Thông tin tài liệu
Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO MŨ - LOGARIT Câu 1: Cho x; y , x y thỏa mãn x2 y2 x y 2021x y x y Tìm tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y x y 2x Câu 2: y2 2021x y.log A B 12 C 2 D Tìm số giá trị nguyên tham số thực m để tồn số thực x, y thỏa mãn Câu 3: 2 e x y m e x y xy m x y x y xy 2m A B C D 2 x y x y 1 log Xét số thực dương x; y thỏa mãn log 2 xy x 2 x y 2y trị nhỏ biểu thức P y xy y 2 213 xy Tìm giá 1 B C D 2 2 Cho x, y thỏa mãn log x y x y x y (với x y ) Tìm giá trị lớn A Câu 4: Câu 5: Câu 6: S x xy 10 y A B C D x Cho phương trình e ln( x a ) a , với a tham số Có giá trị nguyên a thuộc khoảng (0; 19) để phương trình có nghiệm dương? A 15 B 18 C 17 D 16 x y Cho x, y thỏa mãn x 1, y log xy x y Giá trị lớn biểu xy 1 1 thức P x y thuộc tập đây? x y A 5;9 B 5; C 0;5 D 9; Câu 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y x, y không đồng thời Câu 8: x y log3 x 1 y 1 Tìm giá trị nhỏ P với P x y xy A B C D Cho hàm số bậc bốn f x có đồ thị hình vẽ sau Có giá trị nguyên tham số m [2021;2021] để phương trình f ( x) log x[ f ( x) mx] mx3 f ( x) có hai nghiệm dương phân biệt? mx Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu 9: Lớp Toán Thầy Nghiệp A 2019 B 2021 C 2020 D 2022 Có giá trị nguyên tham số m thuộc 2021; 2021 để phương trình e xm ln x m có nghiệm thực? A 2019 B 2018 C 2020 D 2021 Câu 10: Có cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn x 2020 x x y 3x ? A 2020 B 1010 C Câu 11: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 20212 x A x 9 2021x 5 x 1 B D x 1 x C D Câu 12: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình 5x 1 x x 251 x Tính giá trị biểu thức 1 P x1 x2 A P 6 B P C P D P 2 Câu 13: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x x x x x A Vô số B C D x 3x x x 1 x x x 1 C D 2 Câu 14: Tính tổng tất nghiệm phương trình log A 2 B 2 Câu 15: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình e x A B 5 C x 5 e2 x 5 x 1 x x D 6 2x 1 x Câu 16: Có cặp số nguyên x; y thỏa mãn y 2020 log y 1 ? y A 2021 C 2020 B 10 x y 1 Câu 17: Xét số thực dương x, y thoả mãn 2021 biểu thức P y x A Pmin B Pmin D 11 2x y x 1 C Pmin Câu 18: Cho hai số dương x , y thỏa mãn: log x y xy Giá trị nhỏ Pmin D Pmin y2 x y Giá trị nhỏ biểu thức P x y có dạng M a b c với a, b , a Tính S abc A S B S 19 C S 17 D S abc Câu 19: Cho số thực a, b, c thỏa log 2 a a b b c c Giá trị lớn a b2 c2 a 2b 3c biểu thức P là: abc 12 30 30 30 30 A B C D 3 3 x 5x2 x x x , biết bình x2 a b a phương nghiệm x0 có dạng x02 a, b, c , tối giản.Tính S a b 2c c b Câu 20: Gọi x0 nghiệm thực phương trình x ln Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp A S 26 B S 34 C S 8 D S Câu 21: Cho phương trình: log2 x 1 x x x x có nghiệm dạng a c 13 với a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức a b b A B C 1 D x 1 x x có nghiệm x1 , x2 x1 x2 Giá trị Câu 22: Cho phương trình log 2 x 2 biểu thức x2 x1 A B C D Câu 23: Tổng nghiệm phương trình ln x x 18 ln A 7 B 3 C 3 x2 x x x D Câu 24: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x x x A B Câu 25: Tổng tất nghiệm phương trình A 3 B C x 3 x x D Vô số log x x 11 x 3.log x là: C D 6 x2 Câu 26: Tổng nghiệm phương trình: log x 1 x 3x A B C D 2 2x 1 x , gọi S tổng tất Câu 27: Cho phương trình log x x log 2 x x nghiệm Khi đó, giá trị S 13 13 A S 2 B S C S D S 2 Câu 28: Cho hàm số f ( x) ln( x x) x 2021 x 2023 Số nghiệm nguyên thuộc đoạn [ 2021; 2021] bất phương trình f (2 x ) f ( x 3) là: A 2021 B 2020 C 2022 D 2023 x x 1 log Câu 29: Biết phương trình log có nghiệm dạng x a b x 2 x a, b số nguyên Tính 2a b A D C D Câu 30: Có cặp số nguyên x; y , x 2022 thỏa mãn phương trình log x log x y 4log y A 2020 B 1010 sin2 x Câu 31: Để phương trình: A m C 2019 D 1011 cos2 x 2 m có nghiệm, giá trị cần tìm tham số m là: B m 2 C m D 2 m 1 y Câu 32: Xét số thực dương x, y thỏa mãn log xy x y Tìm giá trị x xy nhỏ Pmin P x y Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học A Pmin 34 B Pmin Lớp Toán Thầy Nghiệp 34 C Pmin 34 Câu 33: Tìm giá trị tham số m để phương trình log x D Pmin 34 log x m có nghiệm thuộc khoảng 0;1 1 A m 0; 4 1 B m ; 4 1 D m ; 4 C m ; Câu 34: Cho x, y số dương thỏa mãn log x 4y x y Tìm giá trị nhỏ x y x y xy y x( x y ) A B C D 2 Câu 35: Cho bất phương trình: x2 x log x x 3x m cosx sin x (1) x x m cosx sin x 3 Có số nguyên m 10;0 cho bất phương trình (1) thỏa mãn với biểu thức P giá trị x thuộc khoảng 0;1 A B C D Câu 36: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3x x m log 2 x 10 x 2m có hai nghiệm phân biệt lớn 2x 2x 1 A B vô số C D Câu 37: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số x; y thỏa mãn e2 x y 1 e3 x y x y , đồng thời thỏa mãn log 22 x y 1 m log x m2 A Câu 38: Tổng tất x x 1 x m B giá trị C tham số m D để phương trình log x x 3 x m có ba nghiệm phân biệt A B C D x Câu 39: Có cặp số nguyên x ; y thỏa mãn đồng thời y log x y x , y thuộc đoạn 2;10 ? A B C D BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.C 21.D 31.D 2.B 12.C 22.C 33.B 3.D 13.C 23.B 32.B 4.C 14.B 24.B 33.C Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp 5.C 15.C 25.D 34.A 6.A 16.B 26.D 35.D 7.B 17.D 27.D 36.A 8.A 18.D 28.D 37.A 9.C 19.D 29.D 38.A 10.D 20.D 30.D Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu 1: Lớp Toán Thầy Nghiệp HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO Cho x; y , x y thỏa mãn x2 y2 x y 2021x y x y Tìm tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y x y 2x A 2 y2 2021x y.log B 12 C 2 D Lời giải Với cặp ( x; y) thỏa mãn giả thiết, ta xét hàm số f t 2t 2021x y log t với t 2021x y 0, t , nên f t đồng biến khoảng 0; t ln x2 y2 2021x y.log x y 2021x y (1) x y Vì f t 2t.ln Ta có : x 2x y2 y2 2021x y.log x y 22( x y ) 2021x y.log x y 2 f x y f x y x y x y x 1 y 1 C1 Hình trịn C1 có tâm I 1;1 , bán kính r 2 P x y x y x 3 y 1 P Lại có: C2 Do x 3 y 1 nên P P 5 Nếu P 5 x 3, y khơng thỏa mãn giả thiết Với P 5 C2 đường trịn tâm K 3,1 , bán kính R P Vì IK r nên điểm K 3,1 nằm bên ngồi C1 Do C1 , C2 có điểm chung R r IK R r R R Câu 2: R P 1 P 1 P 2; max P P max P Tìm số giá trị nguyên tham số thực m để tồn số thực x, y thỏa mãn 2 e x y m e x y xy m x y x y xy 2m A B C Lời giải t Xét hàm số f t e t , t D f t et f t t Ta thấy f t đổi dấu từ “- ” sang “+” qua t nên f t f 0, t 2 e x y m x y m 0, x, y Do đó: x y xy m x y xy m 0, x, y e x2 y m Dấu “=” xảy x y xy m 2 x y m 1 e x y x y xy 2m Hay e x y xy m S 2P m S S 3P Vì S P S 0; 4 Đặt S x y , P x y , ta có: S P m x2 y m x y xy m 2 Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Lấy 1 2 vế theo vế ta được: S 2S 3m 3 Xét hàm số f S S 2S , S 0; 4 , có f S 2S 0, S 0; 4 Yêu cầu toán 3 có nghiệm f 3m f m Vậy, có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn x2 y2 x y log Câu 3: Xét số thực dương x; y thỏa mãn log 2 xy x 213 xy Tìm x y y2 giá trị nhỏ biểu thức P y xy y A 1 Ta có log B 2 Lời giải C x2 y2 x y 1 log xy x 2 D 213 xy x2 y log x y 3xy x; y 3xy x log x y log xy x x y xy log x y x y log xy x xy x (1) Xét hàm số f t log t t khoảng 0; Ta có f ' t 0, t 0, nên hàm số f t log t t đồng biến 0; t.ln Do (1) f x y f xy x x y xy x x xy y x x x (vì y ) y y y (2) 2 2 x y 2y x xy y Ta thấy P y xy y xy y Đặt t x x 3 3 y y x 1 y x t 1; 2 (do (2)) Khi y 2t 3t 2 t 1 2t 1 2t 1 2t 2 2t 2t 2t x 3 Dấu “=” xảy 2t t y 2 x 3 Vậy P , đạt y 2 P Câu 4: Cho x, y thỏa mãn log x y x y x y (với x y ) Tìm giá trị lớn S x xy 10 y A B C Lời giải D Cách 1: log x y x y x y Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp log x y log x y x y x y 2 2 log x y x y log 2 x y x y log x y x y log 2 x y x y * Đặt f t log t t , với t , với t t.ln Hàm số f t đồng biến 0; f t * f x y f x y x y 2 x y x y (Do x y ) Ta S x xy 10 y x x x 10 x x 36 x 40 x y Do x 2(2 x) x , S 18 x 36 x x y 4 Dựa vào bảng biến thiên: S max S x y 3 3 Cách 2: log x y x y x y Đặt t x y , giả thiết cho trở thành: log t t 2t (1) Điều kiện: t Phương trình (1) phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y log t y t 2t Trên 0;1 , ta có t 2t log t Trên 1; , hàm số y log t đồng biến, hàm số y t 2t nghịch biến Mà phương trình (1) có nghiệm t nên t nghiệm phương trình (Đoạn dựa vào đồ thị hàm trên) Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Từ x y y x Ta S x xy 10 y x x x 10 x x 36 x 40 x y Do x 2(2 x) x , S 18 x 36 x x y Câu 5: Câu 6: 4 Dựa vào bảng biến thiên: S max S x y 3 3 x Cho phương trình e ln( x a ) a , với a tham số Có giá trị nguyên a thuộc khoảng (0; 19) để phương trình có nghiệm dương? A 15 B 18 C 17 D 16 Lời giải x x Từ giả thiết e ln( x a ) a e x ln( x a) x a e x x eln( x a ) ln( x a) Xét hàm số đặc trưng f (t ) et t có f ' (t ) et 0, t Suy f ( x) f (ln( x a )) x ln( x a) x a e x a e x x Đặt g ( x) e x x g '( x) e x g '( x) x Bảng biến thiên hàm số g ( x ) Để phương trình có nghiệm dương a Do a (0,19) suy a {2;3; ;18} Vậy có 17 giá trị cần tìm x y Cho x, y thỏa mãn x 1, y log xy x y Giá trị lớn biểu xy 1 1 thức P x y thuộc tập đây? x y A 5;9 B 5; C 0;5 D 9; Lời giải x y Với x 1, y suy ra: 4 xy x y Khi log xy x y log3 x y log3 xy xy x y xy log3 x y x y log xy xy log3 x y x y log xy xy * Giaùo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Xét hàm số f t log3 t t 0; với t 0; nên hàm số y f t đồng biến 0; t.ln Suy ra: * f 3x y f xy x y xy Do f t 2 Ta có: xy x y x y x y x y 1 Mặt khác x 1, y nên: x 1 y 1 xy x y xy 1 x y 3 x y x y x y 2 Từ 1 x y 3 x y 1 1 2 P x y x y xy x y x y xy x y 3 Đặt x y t t 3; 4 Hàm số g t t t có g t 2t với t 3; 4 , 2 suy g t g Câu 7: Vậy Max P x 1; y x 3; y Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y x, y không đồng thời x y log x 1 y 1 Tìm giá trị nhỏ P với P x y xy A B C D Lời giải x y Dựa vào điều kiện toán ta nhận xét: ; xy ; x y ; xy xy x y Ta có: log x 1 y 1 log x y log3 1 xy xy x y xy log3 x y x y log3 1 xy xy Xét hàm số g t log3 t t với t 0, t nên hàm số g t đồng biến khoảng 0; t ln 1 x 1 x Vậy ta có g x y g 1 xy x y xy y Suy P x 1 x 1 x 1 x Xét hàm số f x x với x 0;1 Ta có f x ; 1 x 1 x Để ý, g t x f x x 2 Câu 8: x Ta có f 1, f 1 Vậy f x x , hay Pmin 0;1 y 1 Cho hàm số bậc bốn f x có đồ thị hình vẽ sau Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Có giá trị ngun tham số m [2021;2021] để phương trình f ( x) log x[ f ( x) mx] mx3 f ( x) có hai nghiệm dương phân biệt? mx A 2019 B 2021 C 2020 D 2022 Lời giải Từ đồ thị hàm số suy f x có ba điểm cực trị 1; 0; Do a a x x b f ( x ) Mặt khác, đồ thị hàm số qua hai điểm (0; 4), (1;3) nên f ( x) x x 3, x f ( x) suy m Điều kiện mx f ( x) log x[ f ( x) mx] mx3 f ( x) log f ( x ) f ( x ) xf ( x ) log mx mx x mx mx log ( x 1) f ( x) x 1 f ( x) log ( x 1)mx x 1 mx (*) (Do x ) f ( x) ax x 1 f ( x) với t t.ln10 f ( x) x x 2 Từ (*) ta có ( x 1) f ( x ) ( x 1) mx m x 6 x x2 x Đặt u x 2, m u 6, u 2 x Ứng với giá trị u 2 cho ta hai giá trị dương x nên yêu cầu tốn đưa điều kiện tìm m để phương trình m u có nghiệm u 2 Đặt h(u ) u với u 2 Bảng biến thiên hàm số h(u) Xét hàm số g (t ) log t t với t Ta có g (t ) Từ bảng biến thiên suy m thỏa yêu cầu toán Do m m[2021; 2021] nên m 3; 4;; 2021 Câu 9: Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn đề Có giá trị nguyên tham số m thuộc 2021; 2021 để phương trình e xm ln x m có nghiệm thực? A 2019 B 2018 Ta có: e xm C 2020 D 2021 Lời giải xm ln x m e x m ln x x e xm x m e ln x ln x 1 Xét hàm số f t et t , t 1 trở thành f x m f ln x Có f t e t 0, t suy hàm số f t đồng biến từ f x m f ln x x m ln x m x ln x điều kiện x Xét hàm số g x x ln x 0; Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 10 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học A B 5 Lớp Toán Thầy Nghiệp C D 6 Lời giải Ta có: e x x 5 e2 x 2 x 1 x2 x ex x 5 e2 x ex x 5 2( x x 5) e2 x x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 (*) Xét hàm số f (t ) et 2t f '(t ) et t f (t ) đồng biến Từ (*) ta có f x x f x x 1 x x x x x x 1 x Mà x x 0;1;2;3 Vậy tổng nghiệm nguyên Câu 16: 2x 1 x Có cặp số nguyên x; y thỏa mãn y 2020 log y 1 ? y A 2021 B 10 C 2020 D 11 Lời giải y 2 x x Từ giả thiết ta có: x y y y 0 2x 1 x x x Ta có: log y log 1 1 log y y y Xét hàm số f t log t t 0; (*) Do hàm số f t log t t đồng biến 0; t ln Phương trình (*) có dạng f x 1 f y y x Khi f t Vì y 2020 nên x 2020 x 2021 x log 2021 0 x log 2021 Kết hợp với điều kiện ta có: x 1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10 x Vậy có 10 cặp x; y thỏa mãn Câu 17: x y 1 Xét số thực dương x, y thoả mãn 2021 2x y x 1 Giá trị nhỏ Pmin biểu thức P y x A Pmin B Pmin C Pmin Lời giải 2 x y 1 2x y 2x y Ta có: 2021 x y 1 log 2021 2 x 1 x 1 D Pmin log 2021 x x 1 x x 1 log 2021 x y x y * Xét hàm: f t log 2021 t 2t , t Suy ra: f ' t , t t ln 2021 Do hàm f t đồng biến khoảng 0; Mà * f x x 1 f x y x x x y y x Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 13 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp 3 7 Khi đó: P y 3x x 3x x 4 8 KL: Pmin x y2 Câu 18: Cho hai số dương x , y thỏa mãn: log x y xy x y Giá trị nhỏ biểu thức P x y có dạng M a b c với a, b , a Tính S abc A S B S 19 C S 17 Lời giải D S Với giải thiết x , y dương ta có: log x y xy y2 x y y log x 1 y x 1 y y x 1 y2 log x 1 log y x 1 log y2 8 log x 1 x 1 log 1 y2 y2 0, t Xét hàm số f t log t t với t , ta có f t t ln Hàm số f t log t t đồng biến khoảng 0; log x 1 y 2x y2 y2 Khi 1 f x 1 f P x y x 1 y Đẳng thức xảy x 8 y 2 y y2 y2 y 2 n y y 2 y2 y 2 l 2 1 a M b S a b c c 3 Câu 19: abc a a b b c c Giá trị lớn a b2 c2 a 2b 3c biểu thức P là: abc 12 30 30 30 30 A B C D 3 3 Lời giải Cho số thực a, b, c thỏa log Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 14 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp abc a a 4 b b 4 c c 4 a b2 c log a b c a b c log a b c a b c (1) Ta có log 2 Xét hàm số f t log t t t f t đồng biến 0; t.ln Nên (1) a b c a b c f t 2 a b c 10 S S phương trình mặt cầu tâm I 2; 2; , bán kính R 10 a 2b 3c a P 1 b P c P Q abc Điều kiện để mặt phẳng Q cắt mặt cầu S P d I , Q R P 1 P P 3 2 P 1 P P 3 10 P 12 10 3P 12 P 14 P 24 P Vậy GTLN P Câu 20: 30 30 P 3 30 x 5x2 x x x , biết bình x 1 a b a phương nghiệm x0 có dạng x02 a, b, c , tối giản.Tính S a b 2c b c A S 26 B S 34 C S 8 D S Lời giải Điều kiện: x Chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 5 2 x 5x 1 x 1 ln ln x2 x2 x 1 x x 1 x 1 ln ln 1 (*) x x x x Xét hàm đặc trưng f t ln t t t Gọi x0 nghiệm thực phương trình x ln Ta có: f t t Với t f t Vậy hàm f t ln t t đồng biến liên tục với t Khi (*) 1 1 1 1 x x x x x x x Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 15 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp 17 ( n) x S 4x x 1 17 (l ) x Câu 21: Cho phương trình: log2 x 1 x x x x có nghiệm dạng a c 13 với a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức a b b A B C 1 D Lời giải Với điều kiện: x x 1 Ta có: log2 x 1 x x x x log x 1 log2 x2 x x2 2x log2 x 1 log x 1 2x x 4 x log2 x 1 log2 x2 x x2 2x log2 x 1 x log2 x x x x Xét hàm số: f t log2 t t với t 0; với t 0; t ln Vậy hàm f t ln t t đồng biến liên tục với t Có: f ' t Từ x x x x x với x 1 2 13 x 3x x 2 13 x Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình x Câu 22: Cho phương trình log x 1 x 2 2 13 a b x x có nghiệm x1 , x2 x1 x2 Giá trị biểu thức x2 x1 A B C D Lời giải Điều kiện: 1 x Khi phương trình x 1 log x x log x 1 log x x x x 2 log x 1 x log x x x x log x 1 x log x x x x Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 16 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Xét hàm số f t log t t t f t , t Suy hàm số đồng t ln biến khoảng 0; x x1 Do đó: f x 1 f x x x x x x x x x2 Vậy x2 x1 5.1 x2 x Câu 23: Tổng nghiệm phương trình ln x x 18 ln x x A 7 B 3 C 3 D Lời giải 8 x 2 Điều kiện Ta có: x x2 x2 ln x x 18 ln x ln x 8 x ln 2 x8 x x x x ln x 2 x ln 1 1 1 x x 2 Xét hàm số f t ln t t 1 , t 2t 2t Ta có f t t 1 , t , hàm số f t đồng biến t t khoảng 0; Mặt khác ta có : ln x x ln 1 1 1 f x x x x x x x x 2 x x 2 x Kết hợp với điều kiện ta x 2 Vậy tổng nghiệm pt cho 3 Câu 24: 2 x f 1 x Số nghiệm nguyên bất phương trình log x x x x x A D Vô số B C Lời giải Điều kiện xác định: x x x x (vì x2 x x x2 x x2 x x x ) Ta có: x2 x x x nên bất phương trình cho tương đường với Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 17 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học 3x log 2 x 3 x Lớp Toán Thầy Nghieäp x x x log x 3x log x x x x * Xét hàm số f t log t t với t 0, t f t hàm số đồng biến 0; t ln f t Do * x x x x x x x (vì x ) x Mà x nên x 0;1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm ngun Câu 25: 2 Tổng tất nghiệm phương trình 2 x 3 log x x 11 x 3.log x là: A 3 B C D 6 Lời giải TXĐ: D 2 Ta có: 2 x 3 log x x 11 x 3.log x 2 x 3 log x 3 x2 3 .log x * Đặt f (t ) 2t log (t 2), t ; f '(t ) 2t ln 2.log (t 2) 2t 0, t (t 2) ln hàm số f (t ) 2t log (t 2) đồng biến (0; ) 2 Khi (*) f x 3 f x 3 x 3 x 3 x x x x x x1 x2 6 Câu 26: Tổng nghiệm phương trình: log A B x2 x 1 x 3x C Lời giải D * Với điều kiện (*) , phương trình tương đương với phương trình sau: Điều kiện: x log x log 3x 1 4 x x log x x log 3x 1 x 1 0, t t ln Suy ra, hàm số đồng biến khoảng (0; ) , đó: Xét hàm số: f (t ) log t 2t , t ta có f ' (t ) x 1 tm f x f x 1 x x x x x tm 2 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 1, x2 Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp x1 x2 2 Trang - 18 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp 2x 1 x , gọi S tổng tất Câu 27: Cho phương trình log x x log 2 x x nghiệm Khi đó, giá trị S 13 13 A S 2 B S C S D S 2 Lời giải 2 x Điều kiện Xét hàm số f t log t t 1 , t x Ta có f t ln 2.t ln 2.t 1 , t , hàm số f t đồng biến t 1 t ln t.ln khoảng 0; 2x 1 x Mặt khác ta có: log x x log 2 x x 2 1 x log 1 x x 1 x f x x3 x x x x log x f x 1 13 x Kết hợp với điều kiện ta x 13 Câu 28: Cho hàm số x 1 13 Vậy S 13 x f ( x) ln( x x) x 2021 x 2023 Số nghiệm nguyên thuộc đoạn [ 2021; 2021] bất phương trình f (2 x ) f ( x 3) là: A 2021 B 2020 C 2022 Lời giải: D 2023 Xét hàm số f ( x) ln( x x) x 2021 x 2023 - Tập xác định D R - Ta có với x D : f ( x) ln( ( x)2 ( x)) ( x) 2021 ( x) 2023 ln( ) x 2021 x 2023 f ( x) x 1 x Vậy hàm số f ( x) hàm số lẻ suy ra: f (x 3) f (3 x ) - Mặt khác với x D : f '( x) ( x x) ' 2021.x 2020 2023.x 2022 2021.x 2020 2023.x 2022 x 1 x x 1 Nên hàm số đồng biến tập xác định Khi bất phương trình f (2 x ) f ( x 3) f (2 x ) f (3 x) f (2 x ) f (3 x) x x x x (*) Xét hàm số g ( x) x x , ta có g ( x) đồng biến R g (1) Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 19 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp nên bất phương trình x x x Do x nguyên thuộc [ 2021; 2021] nên x nhận giá trị thuộc tập T 2021, 2020, 2019, 0,1 có 2023 giá trị cần tìm Câu 29: Biết phương trình log x x 1 log có nghiệm dạng x a b x 2 x a, b số nguyên Tính 2a b A D C Lời giải x x Điều kiện: x x 1 x x x Ta có: log D x 1 x 1 log log 2 x log x log x 1 log x x 2 x log 2 x log x log x log x 1 * Xét hàm số: f t log t 1 log3 t 0; Ta có: f ' t với t 0; t 1 ln t.ln Suy f t đồng biến 0; x 1 Từ ta có * f x f x 1 x x x x x Do x nên x x 2 a 3, b Suy 2a b Câu 30: Có cặp số nguyên x; y , x 2022 thỏa mãn phương trình log x log x y 4log y A 2020 B 1010 C 2019 Lời giải D 1011 x Điều kiện: y x y log x log x y 2log y log x x y log y log x x y log 2 y x xy y x y x y x 2y x y Trường hợp x y không xảy Xét x y , mà x 2022 y 2022 y 1011 , kết hợp điều kiện y 1;2; 1011 Vậy có 1010 giá trị y , tương ứng với có 1011 cặp số x; y thỏa mãn tốn Câu 31: 2 Để phương trình: 2sin x 2cos x m có nghiệm, giá trị cần tìm tham số m là: A m B m 2 C m D 2 m Lời giải Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 20 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp 2 Phương trình tương đương 2sin x 21sin x m 2sin x sin x m Đặt t 2sin x , t 1;2 sin x 2 Xét hàm f t t , t 1;2 f t 1 ; f t t t t Bảng biến thiên Vậy phương trình f t m có nghiệm 2 m Câu 33 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log 1 y xy x y Tìm giá trị x xy nhỏ Pmin P x y A Pmin 34 B Pmin 34 34 C Pmin Lời giải D Pmin 34 1 y 0 0 y Điều kiện: x xy x x 0; y 1 y 1 y Ta có: log xy x y log xy x 1 y x xy x xy log3 1 y log3 x 3xy 3xy x 1 y log3 1 y 1 y log3 x 3xy 3xy x 1 Xét hàm số y log a a khoảng 0; y log a a hàm số đồng biến khoảng 0; a ln 3 1 y 1 y Khi đó: P x y y Từ 1 1 y x 3xy x 1 3y 1 3y 1 y y y 1 Xét hàm số f y 1 3y 1 3y 1 x 12 Ta có: f ' y 0 y 1 1 x BBT: y' Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 21 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Dựa vào BBT ta thấy Pmin Câu 32: Lớp Toán Thầy Nghiệp 34 1 , dấu " " xảy x 3 Tìm giá trị tham số m để phương trình log x log x m có nghiệm thuộc khoảng 0;1 1 A m 0; 4 1 B m ; C m ; 4 Lời giải 1 D m ; 4 Điều kiện: x log x 2 log x m log x log x m (1) Đặt t log x , x 0;1 t ; Phương trình (1) trở thành t t m m t t (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số f t t t với đường thẳng y m Xét hàm số f t t t t ; Ta có: f t 2t 1, f t t Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khoảng 0;1 m Câu 33: Cho x, y số dương thỏa mãn log 3 x y xy y biểu thức P x( x y ) A B x 4y x y Tìm giá trị nhỏ x y C D Lời giải x 4y 2x y 1 x y log3 x y log3 x y x y x y x , y , ta có: log log3 x y x y log3 x y x y (1) , t 0, Xét Hàm số f t log3 t t có f (t ) t ln Hàm số f t đồng biến 0, Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 22 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Khi đó: (1) f ( x y) f 3( x y) x y x y y x x y xy y x x x x 12 x 2 Với y x ta có: P x x( x y ) x(3 x) x3 3x 2 2 222 x 33 Dấu “=” xảy x 3x 3x 333 x Vậy, GTNN P y Câu 34: Cho bất phương trình: x2 x log x x 3x m cosx sin x (1) x x m cosx sin x 3 Có số nguyên m 10;0 cho bất phương trình (1) thỏa mãn với Áp dụng BĐT si ta có : P giá trị x thuộc khoảng 0;1 A B C Lời giải D Biến đổi bất phương trình (1) sau: 1 log x x x x log x x m cosx sin x x x m cosx sin x 3 Xét hàm số: f (t ) log t t t f '( x) với t 0; Do hàm số đồng biến 0; Ta có: f '( x) t ln 1 Ta có: f x x f x x m cosx sin x 3 3 x x x x m cosx sin x m x x x cosx sin x 3 x2 x x2 x Ta có: x 0;1 ( x x) x x 3x cosx sin x , x (0;1) (*) Xét hàm số: g ( x) x3 x 3x cosx sin x với x 0;1 Ta có: g '( x ) x x sin x 3co s x ( x 1) 2sin x g '( x) 0, x (0;1) 3 Do hàm số g ( x) đồng biến (0;1) Suy bất phương trình (*) thỏa mãn với x (0;1) m g (0) 1 m Ta có suy có giá trị m 10 m 1 Xét m Câu 35: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3x x m log 2 x 10 x 2m có hai nghiệm phân biệt lớn 2x 2x 1 A B vô số C D Lời giải +) Điều kiện: x x m Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 23 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Ta có 3x x m 3x x m log 2 x 10 x 2m log 2 x 10 x 2m 2x 2x 1 2x 2x 3x x m log 2 x 10 x 2m 4x 4x 3x x m log 2 x x x x m 4x 4x log 3x x m log x x x x 3x x m x x m log x x m x x log x x (1) +) Xét hàm số: f t 2t log t xác định 0; , t 0; Do hàm số f t đồng biến 0; t.ln Lại có điều kiện x x m x x x Do đó, (1) f 3x x m f x x 3x x m x x m x x 2 f t +) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt lớn phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn Xét hàm số: g x x 5x 2; , có g x x 5 Bảng biến thiên: g x x x 2 g x g x 4 17 Từ bảng biến thiên, ta có phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn 17 m 4 Mà m ngun nên m Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 36: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số x; y thỏa mãn e2 x y 1 e3 x y x y , đồng thời thỏa mãn log 22 x y 1 m log x m A B Ta có e2 x y 1 e3 x y C D Lời giải x y 1 x y 1 e x y e3 x y x y Xét hàm số f t et t Ta có f ' t et 0, t Khi ta có f x y 1 f 3x y x y 3x y y x Do ta có log 22 x y 1 m log x m2 log 22 x m log x m2 Ta có m m2 3m2 8m Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 24 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Phương trình có nghiệm m 3m 8m m m 0;1; 2 Câu 37: Tổng tất giá trị tham số x x 1 x m A Lớp Toán Thầy Nghiệp m B ln x x x 3 phương trình log x x 3 x m có ba nghiệm phân biệt C Lời giải ln x m x x 3 x m Phương trình tương đương ln x x 3 3x để D .ln x m * x m Xét hàm đặc trưng f t 3t.ln t , t hàm số đồng biến nên từ phương trình * suy x x x m g x x x x m x x 2m x m 2 x x m Có g x g ' x x m x m x 2m 2 x x x m Và g ' x x x m Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: m ta có bảng biến thiên g x sau: Phương trình có tối đa nghiệm nên khơng có m thỏa mãn Trường hợp 2: m tương tự ta có bảng biến thiên g x sau: Phương trình có tối đa nghiệm nên khơng có m thỏa mãn Trường hợp 3: m 2, bảng biến thiên g x sau: Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 25 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp m m 1 Phương trình có nghiệm 2m 2m m 2m 2m m Vậy tổng giá trị m Cách 2: ln x m x x 3 x m Phương trình tương đương ln x x 3 3x ln x x ln x m * x m x 3 t f t ln t , t hàm số đồng biến nên từ phương trình Xét hàm * suyra x x x m x x x m 0.(1) 2m x x x2 x x m 2m x Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y 2m đồ thị y x x y x Từ đồ thị suy có m , m 1, m phương trình có nghiệm phân biệt 2 Vậy có giá trị m phương trình có nghiệm phân biệt Câu 38: Có cặp số nguyên x ; y thỏa mãn đồng thời x y log x y x , y thuộc đoạn 2;10 ? A B Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghieäp C Lời giải D Trang - 26 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp x y log x y 2x x log x y x y 2x x log x y t log x y * t ' Xét hàm số f t t có f t ln 1 0, t Hàm số đồng biến , đó: * x log2 x y 2x x y y x 2x ** Xét hàm số g x x x đoạn 2;10 Ta có: g ' x 1 x ln g ' x x log log e log e Kết hợp ** BBT ta có: 2 y log e Do y nên y 1 Với y 2 ta có: g x 2 Do x nên x 1;0;1; 2 Trường hợp có cặp số x ; y thỏa mãn Với y 1 ta có: g x 1 Do x nên x 0;1 Trường hợp có cặp số x ; y thỏa mãn Vậy có tất cặp số x ; y thỏa mãn yêu cầu toán HẾT Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 27 -
Ngày đăng: 04/12/2021, 23:56
Xem thêm:
