Toan tuoi tho 2 so 21

TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC ViÖc sö dông phÐp quy n¹p to¸n häc trong chứng minh các bài toán đại số và số học hẳn đã rất quen thuộc với nhiều bạn.. NhiÒu bµi to¸n h×nh häc phøc t¹p còng đã[r]

l Kì naøy : Bạn chia không ? Hãy chia đoạn thẳng cho trước thành hai đoạn thẳng tỉ lÖ víi n vµ  KÕt qu¶ : (TTT2 sè 19) Câu trả lời đúng là không điền Để có câu trả lời trên, các bạn đã khai thác nh÷ng yÕu tè kh¸c cña bµi to¸n, ®­a nhiều cách giải Theo hướng suy nghĩ quen thuộc, nhiều bạn đã xác định chặn trên, chặn tổng các số ba ô trßn trªn mçi ®o¹n th¼ng råi xÐt kh¸ dµi dßng tõng kh¶ n¨ng x¶y Sau ®©y lµ hai c¸ch gi¶i ng¾n gän nhÊt Trước hết, giả sử a, b, c, d, e, f, g, h, i, k là các số 10 ô tròn (hình vẽ) ; đôi khác ; nhận các giá trị từ đến và cã tæng lµ 45 (= + + + + + 9) C¸ch : Theo gi¶ thiÕt ta cã l NguyÔn V¨n l¹c (phßng Gi¸o dôc Tiªn L·ng, H¶i Phßng) a+d+b=d+g+e=d+i+f=c+h+k  4(a + d + b) = 2d + (a + b + c + d + e + f + g + h + i + k)  4(a + d + b) = 2d + 45 (*) §¼ng thøc (*) kh«ng thÓ x¶y v× vÕ tr¸i lu«n lµ sè ch½n cßn vÕ ph¶i lu«n lµ sè lÎ VËy lµ kh«ng ®iÒn ®­îc. C¸ch : Theo gi¶ thiÕt ta cã c+h+k=e+h+fc+k=e+f (1) e+g+d=b+g+ke+d=b+k (2) a+d+b=a+f+cd+b=f+c (3) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) : e + d + c + +k=b+k+e+fd+c=b+f (4) Céng tõng vÕ cña (3) vµ (4) : d + c + d + b = b + f + f + c  d = f, tr¸i víi gi¶ thiÕt VËy lµ kh«ng ®iÒn ®­îc l Các bạn thưởng kì này : Nguyễn thị Kim Oanh, 7/1, THCS Lª QuÝ §«n, TP H¶i Dương ; Phạm Văn Tiến, 9A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định ; Nguyễn Phương Đăng Toàn, 9D, THCS Thạch Thất, Th¹ch ThÊt, Hµ T©y ; NguyÔn ThÞ L©m Ngäc, 9C, THCS NguyÔn H÷u TiÕn, Duy Tiªn, Hµ Nam ; Lª Thïy Linh, 8A, THCS Ba §×nh, BØm S¬n, Thanh Hãa Anh Compa X„Y DúNG CHUåI B¡I TOŸN T÷ B¡I TOŸN QUEN THUæC tô minh thương (Giáo viên trường THCS Kỳ Tân, Kỳ Anh, Hà Tĩnh) Trong qu¸ tr×nh häc to¸n, viÖc t×m tßi, khai th¸c vµ më réng mét bµi to¸n quen thuéc lµ mét viÖc lµm cÇn thiÕt vµ h÷u Ých Bài viết này trao đổi với bạn đọc cách mở rộng bài toán qua việc thay đổi điều kiện cña bµi to¸n Xin ®­îc b¾t ®Çu tõ bµi to¸n sau :  Bµi to¸n : Cho tam gi¸c ABC cã A nhän Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACMN Chøng minh r»ng BN = CE vµ BN  CE  nhän, ta vÏ ®­îc h×nh Lêi gi¶i : Víi A (phÇn h×nh mµu) DÔ thÊy ABN = AEC   ABN  (c.g.c)  BN = CE vµ AEC (tæng ba gãc mét tam gi¸c)   BGF   90o hay BN  CE Suy FAE VËy BN = CE vµ BN  CE NhËn xÐt : Bµi to¸n kh¸ quen thuéc nh­ng “loay hoay” víi viÖc kÎ thªm c¸c hình phụ nhằm thay đổi điều kiện bài toán, tôi đã phát thêm nhiều kết qu¶ thó vÞ l Trước hết, vẽ thêm phía ngoài tam gi¸c ABC h×nh vu«ng BCPQ råi vÏ tiÕp h×nh b×nh hµnh CMKP, ta nhËn thÊy : ABC = CKM theo trường hợp c.g.c   CMK  (CM = CA ; BC = CP = MK ; ACB hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)   MCK   CK = AB = AE vµ BAC   EAB   MCK   ACM   ACK   CAE ,  BAC hai gãc nµy ë vÞ trÝ so le  AE // CK  tø gi¸c AECK lµ h×nh b×nh hµnh  AK // CE vµ AK = CE Hoàn toàn tương tự, vẽ hình bình hành BDIQ ta cã AI // BN vµ AI = BN Từ đó ta đề xuất bài toán  Bµi to¸n : Cho tam gi¸c ABC cã A H×nh MÆt kh¸c, gäi F lµ giao ®iÓm cña AB vµ CE ; G lµ giao ®iÓm cña BN vµ CE ta   BFG  (hai góc đối đỉnh) và cã EFA   FAE   AEF   BFG   BGF   FBG   180o EFA nhän Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE, ACMN, BCPQ ; c¸c h×nh b×nh hµnh CMKP vµ BDIQ Chøng minh r»ng AIK lµ tam gi¸c vu«ng c©n l Bµi to¸n cßn cã thÓ chøng minh b»ng c¸ch kh¸c vµ ta ch­a dõng l¹i ë kÕt qu¶ nµy NÕu gäi O lµ t©m cña h×nh vu«ng BCPQ ta cã thÓ chøng minh ®­îc O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng IK (chó ý OIQ = OKC) Nh­ vËy AO  IK vµ AO  IK TiÕp tôc khai th¸c c¸c mèi liªn hÖ cña ®o¹n th¼ng IK víi c¸c ®o¹n th¼ng kh¸c ta thÊy KI // DM ; KI = DM ; DM // O 1O2 ; DM = 2O1O2  KI // O1O2 ; KI = 2O1O2 (O1, O2 là tâm các hình vu«ng ABDE, ACMN - h×nh 2)  AO  O1O2 vµ AO = O1O2 (*) H×nh Thay đổi điều kiện bài toán (bỏ c¸c chi tiÕt gîi ý cho kÕt qu¶ (*), ta cã mét bµi to¸n kh«ng dÔ  Bµi to¸n : Cho tam gi¸c ABC cã A nhän Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c BOC, AO1B, AO2C vuông cân O, O1, O2 Chứng minh r»ng AO  O1O2 vµ AO = O1O2 Khi xem xÐt, t«i thÊy c¸c bµi to¸n trªn vÉn  vu«ng hoÆc tï, đúng cho các trường hợp A tìm cách chứng minh lại bài này và đã thành c«ng sö dông kÕt qu¶ bµi to¸n Bµi 5(13) : Cho h×nh thang ABCD cã AB song song vµ b»ng mét nöa CD §iÓm M n»m ngoµi h×nh thang cho MH vu«ng gãc vµ b»ng mét phÇn t­ CD Bªn ngoµi h×nh thang, ta dùng c¸c tam gi¸c ADE vµ BCF vu«ng c©n t¹i E vµ F Chøng minh r»ng tam gi¸c MEF vu«ng c©n t¹i M Hướng dẫn : Xét tam giác ADH, dựng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ADH c¸c tam gi¸c vu«ng c©n AIH vµ DPH t¹i I vµ P ; h×nh ch÷ nhËt DHMK (h×nh 3) Theo bµi to¸n  bÊt k×) ta cã EH = PI vµ EH  PI (víi A H×nh Các bạn hãy chứng minh : - P lµ trung ®iÓm cña KM - IPK = EHM  KI = EM vµ KI  EM - KM // IF vµ KM = IF  KIFM lµ h×nh b×nh hµnh  KI // FM vµ KI = FM Chóc c¸c b¹n thµnh c«ng h¬n ¸p dụng phương pháp trên để khai thác, mở réng nh÷ng bµi to¸n kh¸c l đề nghị các bạn tự kiểm tra Từ đó ta có thể ph¸t biÓu vµ chøng minh bµi to¸n sau Bµi to¸n : Cho tam gi¸c ABC Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c tam giác vuông cân BOC, AO1B, AO2C t¹i O, O1, O2 Chøng minh r»ng c¸c ®­êng thẳng AO, BO2, CO1 đồng quy l §Õn ®©y t«i nhí l¹i bµi 5(13) vµ nghÜ r»ng nó có liên hệ với kết trên Tôi đã l Keát quaû : (TTT2 sè 19) T¹i thõa nghiÖm ? TÊt c¶ c¸c b¹n, thËm chÝ kh«ng cÇn thö l¹i c¸c gi¸ trÞ cña x còng ph¸t hiÖn ®iÓm mÊu chèt cña sai lÇm chÝnh lµ : "Víi x  : x(x  2)  x(x  5)  x(x  3)  x   x   x  " l Kì naøy : Ch× thÆ thái õ ? phan bÝch ngäc (Giáo viên trường THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh) Bµi to¸n : Cho tam gi¸c ABC cã hai ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t t¹i I BiÕt r»ng ID = IE,  vµ BCA  ? t×m mèi liªn hÖ gi÷a sè ®o ABC Lêi gi¶i : L­u ý r»ng : ab  a b chØ a  và b  Do đó biến đổi trên thực hiÖn ®­îc víi ®iÒu kiÖn x  Bëi vËy 10 gi¸ trÞ x   ph¶i bÞ lo¹i vµ ®©y chÝnh lµ nghiÖm “tõ trªn trêi r¬i xuèng” ! §Ó gi¶i đúng phương trình này cần xét riêng tõng kh¶ n¨ng x  ; x  -3 Víi x  -3 th× x(x  2)  x(x  5)  x(x  3)  x(2  x)  x(5  x)   x(  x  3)   x   x  x    x   x  2  x  x  x   2  x  x  x  10 V× x  -3 nªn x  10   2  x  x VÏ IH  AB ; IK  AC V× I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng ph©n gi¸c BD, CE cña tam gi¸c ABC nªn  suy IH = IK AI lµ ph©n gi¸c cña BAC, MÆt kh¸c, ID = IE nªn hai tam gi¸c vu«ng IHE   IDK  vµ IDK b»ng Suy IEH   ABC   BCE   ABC   ACB ; L¹i cã IEH   ACB   CBD   ACB   ABC  IDK (tÝnh chÊt gãc ngoµi cña mét tam gi¸c)   ACB   ACB   ABC  Nªn ABC 2   ACB   ABC C¸c b¹n cã nhËn xÐt g× vÒ lêi gi¶i trªn kh«ng ? Do đó khả này vô nghiệm Tóm lại : Phương trình có đúng hai nghiÖm x = vµ x = Xin khen thưởng các bạn phân tích hay nhÊt : T« Ngäc T©m, 89, THCS Trưng Vương, TP Pleiku, Gia Lai ; Võ Th¸i Th«ng, 9/4, THCS Ng« Gia Tù, Cam NghÜa, Cam Ranh, Kh¸nh Hßa ; Mai Th¶o HiÒn, 9A3, THCS thÞ trÊn Thanh Ba, Thanh Ba, Phó Thä ; NguyÔn Quèc Kh¶i, 9B, THCS H¶i HËu, H¶i HËu, Nam §Þnh ; Mai DiÖu Linh, 9G, THCS §Æng Thai Mai, TP Vinh, NghÖ An ; TrÇn ThÞ Minh Hµ, 9B, THCS Thµnh C«ng, Hµ Néi Anh kÝnh lóp NH©n ngµy Nhµ gi¸o ViÖt Nam v Kì naøy : ViÕt tiÕp g× ®©y ? Bµi : §å dïng cña thÇy c« lªn líp Gi¸o ¸n Thước kẻ Gi¸o khoa ? BiÕt ¬n V©ng lêi Tin tưởng ? Bµi : §èi víi thÇy c«, chóng ta cÇn l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 19) Bài : Hệ đếm số : ; 10 ; 11 ; 100 ; 101 ; 110 ; 111 ; 1000 ; 1001 ; 1010 ; Hệ đếm số 10 : ; ; ; ; ; ; ; ; ; 10 ; §Õn ®©y lµ râ kÕt qu¶ : 1001 B¹n T« Ngäc T©m, 8G, THCS Tr­ng Vương, Pleiku, Gia Lai có lời giải : Tho¹t nh×n nghÜ m·i vÉn kh«ng Nh­ng nghÜ kÜ l¹i dÔ thËt mµ D·y nµy lµ d·y kh«ng vµ mét Cña hÖ nhÞ ph©n thËt ®©y mµ Nếu ta đổi thập phân Lµ mét, ba, n¨m, b¶y kh«ng sai TiÕp theo ch¾c ch¾n ph¶i lµ chÝn §æi nhÞ ph©n ®­îc sè nµy : Mét - kh«ng - kh«ng - mét chÝnh lµ ®©y Bµi : B¹n NguyÔn M¹nh Dòng, sè nhµ 68B, tổ 13, phường Đề Thám, TP Thái B×nh, Th¸i B×nh cã bµi gi¶i trùc quan, rÊt dÔ nhìn (đối xứng liên tiếp qua các trục) : KÕt qu¶ trë l¹i ch÷ a B¹n Lª Thanh Nguyªn, 8A6, THCS §éc LËp, TP Th¸i Nguyªn, Th¸i Nguyªn cã bµi gi¶i : Cả bốn hình từ chữ a Chỉ có lộn, xoay, đảo thôi mà Hình tròn trái phải luôn thay đổi Móc thì ngược để thách à BiÕn chuyÓn xoay quanh mét vßng mµ Vậy là đáp án không còn xa Ch÷ a ®Çu tiªn cho xuèng cuèi Bác Quang hãy thưởng cho cháu mà Xin thưởng cho ba bạn trên và thưởng thªm cho : Lª Thuyªn, khèi 2, thÞ trÊn §øc Phæ, §øc Phæ, Qu¶ng Ng·i ; TrÇn V¨n Ngäc H­ng, 61, THCS Phan Thóc Duyªn, §iÖn Thä, §iÖn Bµn, Qu¶ng Nam ; NguyÔn DiÖu ThuÇn, 9A8, THCS TrÇn §¨ng Ninh, TP Nam §Þnh, Nam §Þnh Các bạn “gần” thưởng : Đào Anh TuÊn, khu 36, th«n Héi Xuyªn, thÞ trÊn Gia Léc, Gia Léc ; Ph¹m Hång S¬n, mÑ lµ Nguyễn Thị Tĩnh, GV trường THPT Kim Thành, Hải Dương nguyÔn ®¨ng quang GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BẰ N G CÁ C H ĐÁ N H GIÁ CÁ C Ẩ N trÞnh ngäc tó (Thanh Oai, Hµ T©y) Hệ phương trình là dạng toán thường gặp các kì thi học sinh lớp Có nhiều hệ phương trình giải trùc tiÕp sÏ rÊt phøc t¹p, thËm chÝ kh«ng giải Trong số trường hợp vậy, ta có thể tìm cách đánh giá các ẩn ẩn với số, từ đó xác định nghiệm hệ Phương pháp này gọi là “phương pháp đánh giá các ẩn” §¸nh gi¸ gi÷a c¸c Èn Ví dụ (đề thi vào khối chuyên Toán Tin, §HQG Hµ Néi n¨m 1996) :  1  2   y  x Giải hệ phương trình    2   y x  1 Lêi gi¶i : §iÒu kiÖn : x  ; y  2 Ta sÏ chøng minh x = y ThËt vËy : 1 1   2  2 y y x x 1  2  4      y x x y x x  2 Tương tự, VËy x  y y 2  x x  2 y 2  x 2 x  y  y    x  y Ta cã : x 2  x  x 1 x  x  1   1 x x x2 x 1     1     x  x x  Vậy nghiệm hệ phương tr×nh (tháa m·n ®iÒu kiÖn) lµ : x = y = Ví dụ (đề thi vào khối chuyên, ĐHSPHN năm 2004) : Tìm nghiệm dương hệ 2x 2004  y  z (1)   2004  x  z (2) 2y  2004  x  y (3) 2z Lêi gi¶i : Ta sÏ chøng minh x = y = z Do x, y, z cã vai trß nh­ nªn kh«ng mÊt tæng qu¸t, gi¶ sö x  y vµ x  z (4) V× x > 0, y > 0, z > nªn : Tõ (1), (2), (4)  2x2004 = y6 + z6  x6 + z6 = 2y2004  2x2004  2y2004  x  y (5) 2004 6 Tõ (1), (3), (4)  2x = y + z  y + x6 = 2z2004  2x2004  2z2004  x  z (6) Tõ (4), (5), (6) suy x = y = z Thay vµo (1) ta cã 2x2004 = x6 + x6 = 2x6 suy x = (do x > 0) Vậy hệ có nghiệm dương : x = y = z = VÝ dô : T×m a, b, c biÕt 4a - b2 = 4b - c2 = 4c - a2 = (*) Lêi gi¶i : Ta thÊy a > 0, b > 0, c > Gi¶ sö a > b, tõ (*) ta cã : 4a - 4b = b2 - c2 >  b > c (>0) ; 4b - 4c = c2 - a2 >  c > a (>0)  b > c > a tr¸i víi gi¶ thiÕt a > b  a  b Tõ (2)  z  Tương tự trên, a < b thì dẫn đến điều vô lí Vậy a = b, suy :  z  1; 4a - 4b = b2 - c2 =  b = c  a = b = c Thay vµo (*) ta cã : 4a - b2 =  4a - a2 =1 a2 Tõ (3)  x  - 4a + = ®­îc hai nghiÖm lµ  Vậy hệ phương trình (*) có hai nghiệm : - a) = - 1) (3)  x3  9y2  27y  27  x  y      yx  9z  27z  27  ;  y  z  ;    z  9x  27x  27   z  x  (a100 - a101)(1 - a) = (b100 - b101)(b - 1) NÕu a  1, a > suy : (4)   x  2x  y y 20  11y  2005   x   z  y  2y  z ; 20  11z  2005 ;   y  z  2z  t   x 20   11x  2005  z  t  2t  x a100.(1 - a)2 >  - b100.(1 - b)2 tr¸i víi (4)  a =  b = (thay vµo (2), b >0) VËy P = 12004 + 12004 = Ví dụ : Giải hệ phương trình  x  x  2x y  (1)    y  y  2y z  (2)   z  z  2z x  (3) Lêi gi¶i : Ta sÏ chøng minh x = Nhận xét : x, y, z khác Gi¶ sö x > (4) 2x x Tõ (1)  y    1 2 2x 2x x2  y  1; 1 z2  x (y  3y  3)  3y  x  y  4z     2   y (z  3z  3)  3z ; y  z  x  ;  2 z  x  4y    z (x  x  3)  3x Trõ (2) cho (3) theo tõng vÕ ta cã :  a100.(1 - a)2 = - b100.(1 - b)2 2z Các bạn hãy thử giải các hệ phương (2)  a100.(1 - a)2 = b100.(1 - b)(b - 1)  1 y2 tr×nh sau : Lêi gi¶i : Ta sÏ chøng minh a = 1, b = 1, b101.(b 2y VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt : x = y = z = từ đó tính P Thật vậy, từ (1) ta có : a101.(1   2y  y    2z  z  Ví dụ (đề thi vào lớp 10 chuyên, a100.(1 - a) = b100.(b - 1) 2z 2 Suy x = 1, thay vµo (1) vµ (2) ta cã : §¸nh gi¸ Èn víi mét sè TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a2004 + b2004  z5  z4  Tương tự, x < dẫn đến điều vô lí a  b  c   ; a  b  c   a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 (1) 2y  x  1, m©u thuÉn víi (4) Giải phương trình bậc hai ẩn a trên ta §HQG Hµ Néi 2004) : BiÕt a > 0, b > vµ  y5  y 2004(x  4)  2005  3y  2003   2004(y  4)  2005  3z  2003  2004(z  4)  2005  3x  2003  Ghi chó : B¹n TrÞnh Ngäc Tó lµ häc sinh lớp 9, mẹ là Trương Thị Đường, giáo viên trường TH Đồng Mai B, Thanh Oai, Hµ T©y gIèI THIÎU Î ThS NguyÔn V¨n Nho (NXBGD) Cuéc thi to¸n Pa-xcan (the Pascal contest) lµ cuéc thi häc sinh giái líp cña Ca-na-đa dành cho học sinh 15 tuổi trên toàn quốc, trường đại học Oa-téc-lô, bang On-ta-ri-o tæ chøc h»ng n¨m §©y lµ cuéc thi tr¾c nghiÖm gåm 25 c©u hái ®­îc lµm 60 phót, n¨m 2003 cã 43841 học sinh từ 1064 trường trung học trªn kh¾p Ca-na-®a tham dù K× nµy chóng t«i tuyÓn chän vµ giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè c©u hái cña n¨m 2003 Bài (Câu 7) : Trong biểu đồ đây, c¸c sè 1, 2, 4, 5, 6, ®­îc thay vµo c¸c ch÷ A, B, C, D, E, F cho sè n»m ë hàng và hai số hàng trên thì hiệu số dương hai số này Khi đó gi¸ trÞ cña tæng A + C lµ bao nhiªu ? (A) ; (B) 12 ; (C) ; (D) 10 ; (E) 14 Bài (Câu 13) : Trong biểu đồ đây, mçi h×nh vu«ng 15 h×nh vu«ng nhá tô màu Hai hình vuông nào có đỉnh (hoặc cạnh) chung thì phải ®­îc t« bëi hai mµu kh¸c Hái sè màu ít dùng để tô là bao nhiêu ? (A) ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) Bài (Câu 20) : Người Evenland không bao giê sö dông c¸c ch÷ sè lÎ Thay v× đếm 1, 2, 3, 4, 5, 6, họ đếm 2, 4, 6, 8, 20, 22, Như số 111 người Evenland đếm nào ? (A) 822 ; (B) 828 ; (C) 840 ; (D) 842 ; (E) 824 Bµi (C©u 24) : Mét häa sÜ muèn dïng các hình vuông để dán đầy h×nh ch÷ nhËt cho kh«ng cã hai h×nh vu«ng nµo cã phÇn chung vµ c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt còng kh«ng bÞ phñ NÕu kÝch thước hình chữ nhật là 60 cm và 47 cm th× ph¶i dïng Ýt nhÊt bao nhiªu h×nh vu«ng nh­ thÕ ? (A) 429 ; (B) 858 ; (C) 1573 ; (D) 1716 ; (E) 5148 Bài (Câu 25) : Cho hình lập phương ABCDEFGH Gọi L và K là trung điểm AD và AB Khoảng cách từ F đến LK là 10 Tính thể tích hình lập phương, làm tròn đến số nguyên gần (A) 323 ; (B) 324 ; (C) 325 ; (D) 326 ; (E) 327 Cuéc thi To¸n gau-x¬ cña ca-na-®a (C¸C BµI Tù LUËN líp & 8) Bài : Hai người đàn ông đổi nghề Tõ chi tiÕt cña sù viÖc ta thÊy : + Số tiền bán lạc đà bình phương số lạc đà (số này không vượt quá 300) + Sè cõu ph¶i lµ sè lÎ vµ lín h¬n + Gi¸ cña mét dª b»ng phÇn d­ cña phép chia nguyên số tiền bán lạc đà cho 10 (gi¸ cña mét cõu) Víi c¸c d÷ kiÖn trªn ta lËp ®­îc b¶ng sau : Nh­ vËy cã kh¶ n¨ng x¶y ra, c¶ trường hợp thì giá dê là (®i-na) Suy toµn bé sè chã cña Ali cã gi¸ trÞ lµ 10 - = (®i-na) Sè chã cña Ali lín h¬n nªn chØ cã thÓ lµ : (gi¸ mçi lµ ®i-na) hoÆc (gi¸ mçi lµ ®i-na) Bµi : Nh÷ng c¨n hÇm chøa ngò cèc C¸ch chuyÓn cho bëi b¶ng sau : Bµi : TÊt vµ giµy B¹n ph¶i lÊy ba chiÕc tÊt vµ bèn chiÕc giµy §©y lµ mét øng dông cña nguyªn lÝ §i-rÝch-lª ThËt vËy, chØ cã hai mµu tÊt (®en vµ n©u) nªn lÊy ba chiÕc, b¹n ch¾c ch¾n cã ®­îc hai chiÕc cïng mµu, t¹o thµnh đôi ; còn bạn lấy bốn giày, chØ cã ba mµu kh¸c nªn ch¾c ch¾n có hai cùng màu (là đôi) Bài : Ai đã lấy kẹo V× cã ba cËu lu«n lu«n trung thùc nªn câu trả lời ba cậu đó không mâu thuẫn với Nói cách khác, với người nãi thËt th× c©u tr¶ lêi sÏ kh«ng m©u thuÉn với ít hai câu trả lời người khác Tõ nhËn xÐt trªn, chóng ta suy luËn Rex, Jack, Earl là người luôn nói thật còn Abe và Dan là người lu«n nãi dèi Dùa vµo c¸c c©u tr¶ lêi cña Rex vµ Jack, suy Abe là người lấy kẹo §Ò thi tuyÓn häc sinh giái quËn t©n phó, M«n To¸n líp (Thêi gian : 90 phót) o Bµi : (5,5 ®iÓm) 1) Cho biÓu thøc A  5 n2 a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên 2) T×m x biÕt : a) x 12 ; x 25 ; x 30 ;  x  500 b) (3x - 24).73 = 2.74 c) |x - 5| = 16 + 2.(-3) 3) Bạn Đức đánh số trang sách các số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Đức đã sử dụng tất bao nhiêu chữ số ? Trong chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu ch÷ sè ? o Bài : (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M, trên tia đối tia BA lấy điểm N cho AM = BN So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và AN   100o VÏ tia ph©n gi¸c o Bµi : (2,5 ®iÓm) Cho xOy  ; VÏ tia Ot n»m xOy  cho yOt   25o Oz cña xOy 1) Chøng tá tia Ot n»m gi÷a hai tia Oz, Oy  2) TÝnh sè ®o zOt  3) Chøng tá r»ng Ot lµ tia ph©n gi¸c cña zOy 10 Thµnh Phè Hå chÝ minh, n¨m häc 2003 - 2004 M«n To¸n líp (Thêi gian : 90 phót) o Bµi : (3 ®iÓm) 1 2     a) TÝnh 2003 2004 2005  2002 2003 2004 5 3     2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) BiÕt 13 + 23 + + 103 = 3025 TÝnh S = 23 + 43 + 63 + + 203 c) A  x  3x  0,25xy  x y TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt x   sè nguyªn ©m lín nhÊt ; y lµ o Bµi : (1 ®iÓm) T×m x biÕt : 3x + 3x + + 3x + = 117 o Bµi : (1 ®iÓm) Mét thá ch¹y trªn mét ®­êng mµ hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ trên đồng cỏ nửa thời gian trªn ®Çm lÇy Hái vËn tèc cña thá ch¹y trªn ®o¹n ®­êng qua ®Çm lầy hay vận tốc thỏ chạy trên đoạn đường qua đồng cỏ lớn h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? o Bµi : (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC VÏ vÒ phÝa ngoµi tam giác ABC các tam giác ABD và ACE Gọi M là giao điểm cña DC vµ BE Chøng minh r»ng : a) ABE = ADC   120o b) BMC o Bµi : (3 ®iÓm) Cho ba ®iÓm B, H, C th¼ng hµng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Tõ H vÏ tia Hx vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng BC LÊy A thuéc tia Hx cho HA = cm a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Chứng minh điều đó b) Trªn tia HC, lÊy HD = HA Tõ D vÏ ®­êng th¼ng song song víi AH c¾t AC t¹i E Chøng minh r»ng : AE = AB 11 Bµi 1(19) : Cho 2  1 A 3) C¸c b¹n cã lêi gi¶i tèt nhÊt : NguyÔn 3 25  24   32 25  24 Đức Vương, 9/11, THCS Nguyễn Du, Gò VÊp, TP Hå ChÝ Minh ; M¹c V¨n ViÖt, 8E, Chøng minh r»ng A < 0,4 Lêi gi¶i : XÐt ph©n sè n 1 n víi n (n  1)  n lµ sè tù nhiªn kh¸c Do (n + 1) + n > nªn (n+1)+n  4n2 +4n+1  4n2 +4n  (n+1).n   (n+1)+n  n+1  n THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä ; n+1  n  0) (do (n+1).n n 1  n 1   (n  1)  n n n 1 áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : A   2  1  1  2 + 25 3   32 2   + + (*) 24  n + vµ n 2) Tõ c¸ch gi¶i trªn, ta cã kÕt qu¶ më réng cña bµi to¸n : Víi n lµ sè tù A , đó 3 n1 n   32 (n  1)  n nguyÔn Anh qu©n Lêi gi¶i : Ta cã a3 + b3 + c3 - 3abc = bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương khác 2  1 8B, THCS Hµm Rång, TP Thanh Hãa cho x i 1  x i   3.3 x i x i 1 25 (n  1)  n  (n  1).n b»ng c¸ch ¸p dông n1 §«ng Hµ, Qu¶ng TrÞ ; TrÞnh Quang Thanh, Chøng minh r»ng, tån t¹i i  {1, 2, 3, , 10} VËy A < 0,4 NhËn xÐt : 1) Còng cã thÓ suy ®­îc n 1 1 NguyÔn V¨n Ngäc, 8E, THCS NguyÔn HuÖ, Bµi 2(19) : Cho c¸c sè x1, x2, x3, , x11 tháa m·n :  x1 < x2 < x3 < < x11  1000 25  24 25  24 1    0,4 10 10 nhiªn kh¸c th× A  Lộc, 7C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương ; Quúnh L­u, NghÖ An ; TrÇn Hßa B×nh, 8A1, 1  (n  1)  n (n  1).n n+1  n Quèc Minh, 9A4, THCS Hai Bµ Tr­ng, TX Phóc Yªn, VÜnh Phóc ; Phan Thµnh Đặng Tân Tiến, 8C, THCS Hồ Xuân Hương,  (n  1)  n  (n  1).n  Hợp Tiến, Nam Sách, Hải Dương ; Nguyễn = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = (a + b + c)((a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2) (1) Suy a3 + b3 + c3 < 3abc  a, b, c không đồng thời và a + b + c < ¸p dông víi a  xi1 , b  3 xi , c  1 ta cã xi1  xi  < 33 xixi1  xi1  xi  (2) Do  x1 < x2 < x3 < < x11  1000 suy  x1  x   x11  10  x  x1 ; x3  x ; ; x11  x10 12 là 10 số dương có tổng : 3x 11  x1  10   Do đó tồn i  {1, 2, 3, , 10} cho 3x 1 (3) i1  xi  10 Tõ (2), (3) suy ®iÒu ph¶i chøng minh Nhận xét : (1) là đẳng thức quen thuéc cña líp C¸c b¹n sau cã lêi gi¶i tèt : Ph¹m V¨n Giang, 9A, THCS Yªn L¹c, Yªn L¹c, VÜnh Phóc ; NguyÔn ThÞ Lan, 9B, THCS Th¸i Hßa, B×nh Giang, H¶i Dương ; Hoàng Đức ý, 9E, THCS Trần Mai Ninh, Thanh Hãa ; Hoµng Minh Th¾ng, mÑ là Trần Thị Hương, khối 13, phường Cửa Nam, TP Vinh, NghÖ An ; Vâ Th¸i Th«ng, 9/4, THCS Ng« Gia Tù, Cam Ranh, Cam NghÜa, Kh¸nh Hßa ; Vâ V¨n TuÊn, 8A5, THCS NguyÔn Du, KR«ng Buk, §¾k L¾k ; TrÇn Mü Linh, 9/1, THCS TrÇn Huúnh, TX B¹c Liªu, B¹c Liªu nguyễn minh đức Bài 3(19) : Giải phương trình :  x  3x   x   Lêi gi¶i : Có nhiều cách giải phương trình này Cách : Viết phương trình dạng :  x  x  3x  víi x4  áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :    (2  x )  x  4 MÆt kh¸c : x  3x    x4 (1) (2)  (x  1)2 [(x  1)2  6]  (đúng với x) Tõ (1), (2) suy :  x  x  3x  Do đó x thỏa mãn phương trình và (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức : 1   x  x  Vậy phương trình có   x  nghiÖm nhÊt x = Cách : Viết phương trình dạng : 2   x  1    x  1       (x  1)2  6(x  1)2  DÔ dµng thÊy nghiÖm nhÊt lµ x = C¸ch :  x  x  3x   - x4 = (x2 - 3x + 3)4  (x2 - 3x + 3)4 + x4 = áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski : (x  3x  3)4  x  [(x  3x  3)2  x ]2 2 1    (x  3x   x)2   2   - x4 = + + + (2 - x4)   x = = 4(x2 - 3x + 3) = (4x2 + 4) + - 12x   8x + - 12x = - 4x  - (2x2 + 2) = = - 2x2  - (x4 + 1) = - x4 Từ đó dẫn đến tất các bất đẳng thức trên đồng thời trở thành đẳng thức, suy x = Thử x = vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = Cách : Với x4  và áp dụng bất đẳng thøc C«-si ta cã :  x4  2 2 1  1   (x  1)      (2)   2 2 2   Phương trình thỏa mãn và : (x  3x  3)2  x    x   x  3x   x  (x  1)  NhËn xÐt : C¸c b¹n cã lêi gi¶i tèt : PhÝ Quèc Tu©n, 9D, THCS Th¹ch ThÊt, Th¹ch ThÊt, Hµ T©y ; Bïi Hoµng §an, 9/4, THCS Lª V¨n Thiªm, TX Hµ TÜnh, Hµ TÜnh ; NguyÔn Lª Th¾ng, 70 TrÇn H­ng §¹o, 13 §ång Híi, Qu¶ng B×nh ; Hoµng ThÞ Lý, 9B, THCS TrÇn Quèc To¶n, §«ng Hµ, Qu¶ng TrÞ ; NguyÔn ThÞ Lan, 9B, THCS Th¸i Hßa, Bình Giang, Hải Dương ; Hoàng Đức Trung, 117 đường Xương Giang, TX Bắc Giang, B¾c Giang ; TrÇn Mü Linh, 9/1, THCS TrÇn Huúnh, TX B¹c Liªu, B¹c Liªu ; §ç Anh Minh, 9E, THCS TrÇn Mai Ninh, TP Thanh Hãa ; Lª V¨n Hßa, 9A, THCS NghÜa Liªn, Nghĩa Đàn, Nghệ An ; Nguyễn Đức Vương, 9/11, THCS NguyÔn Du, Gß VÊp, TP Hå ChÝ Minh ; U«ng Sü Phong, 8B, THCS Th¸i Xuyªn, Th¸i Thôy, Th¸i B×nh ; Vâ V¨n TuÊn, 8A5, THCS NguyÔn Du, KR«ng Buk, §¾k L¾k ltn Bµi 4(19) : Cho h×nh vu«ng ABCD Gäi E lµ trung ®iÓm cña AD Qua E vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¾t CD t¹i F EF TÝnh tØ sè EB Lêi gi¶i (cña b¹n §Ëu ThÞ KiÒu Oanh) : Qua A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE,   DAM  (hai c¾t CD t¹i M Ta thÊy : ABE góc có cạnh tương ứng vuông góc) NhËn xÐt : 1) Bµi to¸n kh«ng khã nªn các bạn tham gia giải có lời giải đúng, Tuy nhiªn còng cã nhiÒu lêi gi¶i qu¸ dµi 2) Từ nhận xét DEF đồng dạng với ABE theo tØ sè , cho ta mét lêi gi¶i kh¸c còng kh¸ ng¾n gän 3) C¸c b¹n cã lêi gi¶i tèt h¬n c¶ : §Ëu ThÞ KiÒu Oanh, 8A, THCS Cao Xu©n Huy, DiÔn Ch©u, NghÖ An ; NguyÔn ThÞ Lan, 9B, THCS Thái Hòa, Bình Giang, Hải Dương ; NguyÔn Quèc Minh ; Ph¹m Lª Quang, 9A4, THCS Hai Bµ Tr­ng, TX Phóc Yªn, VÜnh Phóc ; NguyÔn Nh­ §øc Trung, 9/1, THCS Lý Thường Kiệt, Hải Châu, TP Đà Nẵng ; Nguyễn Ngọc Trường, 8A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định nguyÔn minh hµ Bài 5(19) : Cho tam giác ABC nội tiÕp ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R D lµ điểm di động trên cạnh BC AD cắt (O) E (E khác A) Gọi R1, R2 là bán kính ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c EBD, ECD Xác định vị trí điểm D để R1.R2 đạt gi¸ trÞ lín nhÊt Lêi gi¶i : Ta cã nhËn xÐt r»ng, nÕu R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp mét tam gi¸c cạnh a thì R  a (*) Trë l¹i bµi to¸n Dựng hai tam giác BDF và CDG phía ngoài tam giác ABC, đó   BED   60o ; CGD   CED   60o suy BFD MÆt kh¸c, v× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn AB = AD  ABE = DAM  BE = AM L¹i cã EF vµ AM cïng vu«ng gãc víi BE nªn EF // AM ; E lµ trung ®iÓm cña AD nªn EF lµ ®­êng trung b×nh DAM 1 EF  Suy EF  AM  BE hay 2 BE BDEF và CDEG là các tứ giác nội tiếp hay R1, R2 là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDF vµ CDG Theo (*) ta cã : BD CD BD.CD  R1.R2  ; R2  3 MÆt kh¸c (BD + CD)2  4.BD.CD suy R1  14 Các bạn thưởng kì này Thi gi¶i to¸n qua th­ Vâ V¨n TuÊn, 8A5, THCS NguyÔn Du, KR«ng Buk, §¾k L¾k ; NguyÔn ThÞ Lan, 9B, THCS Thái Hòa, Bình Giang, Hải Dương ; Nguyễn Đức Vương, 9/11, THCS Nguyễn Du, Gß VÊp, TP Hå ChÝ Minh ; NguyÔn Quèc Minh, 9A4, THCS Hai Bµ Tr­ng, TX Phóc Yªn, VÜnh Phóc ; Hoµng §øc ý, 9E, THCS TrÇn Mai Ninh, Thanh Hãa ; Vâ Th¸i Th«ng, 9/4, THCS Ng« Gia Tù, Cam Ranh, Cam NghÜa, Kh¸nh Hßa ; TrÇn Mü BD.CD  (BD  CD) BC 3R   4 2 Linh, 9/1, THCS TrÇn Huúnh, TX B¹c Liªu, B¹c Liªu ; Bïi Hoµng §an, 9/4, THCS Lª 2 R §¼ng thøc x¶y vµ chØ BD = CD,  R1.R  nghĩa là R1.R2 đạt giá trị lớn R D lµ trung ®iÓm cña BC Nhận xét : 1) Nhiều bạn chưa để ý đến nhËn xÐt (*) nªn lêi gi¶i cßn dµi Mét sè b¹n giải cách sử dụng định lí hàm số sin (cña líp 10) cho BDE vµ CDE 2) C¸c b¹n sau cã lêi gi¶i tèt : NguyÔn Trung KiªnB, 9C, THCS VÜnh Yªn, VÜnh Phóc ; U«ng Sü Phong, 8B, THCS Th¸i Xuyªn, Th¸i Thôy, Th¸i B×nh ; NguyÔn HiÒn, 9D, THCS Lý Tù Träng ; Hoµng §øc ý, 9E, THCS TrÇn Mai Ninh, TP Thanh Hãa ; Bïi Hoµng §an, 8/4, THCS Lª V¨n Thiªm, Hµ TÜnh ; Vâ V¨n TuÊn, 8A5, THCS NguyÔn Du, KR«ng Buk, §¾k L¾k ; Vâ Th¸i Th«ng, 9/4, THCS Ng« Gia Tù, Cam NghÜa, Cam Ranh, Kh¸nh Hßa nguyÔn v¨n m¹nh V¨n Thiªm, TX Hµ TÜnh, Hµ TÜnh ; U«ng Sü Phong, 8B, THCS Th¸i Xuyªn, Th¸i Thôy, Th¸i B×nh ; §Ëu ThÞ KiÒu Oanh, 8A, THCS Cao Xu©n Huy, DiÔn Ch©u ; Phan Thµnh Lộc, 7C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương NghÖ An ; TrÇn Hßa B×nh, 8A1, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä ; NguyÔn V¨n Ngäc, 8E, THCS NguyÔn HuÖ, §«ng Hµ, Qu¶ng TrÞ ; PhÝ Quèc Tu©n, 9D, THCS Th¹ch ThÊt, Th¹ch ThÊt, Hµ T©y ; NguyÔn Như Đức Trung, 9/1, THCS Lý Thường Kiệt, H¶i Ch©u, TP §µ N½ng 15 C a trùc h«m cña th¸m tö Sê-Lốc-Cốc yên ắng đến ngạc nhiªn Suèt c¶ ngµy ch¼ng cã chuyÖn g× x¶y Buæi tèi còng vËy §Õn gần nửa đêm, thám tử định ngả m×nh mét chót trªn chiÕc ®i-v¨ng th× chu«ng ®iÖn tho¹i bçng reo vang - Xin chào thám tử ! Tôi là giám đốc vườn thú thành phố Xin lỗi đã làm phiÒn ngµi vµo lóc qu¸ khuya thÕ nµy - Kh«ng ! Cã chuyÖn g× «ng cø nói ! Tôi sẵn lòng giúp đỡ mà ! Thám tử trả lời - Chúng tôi vừa bị đà điểu ba tháng tuổi nhận từ nước ngoài Do sù bÊt cÈn cña mét nh©n viªn nªn chim đã trốn đâu Tuy kh«ng ph¶i lµ vô mÊt trém nh­ng chóng tôi muốn nhờ thám tử giúp đỡ để sớm t×m nh÷ng chim quý Êy - Ông yên tâm ! Tôi đến Thám tử Sê-Lốc-Cốc đặt máy vội vã lên xe tới vườn thú thành phố Chỉ ít phút sau, ông đã gặp và trò chuyện với người lái xe tải vườn thó §ã lµ mét chµng trai mÆc bé ¸o liÒn quần vải bò xanh, đầu đội mũ lưỡi Phan-Ti-X« (B¹n cña Sª-Lèc-Cèc) trai quay ngược sau gáy Qua câu chuyÖn, th¸m tö ®­îc biÕt nh÷ng đà điểu còn chưa kịp tới vườn thú Chóng bÞ mÊt trªn ®­êng tõ s©n bay vÒ thµnh phè - Th­a th¸m tö ! TÊt c¶ chØ t¹i bãng đá thôi ! - chàng trai thừa nhận - Lúc 11h20 đêm nay, đài truyền hình truyền trực tiếp trận đấu Bra-zin và Ac-hen-ti-na Tôi là người nghiện bóng đá khủng khiếp, có thể nói là không thể sèng thiÕu nã ®­îc VËy mµ «ng Moóc-giơ - giám đốc vườn thú - lại yêu cầu tôi sân bay chở đà điểu Tôi đành phải nhận lời vì không còn cách nµo kh¸c Khi t«i lµm xong mäi thñ tôc nhËn hµng ë s©n bay th× thêi gian hÇu chẳng còn là bao Tôi đánh liều định lái xe đường tắt cho nhanh, may có thể kịp xem bóng đá Tôi đặt lồng chim vào thùng xe, cài chốt cẩn thận lái xe vào đường đất xuyªn qua c¸nh rõng T«i kh«ng ngê ®­êng Êy l¹i xãc thÕ, cµng ®i cµng l¾m æ gµ Nh­ng quay l¹i th× ng¹i nªn t«i cø cè l¸i xe §i ®­îc mét ®o¹n, t«i dõng xe xem lò chim thÕ nµo, cã chÞu ®­îc xãc kh«ng 16 §IÒU BÝ MËT CñA CHIÕC B¸NH l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 19) ¤ng gi¸o s­ bÊt h¹nh Trước cái chết thảm thương Vẫn để lại ám hiệu Vạch trần kẻ bất lương Chiếc bánh nướng ngon lành Tiếng Anh đọc là “pai” Sª-Lèc-Cèc thËt tµi Kh«ng ngê t«i võa më chèt cöa thïng xe th× c¶ ba chim bay vät ngoµi T«i chØ kÞp ngÈng ®Çu nh×n theo chóng Cã lÏ là xóc quá nên cánh cửa lồng chim đã bị bật từ trước tôi mở thùng xe Ngay sau đó, tôi đã cố tìm th¸m tö còng hiÓu, t×m chim rõng ban đêm là điều không đơn giản Tuy nhiên, tôi nhớ địa điểm xảy viÖc vµ cã thÓ chØ cho ngµi - Cã lÏ kh«ng cÇn ®©u, anh niªn ¹ - Th¸m tö tr¶ lêi - T«i tin ch¾c r»ng đà điểu không khu rừng đó đâu Hãy cho tôi biết, có phải anh say mê bóng đá từ còn nhỏ không ? - Vâng, đúng - chàng trai trả lời Nhưng ngài lại đoán điều đó ? - Giá ngày bé anh bớt đá bóng vµ häc tèt h¬n th× ch¾c ch¾n b©y giê anh đã “sáng tác” câu chuyện nghe hîp lÝ h¬n rÊt nhiÒu T«i kh«ng tin vµo bÊt cø lêi nµo c©u chuyÖn anh võa kÓ c¶ Tèt nhÊt anh nªn khai thËt mäi chuyÖn ®i ! §è c¸c b¹n biÕt, v× th¸m tö l¹i nghi ngê c©u chuyÖn cña chµng niªn l¸i xe ? 17 Hiểu : số Pi đó Mọi chuyện đã sáng tỏ Mi-ke : kÎ s¸t nh©n Tầng ba, phòng mười bốn Gã đừng hòng thoát thân Trên đây là đáp án thơ b¹n Hoµng TuyÕt Nga C¸c b¹n kh¸c kh«ng tr¶ lêi b»ng th¬ đưa đáp án đúng Xin trao quµ cho n¨m b¹n cã bµi lµm xuÊt s¾c h¬n c¶ : TrÞnh Thanh Th­, 7C2, THCS Quang Trung, Ng« QuyÒn, H¶i Phßng ; Hoµng TuyÕt Nga, 8A, THCS Hµ Huy TËp, TP Vinh, NghÖ An ; Ph¹m ThÞ CÈm Nhung, 6A, THCS Hoµng Xu©n H·n, §øc Thä, Hµ TÜnh ; Vâ ThÞ Mai Hương, 8E, THCS Nguyễn Huệ, §«ng Hµ, Qu¶ng TrÞ ; NguyÔn Ngäc Anh, 1/3/10 TrÇn B×nh Träng, TP Vòng Tµu, Bµ RÞa - Vòng Tµu Th¸m tö Sª-Lèc-Cèc Tìm lời giải BẰNG CÁCH MỞ RỘNG BAØI TOÁN Tèng Thµnh Vò (Líp KTVT-B, K41, §HGTVT-Hµ Néi) Trong “Croatian National Mathematics Competition Kraljevica, May-1996” tôi đã gặp bài toán bất đẳng thức khá thú vị : Bµi to¸n : Cho c¸c sè a, b, c, d kh¸c và thỏa mãn đẳng thức a + b + c + d = §Æt S1 = ab + bc + cd ; S2 = ac + ad + bd 5S  8S2  Chøng minh r»ng :  8S1  5S2  Ban ®Çu, t«i ch­a t×m ®­îc lêi gi¶i trực tiếp cho bài toán trên Khi đó tôi đã tự hái : “Bµi to¸n b¾t nguån tõ ®©u nhØ ?” Trả lời câu hỏi này, tôi đã tìm lời gi¶i cho bµi to¸n trªn Ta xÐt bµi to¸n sau : Bµi to¸n : Cho c¸c sè a, b, c, d kh¸c và thỏa mãn đẳng thức a + b + c + d = §Æt S1 = ab + bc + cd ; S2 = ac + ad + bd Xác định điều kiện cho cặp số dương (, ) để S = S1 + S2  a  d  M Lêi gi¶i : §Æt   MN  b  c  N d  M  a  N  M   c  M  b Ta cã : S = S1 + S2 = (ab + bc + cd) + (ac + ad + bd) = (ab + b(-M - b) + (-M - b)(M - a)) + + (a(-M - b) + a(M - a) + b(M - a)) = (ab - bM - b2 - M2 - bM + aM + ab) + + (-aM - ab + aM - a2 + bM - ab) = 2ab - 2bM - b2 - M2 + aM - 2ab - a2 + bM = -M2 + (a + b - 2b)M + 2ab - b2 - - 2ab - a2 Coi S = f(M) lµ tam thøc bËc hai theo M, ta cã S   f(M)   M  (v× - < 0)  (a + b - 2b)2 + 4(2ab - b2 - 2ab - a2)   2a2 + 2b2 + 42b2 + 2ab - 42ab - 4b2 + 82ab - 42b2 - 8ab - 4a2   (2 - 4)a2 + (42 - 6)ab + (2 - 4)b2   ( - 4)a2 + (4 - 6)ab + ( - 4)b2 0 (*) l Xét trường hợp <    : Chia hai vế a (*) cho b2  và đặt t  ta cã : b f(t) = ( - 4)t2 + (4 - 6)t + ( - 4)  0, đó f(t) là tam thức bậc hai theo t V× ( - 4) < nªn f(t)   ’t   2(2 - 3)2 - ( - 4)( - 4)   2(42 - 12 + 92) - ( - 42 - 42 + 16)   44 - 123 + 922 - 22 + 43 + + 43 - 1622   44 - 83 - 822 + 43   3 - 22 - 22 + 3         2            (chia c¶ hai vÕ cho 3  0)   x3 - 2x2 - 2x +  (đặt  x, < x  1)  18 (xem tiÕp trang 26) l Người thách đấu : Nguyễn Thái Hòa, giáo viên trường Trung học Thực hành, §HSP TP Hå ChÝ Minh Bài toán thách đấu : Cho tứ giác lồi ABCD, đó đường chéo BD không  vµ CDA  Gi¶ sö P lµ mét ®iÓm n»m bªn ph¶i lµ ®­êng ph©n gi¸c cña ABC l   DBA   BDA  Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD  vµ PDC tø gi¸c cho PBC néi tiÕp ®­îc ®­êng trßn vµ chØ AP = CP l l XuÊt xø : K× thi to¸n quèc tÕ lÇn thø 45 (2003 - 2004) Thời hạn nhận thách đấu : Trước ngày 15 - 12 - 2004 (TTT2 sè 19) Bµi to¸n nµy lµ sù më réng tiÕp tôc cña bµi to¸n Steiner-Leimus (TTT2 sè 1, 2, 3) §©y lµ bµi to¸n khã, chØ cã n¨m vâ sÜ nhận lời thách đấu và có tới bốn võ sĩ giải sai hoÆc thiÕu chÝnh x¸c Lời giải đúng lại thuộc Nhà H×nh giáo Nguyễn Đức Trường, THCS Đa Tốn, Gia L©m, Hµ Néi Lời giải (của võ sĩ Trường, có sửa chữa) : Bổ đề : Cho tam giác ABC, M là ®iÓm thuéc ®o¹n BC B' A EA C ' A FA Khi đó AM < max {AB, AC} ; (1)   Bổ đề : Cho tam giác ABC (AB > AC), B'C BC C 'B BC ph©n gi¸c AD §iÓm N thuéc ®o¹n AD, N EA MB EA  FA (2)  kh¸c A vµ N kh¸c D BN, CN theo thø tù c¾t FA  MC AC, AB B’, C’ Khi đó BB’ > CC’ Tõ (1), (2) suy : (C¸c b¹n cã thÓ xem chøng minh cña bæ B' A C' A BB' CC '   B' C ' // BC   (3) đề và bổ đề TTT2 số 2) BN CN Bổ đề : Cho tam giác ABC (AB > AC), B'C C 'B   AMC  trung tuyÕn AM §iÓm N thuéc ®o¹n AM, N MÆt kh¸c, v× AB > AC nªn AMB kh¸c A vµ N kh¸c M BN, CN theo thø tù c¾t AC, AB B’, C’ Khi đó BB’ > CC’ Chøng minh : Qua A kÎ ®­êng th¼ng song song víi BC, theo thø tù c¾t c¸c ®­êng th¼ng BB’, CC’ t¹i E, F (h×nh 1) Theo định lí Ta-lét ta có : (xÐt hai tam gi¸c ABM, ACM) suy :   NMC   NB  NC NMB (4) (xÐt hai tam gi¸c NBM, NCM) Tõ (3), (4) suy : BB’ > CC’ (xem tiÕp trang 26) 19 CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG cao b¸ h­ng (Sè Thµnh B¾c, Ninh X¸, B¾c Ninh) Phản chứng là phương pháp chứng minh gián tiếp hiệu quả, đó ta phải chứng minh mệnh đề phủ định là sai Trong quá trình giảng dạy trường phổ thông, tôi nhËn thÊy häc sinh cßn ch­a thuÇn thôc áp dụng phương pháp này để chứng minh c¸c bµi to¸n h×nh häc Hi vọng qua các ví dụ đây, các bạn nắm vững phương pháp chứng minh đặc biệt này VÝ dô : Chøng minh r»ng tø gi¸c  C  th× AD < BC  B ;D ABCD, nÕu  A ®iÓm E n»m trªn BC tháa m·n ®iÒu kiÖn a  CE  Qua M kÎ ®­êng th¼ng song song víi AE, c¾t c¹nh CD t¹i F Chøng minh r»ng h×nh thang AMFE kh«ng thÓ lµ h×nh thang c©n Lêi gi¶i : Gi¶ sö AMFE lµ h×nh thang  mµ   FEA, c©n th× AM = FE (*) vµ MAE    EBA  (gi¶ thiÕt) suy EAB   ABC DAB EAB c©n t¹i E  EA = EB Gi¶ sö AD = BC  AD + EA = BC + EB   C,   ED = EC  EDC c©n t¹i E  D  (tÝnh MÆt kh¸c CA lµ ph©n gi¸c cña BCD chÊt ®­êng chÐo cña h×nh vu«ng), suy A  cña lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp ECF   BEA   BEA   FEA   EA lµ ph©n MAE  (gãc ngoµi cña EFC) gi¸c cña FEB Lêi gi¶i : Ta sÏ chøng minh AD  BC lµ sai ThËt vËy, gäi giao ®iÓm cña AD vµ BC lµ E ta cã : tr¸i víi gi¶ thiÕt Gi¶ sö AD > BC  AD + EA > BC + EB   D,  còng tr¸i víi gi¶ thiÕt  ED > EC  C VËy chØ cã thÓ lµ AD < BC Ghi chó : Ta hoµn toµn cã thÓ chøng minh trùc tiÕp kÕt qu¶ nµy VÝ dô : Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a ; M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AD ; EFC (®­êng trßn nµy tiÕp xóc víi CE vµ CF lầ lượt B và D) a a L¹i cã  CE   BE   2 a  EF = BE + DF > BE >  AM  EF > AM, m©u thuÉn víi (*) VËy AMFE kh«ng thÓ lµ h×nh thang c©n VÝ dô : Cho ®­êng trßn t©m O cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi 20 Gọi I và K là trung điểm OA, OB  Tia CK c¾t (O) t¹i F Chøng minh r»ng CIF kh«ng ph¶i lµ gãc vu«ng   90o , suy : Lêi gi¶i : Gi¶ sö CIF   OIC   ICD   OIC   90 o  OIF   ICD  OIF Nh­ vËy nÕu gäi E lµ giao ®iÓm cña tia CI với (O) ; P và Q là giao điểm cña tia FI víi (O) vµ ®­êng kÝnh CD th×   s® AP   s® FB  s® ED (1) MÆt kh¸c v× AB, CD lµ hai ®­êng kÝnh   s® DB ; vu«ng gãc cña (O) nªn s® AD OI = OK (b»ng nöa b¸n kÝnh (O)) nªn CD lµ trung trùc cña ®o¹n IK  CD lµ ph©n gi¸c   s® DF  Suy :   s® DE cña ECF   s® AD  - s® DE   s® DB  - s® DF   s® FB  s® AE   s® FB   s® AE (2)   Tõ (1) vµ (2)  s® DE  s® EP  CE lµ  l¹i cã CI  PQ nªn ph©n gi¸c cña PCD, CPQ c©n t¹i C vµ IP = IQ Ta dÔ dµng chøng minh ®­îc AIP = OIQ (c.g.c)   QOI   90o  BAP cã Suy PAI   APB   90o lµ ®iÒu v« lÝ PAB  kh«ng ph¶i lµ gãc vu«ng VËy CIF Ví dụ sau đây là bài toán thách đấu số (TTT2 số 12) đã quen thuộc với các bạn, bµi to¸n cã rÊt nhiÒu c¸ch chøng minh Nh©n bµi viÕt nµy t«i xin tr×nh bµy thªm mét c¸ch chøng minh kh¸c l VÝ dô : Cho h×nh vu«ng ABCD §iÓm M thuéc miÒn cña h×nh vu«ng, tháa m·n   MDA   15o ®iÒu kiÖn MAD Chứng minh MBC là tam giác Lêi gi¶i : Theo gi¶ thiÕt ta suy :    75o (1) ; AMD   150o (2) ; BAM  CDM MAD c©n t¹i M  MA = MD  BMA = CMD   CMD  (3), MB = MC (4) (c.g.c)  BMA   MCB  (5)  MBC c©n t¹i M  MBC Giả sử MBC không đều, từ (4) suy : MB > BC hoÆc MB < BC   BAM  NÕu MB > BC  MB > AB  BMA   75o , tõ (1), (2), (3) ta cã :  BMA   BMA   CMD   300o  BMC   60o , AMD   BMC   MB  BC , m©u tõ (5)  MBC thuÉn víi gi¶ thiÕt ban ®Çu Tương tự trên, từ MB < BC ta lại chøng minh ®­îc MB > BC, lµ ®iÒu v« lÝ VËy chØ cã thÓ lµ BC = MB = MC hay MBC là tam giác Bµi tËp vËn dông Bµi : Cho tam gi¸c ABC Chøng minh a  nhọn, đó a và r»ng nÕu ma  th× A ma là độ dài cạnh BC và đường trung tuyÕn kÎ tõ A) Bµi : Cho ®­êng trßn (O) vµ I, K lÇn lượt là trung điểm các dây cung AB, CD BiÕt r»ng AB > CD vµ tia AB c¾t tia CD t¹i P, chøng minh r»ng PI > PK 21 mét sè d¹ng to¸n thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö” Tạ Duy Phượng (Viện Toán học) (Tiếp theo kì trước) Dạng Toán tăng trưởng, phần trăm ThÝ dô (Thi Khu vùc, 2002, líp 9) : HiÖn dân số quốc gia B là a người ; tỉ lệ t¨ng d©n sè mçi n¨m lµ m% 1) H·y x©y dùng c«ng thøc tÝnh sè d©n quốc gia B đến hết năm thứ n 2) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta là bao nhiêu tỉ lệ tăng dân số trung b×nh mçi n¨m lµ 1,2% ? 3) Đến năm 2020, dân số nước ta có khoảng 100 triệu người Hỏi tỉ lệ tăng dân số trung b×nh mçi n¨m lµ bao nhiªu ? Lêi gi¶i : 1) Gäi Ai lµ sè d©n sau n¨m thø i Sau n¨m, d©n sè cña quèc gia B lµ : A1 = a + ma = a(1 + m) Sau n¨m, d©n sè cña quèc gia B sÏ lµ : A2 = a(1 + m) + m(1 + m)a = a(1 + m)2 Tương tự, sau n năm, dân số là : An = a(1 + m)n-1 + m.a.(a + m)n-1 = a(1 + m)n (1) 2) TÝnh trªn m¸y Casio fx-500A : 76.3  [(   0 )] SHIFT x y  (84.94721606)  84,947216 triệu người 3) Tõ c«ng thøc (1) suy : m  TÝnh trªn m¸y Casio fx-500A : n An  (2) a 100  76.3  SHIFT x1/ y 19    100  (1.433852166) Lµm trßn : m  1,4% ThÝ dô (Khu vùc, 2001, líp 6-7) : 1) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 đôla với lãi suất là 0,35% / tháng Hỏi sau 12 tháng người nhận bao nhiªu tiÒn c¶ gèc lÉn l·i ? 2) Một người muốn sau năm phải có 20000 đôla Hỏi phải gửi vào ngân hàng mét kho¶n tiÒn (nh­ nhau) hµng th¸ng lµ bao nhiªu, biÕt r»ng l·i suÊt tiÕt kiÖm lµ 0,27% / th¸ng NÕu tÝnh tiÒn ViÖt th× mçi tháng người đó phải gửi bao nhiêu tiền, biết 100 đô la 1489500 đồng Lời giải : 1) Giả sử người gửi a đồng vµo ng©n hµng tõ ®Çu th¸ng giªng víi l·i suÊt lµ m% Cuèi th¸ng giªng sè tiÒn cña người là T1 = a(1 + m) Vì hàng tháng người tiếp tục gửi tiết kiệm a đồng nên số tiÒn gèc cña ®Çu th¸ng hai lµ : a(1  m)  a  a[(1  m)  1]   a a [(1  m)2  1]  [(1  m)2  1] (1  m)  m Sè tiÒn cuèi th¸ng hai lµ : a T2  [(1  m)2  1](1  m) m Sè tiÒn c¶ gèc lÉn l·i vµo cuèi th¸ng thø n a lµ : Tn  [(1  m)n  1](1  m) (3) m ¸p dông víi n = 12 ; a = 100 ; m = 0,35% : 100  0.0035  [( [(  0.0035 )] SHIFT x y 12  )]  [(  0.0035 )]  (1227.653434)  1227,65 đôla 2) Giả sử người đó gửi vào ngân hàng tháng là a đôla Từ công thức (3) suy : Tn  m (4) a [(1  m)n  1](1  m) ¸p dông víi T = 20000 ; m = 0,27% ; n = 12 : 0.27  100  Min  20000   [(  22 MR )]  [( [(  MR )] SHIFT x y 12  )]  (1637.639629) §æi tiÒn ViÖt :  1489500  100  (24392642.28)  24392642 đồng NhËn xÐt : Hai thÝ dô trªn cho thÊy : 1) Tuy ph¸t biÓu kh¸c nhau, nh­ng hai d¹ng to¸n vÒ d©n sè vµ göi tiÒn tiÕt kiÖm lµ : đó là dạng toán tăng trưởng 2) Hai c«ng thøc (1) vµ (3) cho ta c¸ch thiÕt lËp c«ng thøc vµ m« h×nh to¸n häc cho bµi to¸n thùc tÕ Mét c«ng thøc to¸n cã thÓ lµ m« h×nh cña nhiÒu bµi to¸n thùc tÕ cã b¶n chÊt to¸n häc gièng 3) Tõ (1) vµ (3) cã thÓ suy nhiÒu c«ng thøc kh¸c (thÝ dô, c«ng thøc (2) vµ (4)) 4) M¸y tÝnh gióp gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ (tăng trưởng dân số, gửi tiền tiết kiệm, ) với các liệu thật (thường là số to và lẻ) Bµi tËp (Hµ Néi, 1996 ; Thanh Hãa, 2000 ; Thái Nguyên, 2003) : Dân số nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2% / năm Tính dân số nước sau 15 năm Bµi tËp (TP HCM, 1996 ; Hµ Néi, 1996) : Một số tiền 58000 đồng gửi tiết kiÖm theo l·i suÊt kÐp (mçi th¸ng tiÒn l·i ®­îc céng thµnh vèn) Sau 25 th¸ng ®­îc vốn lẫn lãi là 84155 đồng Tính lãi suất Bµi tËp (CÇn Th¬, 2002) : D©n sè mét nước năm 1976 là 55 triệu người với mức tăng 2,2% Tính số dân nước đó sau 10 năm Bµi tËp (H¶i Phßng, 2003, líp 8) : Một người gửi tiền vào ngân hàng số tiền là x đồng với lãi suất r% / tháng (lãi suất kép) Biết người đó không rút tiền lãi Hỏi sau n tháng người nhận bao nhiêu tiÒn c¶ gèc lÉn l·i ? áp dụng : x = 75000000 đồng ; r = 0,62 ; n = 12 2) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng với lãi suất m% / tháng (lãi suất kép) Hỏi cuối tháng thứ n người nhËn ®­îc bao nhiªu tiÒn c¶ gèc lÉn l·i ? áp dụng : a = 1000000 đồng ; m = 0,8 ; n = 12 (chính xác đến đồng) Bµi tËp (H¶i Phßng, 2004) : D©n sè mét nước là 65 triệu người, mức tăng dân số mét n¨m b×nh qu©n lµ 1,2% 1) ViÕt c«ng thøc tÝnh d©n sè sau n n¨m 2) ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh d©n sè sau 20 n¨m 3) Dân số nước đó sau k năm vượt 100 triÖu T×m sè k bÐ nhÊt Bài tập (Cần Thơ, 2002) : Một người sử dông xe cã gi¸ trÞ ban ®Çu lµ 10 triÖu Sau mçi n¨m, gi¸ trÞ xe gi¶m 10% so víi n¨m trước đó 1) TÝnh gi¸ trÞ cña xe sau n¨m 2) Tính số năm để giá trị xe còn nhỏ h¬n triÖu Bµi tËp (Th¸i Nguyªn, 2003, líp 9) : Một người muốn sau năm phải có hai mươi triệu đồng để mua xe Hỏi phải gửi vµo ng©n hµng mét kho¶n tiÒn nh­ hµng th¸ng lµ bao nhiªu, biÕt r»ng l·i suÊt tiÕt kiÖm lµ 0,075% / th¸ng Bµi tËp (Thi Khu vùc, 2004 §Ò dù bÞ) : Một người gửi tiết kiệm 1000 đôla vào ng©n hµng kho¶ng thêi gian 10 n¨m víi lãi suất 5% / năm Hỏi người đó nhận ®­îc sè tiÒn nhiÒu h¬n hay Ýt h¬n bao nhiªu nÕu ng©n hµng tr¶ l·i suÊt % mét th¸ng 12 Bµi tËp (H¶i Phßng, 2004, líp 9) : Mét người vào bưu điện để gửi tiền cho người thân, túi có triệu đồng Chi phí dịch vụ hết 0,9% tổng số tiền gửi Hỏi người th©n nhËn ®­îc bao nhiªu tiÒn Kết luận : Toán phần trăm, tăng trưởng là d¹ng to¸n hay gÆp thùc tÕ To¸n häc gióp ta lËp c«ng thøc (x©y dùng m« h×nh), m¸y tÝnh gióp ta dÔ dµng tÝnh to¸n víi c¸c số liệu thật (thường là số lớn và lẻ), tức là g¾n to¸n víi thùc tÕ h¬n 23 SỬ DỤNG PHÉP QUY NẠP TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC ViÖc sö dông phÐp quy n¹p to¸n häc chứng minh các bài toán đại số và số học hẳn đã quen thuộc với nhiều bạn NhiÒu bµi to¸n h×nh häc phøc t¹p còng đã chứng minh nhờ vào phép quy nạp Sau ®©y xin giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè bµi to¸n nh­ vËy Bµi to¸n : Chøng minh r»ng mäi ®a giác lồi n cạnh (n  5) chia thành mét sè h÷u h¹n c¸c ngò gi¸c låi Lêi gi¶i : Víi n = hiÓn nhiªn ta cã mét ngò gi¸c låi Giả sử bài toán đúng với n = k > 5, ta chứng minh bài toán đúng với n = k + ThËt vËy víi A1A2 Ak + lµ mét ®a gi¸c låi k + c¹nh, lÊy ®iÓm M n»m trªn c¹nh A1A2 (M kh¸c A1 vµ M kh¸c A2) ; ®iÓm N n»m trªn c¹nh A4A5 (N kh¸c A1 vµ N kh¸c A5) Ta thÊy MN chia A1A2 Ak + thµnh hai ®a gi¸c låi MA2A3A4N vµ A1MNA5A6 Ak + có cạnh và k cạnh Theo giả thiết T¹ minh hiÕu (Giáo viên trường THCS Yªn L¹c, Yªn L¹c, VÜnh Phóc quy n¹p, A1MNA5A6 Ak + lu«n chia ®­îc thµnh mét sè h÷u h¹n c¸c ngò gi¸c låi VËy A1A2 Ak + còng chia ®­îc thµnh mét sè h÷u h¹n c¸c ngò gi¸c låi Theo nguyªn lÝ quy n¹p, bµi to¸n ®­îc chøng minh Bµi to¸n : Cho n lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n hoÆc b»ng Chøng minh r»ng : lu«n chia ®­îc mét h×nh vu«ng thµnh n h×nh vu«ng nhá (c¸c h×nh vu«ng sau chia kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i b»ng nhau) Lời giải : Theo dõi các hình vẽ đây ta thấy bài toán đúng với n 6, 7, Nh­ vËy theo nguyªn lÝ quy n¹p, gi¶ sö bµi toán đúng với n = k > th× ta cÇn ph¶i chøng minh bài toán đúng với n = k + vì bài toán đã đúng với trường hợp liªn tiÕp ®Çu tiªn lµ 6, 7, ThËt vËy : Ta nhËn thÊy, sau chia mét h×nh vu«ng thµnh k h×nh vu«ng nhá mµ ta lÊy bÊt k× mét h×nh vu«ng sè k h×nh vuông nhỏ đó, chia thành h×nh vu«ng b»ng (lu«n thùc hiÖn ®­îc) th× hình vuông ban đầu đã ®­îc chia thµnh k + h×nh vu«ng nhá Bµi to¸n ®­îc chøng minh 24 Bµi to¸n : Trªn mÆt ph¼ng, cho n đường thẳng, đó không có hai đường th¼ng nµo song song vµ kh«ng cã ba ®­êng thẳng nào đồng quy Hãy tính số các miền rêi cña mÆt ph¼ng c¸c ®­êng thẳng đó chia Lêi gi¶i : Gäi f(n) lµ sè c¸c miÒn rêi cña mÆt ph¼ng ®­îc chia bëi n ®­êng th¼ng nãi trªn Trước hết, trực quan ta đếm : f(1) = ; f(2) = ; f(3) = ; f(4) = 11 Víi c¸c kÕt qu¶ ban ®Çu nµy, ta cã nhËn xÐt quan träng sau : f(1) = ; f(3) = f(2) + = ; f(2) = f(1) + = ; f(4) = f(3) + = 11 Từ đó ta có dự đoán : f(n) = f(n - 1) + n  f(n) = f(n - 2) + (n - 1) + n  f(n) = f(1) + + + + + n  f(n) = + + + + + n  f(n) = + + + + + + n n(n  1)  f(n)   (*), ta dùng phép quy nạp để chứng minh : 1(1  1) Víi n = 1, (*)  f(1)    2, đúng Giả sử (*) đúng với n = k > 1, ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + : k(k  1) (k  1)(k  2)  f(k  1)   f(k)   2 Thật vậy, gọi k + đường thẳng đó là d1, d2, , dk, dk + Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, k ®­êng th¼ng d1, d2, , dk chia mÆt ph¼ng thµnh f(k)   k(k  1) miÒn rêi XÐt ®­êng th¼ng dk + 1, ®­êng th¼ng nµy ph¶i c¾t k ®­êng th¼ng cßn l¹i t¹i k ®iÓm ph©n biÖt hay dk + bÞ chia thµnh k + phÇn khác nhau, phần đó qua miền mặt phẳng và chia miền đó thµnh hai miÒn nhá h¬n Tãm l¹i sè miÒn rêi ®­îc t¨ng thªm lµ k + miÒn thªm ®­êng th¼ng dk + VËy f(k  1)  f(k)  k    k(k  1) k 1 (k  1)(k  2) , đúng VËy sè c¸c miÒn rêi cña mÆt ph¼ng ®­îc chia bëi n ®­êng th¼ng tháa n(n  1) mãn điều kiện đề bài là  Bài toán đây là mở rộng bài toán Tô màu đồ (cuộc thi Olympic toán học Cô-lô-ra-đô, Mỹ, 1998 - TTT2 số 16) Bµi to¸n : Trªn mÆt ph¼ng, cho mét sè ®­êng th¼ng vµ mét sè ®­êng trßn, chóng chia mÆt ph¼ng thµnh c¸c miÒn rêi (chØ chung c¸c ®iÓm trªn biªn) Chøng minh cần hai màu để tô các miền thu ®­îc cho hai miÒn kÒ (chung mét ®o¹n biªn) th× cã mµu kh¸c Bµi to¸n nµy cã mét c¸ch chøng minh kh¸c rÊt hay - sö dông phÐp quy n¹p Hướng dẫn : Với k + đường thẳng và ®­êng trßn d1, d2, , dk + (dk + lµ ®­êng th¼ng) : T« c¸c miÒn mµ k ®­êng th¼ng vµ ®­êng trßn d1, d2, , dk chia ; gi÷ nguyªn màu đã tô trên hai nửa mặt phẳng ®­êng th¼ng dk + chia ra, nöa cßn l¹i ta đổi màu toàn các miền §Ò nghÞ c¸c b¹n h·y gi¶i bµi to¸n vµ các bài tập đây cách sử dụng phÐp quy n¹p Bµi : Trªn mÆt ph¼ng, cho n ®iÓm kh«ng cïng thuéc mét ®­êng th¼ng Qua hai ®iÓm bÊt k×, ta kÎ mét ®­êng th¼ng Chøng minh r»ng cã kh«ng Ýt h¬n n ®­êng th¼ng kh¸c ®­îc kÎ (n  3) Bµi : Cho ®a gi¸c låi 2n c¹nh néi tiÕp đường tròn, có n - cặp cạnh đối song song víi Chøng minh r»ng : a) Cặp cạnh đối còn lại song song víi nÕu n lÎ ; b) Cặp cạnh đối còn lại n ch½n  f(k  1)   25 Tìm lời giải bất phương trình có nghiệm : - 3x + 1)   (x +  x - 3x +  vµ chØ (TiÕp theo trang 18) 1)(x2 (x + > 0) 3 3 (tÝnh x) x 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn < x  ta suy :  3  x 1 VËy víi <    th× S = S1 + S2  3  (1)  1  l Xét trường hợp <   , tương tự trường hợp trên : Chia hai vế (*) b cho a2  và đặt u  ta có : a f(u) = ( - 4)u + (4 - 6)u + ( - 4)  V× ( - 4) < nªn f(u)   ’u  vµ chØ - ( - 4)( - 4)     - 2  - 22 + 3  2(2 3)2        2              y - 2y - 2y +  (đặt  y, < y  1),  3  y 1 VËy víi <    th× S = S1 + S2  3   1 (2)  Tõ (1) vµ (2) suy : Víi  vµ  lµ c¸c số dương, điều kiện để S = S1 + S2  lµ 3  3    hoÆc     Trë l¹i bµi to¸n Ta thÊy nã lµ mét trường hợp đặc biệt kết trên : 3    1  đúng, suy S = 5S1 + 8S2  Víi  = vµ  = th× 3    1  đúng, suy S = 8S1 + 5S2  Víi  = vµ  = th× 5S  8S2  VËy :  8S1  5S2  Qua bµi to¸n nµy ta thÊy r»ng, viÖc lùa chọn hướng chứng minh cho nhiều bài toán hoàn toàn không đơn giản số trường hợp, đặt vấn đề t×m lêi gi¶i cho bµi to¸n më réng cña nã th× lại đem đến thành công bất ngờ (TiÕp theo trang 19) Trở lại bài toán thách đấu, lời giải là kÕt hîp mét c¸ch khÐo lÐo c¸c kÕt qu¶ có các bổ đề ; ; (hình 2) §Æt : N1 = BB’  AD ; N2 = BB’  AM ; C1’ = CN1  AB ; C2’ = CN2  AB Vì N1 thuộc đoạn AD nên theo bổ đề ta có : CC1’ < BB’ (5) Vì N2 thuộc đoạn AM nên theo bổ đề ta có : CC2’ < BB’ (6) H×nh Vì N thuộc đoạn N1N2 nên C’ thuộc đoạn C1’C2’, theo bổ đề ta có : CC’ < max { CC1’, CC2’} (7) Tõ (5), (6), (7) suy : BB’ > CC’ 26 NguyÔn Minh Hµ Sử S ưa thơ cho đúng l Dao lµ c«ng cô lµm ®­îc nhiÒu viÖc Bµi th¬ bªn cÇn ph¶i söa l¹i thÕ nµo ? l động từ ! Ra vườn chọc lá, chích cành Vµo bÕp gät thÞt, vãt hµnh, läc khoai Tờ giấy to đẽo làm đôi Mổ cây, xắt gốc trên đồi làm nương GiÕt lîn tØa tiÕt, chÆt l«ng Thái bụng, đẵn thịt, khía xương, chÎ b× S¸ch b¸o tiÖn mÐp ph¼ng l× C¹o cµnh sung nhùa tøc th× ch¶y “Yªu cau s¸u räc ba” Dóng mía lạng vỏ, tước khúc tròn X¾t tre, ®Çu mÆt kh¾c lu«n Chäc khóc, xÐn máng, bæ tr¬n ®an sÒ B¸c thî cµy rãc say mª Người chích dấu tay nghề ph¶i cao Dưa chuột pha lát ThÇy thuèc thËn träng ph¸t vµo khèi u Mai §×nh PhÈm (45 T©n L©m, ý Yªn, Nam §Þnh) KÕt qu¶ : ChuyÆn du lÙch cða tái (TTT2 soá 19) ChuyÕn du lÞch cña t«i m¾c rÊt nhiÒu lỗi sai đây : Nhầm lẫn địa danh - Hải dương không có hội chọi trâu (Héi chäi tr©u ë §å S¬n, H¶i Phßng) - ë §iÖn Biªn kh«ng cã khu du lÞch Sa Pa (Khu du lÞch Sa Pa ë Lµo Cai) - Đà Nẵng không có động Phong Nha (§éng Phong Nha ë Qu¶ng B×nh) - Khu phè cæ Héi An kh«ng cã cÇu Trµng TiÒn (cÇu Trµng TiÒn ë HuÕ) - Ng· ba §ång Léc kh«ng ë phÝa nam §µ N½ng (ë Hµ TÜnh) - §µ L¹t kh«ng ®­îc mÖnh danh lµ “thÞ trÊn m©y” (“ThÞ trÊn m©y” lµ Tam §¶o, VÜnh Phóc) - ë Gia Lai kh«ng cã Bu«n §«n (Bu«n §«n ë §¾k L¾k) Mét sè nhÇm lÉn kh¸c - Sông Hương không “cuồn cuộn” chảy (mà “êm đềm” chảy) - Ng· ba §ång Léc kh«ng ph¶i lµ n¬i c¸c c« g¸i “giao liªn” hi sinh (mµ lµ n¬i c¸c c« g¸i “thanh niªn xung phong” hi sinh) - Chuyến du lịch qua nhiều địa danh xuyªn suèt B¾c - Trung - Nam kh«ng thÓ kÐo dµi 5-6 ngµy (mµ ph¶i trªn 10 ngµy) - Hµnh tr×nh kh«ng hîp lÝ : Kh«ng thÓ tõ §µ N½ng “vµo” Qu¶ng B×nh råi tõ HuÕ “ra” Hµ TÜnh, “lªn” §µ L¹t, “sang” §¾k L¾k, “vÒ” Vòng Tµu, “tíi” TP Hå ChÝ Minh B¹n ph¶i lên Lào Cai, Hải Dương, Hà Tĩnh, Qu¶ng B×nh, §¾k L¾k, §µ L¹t, TP Hå ChÝ Minh, Vòng Tµu N¨m b¹n ®­îc trao gi¶i k× nµy lµ : Lª NguyÔn Minh, 29 NguyÔn ThÞ Lý, TX Qu¶ng TrÞ, Qu¶ng TrÞ ; Cao Thu Trang (con «ng Cao Xu©n HiÒn) tæ 25, T©n Quang, TX Tuyªn Quang, Tuyªn Quang ; Vũ Thị Phương Thảo, 7C, THCS Bạch Liªu, Yªn Thµnh ; Hå ThÞ Quúnh Trang B, 8A, THCS §Æng Thai Mai, TP Vinh, NghÖ An ; TrÇn V¨n Ngäc H­ng, 6/1, THCS Phan Thóc DuyÖn, §iÖn Thä, §iÖn Bµn, Qu¶ng Nam Phó B×nh 27 Chó Khoa ¬i ! T¹i chó lµ nhµ th¬ mµ l¹i xuÊt hiÖn mét tê t¹p chÝ to¸n dµnh cho thiÕu nhi ? Cã ph¶i tr¸i tim chó lu«n dµnh cho thiÕu nhi chóng ch¸u nh÷ng t×nh c¶m tèt đẹp không ? Lª Vâ Ch©u Anh (9A, THCS NguyÔn Träng B×nh, K× Anh, Hµ TÜnh) TrÇn §¨ng Khoa : ChÝnh chó còng rÊt ng¹c nhiªn, kh«ng hiÓu t¹i m×nh l¹i xuÊt hiÖn ë mét t¹p chÝ Toán học dành cho các cháu, mà điều mình bàn thì lại chẳng dính gì đến toán học c¶ C¸c ch¸u häc to¸n, nghiªn cøu s©u vÒ to¸n, cã thÓ cã rÊt nhiÒu ch¸u ®ang häc ë c¸c líp chuyªn to¸n Nh­ng dï häc chuyªn to¸n th× còng vÉn kh«ng thÓ bá ®­îc m«n v¨n Sau nµy, cã thÓ nhiÒu ch¸u sÏ trë thµnh nh÷ng nhµ khoa häc lín Khi c¸c ch¸u thuyÕt tr×nh vÒ nh÷ng ph¸t minh, s¸ng chÕ cña m×nh, lµm cho hÊp dÉn vµ chinh phôc ®­îc đông đảo người Lúc ấy, các cháu lại phải dùng ngôn ngữ, không phải có công thức toán Chạm đến ngôn ngữ là các cháu đụng đến văn Thiếu văn còng khã thµnh ®­îc nhµ to¸n häc hoµn thiÖn Vµ c¶ nhµ v¨n còng ph¶i biÕt to¸n To¸n gióp cho ta cã t­ chÆt chÏ Bëi thÕ, v¨n vµ to¸n lµ hai lÜnh vùc rÊt kh¸c nh­ng l¹i liªn quan chÆt chÏ víi Chó th©n víi nhiÒu nhµ khoa häc, vµ thÊy hä hiÓu văn học còn sâu sắc số nhà văn Họ nhìn chuyện rạch ròi, mạch lạc Chính vì gắn bó mật thiết ấy, nên tạp chí Toán Tuổi thơ có đến chuyên mục chuyªn vÒ v¨n nh­ : “Sang ch¬i nhµ v¨n”, “§èp ch¸t víi TrÇn §¨ng Khoa”, råi l¹i in c¶ thơ Tất nhiên, là câu thơ có chi tiết phi lôgic, để các cháu dùng tư toán học để điều chỉnh lại Chú thấy đó là giây phút thư giãn cần thiết Ph¶i nãi anh Lª Thèng NhÊt, Phã Tæng Biªn tËp t¹p chÝ To¸n Tuæi th¬ lµ mét nhµ d¹y to¸n rÊt th«ng minh Anh Êy cã biÖt tµi bµy cç M©m cç anh Êy dµnh cho c¸c ch¸u rÊt sinh động và vui mắt Bên cạnh món sơn hào hải vị, là bài toán đỗi kì thú, anh còn điểm xuyết thêm đĩa húng láng, mùi tầu và kinh giới Bản thân rảnh rau thơm đượm mùi văn chương không phải yến tiệc, có chúng, mâm cỗ chúng ta thêm hương vị, mà nhìn sinh động và vui mắt trò ! 28 K× nµy : vÖ ? GhÕ tùa tr«ng d¸ng xinh xinh ChÆt ®Çu l¹i ë ®Çu m×nh, v× ? Lª Thanh Nguyªn (8A6, THCS §éc LËp, TP Th¸i Nguyªn) l KÕt qu¶ : Ô chữ CÁC LOAØI CHIM (TTT2 số 19) Vườn Anh kì này thực đã trở thành n¬i tæ chøc ngµy héi cña c¸c loµi chim C¸c lo¹i chim, tõ nh÷ng loµi ë tÝt rõng sâu nhiệt đới đến loài tận Bắc cực l¹nh gi¸ xa x«i ; tõ nh÷ng chó chim hiÒn lành kiếm mồi trên mặt nước đến chú chim dũng mãnh bay lượn trên không trung ; từ chú chim xinh đẹp thiên nga đến chim xấu xí quạ đen bạn đọc TTT đem đến tham dự “Thăm Vườn Tiếng Anh” kì này Với 12 c¸i lång, b¹n Ph¹m ThÞ Yªn, 9A1, THCS Trưng Vương, Uông Bí, Quảng Ninh đã mang đến tận 45 loài chim Thật đáng bái phục ! bái phục ! Chủ vườn xin cử số đại diện Ngoài ra, các bạn tiếp tôc t×m kiÕm, xem cã b¹n nµo ph¸ ®­îc kØ lôc cña b¹n Yªn kh«ng nhÐ Tõ trªn xuèng : thiªn nga ; chim ¸c lµ ; chim cắt ; chim cánh cụt ; chim khướu ; chim ã ; bå n«ng ; chim Ðn ; qu¹ ; gµ g« ; đại bàng ; chim chèo bẻo Ngoµi b¹n Yªn, c¸c b¹n cã tªn sau còng là người thắng kì này : Lê Thanh Nguyªn, 8A6, THCS §éc LËp, TP Th¸i Nguyªn, Th¸i Nguyªn ; Lª NguyÖt Hµn Giang, 9E, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ; Nguyễn Duy Cương, 8A,THCS Tô HiÖu, TX NghÜa Lé, Yªn B¸i ; NguyÔn Quang Vinh, thôn Bắc Phương Danh, thị trÊn §Ëp §¸, An Nh¬n, B×nh §Þnh Chủ Vườn 29 VAÊN GÌ ? V¨n g× l­u tr÷ giÊy tê ? V¨n g× chøng nhËn b¹n võa häc xong ? V¨n g× nÕp sèng xung quanh ? V¨n g× ca h¸t trë thµnh niÒmvui ? V¨n g× kh«ng nãi b»ng lêi ? Văn gì cam kết người với ta ? V¨n g× nøc tiÕng gÇn xa ? V¨n g× héi häp c¸c nhµ v¨n nh©n ? V¨n g× ghÐp l¹i thµnh vÇn ? V¨n g× x©y dùng t¹i thµnh thêi x­a ? Các bạn đã đoán chưa ? Nhanh tay gửi nhé để “vua” ban quà ! §Æng ThÞ Quyªn Anh (9G, THCS §Æng Thai Mai, Vinh, NghÖ An) l KÕtÕtÕt qu KÕ qu¶ u¶ : KÌ GÌ ? u¶ Th¸nh chØ : (TTT2 sè 19) K× l¹ hiÕm thÊy bao giê K× ¶o khã thÊy mê mê b¹n ¬i Kì nghỉ sung sướng đã đời Kì diệu nón người chơi K× tµi danh tiÕng mu«n n¬i Kì cục trông thấy là cười Kì vọng trông đợi hôm Kì thi sốt sắng đến ngày thi K× quan thÕ giíi cßn ghi Kì đà động vật khác gì kì nhông K× vÜ réng lín mªnh m«ng K× tÝch lËp ®­îc chiÕn c«ng oai hïng Thảo dân đoán đúng kì phùng Trẫm xin đánh trống “tùng tùng” thưởng to Ban thưởng : Vũ Thị Thu Hương, 6A3, THCS Nam Cao, LÝ Nh©n, Hµ Nam ; Vò Lª Trang Anh, 9D, THCS TrÇn H­ng §¹o, thÞ x· Qu¶ng Ng·i, Qu¶ng Ng·i ; NguyÔn Duy Cương, 8A, THCS Tô Hiệu, thị xã NghÜa Lé, Yªn B¸i ; Vâ TuÊn Anh, bè lµ Vâ Hång Lam, xãm 6, thÞ trÊn §øc Thä ; NguyÔn CÈm Trang, 9D, THCS Phan Huy Chó, Th¹ch Hµ, Hµ TÜnh Vua TÕu 30 Hỏi : Hôm trước em có đến 57 Giảng Võ thì là lß rÌn Mong quý b¸o ghi l¹i chính xác địa để em còn göi bµi §µo Duy To¸n (9A, THCS Lương Yên, Hà Nội) §¸p : 57 Gi¶ng Vâ, em ¬i Mét n¬i Tßa b¸o, mét n¬i lß rÌn C¸c b¸c B­u ®iÖn th× quen Do đó thư các em Sè míi 187 B Mong em tÝch cùc m¶i mª göi bµi Hái : Tõ em lªn mét tuổi giờ, người đặt cho em cái biệt danh kinh khñng : “Õch ép” Làm để người đừng gäi n÷a, anh ¬i Õch ép (7E, THCS B×nh An, B×nh Léc, Can Léc, Hµ TÜnh) §¸p : Mçi lÇn nghe “Õch ép !” Xin em đừng giật thột Cứ cười hết cỡ môi Vµ c¶m ¬n : “èp ! èp !” Hái : Cã lÇn nhµ m×nh võa ¨n c¬m xong th× bè m×nh ®­a cho quyÓn TTT và bảo : “Này 000 đồng !” Mình nghĩ là : Có lẽ bè kh«ng muèn mua nh­ng v× m×nh mµ bè ph¶i mua, bố thương mình M×nh cã nªn b¶o bè mua TTT cho m×nh n÷a kh«ng ? Ngô Thị Hương (th«n B¶o Th¸p, Kim Hoa, Mª Linh, VÜnh Phóc) §¸p : Bè em nãi ý thÕ nµy : N¨m ngh×n hai quyÓn ph¶i say đọc vào Häc hµnh cè g¾ng ®iÓm cao NÕu kh«ng tµi chÝnh bÞ “hao” n¨m ngh×n Hỏi : Em đã đọc lêi “gì” cña anh vµ em thÊy anh tr¶ lêi b»ng th¬ rÊt hay Ch¾c ngµy cßn lµ häc sinh anh còng lµ mét c©y bót tµi ba nh­ TrÇn §¨ng Khoa ? Nhãm Lan Rõng (8B, THCS Xu©n LÜnh, Hång LÜnh, Hµ TÜnh) §¸p : Cảm ơn em đã “tôn thờ” Ngµy x­a th¬ thÈn “ngÈn ng¬” cùc k× Häc b¸c Khoa ®­îc tÝ ti Đọc thơ anh, bác cười phì nhiÒu phen ! ChØ nh×n ®­êng “trung trùc” “Quü tÝch” ®Çu bót bi ChØ khæ hai hµng mi §· bao lÇn “h¹ xuèng” §ªm “®i qua” thËt uæng §· “bao lÇn” råi em Hái : Em ph¶i lµm g× ®©y ? Các số TTT2 từ số đến số 10 em đã bị thằng em nã “cuçm” theo vµo Ninh ThuËn råi !!! Nã thËt nhÉn t©m anh nhØ ? Bå c©u g¸i mong håi ©m (289 Bµ TriÖu, P 7, TX Tuy Hßa, Phó Yªn) §¸p : Th»ng em “l¸o” thËt ! Nã lÌn “u” ? B¸o mÊt mét “chång”, khÐo ®i tu Th«i th× “nã” thÝch nh­ “u” thÝch Tí tÆng l¹i cho kÖ “nã” xï !!! Hái : T¹i anh chØ tr¶ lêi b»ng th¬ mµ kh«ng tr¶ lêi b»ng to¸n häc ? Cã bao giê anh thÊy bÝ ch­a ? NguyÔn Khæng Thanh Th¶o (352/1 tæ 13, khu phè 2, B×nh §a, TP Biªn Hßa) §¸p : Có nhiều đêm “đa thức” Ch¼ng “nghiÖm” ®­îc ®iÒu g× 31 anh phã gì j Bài 1(21) : Cho ba số chính phương A, B, C Chứng tỏ r»ng : (A - B)(B - C)(C - A) chia hÕt cho 12 nguyễn Văn đĩnh (GV trường THCS Nghĩa Hưng, Nghĩa Hưng, Nam Định) j Bµi 2(21) : Chøng minh r»ng : 3     mai v¨n qu¶ng (GV trường THCS thị trấn Tiên Lãng, Hải Phòng) j Bµi 3(21) : Cho a  -b, a  -c, b  -c Chøng minh r»ng : b2  c c  a2 a2  b bc c a ab      (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) b  c c  a a  b nguyễn đức trường (GV trường THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội) j Bµi 4(21) : Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c và a + b + c = ; x, y, z là độ dài các ph©n gi¸c cña c¸c gãc A, B, C 1 Chøng minh r»ng :    x y z lª thÞ liÔu (GV trường THCS Lê Lợi, Quy Nhơn, Bình Định) j Bµi 5(21) : Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H Chøng minh r»ng : HB.HC HC.HA HA.HB    AB.AC BC.BA CA.CB TS NguyÔn Minh Hµ (Hµ Néi) 32