hieu đa tap lũy đơn (nói chung có kỳ d%), giai kỳ d% cna (phép giai cna Springer (Springer’s resolution)) m nđi dung i ngoi pham vi cna luắn văn Úng dung thú hai mà lu¾n văn đe c¾p đen hai câu hoi cna Kulshammer ve tính huu han cna so lóp bieu dien cna nhóm huu han vào m®t nhóm đai so tuyen tính bat kỳ (khơng nhat thiet nhóm GL (V) ) Trong lu¾n văn tác gia trình bày vi¾c ĐQ c hieu viet lai chi tiet m®t so ket qua nói Ngồi đơi cho tác gia có bő sung thêm chúng minh ho¾c ví du (chang han Nh¾n xét 2.3.9, hay Ví du 2.3.10) Lu¾n văn gom chương Chương đau chương kien thúc chuan b% Đ%nh lý quan TRQNG đưoc tác gia trình bày chi tiet chúng minh Đ%nh lý thú hai cna Hilbert (GQI theo R Steinberg) núi rang anh cna mđt dày (xem Đ%nh nghĩa 1.2.14) qua m®t cau xa l mđt dy (xem Mắnh e 1.2.15) Ngoi tác gia trình bày m®t so kien thúc ban ve nhóm đai so, phan tu nua đơn, lũy đơn cna nhóm đai so, sơ lưoc ve cau trúc cna nhóm reductive, đai so Lie cna nhóm đai so, quy đao cna nhóm đai so Đ¾c bi¾t lu¾n văn trình bày cách dùng Đ%nh lý thú hai cna Hilbert đe rút ket qua quan TRQNG ve quy đao cna nhóm đai so: MQI quy đao đeu mo bao đóng cna (xem Đ%nh lý 1.6.1) Trong Chương tác gia trình bày Đ%nh lý huu han Richardson m®t so ví du úng dung Điem mau chot chúng minh m®t so tính tốn ve Đai so Lie cna nhóm đai so khơng gian tiep xúc cna quy đao Sau tác gia trình bày phiên ban cna P Slodowy xét tác đ®ng liên hop đong thịi Vì đieu ki¾n ve c¾p reductive đưa boi Richardson quan TRQNG, nên tác gia dành m®t muc cna chương cho vi¾c tìm hieu ky ve c¾p reductive úng dung cna Đ%nh lý huu han Richardson rút so lóp liên hop phan tu lũy đơn huu han đ¾c so cna k tot Trong phan này, tác gia trình bày thêm ví du ve c¾p khơng reductive (Ví du 2.3.10) Trong Chương cuoi (Chương 3), tác gia trình bày úng dung cna ket qua nói vi¾c khang đ%nh sn ton tai phan tu quy lũy đơn đ¾c so char.k tot, úng dung vi¾c tìm hieu hai câu hoi cna Kulshammer ve tính huu han cna lóp liên hop bieu dien cna nhóm huu han vào m®t nhóm đai so bat kỳ cho trưóc Cu the hơn, cho K m®t trưịng đóng đai so, Γ m®t nhóm huu han thoa mãn ( char.K, |Γ|) 1, G m®t nhóm đai so tuyen tính bat kỳ Câu hoi hoi liắu = tai hay khụng mđt so huu han bieu dien ρ Γ G sai khác liên hop chi ton ∶ → G Bên canh đó, câu hoi hoi liắu chi ton tai hay khụng mđt so huu han bieu dien ρ ∶ Γ →G cho han che xuong m®t nhóm Sylow cho trưóc Γp thu®c vào lóp cho Khi G = GLn, tính huu han câu hoi có the suy đưoc tù đ%nh cő đien cna Maschke lý thuyet bieu dien nhóm huu han Ca hai câu hoi đeu có cách tiep c¾n cna Slodowy thơng qua khao sát lóp liên hop đong thịi, nhiên lu¾n văn chi có đieu ki¾n trình bày câu hoi thú nhat, câu hoi thú hai dùng o múc đ® giúi thiắu e ti Ve Mđt Tớnh Chat Huu Han Cna Quy Đao Dưói Tác Đ®ng Cna Nhóm Đai So” n®i dung tác gia cHQN đe nghiên cúu làm lu¾n văn tot nghi¾p sau hai năm theo HQc chương trình cao HQ c chuyên ngành Đai So Và Lý Thuyet So tai trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên-ĐHQGHN Đe hồn thành q trình nghiên cúu hồn thi¾n lu¾n văn này, lịi đau tiên tác gia xin chân thành cam ơn sâu sac đen TS Đào Phương Bac, cán b® khoa Tốn-Cơ-Tin HQc– trưịng Đai HQ c Khoa HQc Tn Nhiên-ĐHQGHN Thay trnc tiep chi bao hưóng dan tác gia suot q trình nghiên cúu đe tác gia hồn thi¾n lu¾n văn Ngồi tác gia xin chân thành cam ơn thay, khoa Tốn-Cơ-Tin HQc đóng góp nhung ý kien quý báu cho lu¾n văn Nhân d%p này, tác gia xin cam ơn Khoa-Cơ-Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, lãnh đao khoa anh ch% cơng tác tai trưịng tao đieu ki¾n thịi gian cho tác gia suot q trình nghiên cúu Tác gia xin cám ơn đe tài QG.18.01 TS Đào Phương Bac chn trì có nhung ho tro ve m¾t tài Cuoi cùng, tác gia xin cam ơn nhung ngưòi thân, ban bè ln bên tác gia, đ®ng viên tác gia hồn thành khóa Trân TRQNG HQ c ban lu¾n văn cam ơn! Hà N®i, ngày tháng năm 2019 HQ c Viờn Vừ Duy Hong Bang mđt so ký hiắu LieG, g Greg Greg,ss R C Fq k ks Gal( L/ K ) #A GL(V ) Đai so Lie cna nhóm G T¾p điem quy cna G T¾p điem quy, nua đơn cna G Trưịng so thnc Trưòng so phúc Trưòng huu han gom q phan tu Bao đóng đai so cna trưịng k Bao tách đưoc cna trưịng k Nhóm Galois cna mo r®ng Galois /L K So phan tu cna t¾p A Nhóm tuyen tính tőng qt SL(V ) bi¾t ) SO(V Nhóm tuyen tính đ¾c Nhóm trnc giao đ¾c bi¾t Sp(V ) sympletic char.k G0 Ga Gm k[ X ] ( a1, ), diag Nhóm Đ¾c so cna trưịng k Thành phan liên thơng chúa đơn v% nhóm G Nhóm c®ng tính Nhóm nhân tính Đai so hàm quy cna đa tap X vói h¾ so k an Ma tr¾n chéo vói phan tu đưịng chéo lan lưot a1, , an Bang mđt so thuắt ngE Cau xa Morphism a tap đai so Algebraic Variety Đ¾c so tot Good characteristic Đang giong Isogeny Hàm lóp Class function Ngăn (te bào) Cell Nhóm đai so tuyen tính Linear algeraic group Nhóm reductive Reductive group Nhóm nua đơn Semisimple group Nhóm hau đơn Almostsimple group Nhóm lũy đơn Unipotent group Phan tu quy Regular element Phan tu nua đơn Semisimple element Phan tu lũy đơn Unipotent element Quy đao Orbit Tác đ®ng liên hop Conjugate action Tác đ®ng đa liên hop Multi-conjugate action Tác đ®ng phu hop Adjoint action Tác đ®ng liên hop đong thịi Simultaneously conjugate action T¾p đai so Algebraic Set T¾p dày Epais Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương xuyên suot lu¾n văn, neu khơng gia thiet thêm ta ln xét k l mđt trũng úng so ieu kiắn ắc so se đưoc lưu ý thêm can 1.1 Sơ lưac ve đa tap đai so affine Ve trnc giác, m®t V cna k n oc GQI l mđt đai so neu chi neu huu han đa thúc [trong k x1 , , xn Ví du, t¾p nghi¾m ( cna )= đa thúc + F x, y x2 y ]1 C2 , có điem thnc − v% M®t cách tn nhiên ta có the đ%nh nghĩa đa tap affine đưịng trịn đơn t¾p nghi¾m cna mđt HQ l mđt so Tuy nhiờn, khỏi niắm ny cha cú tớnh nđi tai Chang han, m®t đa ( ) quan tap affine TRQNG GLn k (nhóm ma tr¾n vng kha ngh%ch cap n) khơng ( )t¾p nghi¾m Matn k , lai có the xem ( )là t¾p đai so xác %nh boi ì Matn k k Vỡ vắy ta can đ%nh nghĩa ve đa tap đai so (affine) m®t cách xác sau ( ) Đ%nh nghĩa 1.1.1 (xem [16]) Mđt a tap so l mđt cắp V, A ú V l mđt hop, v A m®t k-đai so cna hàm V vói giá tr% k C¾p thoa mãn tính chat sau : A huu han sinh m®t k-đai so A có tính chat tách điem V , túc vói MQI x ≠ y ∈ V , ton tai f ∈ A cho f (x) ≠ f (y) 3.MQI đong cau giua k-đai so ϕ ∶ A→ k đeu m®t đ%nh giá ex tai m®t điem x ∈ V , túc là, ϕ(f ) = f (x), vói MQI f ∈ A Chương M®t so Éng dnng cua tính chat hEu han láp liên hap Trong Chương này, phan đau tác gia trình bày úng dung cna ket qua nói đe khang đ%nh sn ton tai phan tu quy lũy đơn đ¾c so char.k tot Chúng ta se thay đa tap phan tu lũy đơn (song song vói đai so Lie đa tap lũy linh) có tính chat hình HQc rat đep, đa tap có m®t lóp liên hop phan tu quy lũy đơn, bao gom tồn b® điem trơn, điem kỳ d% có so đoi chieu 2, có m®t giai kỳ d% tn nhiên mang tên Springer Tuy nhiên ≥ khn khő cna lu¾n văn tác gia chi có the trình bày chi tiet phan nhung đieu Phan cịn lai tác gia trình bày cách tiep cắn cna Slodowy thụng qua tỏc đng liờn hop ong thịi đe tìm hieu hai câu hoi cna Kulshammer ve tính huu han cna lóp liên hop bieu dien cna nhóm huu han vào m®t nhóm đai so bat kỳ cho trưóc 3.1 3.1.1 Úng dnng vào đa tap lũy đơn Phan tE quy cua nhóm đai so Phan viet chn yeu dna theo [16, §3.5] Cho G m®t nhóm reductive liên thơng Khi cna G đong thòi tâm cna G Ngồi giao hốn tu G′ = [ G,] G m®t nhóm nua đơn MQI xuyen cnc đai T cna G đeu có dang tích hau trnc tiep T S T ′, = vói S Z G tâm cna G, T ′ m®t xuyen cnc đai cna G′ = ( ) ⋅ Đ%nh nghĩa 3.1.1 Phan tu x G đưoc GQI m®t phan tu quy cna G ∈ neu tâm ZG (x) có so chieu nho nhat tâm hóa cna phan tu cna G, hay tương −1 đương, quy đao (lóp liên hop) G.x = gxg g| G ∈có so chieu lón nhat { } Nh¾n xét 3.1.2 Do đieu ki¾n ve so chieu, phan tu quy đương nhiên ton tai Ta se tìm hieu đieu ki¾n đe m®t phan tu quy lũy đơn, hay nua đơn M¾nh đe 3.1.3 (xem [16, Prop 1, p 94]) Chieu nhó nhat chung cua tâm hóa phan tu quy (ZG( x) ) hang cua G Chúng minh Ta co đ%nh m®t xuyen cnc đai T cna G Khi ton tai m®t phan∈tu t T cho tâm hóa ( )Z=G t (ZG) T Do = r dim=T dim( Z ) G T lón hay bang chieu nho nhat chung cna tâm hóa Bây giị ta chi vói MQI x∈ G, so chieu dim(Z)G≥x r Nh¾n thay x B m®t nhóm Borel Xét phân= tích T [ U ]Khi B, B ⋅ ∈B ⊆ U , kéo dim T r Do /[ theo] dim ≥ B B, B = dim ZG (x) ≥dim ZB (x) =dim B dim B.x − M¾t khác B.x⊆B, [ B ], nên dim B.x ≤ dim B, [ B dim ] U Tù suy ≤ dim B−dim( B.x) ≥dim B−dim U=dim T r = V¾y tù hai bat thúc suy dim ZG( ) x≥ r Tù ta có đieu can chúng minh M¾nh đe 3.1.4 (xem [16, Prop 2, p 95]) Cho G=GLn, SLn Khi đó: M®t phan tu nua đơn quy neu chs neu giá tr% riêng cua khác tùng đơi m®t M®t phan tu lũy đơn quy neu chs neu có nhat m®t khoi dang Jordan Các đieu sau tương đương: (a) x quy (b) Đa thúc cnc tieu cua x có b¾c n (nói cách khác, đa thúc cnc tieu bang đa thúc đ¾c trưng) (c) ZG (x )là m®t nhóm abel (d) kn m®t mơđun cyclic Chúng minh Trưịng hop G = SLn chi khác vói G GLn o cho can thêm ràng bu®c đ %nh thúc bang tính tốn nên khơng mat tőng quát gia su GLn = (1) : Vì x m®t phan tu nua đơn G, nên x liờn hop (ong dang) vúi mđt ma trắn chộo t =diag( t1, ) , tn , t1, , tn giá tr% riêng (ke ca b®i) cna x Phan tu x quy chi (tâm ) hóa ZG t bang T Nh¾n thay neu có hai phan tu ti tj tâm hóa se chúa thnc sn T Do x quy chi phan tu = đưòng chéo cna t phân bi¾t, hay tương đương, giá tr% riêng cna x phân bi¾t (2) : Vói u phan tu lũy đơn, u đong dang vói tőng trnc tiep khoi Jordan vói phan tu đưịng chéo bang Vói v khoi Jordan: fı1 … ı0 1 … ı0⋅ 00⋅0 v=ı ı, ı ⎞0 tâm hóa ZG (v) cna m®t f x1 ı HQ 0⎞ı 0ı … 1⋅ ı 0⋅ … 1⋅ … 1ıJ ma tr¾n có dang: x2 x3 … xn−1 − xn ⎞ ı − xn xn 1ı x1 x2 ı 0 x1 … xn−1 xn−2 ı ı 0⋅ 0⋅ 0⋅ … x⋅1 x⋅2 ı ⎞0 0 … x1 J Vắy neu u chi gom mđt khoi Jordan, so chieu cna tâm hóa bang n, dan u phan tu quy Neu u gom nhieu m®t khoi Jordan, tâm hóa có so chieu lón n Do v¾y, phan tu lũy đơn G quy neu chi neu có m®t khoi Jordan (3) : Ta chúng minh “ a cơng nh¾n Vì x ( )b⇔ ”, ( )nhung tương đương cịn lai khơng thnc sn can nên ta GLn phan tu quy neu chi neu ma tr¾n đong dang vói (nói riêng dang chuan Jordan J x ) phan tu quy M¾t khác x quy neu chi neu dim Gx đat giá tr% nho nhat bang n chieu cna xuyen cnc ∈ ( ) đai The dim ZG( (J )) x= n Do khơng có hai khoi Jordan có phan tu đưòng chéo bang nhau, nghĩa đa thúc toi tieu bang đa thúc đ¾c trưng, có b¾c n M¾nh đe 3.1.5 (xem [16, Prop 3, p 96]) Cho t m®t phan tu nua đơn Các khang đ%nh sau tương đương: (a) Phan tu t quy (b) ZG t(0)là m®t xuyen cnc đai (c) Phan tu t chúa m®t xuyen cnc đai cua G (d) ZG t( gom toàn phan tu nua đơn ) (e) α (t) vái MQI nghi¾m α đoi vái MQI, vái m®t, xuyen cnc đai chúa ≠ t Chúng minh Ta cHQN m®t xuyen T m®t nhóm Bored B sao∈cho t = T B T U m®t phân tích thành tích nua trnc tiep a ( a ) ⇒ ( b) : Ta có T ⊆ ZG (t )0 Vì t phan tu quy, nên dim( T) = r dim(ZG (t) Vắy T=ZG (t=)0, hay ZG (t )0 l mđt xuyen cnc đai ( b) ⇒ ( c) : Cho t∈T ′ m®t xuyen cnc đai The T ′⊆ZG (t )0 ban thân ZG t( 0) cnc đai cna G − ()⇒( ) ∈ ⊆ () ∈ () m®t xuyen cnc=đai cna G Do T = ZG(t)0 Vỡ vắy t thuđc ỳng = m®t xuyen c b : Gia su t T ZG t Vói moi g ZG t 0, ta có gtg t, kéo theo gTg chúa t Vì chi có( xuyen cnc đai chúa T , nên ta có ) ⊆nhat( m®t ) gTg T Vì v¾y g chuan hóa T , hay ZG t NG T 0, m®t nhóm liên thơng Theo đ%nh lý cúng (Rigidity, xem [16, §2.7, p 43]), ta có NG (T ) 0= ZG (T ) 0= T V¾y ket hop vói t∈T ⊆ZG (t) 0, ta có ZG( t) T = (b) ⇒ d( :) Theo Bő đe ve trù m¾t (xem [16, Cor 4, p 71]), ta có tat ca phan tu lũy đơn ZG (t )nam ZG t( 0) l mđt xuyen Mắt khỏc, cỏc phan tu cna ZG ( t) nua đơn, nên ZG( )t m®t xuyen Do (Z)G = t u{ } e Neu∈x (Z)G t , xs, xu giao hốn vói t Do v¾y ∈ xu( ) Z =G {t } u e ,=hay xu x xs, kéo theo x xs nua đơn, hay ZG t chi chúa=phan tu nua đơn = ( ) (d) ⇒ (e): Cho R = Φ(T, G) h¾ nghi¾m cna T G Gia su α(t) = vói α ∈ R txα c t−1 xα α t c , The ( ) ==xα (c) ( ( )vói ) MQI c ∈ Ga V¾y Uα ⊆ZG( t) , kéo theo mâu thuan vói gia thiet Z(G )t chi chúa phan tu nua đơn V¾y α(t) ≠ vói MQI nghi¾m α (e) ⇒ (b): Đau tiên ta se chúng minh: ZG(t)0 ∩ U −B ⊆ T CHQN x ∈ ZG(t)0 ∩ U −B Khi x có dang ‡ x−α (cα )t′ ‡ xα (dα ), α>0 α>0 cα , dα ∈ k, t′ ∈ T , x giao hốn vói t V¾y x = txt−1 = t (‡ x−α (cα )) t′ ‡ α>0 −1 α>0 −1 xα (dα=)t‡ ,x−α (α(t) cα ))t′ ‡ xα (α(t)dα ) α> Tù tính nhat cna bieu dien, α( )t α (0.) Vì ≠ α t ∈vói moi α = R, =nên cα − T M¾t khác U B ∈là mo( ) ∩ G, nên ZG t − α> c =α d>α −1 cα ( )α t= dα vói MQI = dα vói MQI ′ α Vì v¾y x t U B mo nhóm (con ) bat − quy ZG t ⊇ kha Ta (lai) vùa ∩ chi T ( )ZG t U B ZG t 0(bat ) ∩kha quy, kéo = ( ) T − mo ZG t=0 Vì theo ZG t 0( ) U B ( )ZG t bat kha quy, nên T 0 ZG (t) ⇒ ( ) () b a : Vì ZG t = xuyen cnc đai, nên dim Gt rankG, kéo theo dim G.t có chieu cnc đai Do t quy Chúng ta nêu khang đ%nh sau cho m®t mơ ta đay đn ve tâm hóa cna m®t phan tu nua n chỳa mđt xuyen cnc Mắnh e 3.1.6 (xem [16, Prop 4, p 98]) Cho phan tu t ∈ T m®t xuyen cnc đai, Φ(T, G )là h¾ nghi¾m cua T The thì: ZG ( t) =G1 = T, ( Uα, n|w α ( ) t=1, w∈W(T, G ) , (w) = tt ) ZG ( t) 0= (T, Uα| α( )t =1, w∈W( T, G )) cng l mđt nhúm reductive Hắ qua 3.1.7 Cỏc phan tu quy nua đơn cua G l¾p thành mđt mỏ vỏi phan bự cú so oi chieu Chúng minh Co đ%nh m®t xuyen cnc đai T Đ¾t R =Φ(T, G)là h¾ nghi¾m úng vói T Xét đa thúc f = ‡ (α −1 , ) α∈ R hay f ( x) = ∏α∈R(α (x) −x ) Vì moi phan tu cna nhóm Weyl w W hốn v% h¾ nghi¾m R nên f ∈ k[T ]W Theo [16, Theorem of 3.4], f0 thác trien m®t cách nhat ∈ lên m®t hàm lóp f ∈C[G] (hàm lóp hàm hang moi lóp liên hop) Ta se chi vói S ∶= {x∈f( )x≠ }0 S t¾p phan tu quy, nua đơn Greg,ss= S, t¾p phan tu quy nua đơn cna G Th¾t v¾y vói ∈xGreg,ss , theo M¾nh đe 3.1.5 (phan (e)), ta có α(x) ≠ x vói MQI α ∈ R Do f (x) = ‡(α(x) − x) ≠ 0, α∈ R kéo theo x ∈ S Do ta có bao hàm thúc Greg,ss⊆ S M¾t khác, vói x∈ S, x thu®c m®t nhóm Borel Vì f hàm lóp MQI nhóm Borel đeu liên hop, nên ta có the gia su x thu®c m®t nhóm Borel co đ%nh B chúa T Xét phân tích thành tích nua = trnc tiep B U T phân tích Jordan x ∈ s.u Theo cách xây dnng cna hàm lóp f ta có: a f (x) = f (s) The f (s) ≠ 0, kéo theo α s ‡ ( − )( ) Do α s s vói MQI α α∈ R, kéo theo s quy (xem M¾nh đe ≠ R 3.1.5) Z s chi gom phan tu G ( ) Do ∈ nua ( )đơn Vì x ZG s nên x nua ( )≠ = đơn Greg,ss Do = Do u 1, x s phan tu quy nua đơn V¾y S Greg,ss là∈ t¾p mo vói phan (bù)là= t¾p x , α R α x ( ( ) điem − cna f x ∏ khơng = kéo theo có đoi chieu Tù )∈ ta có đieu can chúng minh 3.1.2 Láp lũy đơn Muc đích phan chi sn ton tai cna phan tu quy lũy đơn đoi vói nhóm reductive tùy ý Khi char.K 0, đieu đưoc chi boi Dynkin-Kostant Khi = char.K tùy ý, đieu đưoc chi boi R Steinberg (xem [14]) T A Springer dùng phương pháp cna Đai so Lie chi sn ton tai cna phan tu lũy đơn quy vói hau het đ¾c so cna K Trong muc trình bày sn ton tai cna phan tu quy lũy đơn m®t úng dung cna đ%nh lý huu han Richardson Ta biet Đ%nh lý huu han Richardson suy MQI giao cna lóp liên hop vói G chi gom ∩ GLn g huu han lóp liên hop cna G trưịng so có đ¾c so tot (xem M¾nh đe 2.3.3) Thnc te sau ta biet tính huu han cna lóp lũy đơn G reductive (xem Nh¾n xét 2.3.7) The Đ%nh lý 3.1.8 (xem [16, Theorem 3, p 108]) Cho G m®t nhóm reductive xác đ%nh trưàng đ¾c so tot (ho¾c thay bang gia thiet so láp lũy đơn huu han), ký hi¾u V =Gu t¾p phan tu lũy đơn cua G Khi đó: (a) V đóng, bat kha quy G có so đoi chieu r= rankG G (b) V chúa m®t láp nhat phan tu lũy đơn quy Nói riêng, phan tu quy ln ton tai trưàng sá có đ¾c so tot Láp má, trù m¾t V có phan bù so đoi chieu V ≥ Chúng minh Vì phan so đoi chieu ≥2 V can hieu biet vưot khoi nđi dung cna luắn nờn tỏc gia dan ve [16, Prop 2, p 133] Bây giò tác gia trình bày chúng minh phan cịn lai (a) : Xét m®t bieu dien trung thành G ~ GLn The GLn,u = { A ∈GLn | (A −En )n = 0} õy l mđt úng cna GL n Do G= u GLn,u G ∩ G l mđt úng Co %nh mđt nhóm Borel B cna G Ta xét t¾p −1 S ∶= {(gB, x ) |g xg∈U } ⊆G/ B G × Khi S đóng anh cna cau xa: θ ∶ G×U —→G / B U × ( (gB, gug−1) (g, u) Do S bat kha quy Ta có sơ đo sau: G ×U θ G/Bsj × G ,, p s ss ,css G/B J Iθ { ∶ g, ( u ) ( (gB, gug)−1 , ,, p2 ss ,, ,, ,, z G, ı›p1, p2 phép chieu theo TQA đ thỳ nhat v thỳ hai Nhắn thay p1( S) =G/ B MQI thó cna p1 đeu liên hop vói U nên có so chieu Do theo đ%nh lý tőng quát ve chieu (xem chang han [6, Theorem 4.5, p 34]) ta có: dim S = dim G/B + dim U = dim G − dim B + dim U = dim G − dim T = dim G − r M¾t khác theo phép chieu thú hai ta có anh p2(S) = V = Gu Nh¾n thay phan tu x = ‡ xα(cα) ∈ Uα∈∆ − cho cα vói MQI nghi¾m đơn α, ta có thó p x huu han (Do dim p2 S ≠ ( ) ( ) dim S có so đoi chieu rankG.) Bây giị ta chi vói x trên, neu g−1xg ∈ U =2 g ∈ B Th¾t v¾y, g−1= u.nw.b, vói u∈ Uw, nên ta có the gia su b = Vì g−1xg U nên unwxn−1u−1 ∈ ∈U , kéo theownwxn−1 ∈ U Laiw có nwxn−1 ∈ ∏α>0 w Uw(α) nên w(α) > cα ≠ Do (w) >α vói MQI α nhung nghi¾m đơn V¾y w chuyen = theo w id, kéo theo phan buong ban (fundamental chamber) vào nó, kéo tu đai ∈ di¾n nw T , hay g B Do phan (a) đưoc chúng minh (b) : Vì G chi có huu han lóp lũy đơn nên V =Gu hop cna huu han lóp liên hop ∈ Do dim V bang so chieu cna nhat m®t lóp Gia su lóp có Cso chieu bang: dim Gu= dim G r Khi lóp C0 quy Vì MQI lóp đeu − mo bao đóng cna nó, nên lóp mo trù m¾t V = Gu Ngồi MQI lóp khác cna V đeu có so chieu nho C có đieu can chúng minh thnc sn V¾y Ví dn 3.1.9 (xem [16, p 129]) Vói G = SL2, ta có fa b ⎞ G = u{ | a + b = 2, ad − bc = 1} ⎞ fa db Jc ⎞ ={ ⎞c −aJ | (a − 1)2 = −bc} Đây m¾t nón K3 vói điem kỳ d% nhat 1,( 0, ,)có hai lóp lũy đơn Gu lóp chớnh quy Gu ì {E2 chớnh l cỏc iem đơn cna Gu Nh¾n xét 3.1.10 Như} v¾y ta thay đa tap phan tu lũy đơn V có so đoi chieu r = rankG G, nói chung có kỳ d%, t¾p điem trơn lóp quy phan tu lũy đơn, t¾p điem kỳ d% có so đoi chieu ≥ V T A Springer tìm m®t phép giai kỳ d% rat đep cho đa tap đưoc GQI giai Springer (xem [16, Theorem1, p 129]), giai kỳ d% lai mo nhieu nghiên cúu mói ve Hình HQc cna nhóm đai so 3.2 Các câu hoi cua Kulshammer ve tính hEu han cua so láp bieu dien Trong muc tác gia đe c¾p câu hoi cna Kulshammer ve tính huu han cna so lóp bieu dien cna nhóm huu han Theo đ%nh lý cő đien cna Maschke, ta biet neu char.K, Γ| |) = 1, moi bieu dien ρ ∶Γ →GL (V) đeu phân tích đưoc thành tőng trnc ( tiep bieu dien bat kha quy M¾t khác moi nhóm huu han chi có huu han bieu dien bat kha quy sai khác cau, nên theo Bő đe Schur, sai khác liên hop GL( V) , chi có huu han lóp bieu dien ρ∶ Γ→GL V ( ) Trong [7], B Kulshammer đ¾t câu hoi tương tn xét G m®t nhóm đai so tùy ý thay cho GL( V) Câu hoi 3.2.1 (xem [12, Introduction, p 331]) Cho K m®t trưịng đóng đai so, Γ m®t nhóm huu han thoa mãn char.K, ( | |) Γ 1, G m®t nhóm đai so tuyen = khơng m®t so huu han bieu dien ρ Γ G sai tính bat kỳ Li¾u chi ton tai hay ∶ → khác liên hop G? Ngoài B Kulshammer đ¾t câu hoi thú hai có liên quan sau Câu hoi 3.2.2 (xem [12, Introduction, p 331]) Cho p =char.K, Γp m®t p-nhóm Sylow cna Γ Li¾u sai khác liên hop G, chi có huu han bieu dien ρ∶ Γ→ G cho han che xuong Γp thu®c vào lóp cho? Sau khái ni¾m ve hai bieu dien tương đương cna nhóm huu han nhóm đai so Đ%nh nghĩa 3.2.3 Cho Γ m®t nhóm huu han G m®t nhóm đai so, ta nói m®t bieu dien đai so Γ G m®t đong cau nhóm đai so∶ ρ→ Γ G Hai bieu dien ρ, ρ′ ∶ Γ → G đưoc GQI tương đương neu ton tai g ∈ G cho ρ′ (γ) = gρ(γ)g −1 vói MQI γ ∈ Γ M¾c dù Câu hoi 3.2.1 đưoc đưa khoang nhung năm 1990 theo ý cna A Borel, câu hoi có câu tra lòi khang đ%nh boi A Weil tù năm 1964 (xem [19]) Cu the có khang đ%nh sau Đ%nh lý 3.2.4 (xem [12, Theorem 2, p 334]) Gia su (|Γ| , char.K) chs m®t so huu han láp tương đương đong cau ρ∶ Γ=→ G 1, the ton tai Thnc te Đ%nh lý 3.2.4 đưoc chúng minh boi T A Springer, R Richardson thư tù trao đői cna ơng vói Kulshammer Slodowy Sau chúng minh Đ%nh lý 3.2.4 cho trũng hop nhúm G chap nhắn mđt phép nhúng ι ∶G GL ~ V (sao) cho G, GL ( V l(mđt )) cắp reductive Chỳng minh Xem moi bieu dien ρ Γ∶ G→như m®t phan tu ρ = ρ( γ ()γ | ∈ Γ)∈ GΓ =Map (Γ, G) Hai bieu dien ρ, ρ′ tương đương neu chúng nam m®t lóp liên hop đong thòi cna G GΓ Gia su phép nhúng ι G GL(V) l mđt cắp reductive ton tai theo gia thiet Theo Đ%nh lý Maschke, chi ton tai huu han bieu dien Γ → GL(V) (|Γ|, char.K) =1 Do moi lóp bieu dien xem m®t GL(V) -quy đao GL V Γ Moi lóp phân tích đưoc thành huu han G-quy đao sau lay giao () vói GΓ theo H¾ qua 2.2.2 Do chi ton tai huu han bieu dien sai khác cau Đe ket thúc lu¾n văn tác gia giói thi¾u đ%nh lý cna Slodowy cho câu hoi thú hai cna Kulshammer Đ%nh lý 3.2.5 (xem [12, Theorem 3, p 338]) Cho G m®t nhóm reductive xác đ%nh trưàng đóng đai so K vái đ¾c so p > cho p tot đoi vái G Cho Γ m®t nhóm huu han vái p-nhóm Sylow Γp co đ%nh m®t láp G-tương đương bieu dien Γp → G Khi chs có huu han láp G-tương đương bieu dien ρ ∶ Γ → G cho che ρ|Γ thu®c vào láp cho han Cách làm cna P Slodowy su dung câu tra lòi khang đ%nh cna A Borel nhóm G= GL V ( ), phiên ban cna Slodowy cho tính chat huu han m®t so kien thúc ve đoi đong đieu cna nhóm Tác gia dan ve báo [2] [18] cho nhung tien b® gan nghiên cúu câu hoi cna Kulshammer KET LU¾N Trong lu¾n văn này, tác gia thnc hiắn mđt so cụng viắc nh sau: Trỡnh by m®t so ket qua ban ve đa tap đai so, nhóm đai so affine, quy đao cna Nói riêng, chúng minh Đ%nh lý thú hai cna Hilbert ve cau xa giua đa tap đai so (xem M¾nh đe 1.2.15), tù chúng minh đ%nh lý ban ve quy đao cna nhóm đai so (Đ%nh lý 1.6.1) Trình bày chúng minh đ%nh lý huu han cna Richardson (Đ%nh lý 2.1.2), phiên ban cna Slodowy cho tác đ®ng liên hop đong thịi (Đ%nh lý 2.2.1) Trình bày ví du ve c¾p reductive (Nh¾n xét 2.3.9) dan tính huu han cna lóp lũy đơn đ¾c so tot (Đ%nh lý 2.3.6) Trình bày ví du ve c¾p khơng reductive (Ví du 2.3.10) Trình bày úng dung chi sn ton tai cna phan tu quy, lũy đơn, mơ ta đa tap phan tu lũy đơn (Đ%nh lý 3.1.8) Giói thi¾u úng dung cna phiên ban cna Slodowy ve tác đ®ng liên hop đong thịi hai câu hoi cna Kulshammer ve tính huu han cna bieu dien cna nhóm huu han vào nhóm đai so tùy ý (Đ%nh lý 3.2.4, Đ%nh lý 3.2.5) Tài li¾u tham khao [1]M Bate, B Martin, G Roehrle, R Tange: Complete reducibility and separability Trans Amer Math Soc 362 (2010), no 8, 4283–4311 [2]M Bate, B Martin, G Roehrle: On a question of Kulshammer for representations of finite groups in reductive groups Israel Journal of Mathematics 214 (1) (2016), 463–470 [3]A Borel: Linear Algebraic Groups Second edition Graduate Texts in Mathematics, 126 Springer-Verlag, New York, 1991 xii+288 pp ISBN: 0-387-97370-2 [4]D Dumas: Linear Algebraic Groups Minor thesis, Harvard 2000 [5]R M Guralnick: Intersections of conjugacy classes and subgroups of algebraic groups Proc Amer Math Soc 135 (2007), no 3, 689–693 [6]J E Humphreys: Linear Algebraic Groups Graduate Texts in Mathematics, 21 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975 xiv+247 pp [7]B Kulshammer: Donovan’s Conjecture, Crossed Products and Algebraic group actions Israel J Math (1995), 1–12 [8]G Lusztig: On the finiteness of the number of unipotent classes Invent Math 34 (1976), no 3, 201–213 [9]B A Martin: Algebraic Groups and Geometric Approach, available G-complete reducibility: at https://www.ruhr-uni- bochum.de/imperia/md/content/mathematik/lehrstuhlvi/compred.pdf [10]J S Milne: Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field, Cambridge University Press, 2017 doi:10.1017/9781316711736, ISBN 9781107167483, MR 3729270 [11]R W Richardson: Conjugacy classes in Lie algebras and algebraic groups Ann of Math (2) 86 (1967), 1–15 [12]P Slodowy: Two notes on a finiteness problem in the representation theory of finite groups With an appendix by G.-Martin Cram Austral Math Soc Lect Ser., 9, Algebraic groups and Lie groups, pp 331–348, Cambridge Univ Press, Cambridge, 1997 [13]T A Springer, R Steinberg: Conjugacy classes In: Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups, pp 167–266 Lecture Notes in Mathematics, vol 131 Springer, Berlin, Heidelberg, 1970 [14]R Steinberg: Regular elements of semisimple algebraic groups Inst Hautes Etudes Sci Publ Math No 25 (1965), 49–80 [15]R Steinberg: Classes of elements of semisimple algebraic groups 1968 Proc Internat Congr Math (Moscow, 1966) pp 277–284 [16]R Steinberg: Conjugacy classes in algebraic groups Notes by Vinay V Deodhar Lecture Notes in Mathematics, Vol 366 Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974 vi+159 pp [17]T Uchiyama, Separability and complete reducibility of subgroups of the Weyl group of a simple algebraic group of type E7 J Algebra 422 (2015), 357–372 [18]T Uchiyama, Complete reducibility, Kulshammer’s question, conjugacy classes: a D4 example, Arxiv 2017 [19]A Weil: Remarks on the cohomology of groups Ann of Math (2) 80 (1964), 149– 157 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HOÀNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: ... Trong lu¾n văn tác gia trình bày ket qua cna Richardson đe c¾p đen tính huu han cna so quy đao úng vói nhóm nhóm lón xét tác đ®ng liên hop, m®t phiên ban khác cna Slodowy (khi xét tác đ®ng liên... lu¾n văn Úng dung thú hai mà lu¾n văn đe c¾p đen hai câu hoi cna Kulshammer ve tính huu han cna so lóp bieu dien cna nhóm huu han vào m®t nhóm đai so tuyen tính bat kỳ (khơng nhat thiet nhóm