Giả sử mỗi lần ta thực hiện thao tác: Hai dấu bất kỳ trong bảng bị xóa đi và thay thế bằng dấu + nếu chúng giống nhau, thay bằng dấu - nếu chúng khác nhau... có tổng các chữ số bằng n nê[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán Ngày thi: 17 - 4 - 2013 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (6 điểm):
a) Chứng minh rằng: 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
b) Chứng minh rằng số tự nhiên
A = 1.2.3…2011.2012( 1+1
2+
1
3+ +
1
2011+
1
2012 ¿ chia hết cho 2013
Bài 2 (4 điểm) Tìm x, y, z biết:
a) (3x - 5)2010 + (y2 - 1)2012 + (x - z) 2014 = 0
b) x3=y
4=
z
5 và 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100
Bài 3: (1,5 điểm) Cho x, y, z, t N❑
Chứng minh rằng: M= x
x+ y +z+
y
x + y +t+
z
y +z+t+
t
x +z +t có giá trị không phải là số tự nhiên
Bài 4: (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại N Chứng minh rằng:
a) BH = AI
b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi
c) Đường thẳng DN vuông góc với AC
d) IM là phân giác của góc HIC
Bài 5: (1.5 điểm)
Trên một cải bảng, người ta viết 2012 dấu (+) và 2013 dấu (-) Giả sử mỗi lần
ta thực hiện thao tác: Hai dấu bất kỳ trong bảng bị xóa đi và thay thế bằng dấu (+) nếu chúng giống nhau, thay bằng dấu (-) nếu chúng khác nhau Sau khi thực hiện 4024 lần như vậy, dấu nào sẽ còn lại trên bảng ?
Hết -(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1
a)
(3 điểm)
Chứng minh rằng: 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
10n + 18n – 1 = (10n – 1) – 9n + 27n
= 99 9⏟
n - 9n + 27n = 9( 11 1⏟
n - n) + 27n
1
Vì số 11 1⏟
n có tổng các chữ số bằng n nên 11 1⏟
Do đó 9( 11 1⏟
b)
(3 điểm) Ta có 1+1
2+
1
3+ +
1
2011+
1
2012=(1+ 1
2012)+(12+
1
2011)+ +(10061 +
1
1007)
= 2013 (20121 +
1
2 2011+
1
3 2010+ +
1
1006 1007)
1
Do đó A = 1.2.3…2011.2012( 1+1
2+
1
3+ +
1
2011+
1
2012 ¿
= 1.2.3…2011.2012.2013 (20121 +
1
2 2011+
1
3 2010+ +
1
1006 1007)
=2013
(20121 2 3 … 2011.2012+
1 2 3 … 2011.2012
1 2 3 … 2011.2012
1 2 3 … 2011.2012
1
= 2013 M ⋮ 2013
M =
(20121 2 3 … 2011.2012+
1 2 3 … 2011.2012
1 2 3 … 2011.2012
1 2 3 … 2011.2012
Z
1
Bài 2
a)
(2 điểm)
(3x - 5)2010 + (y2 - 1)2012 + (x - z) 2014 = 0
Nhận xét để ⇒ (3x - 5)2010 = 0; (y2 - 1)2012 = 0; (x - z) 2014 = 0
1
⇒ 3x - 5 = 0; y 2 - 1 = 0 ; x - z = 0 0.5
⇒ x = z = 53 ;y = -1 hoặc y = 1 0.5 b)
(2 điểm)
x
3=
y
4=
z
5 và 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100
Từ giả thiết ⇒ x2
y2
16=
z2
25=
2 x2
2 y2
3 z2
2 x2 +2 y 2− 3 z2
−100
−25 =4
1
Tìm đúng: (x = 6; y = 8; z = 10 ); (x = - 6; y = - 8; z = - 10 ) 1
Bài 3
(1.5 đ)
Lý luận đúng để có
x
x + y +z +t<
x x+ y+z<
x
x + y x + y +z +t y < y
x+ y+t<
y
x + y
0.5
Trang 3N I
H
M B
A C D
z
x + y +z +t<
z
y +z+t<
z
z +t
t
x + y +z +t<
t x+z +t<
t
z +t
⇒ x + y +z +t x + y +z +t<M <¿ ( x
x + y+
y
x + y)+(
z
z +t+
t
z +t) 0.5 hay: 1 < M < 2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 0.5
Bài 4
(7 đ)
-Vẽ hình đúng
- Chứng minh đúng AIC = BHA (cạnh huyền – góc nhọn) BH = AI
1.5
1
a)
(2.5 đ)
b)
(1.5 đ)
Lý luận và chỉ ra được BH 2 + CI 2 = BH 2 + AH 2 = AB 2 1
c)
(2 điểm)
- Chứng minh được BHM = AIM HM = MI và BMH = IMA
- Chứng minh được DHM = NIM.Suy ra được BHM = AIM(g.c.g)
- Chứng minh được NMD vuông cân để suy ra được MDN = 45 0
- Chứng minh được DN // AB để suy ra DN AC.
0.5 0.5 0.5 0.5 d)
(1 điểm)
- Chứng minh được HMI vuông cân HIM = 45 0
Mà : HIC = 90 0 HIM =MIC= 45 0 IM là phân giác HIC 0.5
0.5 Bài 5
(1.5 đ)
Tổng số dấu ban đầu: 2012 + 2013 = 4025 Mỗi lần thực hiện thao tác thì số dấu trên
bảng giảm đi 1 Do đó sau 4024 thao tác thì trên bảng còn lại một dấu
0.25
Nhận xét để chỉ ra được 3 trường hợp sau:
- Nếu xóa hai dấu ( + ) thì ghi một dấu ( + ) số dấu ( - ) không đổi
- Nếu xóa hai dấu ( - ) thì ghi một dấu ( + ) số dấu ( - ) giảm 2
- Nếu xóa một dấu (+) và một dấu ( - ) thì ghi một dấu ( - ) số dấu ( - ) không đổi
0.25 0.25 0.25
Như vậy, số dấu ( - ) sau mỗi lần xóa hoặc giữ nguyên, hoặc giảm đi bội của 2 Vì
thế, tính chất chẵn lẻ của số dấu ( - ) là không thay đổi sau mỗi lần xóa
0.25
Lúc đầu trên bảng có một số lẻ dấu ( - ) nên cuối cùng trên bảng còn lại dấu ( - ) 0.25 Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa