MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO MŨ LOGARIT

Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO MŨ - LOGARIT Câu 1: Cho x; y  , x  y  thỏa mãn x2  y2  x  y  2021x  y x y Tìm tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y  2x Câu 2:  y2  2021x  y.log A B 12 C  2 D  Tìm số giá trị nguyên tham số thực m để tồn số thực x, y thỏa mãn Câu 3: 2 e x  y m  e x  y  xy  m  x  y  x  y  xy  2m  A B C D 2 x y  x   y  1  log Xét số thực dương x; y thỏa mãn log 2 xy  x 2 x y 2y  trị nhỏ biểu thức P  y xy  y 2 213 xy Tìm giá 1 B C D 2 2 Cho x, y thỏa mãn log  x  y    x  y    x  y   (với x  y  ) Tìm giá trị lớn A Câu 4: Câu 5: Câu 6: S  x  xy  10 y A B C D x Cho phương trình e  ln( x  a )  a , với a tham số Có giá trị nguyên a thuộc khoảng (0; 19) để phương trình có nghiệm dương? A 15 B 18 C 17 D 16 x y Cho x, y thỏa mãn x  1, y  log  xy   x  y   Giá trị lớn biểu xy 1 1 thức P  x  y     thuộc tập đây? x y A 5;9  B  5;  C  0;5  D 9;   Câu 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x, y  x, y không đồng thời Câu 8:  x y  log3     x  1 y  1   Tìm giá trị nhỏ P với P  x  y   xy  A B C D Cho hàm số bậc bốn f  x  có đồ thị hình vẽ sau Có giá trị nguyên tham số m [2021;2021] để phương trình f ( x) log  x[ f ( x)  mx]  mx3  f ( x) có hai nghiệm dương phân biệt? mx Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu 9: Lớp Toán Thầy Nghiệp A 2019 B 2021 C 2020 D 2022 Có giá trị nguyên tham số m thuộc  2021; 2021 để phương trình e xm  ln x  m có nghiệm thực? A 2019 B 2018 C 2020 D 2021 Câu 10: Có cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn  x  2020 x  x  y  3x ? A 2020 B 1010 C Câu 11: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 20212 x A  x 9  2021x 5 x 1 B D   x  1  x   C D Câu 12: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình 5x 1  x  x   251 x Tính giá trị biểu thức 1 P  x1 x2 A P  6 B P  C P  D P  2   Câu 13: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x x   x  x   x A Vô số B C D x  3x  x    x  1  x  x  x 1 C D 2  Câu 14: Tính tổng tất nghiệm phương trình log A 2  B 2 Câu 15: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình e x A B 5 C  x 5  e2 x 5 x 1  x  x  D 6  2x 1  x Câu 16: Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 log    y 1 ? y   A 2021 C 2020 B 10   x  y 1 Câu 17: Xét số thực dương x, y thoả mãn 2021 biểu thức P  y  x A Pmin  B Pmin   D 11 2x  y  x  1 C Pmin  Câu 18: Cho hai số dương x , y thỏa mãn: log  x  y  xy   Giá trị nhỏ Pmin D Pmin  y2    x   y   Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y có dạng M  a b  c với a, b  , a  Tính S  abc A S  B S  19 C S  17 D S  abc Câu 19: Cho số thực a, b, c thỏa log 2  a  a    b  b    c  c   Giá trị lớn a  b2  c2  a  2b  3c biểu thức P  là: abc 12  30  30  30  30 A B C D 3 3 x 5x2   x   x  x , biết bình x2  a b a phương nghiệm x0 có dạng x02   a, b, c    , tối giản.Tính S  a  b  2c c b Câu 20: Gọi x0 nghiệm thực phương trình x ln Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp A S  26 B S  34 C S  8 D S  Câu 21: Cho phương trình: log2  x  1 x   x   x    x có nghiệm dạng   a  c 13 với a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức a  b b A B C 1 D x 1  x  x  có nghiệm x1 , x2  x1  x2  Giá trị Câu 22: Cho phương trình log 2  x  2   biểu thức x2  x1 A B C D Câu 23: Tổng nghiệm phương trình ln  x    x  18  ln A 7 B 3  C 3  x2  x   x x D   Câu 24: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x x   x  A B Câu 25: Tổng tất nghiệm phương trình A 3 B C  x  3 x   x D Vô số log  x  x  11  x 3.log  x   là: C D 6 x2  Câu 26: Tổng nghiệm phương trình: log   x  1  x  3x  A B C D 2 2x     1    x  , gọi S tổng tất Câu 27: Cho phương trình log  x    x   log 2 x  x nghiệm Khi đó, giá trị S  13  13 A S  2 B S  C S  D S  2 Câu 28: Cho hàm số f ( x)  ln( x   x)  x 2021  x 2023 Số nghiệm nguyên thuộc đoạn [  2021; 2021] bất phương trình f (2 x )  f ( x  3)  là: A 2021 B 2020 C 2022 D 2023  x x 1   log   Câu 29: Biết phương trình log  có nghiệm dạng x  a  b x  2 x a, b số nguyên Tính 2a  b A D C D Câu 30: Có cặp số nguyên  x; y  , x  2022 thỏa mãn phương trình log x  log  x  y    4log y A 2020 B 1010 sin2 x Câu 31: Để phương trình: A  m  C 2019 D 1011 cos2 x 2  m có nghiệm, giá trị cần tìm tham số m là: B  m  2 C  m  D 2  m  1 y Câu 32: Xét số thực dương x, y thỏa mãn log  xy  x  y  Tìm giá trị x  xy nhỏ Pmin P  x  y Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học A Pmin  34 B Pmin  Lớp Toán Thầy Nghiệp 34 C Pmin  34  Câu 33: Tìm giá trị tham số m để phương trình log x  D Pmin  34  log x  m  có nghiệm thuộc khoảng  0;1  1 A m   0;   4 1  B m   ;  4  1  D m   ;   4  C m   ;  Câu 34: Cho x, y số dương thỏa mãn log x  4y  x  y  Tìm giá trị nhỏ x y x y  xy  y x( x  y ) A B C D 2 Câu 35: Cho bất phương trình:     x2  x log    x  x  3x  m  cosx  sin x (1)  x  x  m  cosx  sin x  3  Có số nguyên m   10;0  cho bất phương trình (1) thỏa mãn với biểu thức P  giá trị x thuộc khoảng  0;1 A B C D Câu 36: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3x  x  m log 2  x  10 x   2m có hai nghiệm phân biệt lớn 2x  2x 1 A B vô số C D Câu 37: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn e2 x  y 1  e3 x  y  x  y  , đồng thời thỏa mãn log 22  x  y  1   m   log x  m2   A Câu 38: Tổng tất x  x 1 x  m B giá trị C tham số m D để phương trình  log x  x 3  x  m   có ba nghiệm phân biệt A B C D x Câu 39: Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn đồng thời  y  log  x  y  x , y thuộc đoạn  2;10 ? A B C D BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.C 21.D 31.D 2.B 12.C 22.C 33.B 3.D 13.C 23.B 32.B 4.C 14.B 24.B 33.C Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp 5.C 15.C 25.D 34.A 6.A 16.B 26.D 35.D 7.B 17.D 27.D 36.A 8.A 18.D 28.D 37.A 9.C 19.D 29.D 38.A 10.D 20.D 30.D Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Câu 1: Lớp Toán Thầy Nghiệp HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO Cho x; y  , x  y  thỏa mãn x2  y2  x  y  2021x  y x y Tìm tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y  2x A 2  y2  2021x  y.log B 12 C  2 D  Lời giải Với cặp ( x; y) thỏa mãn giả thiết, ta xét hàm số f  t   2t  2021x  y log t với t  2021x  y  0, t  , nên f  t  đồng biến khoảng  0;   t ln x2  y2  2021x  y.log  x  y  2021x  y (1) x y Vì f   t   2t.ln  Ta có : x  2x  y2  y2  2021x  y.log  x  y   22( x  y )  2021x  y.log   x  y   2  f  x  y   f   x  y    x  y   x  y    x  1   y  1   C1  Hình trịn  C1  có tâm I 1;1 , bán kính r  2 P  x  y  x  y    x  3   y  1  P  Lại có:  C2  Do  x  3   y  1  nên P    P  5 Nếu P  5 x  3, y  khơng thỏa mãn giả thiết Với P  5  C2  đường trịn tâm K  3,1 , bán kính R  P  Vì IK   r  nên điểm K  3,1 nằm bên ngồi  C1  Do  C1  ,  C2  có điểm chung R  r  IK  R  r  R    R  Câu 2:    R      P     1  P  1  P   2; max P    P  max P  Tìm số giá trị nguyên tham số thực m để tồn số thực x, y thỏa mãn 2 e x  y m  e x  y  xy  m  x  y  x  y  xy  2m  A B C Lời giải t Xét hàm số f  t   e  t  , t   D f   t   et  f   t    t  Ta thấy f   t  đổi dấu từ “- ” sang “+” qua t  nên f  t   f    0, t   2 e x  y  m   x  y  m    0, x, y   Do đó:  x  y  xy  m   x  y  xy  m    0, x, y   e  x2  y  m Dấu “=” xảy   x  y  xy  m 2  x  y  m 1 e  x  y  x  y  xy  2m    Hay e  x  y  xy  m   S  2P  m  S  S  3P  Vì S  P  S   0; 4 Đặt S  x  y , P  x y , ta có:  S  P  m x2  y  m x  y  xy  m 2 Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Lấy 1   2 vế theo vế ta được: S  2S  3m  3 Xét hàm số f  S   S  2S , S   0; 4 , có f   S   2S   0, S   0; 4 Yêu cầu toán   3 có nghiệm  f    3m  f     m  Vậy, có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn x2  y2  x  y   log Câu 3: Xét số thực dương x; y thỏa mãn log 2 xy  x   213 xy Tìm x y y2  giá trị nhỏ biểu thức P  y xy  y A 1 Ta có log B 2 Lời giải C x2  y2  x   y  1  log xy  x 2 D 213 xy  x2  y   log   x  y   3xy  x; y     3xy  x   log  x  y   log  xy  x   x  y   xy  log  x  y   x  y  log  xy  x   xy  x (1) Xét hàm số f  t   log t  t khoảng  0;   Ta có f '  t     0, t  0, nên hàm số f  t   log t  t đồng biến  0;   t.ln Do (1)  f  x  y   f  xy  x   x  y  xy  x  x  xy  y  x x x       (vì y  )    y y  y (2)  2 2 x y 2y x  xy  y   Ta thấy P    y xy  y xy  y Đặt t  x x 3 3  y y x 1 y x t  1; 2 (do (2)) Khi y 2t  3t  2    t 1    2t  1     2t  1 2t  2 2t  2t  2t  x 3 Dấu “=” xảy 2t    t    y 2 x 3 Vậy P  , đạt  y 2 P Câu 4: Cho x, y thỏa mãn log  x  y    x  y    x  y   (với x  y  ) Tìm giá trị lớn S  x  xy  10 y A B C Lời giải D Cách 1: log  x  y    x  y    x  y   Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp  log  x  y   log  x  y    x  y    x  y    2 2  log  x  y    x  y   log 2  x  y    x  y    log  x  y    x  y   log 2  x  y    x  y  * Đặt f  t   log t  t , với t    , với t  t.ln Hàm số f  t  đồng biến  0;   f  t    *  f  x  y    f   x  y    x  y  2   x  y   x  y  (Do x  y  ) Ta S  x  xy  10 y  x  x   x   10   x   x  36 x  40 x  y  Do   x  2(2  x)    x  , S   18 x  36   x  x  y  4 Dựa vào bảng biến thiên: S max  S    x  y  3 3 Cách 2: log  x  y    x  y    x  y   Đặt t  x  y , giả thiết cho trở thành: log t  t  2t  (1) Điều kiện: t  Phương trình (1) phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  log t y  t  2t  Trên  0;1 , ta có t  2t     log t Trên 1;   , hàm số y  log t đồng biến, hàm số y  t  2t  nghịch biến Mà phương trình (1) có nghiệm t  nên t  nghiệm phương trình (Đoạn dựa vào đồ thị hàm trên) Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Từ x  y   y   x Ta S  x  xy  10 y  x  x   x   10   x   x  36 x  40 x  y  Do   x  2(2  x)    x  , S   18 x  36   x  x  y  Câu 5: Câu 6: 4 Dựa vào bảng biến thiên: S max  S    x  y  3 3 x Cho phương trình e  ln( x  a )  a , với a tham số Có giá trị nguyên a thuộc khoảng (0; 19) để phương trình có nghiệm dương? A 15 B 18 C 17 D 16 Lời giải x x Từ giả thiết e  ln( x  a )  a  e  x  ln( x  a)  x  a  e x  x  eln( x  a )  ln( x  a) Xét hàm số đặc trưng f (t )  et  t có f ' (t )  et   0, t Suy f ( x)  f (ln( x  a ))  x  ln( x  a)  x  a  e x  a  e x  x Đặt g ( x)  e x  x  g '( x)  e x   g '( x)   x  Bảng biến thiên hàm số g ( x ) Để phương trình có nghiệm dương a  Do a  (0,19) suy a  {2;3; ;18} Vậy có 17 giá trị cần tìm x y Cho x, y thỏa mãn x  1, y  log  xy   x  y   Giá trị lớn biểu xy 1 1 thức P  x  y     thuộc tập đây? x y A 5;9  B  5;  C  0;5  D 9;   Lời giải x  y  Với x  1, y  suy ra:  4 xy  x y Khi log  xy   x  y    log3  x  y   log3  xy   xy   x  y   xy  log3  x  y     x  y   log  xy   xy  log3  x  y    x  y   log  xy   xy  * Giaùo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Xét hàm số f  t   log3 t  t  0;     với t   0;   nên hàm số y  f  t  đồng biến  0;   t.ln Suy ra: *  f  3x  y   f  xy    x  y   xy Do f   t   2 Ta có: xy   x  y    x  y    x  y   x  y  1 Mặt khác x  1, y  nên:  x  1 y  1   xy   x  y   xy  1   x  y   3 x  y     x  y   x  y   2 Từ 1     x  y  3 x  y  1 1 2 P  x  y       x  y   xy    x  y   x  y  xy x y 3 Đặt x  y  t  t  3; 4 Hàm số g  t   t  t  có g   t   2t   với t  3; 4 , 2 suy g  t   g    Câu 7: Vậy Max P  x  1; y  x  3; y  Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x, y  x, y không đồng thời  x y  log     x  1 y  1   Tìm giá trị nhỏ P với P  x  y   xy  A B C D Lời giải x y Dựa vào điều kiện toán ta nhận xét:  ;  xy  ; x  y  ;  xy   xy  x y  Ta có: log     x  1 y  1    log  x  y   log3 1  xy   xy  x  y     xy   log3  x  y   x  y  log3 1  xy    xy Xét hàm số g  t   log3 t  t với t    0, t  nên hàm số g  t  đồng biến khoảng  0;    t ln 1 x 1 x Vậy ta có g  x  y   g 1  xy   x  y   xy  y  Suy P  x  1 x 1 x 1 x Xét hàm số f  x   x  với x   0;1 Ta có f   x    ; 1 x 1  x  Để ý, g   t   x  f  x     x  2 Câu 8: x  Ta có f    1, f 1  Vậy f  x    x  , hay Pmin   0;1 y 1 Cho hàm số bậc bốn f  x  có đồ thị hình vẽ sau Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Có giá trị ngun tham số m [2021;2021] để phương trình f ( x) log  x[ f ( x)  mx]  mx3  f ( x) có hai nghiệm dương phân biệt? mx A 2019 B 2021 C 2020 D 2022 Lời giải Từ đồ thị hàm số suy f  x  có ba điểm cực trị 1; 0; Do a a x  x b f ( x ) Mặt khác, đồ thị hàm số qua hai điểm (0; 4), (1;3) nên f ( x)  x  x   3, x f ( x)  suy m  Điều kiện mx f ( x) log  x[ f ( x)  mx]  mx3  f ( x)  log f ( x )  f ( x )  xf ( x )  log  mx   mx  x  mx  mx  log  ( x  1) f ( x)   x  1 f ( x)  log  ( x  1)mx     x  1 mx (*) (Do x   ) f ( x)  ax  x  1  f ( x)    với t  t.ln10 f ( x) x  x   2 Từ (*) ta có ( x  1) f ( x )  ( x  1) mx  m    x    6 x x2 x  Đặt u  x   2, m  u  6, u  2 x Ứng với giá trị u  2 cho ta hai giá trị dương x nên yêu cầu tốn đưa điều kiện tìm m để phương trình m  u  có nghiệm u  2 Đặt h(u )  u  với u  2 Bảng biến thiên hàm số h(u) Xét hàm số g (t )  log t  t với t  Ta có g (t )  Từ bảng biến thiên suy m  thỏa yêu cầu toán Do m   m[2021; 2021] nên m  3; 4;; 2021 Câu 9: Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn đề Có giá trị nguyên tham số m thuộc  2021; 2021 để phương trình e xm  ln x  m có nghiệm thực? A 2019 B 2018 Ta có: e xm C 2020 D 2021 Lời giải xm  ln x  m  e  x  m  ln x  x  e xm  x  m  e ln x  ln x 1 Xét hàm số f t   et  t , t   1 trở thành f  x  m   f ln x  Có f  t   e t   0, t   suy hàm số f  t  đồng biến  từ f  x  m   f ln x   x  m  ln x  m  x  ln x điều kiện x  Xét hàm số g  x   x  ln x 0;  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 10 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học A B 5 Lớp Toán Thầy Nghiệp C D 6 Lời giải Ta có: e x  x 5  e2 x 2  x 1  x2  x   ex  x 5  e2 x  ex  x 5  2( x  x  5)  e2 x  x 1   x  x  1   x  x    x 1   x  x  1 (*) Xét hàm số f (t )  et  2t  f '(t )  et    t    f (t ) đồng biến  Từ (*) ta có f  x  x    f  x  x  1  x  x   x  x   x  x    1  x  Mà x    x  0;1;2;3 Vậy tổng nghiệm nguyên Câu 16:  2x 1  x Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 log    y 1 ? y   A 2021 B 10 C 2020 D 11 Lời giải y  2 x   x     Từ giả thiết ta có:  x  y  y   y 0   2x 1  x x x Ta có: log    y    log   1    1  log y  y  y  Xét hàm số f  t   log t  t  0;   (*)   Do hàm số f  t   log t  t đồng biến  0;   t ln Phương trình (*) có dạng f  x  1  f  y   y  x  Khi f   t   Vì  y  2020 nên  x   2020   x  2021   x  log  2021 0  x  log  2021 Kết hợp với điều kiện ta có:   x  1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10  x   Vậy có 10 cặp  x; y  thỏa mãn Câu 17:   x  y 1 Xét số thực dương x, y thoả mãn 2021  2x  y  x  1 Giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  y  x A Pmin  B Pmin  C Pmin  Lời giải 2 x  y 1 2x  y 2x  y Ta có: 2021    x  y  1  log 2021 2  x  1  x  1 D Pmin   log 2021  x  x  1   x  x  1  log 2021  x  y    x  y  * Xét hàm: f  t   log 2021 t  2t , t  Suy ra: f '  t     , t  t ln 2021 Do hàm f  t  đồng biến khoảng  0;   Mà *   f  x  x  1  f  x  y   x  x   x  y  y  x  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 13 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp 3 7  Khi đó: P  y  3x  x  3x    x     4 8  KL: Pmin  x  y2 Câu 18: Cho hai số dương x , y thỏa mãn: log  x  y  xy      x   y   Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y có dạng M  a b  c với a, b  , a  Tính S  abc A S  B S  19 C S  17 Lời giải D S  Với giải thiết x , y dương ta có: log  x  y  xy   y2    x   y     y   log  x  1 y       x  1 y     y     x  1  y2  log  x  1  log  y      x  1  log y2 8  log  x  1   x  1  log  1 y2 y2   0, t  Xét hàm số f  t   log t  t với t  , ta có f   t   t ln  Hàm số f  t   log t  t đồng biến khoảng  0;    log  x  1 y         2x   y2  y2 Khi 1  f  x  1  f   P  x  y   x  1   y     Đẳng thức xảy x 8   y  2    y      y2 y2  y  2  n  y    y  2    y2  y  2   l  2 1 a    M    b   S  a  b  c  c  3  Câu 19: abc  a  a    b  b    c  c   Giá trị lớn a  b2  c2  a  2b  3c biểu thức P  là: abc 12  30  30  30  30 A B C D 3 3 Lời giải Cho số thực a, b, c thỏa log Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 14 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp abc  a  a  4  b b  4  c  c  4 a  b2  c   log  a  b  c    a  b  c   log  a  b  c    a  b  c  (1) Ta có log 2 Xét hàm số f  t   log t  t  t      f  t  đồng biến  0;   t.ln Nên (1)   a  b  c   a  b  c  f  t   2   a     b     c    10  S   S  phương trình mặt cầu tâm I  2; 2;  , bán kính R  10 a  2b  3c  a  P  1  b  P    c  P     Q  abc Điều kiện để mặt phẳng  Q  cắt mặt cầu  S  P d  I , Q   R   P  1   P     P  3 2  P  1   P     P  3  10   P  12   10  3P  12 P  14   P  24 P    Vậy GTLN P  Câu 20:  30  30 P 3  30 x 5x2   x   x  x , biết bình x 1 a b a phương nghiệm x0 có dạng x02   a, b, c    , tối giản.Tính S  a  b  2c b c A S  26 B S  34 C S  8 D S  Lời giải Điều kiện: x  Chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 5 2 x 5x  1 x  1   ln      ln x2 x2 x 1 x x 1 x 1    ln     ln 1     (*) x x x  x  Xét hàm đặc trưng f  t   ln t  t  t   Gọi x0 nghiệm thực phương trình x ln Ta có: f   t    t  Với t   f  t   Vậy hàm f  t   ln t  t đồng biến liên tục với t  Khi (*)   1 1  1    1      x x x x x x x Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 15 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp   17 ( n) x    S   4x  x 1     17 (l ) x   Câu 21: Cho phương trình: log2  x  1 x   x   x    x có nghiệm dạng   a  c 13 với a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức a  b b A B C 1 D Lời giải Với điều kiện: x    x  1 Ta có: log2  x  1 x   x   x    x       log  x  1  log2    x2   x  x2    2x    log2  x  1  log    x   1 2x  x 4 x  log2  x  1   log2   x2   x  x2    2x  log2  x  1  x   log2   x   x  x   x   Xét hàm số: f  t   log2 t  t với t   0;     với t   0;   t ln Vậy hàm f  t   ln t  t đồng biến liên tục với t  Có: f '  t   Từ    x   x   x  x   x  với x  1  2  13 x   3x  x      2  13 x   Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình x  Câu 22: Cho phương trình log x 1  x  2 2  13  a  b   x  x  có nghiệm x1 , x2  x1  x2  Giá trị biểu thức x2  x1 A B C D Lời giải Điều kiện: 1  x  Khi phương trình x 1 log  x  x   log  x  1  log  x    x  x   x  2  log  x  1  x   log  x  x      x  x    log  x  1  x   log  x  x     x  x   Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 16 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Xét hàm số f  t   log t  t  t    f   t     , t  Suy hàm số đồng t ln biến khoảng  0;    x  x1  Do đó: f  x  1  f  x  x    x   x  x   x  x      x  x2   Vậy x2  x1   5.1  x2  x   Câu 23: Tổng nghiệm phương trình ln  x    x  18  ln x x A 7 B 3  C 3  D Lời giải  8  x  2 Điều kiện  Ta có: x  x2 x2 ln  x    x  18  ln  x    ln  x  8  x   ln 2 x8  x x x x  ln x    2      x    ln 1    1    1  x   x    2 Xét hàm số f  t   ln t   t  1 , t  2t  2t  Ta có f   t     t  1   , t  , hàm số f  t  đồng biến t t khoảng  0;        Mặt khác ta có : ln x   x    ln 1    1    1  f  x   x    x   x     x  x  x     x  2   x   x  2  x  Kết hợp với điều kiện ta   x  2  Vậy tổng nghiệm pt cho 3       Câu 24:   2 x   f 1    x       Số nghiệm nguyên bất phương trình log x x   x  x   x A D Vô số B C Lời giải Điều kiện xác định: x x   x   x (vì   x2   x   x  x2   x  x2  x  x  x  ) Ta có:  x2   x   x   x  nên bất phương trình cho tương đường với Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 17 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học 3x log 2 x 3 x Lớp Toán Thầy Nghieäp  x   x  x  log  x   3x  log   x   x  x   x * Xét hàm số f  t   log t  t với t    0, t   f  t  hàm số đồng biến  0;  t ln f  t   Do *  x  x   x  x   x  x   x (vì x  )  x  Mà x  nên x   0;1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm ngun Câu 25: 2 Tổng tất nghiệm phương trình 2 x 3 log  x  x  11  x 3.log  x   là: A 3 B C D 6 Lời giải TXĐ: D   2 Ta có: 2 x 3 log  x  x  11  x 3.log  x    2 x 3 log   x  3     x2 3 .log x       * Đặt f (t )  2t log (t  2), t  ; f '(t )  2t ln 2.log (t  2)  2t  0, t  (t  2) ln  hàm số f (t )  2t log (t  2) đồng biến (0;  ) 2 Khi (*)  f  x  3   f   x  3    x  3   x  3  x  x   x     x  x    x1  x2  6 Câu 26: Tổng nghiệm phương trình: log A B x2    x  1  x  3x  C Lời giải D * Với điều kiện (*) , phương trình tương đương với phương trình sau: Điều kiện: x   log  x    log  3x  1  4 x  x   log  x     x    log  3x  1   x  1   0, t  t ln Suy ra, hàm số đồng biến khoảng (0;  ) , đó: Xét hàm số: f (t )  log t  2t , t  ta có f ' (t )   x  1 tm  f  x    f  x  1  x   x   x  x      x   tm   2 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x1  1, x2  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp  x1  x2  2 Trang - 18 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp 2x     1    x  , gọi S tổng tất Câu 27: Cho phương trình log  x    x   log 2 x  x nghiệm Khi đó, giá trị S  13  13 A S  2 B S  C S  D S  2 Lời giải  2  x    Điều kiện Xét hàm số f  t   log t   t  1 , t   x  Ta có f   t   ln 2.t  ln 2.t  1  , t  , hàm số f  t  đồng biến   t  1  t ln t.ln khoảng  0;   2x     1    x  Mặt khác ta có: log  x    x   log 2 x  x 2   1   x    log         1 x   x   1  x   f     x     x3  x  x   x x   log x    f       x  1   13  x  Kết hợp với điều kiện ta    x   13  Câu 28: Cho hàm số  x  1  13  Vậy S   13 x   f ( x)  ln( x   x)  x 2021  x 2023 Số nghiệm nguyên thuộc đoạn [  2021; 2021] bất phương trình f (2 x )  f ( x  3)  là: A 2021 B 2020 C 2022 Lời giải: D 2023 Xét hàm số f ( x)  ln( x   x)  x 2021  x 2023 - Tập xác định D  R - Ta có với x  D : f ( x)  ln( ( x)2   ( x))  ( x) 2021  ( x) 2023  ln( )  x 2021  x 2023   f ( x) x 1  x Vậy hàm số f ( x) hàm số lẻ suy ra: f (x  3)  f (3  x ) - Mặt khác với x  D : f '( x)  ( x   x) '  2021.x 2020  2023.x 2022   2021.x 2020  2023.x 2022  x 1  x x 1 Nên hàm số đồng biến tập xác định Khi bất phương trình f (2 x )  f ( x  3)   f (2 x )  f (3  x)   f (2 x )  f (3  x)  x   x  x  x   (*) Xét hàm số g ( x)  x  x  , ta có g ( x) đồng biến R g (1)  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 19 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp nên bất phương trình x  x    x  Do x nguyên thuộc [  2021; 2021] nên x nhận giá trị thuộc tập T  2021, 2020, 2019, 0,1 có 2023 giá trị cần tìm Câu 29: Biết phương trình log  x x 1   log    có nghiệm dạng x  a  b x  2 x a, b số nguyên Tính 2a  b A D C Lời giải x  x     Điều kiện:  x  x  1 x      x x   Ta có: log D x 1  x 1   log    log 2 x   log x  log  x  1  log x x 2 x        log 2 x   log x  log x  log  x  1    * Xét hàm số: f  t   log  t  1  log3  t   0;   Ta có: f '  t     với t   0;    t  1 ln t.ln Suy f  t  đồng biến  0;    x  1 Từ ta có *  f x  f  x  1  x  x   x  x      x   Do x  nên x    x   2  a  3, b  Suy 2a  b   Câu 30:  Có cặp số nguyên  x; y  , x  2022 thỏa mãn phương trình log x  log  x  y    4log y A 2020 B 1010 C 2019 Lời giải D 1011 x   Điều kiện:  y  x  y   log x  log  x  y    2log y  log x  x  y    log y  log x  x  y   log 2 y  x  xy  y   x  y  x  y   x  2y  x   y Trường hợp x   y không xảy Xét x  y , mà x  2022  y  2022  y  1011 , kết hợp điều kiện  y 1;2; 1011 Vậy có 1010 giá trị y , tương ứng với có 1011 cặp số  x; y  thỏa mãn tốn Câu 31: 2 Để phương trình: 2sin x  2cos x  m có nghiệm, giá trị cần tìm tham số m là: A  m  B  m  2 C  m  D 2  m  Lời giải Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 20 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp 2 Phương trình tương đương 2sin x  21sin x  m  2sin x  sin x m Đặt t  2sin x , t  1;2  sin x  2 Xét hàm f t   t  , t  1;2   f  t   1 ; f  t    t  t t Bảng biến thiên Vậy phương trình f t   m có nghiệm  2  m  Câu 33 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log 1 y  xy  x  y  Tìm giá trị x  xy nhỏ Pmin P  x  y A Pmin  34 B Pmin  34 34 C Pmin  Lời giải D Pmin  34  1 y 0 0  y   Điều kiện:  x  xy  x    x  0; y   1 y 1 y Ta có: log  xy  x  y   log    xy  x   1  y  x  xy x  xy  log3 1  y   log3  x  3xy    3xy  x   1  y   log3 1  y   1  y   log3  x  3xy    3xy  x  1 Xét hàm số y  log a  a khoảng  0;      y  log a  a hàm số đồng biến khoảng  0;   a ln 3 1  y  1  y  Khi đó: P  x  y   y Từ 1  1  y   x  3xy  x  1 3y 1 3y 1  y  y  y 1 Xét hàm số f  y   1 3y 1 3y  1  x  12 Ta có: f '  y    0   y  1 1  x   BBT: y' Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 21 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Dựa vào BBT ta thấy Pmin  Câu 32: Lớp Toán Thầy Nghiệp 34 1  , dấu "  " xảy x  3  Tìm giá trị tham số m để phương trình log x   log x  m  có nghiệm thuộc khoảng  0;1  1 A m   0;   4 1  B m   ;  C m   ;  4  Lời giải 1  D m   ;   4  Điều kiện: x   log x  2  log x  m    log x   log x  m  (1) Đặt t  log x , x   0;1  t   ;  Phương trình (1) trở thành t  t  m   m  t  t (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số f  t   t  t với đường thẳng y  m Xét hàm số f  t   t  t t   ;  Ta có: f   t   2t  1, f   t    t   Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khoảng  0;1 m  Câu 33: Cho x, y số dương thỏa mãn log 3 x y  xy  y biểu thức P  x( x  y ) A B x  4y  x  y  Tìm giá trị nhỏ x y C D Lời giải x  4y  2x  y 1 x y  log3  x  y   log3  x  y     x  y    x  y   x , y  , ta có: log  log3  x  y    x  y   log3  x  y    x  y  (1)   ,  t   0,   Xét Hàm số f  t   log3 t  t có f (t )  t ln  Hàm số f  t  đồng biến  0,   Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 22 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Khi đó: (1)  f ( x  y)  f 3( x  y)  x  y   x  y   y  x x y  xy  y x  x  x x  12 x 2 Với y  x ta có: P     x  x( x  y ) x(3 x) x3 3x 2 2 222 x    33  Dấu “=” xảy  x  3x 3x 333 x  Vậy, GTNN P  y  Câu 34: Cho bất phương trình:     x2  x log    x  x  3x  m  cosx  sin x (1)  x  x  m  cosx  sin x  3  Có số nguyên m   10;0  cho bất phương trình (1) thỏa mãn với Áp dụng BĐT si ta có : P  giá trị x thuộc khoảng  0;1 A B C Lời giải D Biến đổi bất phương trình (1) sau: 1  log  x  x   x  x  log  x  x  m  cosx  sin x   x  x  m  cosx  sin x 3  Xét hàm số: f (t )  log t  t t    f '( x)  với t   0;   Do hàm số đồng biến  0;   Ta có: f '( x)  t ln 1  Ta có: f  x  x   f  x  x  m  cosx  sin x  3  3    x  x  x  x  m  cosx  sin x  m  x  x  x  cosx  sin x   3  x2  x   x2  x    Ta có: x   0;1  ( x  x)  x  x  3x  cosx  sin x , x  (0;1) (*) Xét hàm số: g ( x)  x3  x  3x  cosx  sin x với x   0;1   Ta có: g '( x )  x  x   sin x  3co s x  ( x  1)   2sin  x    g '( x)  0, x  (0;1) 3  Do hàm số g ( x) đồng biến (0;1) Suy bất phương trình (*) thỏa mãn với x  (0;1) m  g (0)  1 m   Ta có  suy có giá trị m 10  m  1 Xét m  Câu 35: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3x  x  m log 2  x  10 x   2m có hai nghiệm phân biệt lớn 2x  2x 1 A B vô số C D Lời giải +) Điều kiện: x  x  m  Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 23 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp Ta có 3x  x  m 3x  x  m log 2  x  10 x   2m  log 2   x  10 x   2m 2x  2x 1 2x  2x  3x  x  m  log 2  x  10 x   2m 4x  4x  3x  x  m  log 2   x  x     x  x  m   4x  4x   log  3x  x  m   log  x  x     x  x     3x  x  m     x  x  m   log  x  x  m    x  x    log  x  x   (1) +) Xét hàm số: f  t   2t  log t xác định  0;     , t   0;    Do hàm số f  t  đồng biến  0;    t.ln Lại có điều kiện x  x  m  x  x   x Do đó, (1)  f  3x  x  m   f  x  x    3x  x  m  x  x   m  x  x   2 f t    +) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt lớn phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn Xét hàm số: g  x   x  5x   2;    , có g   x   x  5 Bảng biến thiên: g  x   x  x 2 g  x  g  x     4 17 Từ bảng biến thiên, ta có phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn 17  m  4 Mà m ngun nên m Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Câu 36: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn e2 x  y 1  e3 x  y  x  y  , đồng thời thỏa mãn log 22  x  y  1   m   log x  m   A B Ta có e2 x  y 1  e3 x  y C D Lời giải x  y 1  x  y 1  e  x  y   e3 x  y  x  y Xét hàm số f  t   et  t Ta có f '  t   et   0, t Khi ta có f  x  y  1  f  3x  y   x  y   3x  y  y   x Do ta có log 22  x  y  1   m   log x  m2    log 22 x   m   log x  m2     Ta có    m    m2   3m2  8m Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 24 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Phương trình có nghiệm m    3m  8m    m    m  0;1; 2 Câu 37: Tổng tất giá trị tham số x  x 1 x  m A Lớp Toán Thầy Nghiệp m B ln  x  x     x 3 phương trình  log x  x 3  x  m   có ba nghiệm phân biệt C Lời giải ln  x  m   x  x  3  x  m    Phương trình tương đương ln  x  x  3  3x để D .ln  x  m   * x m  Xét hàm đặc trưng f  t   3t.ln t , t  hàm số đồng biến nên từ phương trình  * suy  x  x   x  m   g  x   x  x  x  m    x  x  2m  x  m 2 x  x  m Có g  x     g ' x   x  m x  m  x  2m  2 x  x  x  m Và g '  x      x  x  m Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: m  ta có bảng biến thiên g  x  sau: Phương trình có tối đa nghiệm nên khơng có m thỏa mãn Trường hợp 2: m  tương tự ta có bảng biến thiên g  x  sau: Phương trình có tối đa nghiệm nên khơng có m thỏa mãn Trường hợp 3:  m  2, bảng biến thiên g  x  sau: Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 25 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp  m   m  1    Phương trình có nghiệm  2m    2m    m    2m    2m    m   Vậy tổng giá trị m Cách 2: ln  x  m   x  x  3  x  m    Phương trình tương đương ln  x  x  3  3x ln  x  x    ln  x  m   * x m   x 3 t f  t   ln t , t  hàm số đồng biến nên từ phương trình Xét hàm  * suyra  x  x   x  m   x  x  x  m   0.(1)  2m  x  x   x2  x   x  m    2m   x  Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y  2m đồ thị y  x  x  y   x  Từ đồ thị suy có m  , m  1, m  phương trình có nghiệm phân biệt 2 Vậy có giá trị m phương trình có nghiệm phân biệt Câu 38: Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn đồng thời x  y  log  x  y  x , y thuộc đoạn  2;10 ? A B Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghieäp C Lời giải D Trang - 26 - Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp x  y  log  x  y   2x  x  log  x  y   x  y  2x  x  log  x  y   t log  x  y   * t ' Xét hàm số f  t    t có f  t   ln  1 0,  t  Hàm số đồng biến  , đó: *  x  log2  x  y   2x  x  y  y  x  2x ** Xét hàm số g  x   x  x đoạn  2;10 Ta có: g '  x  1  x ln g '  x    x  log  log e   log e  Kết hợp ** BBT ta có: 2  y  log    e  Do y   nên y  1 Với y  2 ta có: g  x   2 Do x   nên  x 1;0;1; 2 Trường hợp có cặp số  x ; y  thỏa mãn Với y  1 ta có: g  x   1 Do x   nên  x   0;1  Trường hợp có cặp số  x ; y  thỏa mãn Vậy có tất cặp số  x ; y  thỏa mãn yêu cầu toán HẾT Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 27 -