Thông tin tài liệu
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Đ¾NG ĐÌNH SƠN PHÂN TÍCH CARTAN TRONG AI SO LIE V CI ắT MđT SO THUắT TON LƯeNG TU Chuyên ngành: Đai so lí thuyet so Mã so: 60.46.01.04 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GS.TSKH ĐO NGOC DI›P Hà N®i - 2014 LèI CAM ƠN Tác gia xin chân thành gui lịi cam ơn sâu sac tói GS TSKH Đo NGQ c Di¾p, Vi¾n Tốn HQc, Vi¾n Hàn lâm Khoa Ngưịi thay đáng kính, tao MQI HQc Cơng ngh¾ Vi¾t Nam đieu ki¾n giúp đõ, dày cơng hưóng dan đe tác gia hồn thành lu¾n văn Tác gia xin chân thành cam ơn thay cô khoa Tốn - Tin - Cơ HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên Hà N®i nói chung thay b® mơn Đai so - Hình HQc nhieu kien thúc khoa cho q trình - Tơ Pơ Các thay truyen đat cho HQc HQ c mói bő ích tao MQI đieu ki¾n tot nhat t¾p nghiên cúu Xin chân thành cam ơn ban bè, đong nghi¾p, nhung ngưịi thân đ®ng viên giúp đõ suot q trình HQc thnc hiắn luắn H Nđi, thỏng 11 năm 2014 Sơn Đ¾ng Đình MUC LUC Lịi cam ơn Muc luc Danh muc ký hi¾u, chu viet tat .4 Me ĐAU Chương - TŐNG QUAN Tőng quan ve thu¾t tốn lưong tu 1.1 Các khái ni¾m ban cna tính tốn lưong tu 1.1.1.Thanh ghi lưong tu .9 1.1.2.Đo lưong tu .10 1.1.3.Cőng lưong tu 12 1.2 Thu¾t tốn lưong tu 15 1.2.1 Thu¾t tốn lưong tu múc tőng quát 16 1.2.2 Mô hình dây 17 M®t so kien thúc chuan b% 21 2.1 Giói thi¾u ve nhóm Lie Đai so Lie cna m®t nhóm Lie 21 2.2 Cau trúc cna su(N ) so(N ) 27 2.2.1.H¾ nghi¾m cna nhóm Lie .27 2.2.2 Cau trúc cna su(N ) 29 2.2.3.Cau trúc cna so(2N ) 31 Ket lu¾n 33 Chương - PHÂN TÍCH CARTAN 34 Mo đau 34 Phân tích Cartan chuan 37 2.1 Phân tích khơng gian nghi¾m 37 2.2 Phân tích Cartan chuan 40 Phân tích su(N ) 42 Phân tích so(2N ) 46 Ket lu¾n 50 Chng - CI ắT MđT SO THUắT TON LeNG TU .51 Phép bien đői hoán v% 51 Cài đ¾t phép chuyen đői d%ch bít 53 Cài đ¾t phép bien đői Fourier 57 Ket lu¾n 58 KET LU¾N 59 TÀI LI›U THAM KHAO 60 Danh mnc ký hi¾u, chE viet tat Trong lu¾n văn này, chúng tơi dùng thong nhat sE dnng kí hi¾u viet tat sau: Ký hi¾u U (n): nhóm unita cap n; SU (n): nhóm unita cap n có đ%nh thúc bang đơn v%; SO(n): nhóm trnc giao cap n có đ%nh thúc bang đơn v %; u(n): đai so Lie cna U (n); su(n): đai so Lie cna SU (n); so(n): đai so Lie cna SO(n) ; Pr(A): xác suat xay bien co A; G g : nhóm Lie đai so Lie tương úng; T t : xuyen toi đai chuan đai so Lie tương úng; H :phép bien đői Hadamard; F : phép bien đői Fourier lưong tu ; Uf : h®p đen lưong giá hàm mau f ; Viet tat Qubit: Bit lưong tu Me ĐAU Lí cHQN đe tài Lí thuyet Lie địi m®t tương tn liên tuc cho lí thuyet nhóm Galois Nó đưoc úng dung trưóc het vào lí thuyet phương trình vi phân Moi bieu thúc bat bien dưói tác đ®ng cna nhóm Lie cho m®t tích phân đau cna h¾ phương trình vi phân v¾y cho ta phép bắc cna hắ Núi mđt cỏch khỏc hắ mụ ta chuyen đng c HQ c hay vắt lớ tích phân đau cho ta đ%nh lu¾t bao tồn Tìm đưoc nhieu đ%nh lu¾t v¾y h¾ cng de dng oc giai triắt e Mđt ỳng dung khác cna lí thuyet Lie lí thuyet đoi xúng vai trị quan Moi h¾ HQ c v¾t lí Các h¾ TRQNG HQc HQc v¾t lí có đoi xúng đóng vi¾c nghiên cúu h¾ HQ c v¾t lí nói chung có nhóm đoi xúng tương úng vói m®t đa tap symplectic có đoi xúng, khơng gian thuan nhat Moi hắ long tu cú oi xỳng, tng ỳng vúi mđt bieu dien unita cna nhóm đoi xúng Lí thuyet nhóm lưong tu địi m®t úng dung cna nhúm Lie Nm 1982, Feynman ó khang %nh mđt hắ HQc lưong tu khơng the đưoc mơ hình boi h¾ cő đien, mà chi có the đưoc mơ hỡnh boi mđt hắ c HQc long tu khỏc v lan đau tiên đe xuat su dung h¾ lưong tu thnc hi¾n vi¾c tính tốn, khai sinh ý tưong su dung hi¾u úng HQc lưong tu đe làm tính tốn Kha lưu tru theo cap so nhân, ket hop vúi mđt so hiắu ỳng nh roi long tu (quantum entanglement), dan nhà nghiên cúu thăm dị sâu vào súc manh cna máy tính lưong tu Tính tốn lưong tu có kha có kha cách mang hóa lĩnh vnc khoa HQc máy tính nhiên, tính tốn lưong tu van o giai đoan phơi thai, kha cna có the đat bao xa van cịn m®t câu hoi mo Có ba hoat đ®ng dien ba ngành khoa HQ c khác Các nhà v¾t lý tìm cách che tao máy tính lưong tu; nhà tốn hình tính tốn lưong tu; nhà tin HQ c HQc xây dnng mơ tìm kiem thu¾t tốn lưong tu xây dnng ngơn ngu mơ phong tính tốn lưong tu Trong lúc chị đoi nhà v¾t lý khac phuc đưoc rào can cơng ngh¾ đe xây dnng máy tính lưong tu, nghiên cúu ve thu¾t tốn van phai đưoc tien hành e Vi¾t Nam, có the xem vi¾c nghiên cúu ve tính tốn lưong tu đưoc khoi đau vào năm 2004 vói m®t so báo tőng quan Tap chí Úng dung Tốn hQc cna Đo NGQ c Di¾p (2004), Cao Long Vân (2005, 2006); m®t so báo cáo h®i thao cna thành viên nhóm Phan Trung Huy (2004, 2005, 2006); Lu¾n văn Tien sĩ Cơng ngh¾ thơng tin cna Huỳnh Văn Đúc (2012) Như v¾y, xây dnng thu¾t tốn lưong tu m®t lĩnh vnc rat mói me có súc hút, h®i tam quan TRQNG Mnc đích nghiên cÉu Tù cau trúc cna m®t so đai so Lie đ¾c bi¾t nhóm bien đői unita, phân tích Cartan cna đai so Lie nua đơn, huu han chieu xõy dnng mđt so thuắt toỏn phõn tớch cỏc phộp bien i Tự ú ci mđt so thuắt toỏn long tu (Phan chớnh cna mđt thuắt toỏn long tu phép bien đői unita) Đoi tưang, pham vi nghiên cÉu Đoi tưong nghiên cúu cna lu¾n văn phép bien đői unita Pham vi nghiên cúu cna luắn giúi han hđp en v phộp bien đői trnc giao Phương pháp nghiên cÉu Nghiên cúu thơng qua tài li¾u, sách báo, internet Trình bày h¾ thong lai kien thúc tưịng minh chúng minh Trao đői nghiên cúu vói giáo viên hưóng dan Ý nghĩa khoa HQC Áp dung thành cơng cơng cu lý thuyet nhóm cho thay có the su dung đưoc ket qua cna tốn HQ c hi¾n đai xây dnng thu¾t tốn lưong tu Cau trúc cua lu¾n văn Lu¾n văn gom chương - Chương Tőng quan - Chương Phân tích Cartan - Chng Ci mđt so thuắt toỏn long tu CHƯƠNG - TONG QUAN Có the xem khác bi¾t ban cna máy tính lưong tu so vói máy tính cő đien nam o điem chính: qubit so vói bit, cőng lưong tu so vói phép tốn logic Trong lúc bit chi lưu m®t giá tr% ho¾c 1, qubit lưu đong thịi hai giá tr% o dang chong chat trang thái mà ket hop lai thành m®t ghi, ghi cő đien van chi lưu m®t giá tr% cịn ghi lưong tu có kha lưu tat ca giá tr% quan tâm, dưói dang chong chat trang thái Ngồi lúc phép tốn logic nh¾n bit đau vào tra ket qua cho bit đau ra, cőng lưong tu tác đ®ng lên qubit làm thay đői nó, nghĩa xu lý đong thòi giá tr% nam thang thái chong chat Như v¾y máy tính lưong tu ưu vi¾t máy tính cő đien o cho có kha lưu tru xu lý đong thòi giá tr% quan tõm Mđt thuắt toỏn long tu ban chat l mđt phộp bien i unita, ci mđt thuắt toỏn long tu phân tích phân tích phép bien đői unita thành cőng lưong tu (là phép bien đői unita cho trưóc) Đai so Lie so(n) su(n) đai so phép bien đői tuyen tính đ¾c bi¾t có vai trị rat quan TRQNG vi¾c cài đ¾t thu¾t tốn lưong tu Trong chương chúng tơi giói thi¾u tőng quan ve 1 ⊗ 1 K Ad 1 K T Σ = 1 ⊗ I⊗σz ⊗I = Ad Λσx ⊗ ⊗ 1 1 −1 −1 ⊗ −1 Ta có K = C I⊗Λ,C = = S 2.1 σx 2.1 10 , = 00 = S 00 01 2.2 2.2 CHQN A2 = K K 2.2 ⊗ 1 suy = AT K T K = K ⊕ 2.1 =Λ ⊗ 2.22 2.2 σx 1 Vì K2.22 = Adσx⊗I (Λσx ) ta có K2.2 = AdΛσx⊗I (I ⊗ Λσx ) V¾y Σ G = K1 AK2 = K1 AA2K2.2 = (Λσx ⊗ I) AA2 AdΛσx ⊗I (I ⊗ Λσx ) Đe ý K22 có đưoc bang cách nhân ma trân cna cőng XOR vói K21 K = 1 ⊗ I) K = = (σ x 21 1 Theo m¾nh đe 3.1 Un Ad ⊗ (U )T = −1 n >> >> σx = Ad Λσx⊗I ⊗ −1 ⊗ −1 ⊗ I n−2 ⊗I n−2 1 Ta có K1 = Λσx ⊗ In−2 cőng lưong tu nên khơng can phân tích tiep Do (4.4), ta có the cHQN: n−2 A= Ta có: 1 ⊗I = K n= AT KT U U11 U11 U12 >> U21 U21 U22 U22 = (Λσ ⊗ I x ) I ⊗ n− Kí hi¾u U n−1 = U11 U12 > > U12 U2 U2 , đưoc đe ngh% Thu¾t tốn 2.3 Tù ta có: U21 U22 ⊗I 1 ⊗ I I = (Λ U11 (Λ ⊗ Σ n−1 ) I ⊗U ) Un >> σx n− n−2 n−2 >> σx Tương tn cho trưòng hop d%ch chuyen trái V¾y, áp dung Thu¾t tốn 2.3, (3.2) đưoc ci vúi đ phỳc tap tuyen tớnh Ci đ¾t phép bien đoi Fourier Phép bien đői Fourier, ký hi¾u F n Σ −1 2πi 2n F |x) = x.y |y) e (3.3) minh so lên qubit, ta Tưòng phát trien tù F F ta biet F1 = H (Phép bien đői Hadamard (1.10)), y=0 n n−1 Xét F1, thêm qubit nhân dịng vói w = exp 2πi/2n+1 , chuyen v% cỏc cđt, cđng trự cỏc cắp dòng F1 → F2 = H √ Σ 1 − H =√ 1 2 1 −1 1 →√ − 1 1 −1 0 0 i −i −1 →√ 1 Tőng quát: i −1 −i −1 1 −i 1 − i →√ Fn → I ⊗ Fn → (I ⊗ Fn) U>> → Dn+1 (I ⊗ Fn) U>> Trong → (H ⊗ I) Dn+1 (I ⊗ Fn) U>> = Fn+1 Dn = diag 1, 1, , 1, w0 , w1, w2 , , wN −1 Σ Ket lu¾n Trong chương chúng tơi su dung thu¾t tốn phân tích trỡnh by chng ci cỏc hđp en hốn v% (3.1), h®p đen chuyen d %ch bít (3.2), thu¾t tốn có vai trị quan TRQNG ci cỏc hđp en v cỏc phộp bien i Úng dung (3.2) cài đ¾t phép bien đői Fourier KET LUắN Nđi dung c ban cna luắn vn: Phõn tích Cartan đai so Lie nua đơn, áp dung cu the su(N ) so(2N ) CHQN m®t phân tích Cartan hang cnc đai tù xuyen toi đai chuan cna nhóm tương úng, thn tuc đưoc xây dnng có sn ket hop cna phân tích khơng gian nghi¾m Áp dung phân tích đong thịi phép bien đői hoỏn v%, cung cap mđt cỏch ci khỏc cỏc phép bien đői cna nhóm hốn v%, tùy thu®c ý đo cna ngưịi xây dnng thu¾t tốn giai tốn cu the Tác gia trình bày sap xep n®i dung kien thỳc khoa HQc mđt cỏch hắ thong, chi tiet hóa chúng minh phân tích xây dnng h¾ thong ví du ban TÀI LI›U THAM KHÁO Tieng Vi¾t Đo NGQc Di¾p, Lí thuyet nhóm Lie (Preprint) Huỳnh Văn Đúc, Đo NGQc Di¾p, Bùi Dỗn Khanh (2009), “Tiep c¾n đai so xây dnng thu¾t tốn lưong tu”, Tap chí Úng dung Tốn HQc, T¾p VII, so 01, 06-2009, pp 093-110 Huỳnh Văn Đúc (2012), Xây dnng thu¾t tốn lưang tu giai tốn tìm kiem vái tri thúc Heuristic, Lu¾n án Tien sĩ Cơng ngh¾ thơng tin, Đai HQc Quoc Gia TP Ho Chí Minh Tieng Anh Agaian, S S and Klappenecker, A (2002), Quantum Computing and a Unified Approach to Fast Unitary Transforms, arXiv:quant-ph/0201120v1 Dagli, M (2008), Lie algebra decompositions with applications to quantum dynamics, PhD Thesis, Iowa State University, Ames, Iowa Deutsch, D (1985), "Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer", Proceedings of the Royal Society of London A 400, pp 97-117 Deutsch, D (1989), "Quantum computational networks", Proc R Soc Lond A, Vol.425 No.1868, pp 73-90 ... nhóm Lie, phan tu đơn v% e Khi khơng gian tiep xúc Te G cna G tai e vói m®t tích Lie đưoc GQI đai so Lie cna nhóm Lie G đưoc kí hi¾u g = LieG Đai so Lie cua m®t so nhóm Lie LieR ∼= R LieS1 ∼= R LieGLn(K)... trúc đai so Lie ket hop vói phân tích Cartan chương xây dnng thu¾t tốn phân tích so phép bien đői Nham muc đích cài đ¾t mđt so thuắt toỏn chng CHNG - PHÂN TÍCH CARTAN Ma đau Xét đai so Lie nua đơn... đưoc GQI hang cna phân tích Đ%nh lý 2.1 (Đ%nh lý phân tích Cartan) Gia su g m®t đai so Lie nua đơn huu han chieu vói phân tích Cartan g = l ⊕ m Khi ay vói moi G ∈ eg , G đưoc phân tích thành G =
Ngày đăng: 24/12/2021, 20:12
Xem thêm:
