CHUYÊN ĐỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I Phân thức đại số: 1 Kiến thức cơ bản: a Định nghĩa: Một phân thức đại số hay nói gọn là phân thức là một biểu thức có A dạng B , trong đó A, B là những đa th[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có
dạng
A
B, trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0
A là tử thức (tử); B là mẫu thức
Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1
b) Hai phân tức bẳng nhau:
Với hai phân thức
A
B và
C
D, ta nói
A
B =
C
D nếu A.D = B.C
2) Bài tập:
Bài 1 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
a)
5 35
x y x y
xy
2 2
2
2 2
x
x x
2 2
d)
x
5 20
y xy x
x
g)
2
2
x
3 2
8
2
2 4
x
x
Bài 2 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau
a)
2 2
2
2 3
;
c)
2
2
Bài 3 Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai Em hãy sửa sai cho đúng
a)
2 2
5 3 5 13 6
2 2
c)
2
2
Bài 5 Ba phân thức sau có bằng nhau không?
Bài 6 Tìm tập xác định của các phân thức sau:
a)
3
5x 2; b)
2 2
3
6 9
x
; c) 2 3
x
x x; d) 2
2 1
3 2
x
Bài 7 tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0
a) 2
3 1
5
x
x
2
2 1
x x x
; c)
2 2
3 2 1
x
; d)
2 2
2
4 4
;
e)
1
x x x
10 9
Trang 2Bài 8 Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:
a) 2
3 1
6 3
3
1
x x
;
II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
Bài 1 Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
a)
2 2
5 5
x
2 1
x
2 2
3 3 3
x xy
;
d)
x xy y
2
x x
2 2
y x
Bài 2 Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa
thức A cho trước a)
2 2
4 3 , A= 12x +9x 5
x x
2
, 1 2
4 2 15 1
Bài 3 Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức
a)
3
2
x và
1 5
x x
5 4
x x
và
2 3
x x
; Bài 4 Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:
a)
3
5
x
x và
7 2 5
x x
4 1
x
x và
3 1
x
x ;
c) 2
2
8 16
x x và
4
2 8
x x
2
x
x x và
3
x
Bài 5 Các phân thức sau có bằng nhau không?
a)
3 3
3
x y
xy và
2
x
2 2
x
x y và
2
x
x y ;
c)
1 ( 1)(3 )
x
và
1 ( 1)( 3)
x
3( 1) (1 )
x x
3( 1) ( 1)
x x
; Bài 6 Hãy viết các phân thức sau dưới dạng một phân thức có mẫu thức là 1 - x3;
a)
2
x
x
1 1
x
x x
Bài 7 áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình bằng các phân thức sau:
a)
2
2
xy
x x
2
1 1
x x
; c)
y x
x y
2 1 2
x x
Bài 8 Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng mẫu thức:
a) x2 và 1
x
x ; b) 2
x
y và
y
x ; c) 3 3
2x y
x y
và
x
x y ; d) 5 4
1
x
x y
và 4 5
1 x
x y
Bài 9 Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng tử thức:
a)
1
x và
2 3
x x
; b)
x
y và
y
x ; c)
2
2
x y
x xy
và
x y x
3 2
x y
x y và
2 3
x y
x y ;
III) Rút gọn phân thức
Trang 31) Phương pháp:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1 Rút gọn các phân thức sau:
a)
5
14 (2 3 )
21 (2 3 )
xy x y
x y x y
3 3
8 (3 1)
12 (1 3 )
xy x
2 2
20 45 (2 3)
x x
2 3
5 10 2(2 )
y x
;
e)
3
80 125
3( 3) ( 3)(8 4 )
2 2
9 ( 5)
4 4
x
3
32 8 2
64
x
3 4
1
x
;
i)
2
2
5 6
4 4
2 3
10 ( )
15 ( )
xy x y
xy x y
2 2
x xy x y
x xy x y
; l)
2 4
3 12 12
8
n)
2
2
7 14 7
2
2a 2ab
ac ad bc bd
2
x xy
y x
2 2 2
x y
x xy y
p) 3
2 2
1
a
a
2 2
6 9
8 15
2 2
x x
x x x
;
ư)
( 2) ( 2)
16
x
2
24,5 0,5 3,5 0,5
2
2
a
( )( )
a b c d
Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2
x y xy y xy y
x xy y
Bài 3 Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:
45 (3 )
15 ( 3)
x x
y x
x x y xy y
Bài 4 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
ax a x
a ax x
với a = 3, x =
1
3; b)
3
6 4
với x = 98
c)
3
3 3
x x
với x =
1 2
2 2
x x
với x =
1 2
;
e)
2 2
10 5
16 8
ab a
b ab
với a =
1
6, b =
1
7; f)
7
1
a
với a = 0,1;
2 4
0, 2 0,8
x y
với x + 2y = 5; h)
1,5 4,5
với 3x - 9y = 1
Bài 5 Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0 Tính giá trị của biểu thức P =
a b
a b
Bài 6 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a)
x y
x y ay ax
ax x y ay
ax x y ay
Bài tập nâng cao.
Bài 7 Rút gọn các biểu thức
Trang 4a)
4
2
; b)
ab a a b
a b b
1 1
xy x y
y z yz
; d)
ax ay bx by
ax ay bx by
e)
2 2
a b
a a b b
; g)
3 2
1
a
;
h)
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
2 2
( ) ( )
x a b x ab
x a b x ab
2 2
2 2
x a b bc ax c
x b a bx ac c
k)
2
2
5 6
x x
n)
2x 2x
a b
2
1 (2 3 )
2 3 1
a b
a b
;
o)
3 3
3 3
; ơ)
2 2
; p)
a b c b c a c a b
ab ac b bc
; q)
2 7 12 45
3 19 33 9
u)
3
x y z xyz
3
x y z xyz
Bài 8 Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0
a)
1
x x x
10 9
Bài 9 Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1)
HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau
Bài 10 Rút gọn
biết rằng x + y + z = 0
Bài 11 Tính giá trị của phân thức A =
3 2
3 2
x y
x y
, biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x
<0
Ta có A2 =
Do 2y < 3x < 0 3x 2y0,3x2y 0 A0 vậy A =
1 2
Bài 12 Rút gọn biểu thức: P =
(1 4)(5 4)(9 4) (21 4) (3 4)(7 4)(11 4) (23 4)
Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
Do đó P =
( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 2 1
(1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577
Bài 13 Cho phân số A =
1
1, 00 01 (mẫu có 99 chữ số 0) Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân
Ta có A =
100 100
10
10 1 Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được:
A=
100 100
200
200
10 (10 1) 99 9 00 0
0,99 9 00 0
10 1 99 9
Trang 5(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số).
Bài 14 Cho phân thức: M =
2
a b c a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức M
HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0
Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0
2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0 a + b = b + c = c + a a = b = c
vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0,
tức là a2 + b2 c2 0
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a2 + b2 + c2 = x;
ab + bc + ca = y Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y
Ta có M =
2
x y a b c ab bc ca
(Điều kiện là a2 + b2 c2 0)
IV) Quy đồng mẫu thức.
Các bài tập cơ bản và nâng cao.
Bài 1 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
25 14
,
14x y 21xy ; b) 4 3
,
102x y 34xy ;c) 4 2 3
,
12 9
xy x y
x y x y xy
;
x
x y x y xy
; f)
2 ( 3) 3 ( 1)
x x x x
, ( 2) 2 ( 2)
,
3x 12 (2x x 4)(x 3) Bài 2 Quy đông mẫu thức các phân thức sau
7 1 5 3
,
x x x
,
2 4 2
; c)
2
x y
2
6 12 8 4 4 2 4
x x x x x x ; f) 3 2 2
a ab ad bd a ab ad bd
x xy y z x y yz z x xz y z ;j) 3 2
x x x x ;
k)
2
x y
x y x xy y
2
Bài 3 Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a) 3 , 2 2, 2
a x b x b a
axb a xb axb
,
c) 6 2 2 2 ,3 2 4 4 2
a bc ac ab a bc ac b
Trang 6e) 3 2 2
Bài 4 Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện)
2 2 2 2 1
2
x a x ax a x a
x
x xy y x xy y x xy y
Bài 5 Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau
a)
,
,
;
c)
,
,
x y z xy yz zx x y z xyz
Bài 6 Cho biểu thức B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 và hai phân thức
2 ,
a) Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu của hai phân thức đã cho
b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho
Bài 7 Cho hai phân thức: 2 2
,
x x x x Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức
x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho Hãy quy đồng mẫu thức
V) Phép cộng các phân thức đai số.
Bài 1 Cộng các phân thức cùng mẫu thức:
x y x y x y
2
( 1) ( 1)
c)
2
2 17 1 2 17 1
Bài 2 Cộng các phân thức khác mẫu thức:
x y x y xy
;
3
4
x
g)
2 ( 2)(4 7)
3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7)
x x x x x ; Bài 3 Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng
Trang 7a) 2
x
x
x x x x x ;
d)
2
x
4
x yx y y x Bài 4 Cộng các phân thức:
a)
(x y y z )( ) ( y z z x )( ) ( z x x y )( );b)
(y x z x )( ) ( y x y z )( ) ( y z x z )( );
c)
x x y x z y y x y z z z x z y ; d)
(a x c x )( ) ( a x a c )( ) ( a c x c )( ) ;
e)
a a b a c b b a b c c c a c b
Bài 5 Làm tính cộng các phân thức
a)
11 13 15 17
2
x
x x x x x ;
d)
4
1
x
x x x
x
x
x y xy y ; f)
2 6 ( 3)
g) 2
3 5 25
5 25 5
4 2
2
1 1 1
x x
x
; i)
2
Bài 6 Cho hai biểu thức: A =
5 ( 5)
x
3 5
x Chứng tỏ rằng A = B Bài 7 Tính giá trị của biểu thức :
x
x x xx x
với x = 10; b) B =
4
1
x
x x x
x
Các bài tập nâng cao
Bài 8 Tìm các số a và b sao cho phân thức
2 3
5
3 2
x
viết được thành 2 ( 1)2
x x
HD: Dùng một trong hai phương pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để tìm a và b sau khi quy đồng
Bài 9 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a)
x y y z z x
x y y z y z z x z x x y
(b c a )( ac b bc) ( c a b )( ab c ac) ( a b c )( bc a ab)
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1980)
1 x1 x1 x 1 x 1 x
Bài 12 Tìm các số A, B, C để có :
2
2
Bài 13 Chứng minh hằng đẳng thức :
VI) Phép trừ các phân thức đại số.
Trang 81) Phân thức đối:
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0
- Công thức:
và
A A
2) Phép trừ:
- Quy tắc: Muốn trừ phân thức
A
B cho phân thức
C
D, ta cộng
A
B với phân thức đối
của
C
D
- Công thức:
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1 Làm tính trừ các phân thức:
a)
3 2 7 4
3 5 5 15
x y x y
; c)
4 7 3 6
2 2 2 2
2( 1)( 3) 2( 1)( 3)
2
x y y x ;
f)
5x y 5y x
x y xy
; g) 5 5 10 10
x
x
2
2
1
1
x
x
1 1 2 (1 )
( 1) 1 1
2
3
x
Bài 2 Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết:
Áp dụng điều này để làm các phép tính sau:
3 2 3 2 4 9
x
x
x x x x x
Bài 3 rút gọn các biểu thức :a)
2
2
1
x
x
x x x x
Bài 4 Thực hiện phép tính:
a)
(x 1)(x 2) ( x 2)(x 3) ( x 3)(x 1) ; b)
( )( ) ( )( ) ( )( )
A
a a b a c b b a b c a c c b
Bài 5 Tính giá trị của các biểu thức:
a) A =
2
1
x
4 2 4 2 1 4
1
4
Các bài toán nâng cao
Bài 6 Rút gọn các biểu thức :
Trang 9a) A =
1 ( ) ( )( 2 ) ( 2 )( 3 ) 3
x x a x a x a x a x a x a;
b) B =
2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5); HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta được 3.B =
2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)Từ đó ta có
(3n 2)(3n 5)3n 2 3 n 5
Xét từng số hạng cụ thể :
3 1 1 2.5 2 5
3 1 1 5.8 5 8
…
(3n 2)(3n 5) 3n 2 3 n 5
2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)=
2 3 5 2(3 5) 2(3 5)
Hay 3.B =
2(3 5) 2(3 5)
B
1.2 2.3 3.4 n n( 1) Bài 7 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z
x y y z x z y z x y x z
Bài 8 Thực hiện phép tính :
( )( ) ( )( ) ( )( )
A
a b a c b a b c c a c b
B
a a b a c b b a b c c c a c b
( )( ) ( )( ) ( )( )
C
a b a c b a b c c a c b
D
a b a c b a b c c a c b
Bài 9 Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho:
1
ax b c
Đáp số: Dùng phương pháp đồng nhất ta được a =
1 2
, c =
1
2, b =
1 2
b)
1
x x x x x x ; (ĐS :
; 1;
a b c
)
1 ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2
x x x x x (ĐS: a = -1; b = 1; c = 1)
Bài 10 Cho abc = 1 (1)
1 1 1
a b c
a b c
(2) Chứng minh trong 3 số a, b, c tồn tại một số bằng 1
Từ (2) :
bc ac ab
a b c
abc
Do abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca (3)
Trang 10Để chứng minh trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 ta chúng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1)
= 0
Xét (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)
Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c -
1 bằng 0, do đó tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1
Bài 11 Cho 3y - x = 6 Tính giá trị của biểu thức : A =
2 3
HD : A =
3 6 2 ( 6)
3 1 4
Bài 12 Tìm x, y, z biết :
x y z x y z
Từ
x y z x y z
suy ra :
0
10x 15y 20z x y z
Bài 13 Tìm x, y biết:
1 1
4
x y
x y
Ta có
2 2
2 2
1
1
x
x x
y y
y
Có bốn đáp số như sau:
Bài 14 Cho biết :
1 1 1
2
a b c (1), 2 2 2
2
a b c (2) CMR a + b + c = abc
Từ (1) suy ra : 2 2 2
Do (2) nên :
1 a b c 1 a b c abc
x y z
a b c (1) , 2
a b c
x yz (2) Tính giá trị biểu thức:
x y z
Từ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3)
Từ (2) suy ra :
Do đó :
Trang 11Bài 16 Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0 CMR: 3 3 3
a b c abc
Từ giả thiết suy ra : ab + bc + ca = 0.Do đó :
1 1 1
ab bc ca
Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz
Bài 17 Cho
a b c b c a
b c a a b c CMR: trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau
Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b a c b2( ) a c( 2 b2)bc c b( ) 0
2
(c b a)( ac ab bc) 0 (c b a b a c)( )( ) 0
Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0 Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau
Bài 18 Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên :
a)
3
A
x
3
x
x 2; 2; 4;8 )
b)
2
2 1
B
2
2
3
( 1)
x
c)
2
2
C
x
2
2
2
2
x
A
Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một :
A
1 x 1 x 1 x
Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa
Bài 20 Rút gọn biểu thức : B = 2 2 2
(1.2) (2.3) ( 1)
n
n n
Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp,
ta được :
n n
VII) Phép nhân các phân thức đại số.
1) Kiến thức cơ bản:
.
A C A C
B D B D 2) Tính chất cơ bản:
- Giao hoán:
A C C A
B D D B - Kết hợp:
- Phân phối đối với phép cộng:
A C E A C A E
Trang 123) Bài tập cơ bản:
Bài 1 Làm tính nhân phân thức :
a)
2
10 121
11 25
5
;
c)
4 8 2 20 ( 10) ( 2)
3
f)
(x xy) x y
x y x y x y xy
16
( 1)( 1)( 1)
1
x
2
3 9 3 9
i)
1
( 8 )
5x 10xy 20y x y ; j)
2
x ax bx ab x ax a
x ax bx ab x bx b
k)
a ax ba bx a ax bx ab
a ax ab bx a ax bx ab
x ax a x x x ax a
x a ax x x x ax a
Bài 2 Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy được nhân tử chung)
a)
2
3 8 12 6
2
6 3 25 10 1
; c)
1 (1 3 )
Bài 3 Phân tích các tử thức và mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử hoặc tách một số thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thức :
a)
2 2
2 8
; c)
2 2
Bài 4 Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu
thức: a)
19 8 5 9 19 8 4 2
c)
Bài 5 Rút gọn biểu thức :a)
b)
c)
x y
x y x y
Bài 6 Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức :
1
y x x xy y x y
Bài 7 Chứng minh rằng : 2 4 2 8 4 16 8 32 16
2
1
1
x x
x x
CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:
Câu 1:Cho biểu thức A = 2
x
a.Tỡm điều kiện của x để A có nghĩa
b.Rỳt gọn A
c.Tỡm x để A
3 4