Giả sử mỗi lần ta thực hiện thao tác: Hai dấu bất kỳ trong bảng bị xóa đi và thay thế bằng dấu + nếu chúng giống nhau, thay bằng dấu - nếu chúng khác nhau... có tổng các chữ số bằng n nê[r]
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚC THỌ KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP Năm học 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Ngày thi: 17 - - 2013 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (6 điểm): a) Chứng minh rằng: 10n + 18n – chia hết cho 27 b) Chứng minh số tự nhiên 1 1 A = 1.2.3…2011.2012( 1+ + + + 2011 + 2012 ¿ chia hết cho 2013 Bài (4 điểm) Tìm x, y, z biết: a) (3x - 5)2010 + (y2 - 1)2012 + (x - z) 2014 = x y z b) = = 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100 Bài 3: (1,5 điểm) Cho x, y, z, t N ❑ x y z t Chứng minh rằng: M = x+ y + z + x + y +t + y + z+ t + x + z +t có giá trị số tự nhiên Bài 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi c) Đường thẳng DN vng góc với AC d) IM phân giác góc HIC Bài 5: (1.5 điểm) Trên cải bảng, người ta viết 2012 dấu (+) 2013 dấu (-) Giả sử lần ta thực thao tác: Hai dấu bảng bị xóa thay dấu (+) chúng giống nhau, thay dấu (-) chúng khác Sau thực 4024 lần vậy, dấu lại bảng ? - Hết (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Bài a) (3 điểm) Chứng minh rằng: 10n + 18n – chia hết cho 27 10n + 18n – = (10n – 1) – 9n + 27n = 99 ⏟ 11 ⏟ 11 ⏟ n - n) + 27n 11 ⏟ có tổng chữ số n nên n Do 9( (3 điểm) - 9n + 27n = 9( n Vì số b) Biểu điểm Nội dung 11 ⏟ n n ( 1 - n) ⋮ 27, suy 10n + 18n – ⋮ 27 1 1 1 1 Ta có 1+ + + + 2011 + 2012 = 1+ 2012 + + 2011 + + 1006 + 1007 ( -n ⋮ 1 )( = 2013 2012 + 2011 + 2010 + .+ 1006 1007 ) ( ) ) 1 1 Do A = 1.2.3…2011.2012( 1+ + + + 2011 + 2012 ¿ = 1.2.3…2011.2012.2013 1 1 + + .+ (20121 + 2011 2010 1006 1007 ) =2013 … 2011.2012 … 2011 2012 … 2011.2012 … 2011 2012 + + + + (2012 ) 2011 2010 1006 1007 = 2013 M ⋮ 2013 M= 1 … 2011.2012 … 2011 2012 … 2011.2012 … 2011 2012 + + + + (2012 ) 2011 2010 1006 1007 Bài a) Z (3x - 5)2010 + (y2 - 1)2012 + (x - z) 2014 = Nhận xét để ⇒ (3x - 5)2010 = 0; (y2 - 1)2012 = 0; (x - z) 2014 = (2 điểm) b) x y z = = 0.5 ;y = -1 y = 0.5 x=z= 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100 Từ giả thiết ⇒ x y z 2 x 2 y z 2 x 2+2 y − z −100 = = = = = = = =4 16 25 18 32 75 18+32− 75 −25 Tìm đúng: (x = 6; y = 8; z = 10 ); (x = - 6; y = - 8; z = - 10 ) Bài (1.5 đ) ⇒ 3x - = 0; y2 - = ; x - z = ⇒ (2 điểm) Lý luận để có x x x < < x + y + z +t x+ y+ z x + y y y y < < x + y + z +t x+ y+ t x + y 0.5 z z z < < x + y + z +t y + z+ t z +t ⇒ x + y + z +t < M