SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI KHẢO SÁT THÁNG 10 NĂM HỌC 2015-2016 MƠN TỐN - LỚP 12 - KHỐI: A, B, A1, D (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề) TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = x − mx + m − ( Cm ) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=3 b) Viết phương trình tiếp tuyến ( Cm ) điểm M có hồnh độ -1 Tìm m để khoảng cách từ I(2;3) đến tiếp tuyến Câu (1,0 điểm) Tìm m để phương trình x − x + − − m = có nghiệm đoạn [0;1+ 3] π Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sau: cos x c osx + sin x = cos(4x+ ) 2 n n Câu (1,0 điểm) Tính tổng S = Cn + 7Cn + 25Cn + + (3 − 2)Cn Câu (1,0 điểm) Cho đa giác 12 cạnh Ba đỉnh đa giác tạo thành tam giác Tính số tam giác tạo thành tính xác suất để chọn tam giác có cạnh đường chéo đa giác cho Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành SB = a , AB = a, AD = a, ∠ABC=1200 M, N trung điểm AB, BC, tam giác SMN cân S, SB ⊥ SD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B, AB=2BC, D trung điểm AB, E thuộc đoạn AC cho AC=3EC, biết phương trình đường thẳng CD: x-3y+1=0 , E( 16 ;1) Tìm tọa độ điểm A, B, C (2 x + x + 1)(2 y + y + 1) = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x − x + = y + y ( x, y ∈ ¡ ) Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + + b + c + + c + a + = 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b3 + c3 -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… … ….…….….….; Số báo danh:… SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HDC ĐỀ THI KHẢO SÁT THÁNG 10 NĂM HỌC 2015-2016 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ MÔN TOÁN - LỚP 12 - KHỐI: A, B, A1, D I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Với Câu thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Ý NỘI DUNG ĐIỂM 2,0 a m=3 ta có y = x − x + TXĐ: ¡ limy = +∞;limy = −∞ 0,25 x = y ' = 3x − 3; y ' = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = −1 0,25 x →+∞ x →−∞ BBT x y' y −∞ -1 +∞ + - + +∞ −∞ Hàm số ĐB ( −∞ ;-1), (1; +∞ ); Hàm số nghịch biến (-1;1) Hàm số đạt CĐ x=-1, GTCĐ y=4 Hàm số đạt CT x=1, GTCT y=0 Đồ thị y " = x; y=0 ⇔ x=0 ⇒ I(0;2) điểm uốn đồ thị Giao với Ox: (-2;0) (1;0) Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng -5 -1 O -2 -4 -6 10 0,25 b Ta có y ' = 3x − m; 0,25 xM = −1 ⇒ yM = 2m − Phương trình tiếp tuyến ( Cm ) M ∆ : y = (3 − m)(x + 1) + 2m − Khoảng cách từ I đến ∆ ⇔ 4−m (3 − m) + 0,5 = 0,25 ⇔ m − 4m + = ⇔ m = 2(t / m) Tìm m để phương trình x − x + − − m = có nghiệm đoạn [0;1+ 3] Pt ⇔ x − x + − = m 1,0 0,25 Xét hàm số y = x − x + − [0; + ] 2x − Ta có y ' = BBT x2 − 2x + x 0,5 ; y ' = ⇔ x −1 = ⇔ x = 1 y' - 1+ + 2−2 y 0,25 -1 Từ BBT Phương trình cho có nghiệm −1 ≤ m ≤ π cos x c osx + sin x = cos(4x+ ) Ta có: cos x c osx + sin x = − sin4x 1,0 0,25 ⇔ cos x c osx + 3(sin x + sin x) = ⇔ cos x c osx + sin x.c osx = 0,5 ⇔ c osx(cos x + sin x) = c osx = (1) ⇔ cos x + sin x = (2) π (1) ⇔ c osx = ⇔ x = +kπ 0,25 (2) ⇔ cos x + sin x = ⇔ tan x = − π kπ ⇔ x=− + 18 3 KL: n n Tính tổng S = Cn + 7Cn + 25Cn + + (3 − 2)Cn Ta có S = (3 − 2)C + (3 − 2)C + + (3 − 2)C n 2 n n n n 1,0 0,25 = (3Cn1 + 32 Cn2 + + 3n Cnn ) − 2(Cn1 + Cn2 + + Cnn ) = (C0n + 3Cn1 + 32 Cn2 + + 3n Cnn ) − 2(C0n + Cn1 + Cn2 + + Cnn ) + C 0n 0,25 S1 = C0n + 3Cn1 + 32 Cn2 + + 3n Cnn =(1+3) n = 4n 0,25 S2 = C + C + C + + C = n n n n n n 2 n n n Suy S = (Cn + 3Cn + Cn + + Cn ) − 2(Cn + Cn + Cn + + Cn ) + Cn 0,25 =S1 − S + = 4n − 2.2n + = (2 n − 1) Cho đa giác 12 cạnh Ba đỉnh đa giác tạo thành tam giác Tính số tam giác tạo thành tính xác suất để chọn tam giác có cạnh đường chéo đa giác cho Mỗi tam giác tạo thành từ đỉnh đa giác tổ hợp chập 12 Suy số tam giác C12 +) Số tam giác có cạnh cạnh đa giác, cạnh đường chéo đa giác - Chọn cạnh (2 đỉnh )của tam giác cạnh đa giác có 12 cách - Chọn đỉnh cịn lại khơng kề với đỉnh chọn có cách Vậy có 12.8=96 tam giác +)Số tam giác có cạnh cạnh đa giác, cạnh đường chéo đa giác - Chọn đỉnh tam giác đỉnh đa giác có 12 cách - Chọn đỉnh lại kề với đỉnh chọn có cách Vậy có 12.1=12 tam giác Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác C12 − 96 − 12 = 112 Khi biến cố B" Chọn tam giác có cạnh đường chéo đa giác " 112 112 28 = ΩB = 112 Suy P ( B ) = = C12 220 55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành SB = 1,0 0,5 0,25 0,25 a , AB = a, AD = a, ∠ABC=1200 M, N trung điểm AB, BC, tam giác SMN cân S, SB ⊥ SD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC 1,0 S D A M I K H B C N J E Do ∠ABC = 1200 ⇒ ∠BAD = 600 Xét tam giác ABD: BD = AB + AD − AB AD.cos 600 = 3a 0,25 2 Xét tam giác SBD vuông S: SD = BD − SB = 3a SB = , ta có cos∠SBD= BD Gọi H trung điểm MN, MN đường TB tam giác ABC ⇒ BH = Ta có SH = SB + BH − SB.BH cos ∠SBH = a BD = 4 9a 16 1 = 2+ ⇒ SH ⊥ BD SH SB SD Tam giác SMN cân S ⇒ SH ⊥ MN Suy SH ⊥ ( ABCD) Ta thấy 0,25 1 a3 Vậy VABCD = SH dt(ABCD) = SH dt(BCD) = 3 ⇒ ( SBE ) / / AC ⇒ d ( AC , SB ) = d (O, ( SBE )) = d(H, (SBE)) Dựng HBH ACEB Qua H kẻ IJ ⊥ BE ( J ∈ BE , I ∈ AC ) ⇒ HJ = IJ Ta có IJ AC = 2dt ( BCD) 02,5 Mà AC = BC + AB − BC AB.cos1200 = a , 2dt ( BCD) = a nên IJ = a 21 a 21 ⇒ HJ = 14 02,5 HK ⊥ SJ ( K ∈ SJ ) ⇒ d ( H , ( SBE )) = HK , 1 3a = + ⇒ HK = 2 HK SH HJ 10 3a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B, AB=2BC, D trung Vậy d ( AC , SB ) = điểm AB, E thuộc đoạn AC cho AC=3EC, biết phương trình đường thẳng 16 CD: x-3y+1=0 , E ( ;1) Tìm tọa độ điểm A, B, C 1,0 A D E I B C Gọi I = BE ∩ CD BA EA = = ⇒ E chân đường phân giác góc ABC BC EC BD = BC ⇒ BE ⊥ CD ⇒ BE : 3x + y − 17 = I = BE ∩ CD ⇒ Tọa độ I (5; 2) 0,25 0,25 Đặt BC = x > ⇒ AB = x; AC = x 5; EC = ∠CEB = 450 ⇒ IC = IB = BC.cos 450 = IE = CE − CI ⇒ IE = x x x uur uur ⇒ IB = −3IE ⇒ B(4;5) 0,25 C ∈ CD ⇒ C (3a − 1; a) a = BC = BI ⇒ BC = ⇔ a − 4a + = ⇔ a = Với a=1 C (2;1), A(12;1) Với a=3 C (8;3), A(0; −3) (2 x + x + 1)(2 y + y + 1) = (1) Giải hệ phương trình: 2 x − x + = y + y (2) 0,25 ( x, y ∈ ¡ ) 1,0 y + y + = x + − x ⇔ y + (2 y ) + = (−2 x) + + ( −2 x) (*) Xét hàm số f (t ) = t + t + R Ta có f '(t ) = + (*) ⇔ x = − y t t2 +1 Thay vào (2) ta ⇔ Đặt = t +1 + t t2 +1 0,25 ≥ 0, ∀t suy hàm số đồng biến R 0,25 x − x2 + = x − 3x x − x − 4( x − 1) + 3x = ( x − 1) x2 −1 −4 + = (chia vế cho x x=0 khơng thỏa mãn) x x 0,25 ( x − 1) = t PTTT: 4t − t − = ⇔ t = x 1+ x= ( x − 1) = ⇔ x2 −1 = x ⇔ x2 − x −1 = ⇔ suy x 1− x = 2 Với t=1 −1 − y = −1 + y = 0,25 Vậy, hệ phương trình cho có cặp nghiệm ( x; y ) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + + b + c + + c + a + = 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b3 + c3 1,0 Ta có (a + b + 8) + 16 ≥ a + b + (1) Tương tự (b + c + 8) + 16 ≥ b + c + (2) 0,25 (c + a + 8) + 16 ≥ c + a + (3) Cộng (1), (2), (3) vế với vế, thu 2(a + b + c ) + 3.8 + 3.16 ≥ 8( a + b + + b + c + + c + a + 8) Mà 0,25 2 a + b + + b + c + + c + a + = 12 suy a + b + c ≥ 12 Ta có a + a3 + ≥ 6a ; b3 + b3 + ≥ 6b2 ; c3 + c3 + ≥ 6c 0,25 Suy 2(a + b3 + c3 ) + 3.8 ≥ 6(a + b + c ) ≥ 6.12 a + b3 + c3 ≥ 24 Dấu dẳng thức xảy a = b = c = Vậy P đạt giá nhỏ 24 -Hết - ...SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HDC ĐỀ THI KHẢO SÁT THÁNG 10 NĂM HỌC 2015-2016 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ MƠN TỐN - LỚP 12 - KHỐI: A, B, A1, D I LƯU Ý CHUNG: -... điểm uốn đồ thị Giao với Ox: (-2;0) (1;0) Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng -5 -1 O -2 -4 -6 10 0,25 b Ta có y ' = 3x − m; 0,25 xM = −1 ⇒ yM = 2m − Phương trình tiếp tuyến ( Cm ) M ∆ : y =... 21 a 21 ⇒ HJ = 14 02,5 HK ⊥ SJ ( K ∈ SJ ) ⇒ d ( H , ( SBE )) = HK , 1 3a = + ⇒ HK = 2 HK SH HJ 10 3a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B, AB=2BC, D trung Vậy d ( AC ,