Mot so bai toan

Cũng có một hướng tổng quát Bài toán 3, thu được bất đẳng thức tương tự như 6.. Chưa giải quyết được.Không biết đề có đúng không!!!.[r]

ĐỀ BÀI Oxy Bài Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có trực tâm H (5;5), đường thẳng BC có phương trình x  y  0, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua M (7;3), N (4; 2) Tính diện tích ABC x y 2 z d:   ,  mặt phẳng Bài Trong gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng ( P) : x  y  z  0 Gọi A d  ( P ) Viết phương trình đường thẳng  qua A, nằm ( P ) tạo với d góc 30 Bài Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có A ' ABC hình chóp tam giác đều, AB a, góc hai mặt cos   ( A ' BC ), ( C ' B ' BC )  Tính theo a thể tích khối chóp A '.BCC ' B ' phẳng với LỜI GIẢI Bài Xét hệ phương trình  x - y 2  x 1 x y 2 z        y 0 -1   x  z 0 1 2 x  y  z -1 0  x  y  z 1  z    nên d  ( P )  A(1;0;  1)   Một vectơ pháp tuyến ( P ) n (2;1;1), vectơ phương d u1 (1; 2;  1) Gọi  2 vectơ phương  u2 ( a; b; c), a  b  c 0   Vì   ( P) nên n.u2 0  2a  b  c 0  c  2a  b  u2 (a; b;  2a  b) Vì góc  d 30 nên   u1.u2 3a  3b cos 30       5a  4ab  2b  a  b 2 u1 u2 5a  4ab  2b  2  5a  4ab  2b 2a  4ab  2b  a 0  u2  0; b;  b    Chọn b 1 u2 (0;1;  1) Đường thẳng  qua A(1;0;  1), nhận u2 (0;1;  1) vectơ  x 1  (t  )  y t  z   t phương, nên  có phương trình tham số   x 1   :  y t (t  )  z   t  Thử lại thấy đường thẳng cần tìm VA ' ABC  VABC A ' B ' C ' Bài Ta thấy VA '.BCC ' B ' VABC A ' B ' C '  VA ' ABC  VABC A ' B 'C '  VABC A ' B 'C '  VABC A ' B ' C ' 2.VA ' ABC 3 Gọi K , H , G trung điểm BC , trung điểm B ' C ', trọng tâm tam giác ABC Vì A ' ABC hình chóp tam giác nên a2 a a a VA ' ABC  A ' G.SABC SABC  , AK  , AG  , GK  Tứ giác A ' HKA Ta có hình bình hành Nhận thấy A ' G  ( ABC )  BC  A ' G, BC  AK , BC  ( AA ' HK ) Góc   hai mặt phẳng ( A ' BC ), (C ' B ' BC ) góc A ' KH  AA ' K góc bù với góc Nghĩa A ' A2  A ' K  AK C’ cos   cos AA ' K  A ' A A ' B H 2 2 a 2 a A ' A h  , A ' K h  B’ 12 A’ Đặt A ' G h a2 2h  3   a2   a2   h    h    12   Do  72h  51a h  2a 0  a2  a h  h  24 12     2a  a h  h    C K G A B  a3 a (dvtt ) h  a  24 12 VA '.BCC ' B '  h  3 a a   (dvtt ) h  Vậy Bài Gọi M , N hình chiếu H BC , AC , gọi A ' giao điểm thứ hai AH với đường tròn ngoại tiếp ABC , A '  A Bốn điểm A, N , M , B nằm đường trịn đường kính AB Ta có    MBH MAC MBA ' nên A ' H đối xứng với qua BC Đường thẳng qua A, H , M , A ' vuông góc với BC có phương trình dạng x - y  m 0, mà điểm H (5;5) thuộc đường thẳng nên   m 0  m 0, tức đường thẳng AM có phương trình x - y 0 Xét hệ phương trình  x  y  0  x 4   AM  BC M (4; 4)   x  y 0  y 4 Điểm M trung điểm HA ' nên  x A ' 2 xM  xH 3  A '(3;3)   y A ' 2 yM  yH 3 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua ba điểm A '(3;3) , M (7;3), N (4; 2) Giả sử đường tròn 2 có phương trình x  y  2ax  2by  c 0 Ta có 9   6a  6b  c 0  a 5   49   14a  6b  c 0  b 4 16   8a  4b  c 0 c 36   Vậy đường trịn ngoại tiếp ABC có phương trình x  y  10 x  y  36 0 Xét hệ phương trình  x  y  0   2  x  y  10 x  y  36 0 Xét hệ phương trình  x  y  10 x  y  36 0    x - y 0  x 6  x 3  B(6; 2), C (3;5)      BC 3   y 2  y 5  B (3;5), C (6; 2)  x 6  x 3     y 6  y 3 Vì A  A ' nên A(6;6)  AM 2 1 SABC  AM BC  2.3 6 2 Vậy (đơn vị diện tích) ============================================== Bài tốn Cho a, b, c số thực dương CMR: 2  a   b   c          a b  + b c  + c a  2 2 2  a   b   c         , với a b c  0, Bài toán Chứng minh  a  b   b  c   c  a  b c a  0, c a b   a   b   c         , a, b, c  Bài toán Chứng minh  b  c   c  a   a  b  a b c    (1), Bổ đề Ta có a  b b  c c  a với a b c  0, b c a  0, c a b  Thật vậy, bất đẳng thức (1) tương đương với a(b  c)(c  a)  b(a  b)(c  a )  c(a  b)(b  c)  (a  b)(b  c)(c  a )  2(a 2b  b 2c  c a )  (ab  bc  ca )  3abc 2 2 2 (a b  b c  c a )  (ab  bc  ca )  2abc   (a 2b  b 2c  c a )  (ab  bc  ca ) 0  (a  b)(b  c)(c  a ) 0 Với a b c  0, b c a  0, c a b  (a  b)(b  c )(c  a) 0 nên (1) đúng, dấu “=” (1) xảy ba số a, b, c có hai số Chứng minh Bài toán 2 x2  y2  z  x  y  z    (2), x, y, z  , 3   Cách Áp dụng BĐT (BĐT chứng minh biến x  y  z đổi tương đương, đẳng thức xảy ) ta có 2 2 1 a b c   a   b   c              a  b b  c c  a  (3)  a b   bc   c a  2  a   b   c         Đẳng thức xảy a b c Từ (3) (1) suy  a  b   b  c   c  a   x  y  z  x  y  z    x, y , z 0,  1 3   Tổng quát, ta chứng minh      a b c   a   b   c           1     ,  1  a b b c c  a   bc   c a  Do  a  b  Bất đẳng thức đề ứng với  2 1 x x  (4), x  , x , ta có Cách Áp dụng BĐT đẳng thức xảy 2 a b c  a   b   c     (5)        a b bc c a  a b   bc   c a  2  a   b   c         Đẳng thức xảy a b c Từ (5) (1) suy  a  b   b  c   c  a  2 x    x  , x 0,  1 2 Tổng quát, ta chứng minh      a b c  1  a   b   c           1       ,  1  a b b c c a  2  bc   ca  Do  a  b  Nhận xét Một kết tổng quáy cho Bài toán     a   b   c          (6),  a b   bc   c a  a , b , c với thỏa mãn giả thiết Bài toán 2, với  1 Đẳng thức xảy a b c a b c    (7), a, b, c  Bổ đề b  c c  a a  b Ta thấy a b c (7)  1  1  1  b c ca a b 1    (a  b  c)      a b b c c a  1     (a  b)  (b  c)  (c  a )      9 (8)  a b b c c a  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (a  b)  (b  c)  (c  a) 3.3 (a  b)(b  c)(c  a)    1     0  a  b b  c c  a (a  b)(b  c)(c  a)  (8)  (7) Đẳng thức xảy a b c Chứng minh Bài toán Tương tự Bài toán 2, ta áp dụng (2) (7), áp dụng (4) (7) Nhận xét Cũng có hướng tổng quát Bài toán 3, thu bất đẳng thức tương tự (6) Bài tốn Chưa giải được.Khơng biết đề có khơng!!!