Tổng hợp Bài 1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i là số thực dương... Hỏi trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào?..[r]
(1)Dạng1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC PP: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức Nhận xét: Tính toán trên số phức, thật không khác gì với phép tính trên tập số thực mà bạn đã học từ ngày đầu tiên đến trường Chỉ có điều, bạn hãy xem số phức i là kí hiệu mà i Bài 1: Tìm số phức z cho : a) z i i 2i z 1 i b) 1 z i i d) 25 z i i 2i 23 3i z 3 i c) 3 i z i f) 1 i z i e) g) Bài 2: 2k k 1 a) Giả sử zk i i k Tính zk z k 1 i n 2 Tính z,z , z và z n Suy z z b) Cho z i z 3k 2 3k k 1 z z 2 z , z z 0 ĐS: k k 1 , , z 1 , z 1 , z z , z z1 z2 Bài 3: a) Chứng minh các số phức z1 và z2 có môđun thì số z1 z2 là số z thực b) z1 ,z2 ,z3 là số phức có môđun 1, so sánh môđun hai số phức z1 z2 z3 và z1 z2 z2 z3 z3 z1 Bài 4: Xét đa thức f z z 4i z 5i Tính f z0 với z0 2 3i f z0 34i ĐS: Bài Cho số phức z 3 i z; z ; z ;1 z z 2 Tính các số phức sau: 2012 2012 2010 2012 2012 1 i 1 i 1 i 1 i Bài Tính: a) ; b) ; c) ;d) i i i i HD: a) i 2012 i 1006 2i 1006 i 2013 i i i i3 d) Ta có: 2012 1 nên i i i i Bài 7:Tính giá trị biểu thức sau: HD: Ta có: P 21006 i 503 2012 1006 i i i i 2010 i i2 1003 i i2 ; 1003 i 2007 i i i i i i 2010 i i i i i 2006 1 i 1 i Và .i 1 i i5 i i9 i 2009 i5 i i i 2004 i5 1006 2013 i i i i 2009 503 1006 2 1 i Mà i 1 i 1 i 1 i (2) P i 1 i 1 i Suy (Tương tự) Bài 8: Tính: M 1 i i i i 10 1 i z i Tính giá trị z 2012 Bài 9: Cho số phức Bài 10: Chứng minh rằng: 31 i 2010 4i i 2008 1 i 2006 Bài 11: Bằng phương pháp quy nạp cmr với số nguyên m > 0, ta có: i 4m 1; i 4m1 i; i m2 1; i 4m3 i 105 Áp dụng tính : i i 23 i 20 i34 z z z z2 1; z1 z2 Bài 12: Cho số phức z1; z2 thỏa mãn Tính 2 Đ/s: Dạng SỐ PHỨC VÀ THUỘC TÍNH CỦA NÓ Xác định phần thực, phần ảo số phức Hãy biểu diễn hình học số phức Tính môđun số phức Tìm số đối số phức Tìm số phức liên hợp Tìm số phức nghịch đảo Ứng dụng hai số phức để tìm các số phức Loại 1: Tìm phần thực và phần ảo Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo các số phức sau: a) d) z i 4i 2i z 2i i i 2i z i 2i b) z e) i 2 i c) 2012 1 i z 1 i Bài 2: a) Cho hai số phức z1 1 2i , z2 2 3i Xác định phần thực, phần ảo số phức z1 z2 (TN2010-CB) Đ/s: Phần thực là -3; phần ảo là b) Cho hai số phức z1 2 5i , z2 3 4i Xác định phần thực, phần ảo số phức z1.z2 (TN2010-NC) Đ/s: Phần thực là 26; phần ảo là Bài 3: Tìm phần ảo số phức z , biết (ĐH2010A-CB) Đ/s: Phần ảo là z i 1 2i (Tổng hợp số đề thi ĐH-CĐ phần sau nữa) (3) Bài 4: Tìm phần thực số phức log n 3 log n 3 z i n , biết n thỏa mãn pt: Đ/s: n = 3; phần thực là Loại 2: Tính mô đun số phức Bài 1: Tìm môđun các số phức sau: a) z 1 4i i ; b) Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn (ĐH2010A-NC) HD: 1 z 3i 1 i z i z 1 i i 2i 1 z 3i 1 i 1 i c) 2i i i 2i Tìm môđun số phức z iz 1 i 3i 3.3i 3i i ; z 8 3i 3i i 1 i 81 i i , z iz 4i 4i i 4i 4i 4i 8i Bài 3: Tính môđun số phức z , biết (ĐH2011A-NC) ĐS: z 1 i z 1 i 2 2i z iz 2.82 8 HD: Giả sử z x yi x, y x yi i x yi i 2 2i x y x y i x y x y i 2 2i x y x y i 2 2i x x y 3 x y 2 3 x y 0 y x y ĐS: z 2i z z 4i 20 Tính mô đun z Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn (CĐ2011-CB) 2i z z 4i 20 4i x yi x yi 4i 20 HD: 3x y y x i x yi 4i 20 x y y x i 4i 20 x y 20 x y 10 y x 4 x y 1 y 3 x 4 ĐS: Loại 3: Ứng dụng hai số phức để tìm các số phức Bài 1: Tìm các số nguyên x, y cho số phức z = x + yi thỏa mãn: a) z 18 26i ; 3i x yi 1 i ; b) Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn: c) x 5i y 2i 9 14i z 5 (4) z z z z 8 2 i z z z z z z 2 a) z z ; b) ; c) ; d) ; z i 1 e) z i ; f) z 1 z i z 3i 1 z i Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn z và z là số ảo Đ/s: i; i (ĐH2010D-CB) z i 10 Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn và z.z 25 Đ/s: z 3 4i; z 5 (ĐH2009B-CB) Dạng TẬP HỢP ĐIỂM Câu hỏi thường là: “ Xác định tập hợp các điểm mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn đk K” Cách giải: * Gọi z x yi x, y là số phức cần tìm * Từ giả thiết, tìm hệ thức x, y Hệ thức này xác định đường cong mặt phẳng phức (thực chất là mặt phẳng tọa độ Oxy) Một số tập hợp điểm mp phức: 1) Đường thẳng: * x x0 song song trùng trục ảo Oy * y y0 song song trùng trục thực Ox * 2) Đường tròn: 3) Hình tròn: x x ax by c 0 a b 2 x0 y y0 R 2 x0 y y0 R x2 y 1 b 4) Đường elip: a có tâm có tâm I x0 ; y0 I x0 ; y0 bán kính R bán kính R x2 y 1 5) Đường hyperbol: a b z x2 y Loai 1: Số phức z thỏa mãn độ dài (môđun), đó ta sử dụng công thức: Loại 2: Số phức z là số thực(thực âm thực dương), số ảo Khi đó ta sử dụng kết sau: a) Để z là số thực điều kiện là: y = x b) Để z là số thực âm điều kiện là: y 0 x c) Để z là số thực dương điều kiện là: y 0 d) Để z là số ảo điều kiện là: x = Tập hợp là đường thẳng (5) Bài 1: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: 2 a) z là số thực âm b) z là số ảo z2 z c) z d) i là số ảo ĐS: a) Là trục ảo Oy trừ điểm gốc O b) Là hai đường thẳng y x c) Là hai trục Ox, Oy d) Là trục ảo Oy trừ điểm 0;1 Bài 2: Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn đk sau: a) 2i z z b) 2iz 2 z ĐS: a) là đường thẳng x y 0 b) là đường thẳng 24 x y 35 0 Bài 3: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z i z i 1 z z 4i z z a) b) z i c) d) z i là số thực e) z z z 2 f) z z 2i 3 HD: a) z 4i x yi 4i x y i 2 z z 4i x y x 3 y x y x x 16 y y x y 25 0 Tập hợp điểm là đường thẳng có phương trình x y 25 0 Các phần còn lại làm tương tự Đ/s: a) Là đường thẳng 6x + 8y = 25 b) Là trục thực Ox x ;x 2 c) Là hai đường thẳng e) Là hai đường thẳng x 0; x 2 d) Là hai trục tọa độ bỏ điểm (0 ;1) f) Là hai đường thẳng y 1 Tập hợp là đường tròn Bài1: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn đk sau: z i 1 HD: Giả sử z x yi x, y 2 z i x y 1 1 x y 1 1 Ta có: z i x y 1 i , Tập điểm biểu diễn là đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 mặt phẳng phức Bài 2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i 2 (ĐH2009D-CB) Đ/s: đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R = Bài 3)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i 1 i z (ĐH2010B-CB) x y 1 2 Đ/s: đường tròn Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: (6) a) z 1 z 3 b) z i ; Tập hợp là hình tròn 1 i z Bài 1: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức đó z 2 Giải: z a bi a,b , i z i a bi 2 a b a b i y x 2 b x 2 a b a b x a y x y a b a b y Điểm biểu diễn M có tọa độ: z 2 a 1 2 b 2 a 1 b 4 (*) Thay a,b vào (*) ta y 3x y x 32 3 1 4 y x y x 2 4 43 y x 36 xy 12 y 12 x y x 12 xy y 12 x 64 x y x y 4 x 3 y 16 I 3; Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm (biểu diễn số phức i ), bán kính R 4 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 1 z 2 z 1 z 1 i a) ; b) ; c) ; d) Đ/s: a) Tập hợp là hình tròn tâm I(0;0), bán kính R = b) Tập hợp là các điểm nằm đường tròn tâm I(0;0), bán kính R = c) Tập hợp là hình tròn tâm I(1;0), bán kính R = d) Tập hợp là các điểm nằm đường tròn tâm I(1;1), bán kính R = Tập hợp là hình vành khăn Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 2 HD: Với số phức z = x + yi x, y , ta có: z x2 y z 2 x y 2 x y 4 Ta có: Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hình vành khăn giới hạn hai đường tròn tâm O(0;0) bán kính là và 2, kể các điểm nằm trên đường tròn tâm O, bán kính Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i 2 Đ/s: Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn tâm I(-1;1) bán kính là và 2, kể các điểm nằm trên đường tròn này Tập hợp là đường Parabol Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i z z 2i (7) Đ/s: Tập hợp điểm M thuộc Parabol y x2 Tập hợp là đường elíp Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i z i 4 Giải: G/s số phức z = x + yi Ta x, y , suy M(x;y) biểu diễn số phức z có: z i z i 4 x y 1 i x y 1 i 4 2 x y 1 x y 1 4 * F1 0; 1 ; F2 0;1 thì (*) MF1 MF2 4 F1F2 2 Suy tập hợp điểm M là Elíp (E) có hai tiêu điểm là F1; F2 Cách 1: Đặt x2 y 1 a b 0; b a c a b Ta viết pt (E): MF1 MF2 2a 4 a 2 b 3 c 1 F1F2 2c 2 Ta có: x2 y 1 Vậy (E): Cách 2: Ta có: * Khi đó: PT trở thành: >0) x y y x y y 4 2 , đặt t x y t y t y 4 t t y 8 4t y 16 x y 12 t y 8 t (chú ý là t- x2 y2 1 Cách (Sai lầm) Ta có: 2 2 z i z i 4 z i z i z i z i 16 z i z i z i 16 2 z i z i z i 16 z 2i z 16 z z 16 z 4 x y 4 Vậy tập hợp điểm là đg tròn x y 4 n z z n n * (Các thầy cô chú ý cho hs thấy là Vì đã có học trò làm trên) Tập hợp là đường Hypebol Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z2 z 4 y x Đ/s: Tập hợp điểm M thuộc hai Hypebol Tổng hợp Bài 1: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i là số thực dương ĐS: Là trục ảo Oy trừ đoạn AB với A 0;1 và B 0; 1 Bài 2:a) Trong mp phức cho điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1 ,z2 ,z3 Hỏi trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào? (8) b) Xét điểm A, B, C mp phức theo thứ tự biểu diễn số phức z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn z1 z2 z3 Chứng minh A, B, C là đỉnh tam giác và z1 z2 z3 0 Giải: z1 a1 b1i , z2 a2 b2 i , z3 a3 b3i Khi đó A a1 ;b1 ,B a2 ;b2 ,C a3 ;b3 a a2 a3 b1 b2 b3 G ; 3 a) Trọng tâm G ABC có tọa độ a a2 a3 b1 b2 b3 z z z z i 3 3 Vậy G là biểu diễn số phức b) z1 z2 z3 A, B, C cùng nằm trên đường tròn tâm O (gốc hệ trục) ABC G O z 0 z1 z2 z3 0 Bài 3: Cho các số phức z1 1 i,z2 1 2i Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức z1 , z1 z2 , 2z1 z2 , HD: z2 z1 z , z1 các điểm A, B, C, D, E z12 2i A 0; z1 z2 i 2i 1 i 3 i B 3; 1 z1 z2 2 i 2i 2 2i 2i 1 4i C 1; z1 z2 i 2i 1 i 3i D 1; 3 1 z2 2i 2i i i i i E ; 2 2 2 z1 i Bài 4: Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z k z i , với k là số thực dương cho trước y ĐS: * k 1 : k2 k2 x y k 1 k 1 k * : Bài 5: a) Cho số phức a bi a, b khác Chứng minh tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z x yi x, y cho z z k ( k là số thực cho trước) là đường thẳng b) Tìm và k câu a) để đường thẳng nói trên qua các điểm biểu diễn số và 3i ĐS: a) k 2 ax by Bài 6: Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn đồng thời z z 1 i z 2 và 1; , 1; ĐS: Bài 7: Cho hai số dương a, c và a c Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu z c z c 2a diễn các số phức z thỏa mãn a , c Áp dụng với Giải: z x yi x, y z c z c 2a x c y2 x c y 2a 1 (9) (1) x c y x c y 2a 4cx 2a x c y2 Từ hệ (1), (2) ta được: x c x c 2 x c y2 y2 x c x c y2 c y a x a (*) và x c y2 x c y2 y a 2c x a (2) c x a (**) a2 c2 x y a c 2 2 2 a Từ (*) (**) ta có: Đặt b a c , chia hai vế cho b : x2 y 1 a2 b2 x2 y 1 b ĐS: Tập điểm biểu diễn là elip a Bài 8: Cho hai số dương a, c và a c Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu z c z c 2a diễn các số phức z thỏa mãn Dạng PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ẨN SỐ PHỨC Phương trình bậc Phương pháp Cách 1:Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán số phức Cách 2: Thực các bước sau: z a bi a, b B1: G/s số phức cần tìm là B2: Thay z vào pt và sử dụng định nghĩa hai số phức để tìm a, b B3: Kết luận Bài 1: Tìm nghiệm phức phương trình 2i 3i z i z z i ;d) z i 0 ;e) a) iz i 0 ;b) ;c) 2i z 5i 7 3i Căn bậc hai số phức và phương trình bậc hai * Căn bậc hai số phức Bài1: Tìm bậc hai số phức sau: a) 2 ; b) i ; c) 4i ; HD: a) Vì số 2 nên có hai bậc hai là i 2 i 2 i b) G/s số phức cần tìm là z a bi a, b d) 6i 21 i 21 là bậc hai i, tức là ta có: (10) i a bi b 2a a b 0 a b2 2abi 2ab 1 a 0 2a b 2a 4a 0 a b a b 2 1 i Vậy số phức i có hai bậc hai là Nhận xét: Phần b) ta có thể làm sau gọn nhiều a b a b 0 a b a b 2ab 1 và a,b cùng dâu 2ab 1 a c) Cách 1:G/s số phức cần tìm là 4i a bi z a bi a, b là bậc hai + 4i, tức là ta có: b a b 3 a a b 2abi 2ab 4 a 3 a b a a 3a 0 b a a 4 Vậy số phức + 4i có hai bậc hai là Cách 2: Ta phân tích: a 2 và b 1 a và b i 4i 3 2.2i 4 2.2i i i i Vậy số phức + 4i có hai bậc hai là Chú ý: Gv nên hướng hs biết phân tích khá làm theo cách vì nó nhanh nhiều so với cách d) Ta phân tích 6i 4 2.3i 32 2.3i i i 5 3i Vậy số phức 6i có hai bậc hai là Bài2: Tìm bậc hai số phức sau: a) -4 ; b) 3-4i ; c) 2i ; d) -5+12i ; e) 8+6i ; f) 33- 56i ; h) 2i * Phương trình bậc hai Phương pháp: Sử dụng kiến thức phần phương trình bậc hai g) -3+4i ; Bài 1:Giải các phương trình sau: a) z z 0 ; b) z 2iz 0 Ban NC Giải: a) Cách 1: Phương trình có ' nên nó có hai nghiệm phân biệt là z1 1 i và z2 1 i z i z 1 i 2 PT z 1 z 1 i z i z 1 i Cách 2: (11) b) Cách 1: Phương trình có z1 i 2i và z2 i 2i ' 2 2i PT z i z i nên nó có hai nghiệm phân biệt là z i 2i z i 2i z i 2i z i 2i Cách 2: Bài 2:Giải các phương trình sau: z i z 2i 0 a) ; b) z z i 0 Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2 a) x x 29 0 b) x x 0 c) x x 6i 0 d) x 4i x 5i 0 e) x x 0 f) x i x i 0 ĐS: a) x 3 2i b) f) e) 2i x i 2 2 c) 2i; 2i 1 i; d) 3i;1 i 2 5 2 i Bài 4: Tìm m để phương trình: x mx+3i=0 có tổng bình phương hai nghiệm Đ/s: m = 3+i; m = -3-i Bài 5: Tìm các số thực b, c để pt: z bz+c=0 nhận số phức z = 1+i làm nghiệm Đ/s: b = -2; c = 2 f z Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z z 0 Gọi là số phức xác định 17 15 14 f z f z z z z 3z z Tính môđun z1 1 i z1 z2 z i HD: Pt z z 0 có hai nghiệm phức là Mà f z z17 z15 z14 z z z15 z z z14 z z z z z Nếu z z1 f z f z1 z1 f z z1 Nếu z z2 f z f z2 z f z z f z Vậy Hệ phương trình ẩn số phức z12 z22 5 2i 1 z z 4 i Bài 1: Giải hệ pt: 2 Giải: Từ (2) ta có z1 z2 z1 z2 15 8i Kết hợp với (1) ta có: z1z2 5 5i z1 z2 4 i z z 5 5i Khi đó ta có hệ pt: z i z 5i 0 z ; z Do đó là nghiệm hện phương trình Ta có 12i 3i (12) z1 3 i z 1 2i Vậy ta có Bài 2: Giải các hệ pt sau: z12 z22 5 2i z z 4 i a) Phương trình bậc cao z2 3 i z1 1 2i u v 4uv 0 u v 2i b) z z 14 z z 1 z az b Sau đó z z 16 z 16 z z z az b Sau đó Bài 1: a) Tìm các số thực a, b để có phân tích giải phương trình: z z 14 z 0 b) Tìm các số thực a, b để có phân tích z 2i z z i z c) giải phương trình: z z 16 z 16 0 a ; b ĐS: a) Nghiệm: , i Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) z z3 z2 z 0 z b) b) a 2; b 4 Nghiệm: , i 2 z z z 3z z 0 1 i, i 2 ĐS: a) z 0 không phải là nghiệm, chia vế cho z : b) i, 3 Bài 3: Giải phương trình z i z 3iz i 0 Giải: z i z 3iz i z 1 z 2i z i z 1 z 2i z i 0 * Phương trình 2i i 1 4i 4i 1 Giải pt (*): Nghiệm pt (*): z 1 i , z i ĐS: 1, i , i Bài 4:Giải các phương trình sau: 3 a) z 0 ; b) z 27 0 ; c) z z z 0 ; 4 e) z 0 ; f) z z z 16 z 12 0 z 2i z 4i z 10i 0 1 Bài 5: Cho phương trình sau: a) Cmr pt(1) nhận nghiệm ảo b) Giải pt (1) d) z 0 ; Đ/s: 2i; -1- 2i; -1 + 2i Bài 6: Giải các pt sau phương pháp đặt ẩn phụ: z a) z z z 12 0 ; b) z z z z 0 ; c) z z 25 0 Dạng DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG (13) Loại 1: Dạng lượng giác số phức z,z, z, , kz k * z Bài 1: Cho z 1 i Viết dạng lượng giác các số phức Giải: Ta có thể làm theo hai cách sau: Cách 1: Với z 1 i , ta có môđun r 2 , cos sin Acgumen thỏa mãn Chọn z 2 cos isin 3 Khi đó: Từ đó, suy z 2 cos - isin 2 cos + isin 3 3 * z cos +isin 2 cos - isin 2 cos +isin 3 3 3 3 4 4 2 cos +isin * 1 1 z z cos isin 2 3 * z zz k cos isin k kz k cos 4 isin 4 k 3 * Cách 2: Chúng ta có thể biến đổi trước đưa dạnh lương giác 1 3 z 1 i 2 i 2 cos isin 3 2 1 3 z 1 i 1 i 2 i isin 2 cos 2 3 Bài 2: Cho z r cos i sin r Viết dạng lượng giác các số phức z, z, , kz k * z Giải: * z r cos i sin r cos i sin * z r cos i sin r cos i sin r cos i sin * 1 cos i sin cos i sin z r cos i sin r (14) * Nếu k thì dạng lượng giác kz là kr cos i sin k r cos i sin k r cos i sin Nếu k thì dạng lượng giác kz là Bài 3: Viết các số phức sau dạng lượng giác: a) 1 i; i; i 1 i ; 1 3i 1 i b) c) 2i 2i 3 i d) z sin i cos 1 ĐS: a) 1 i 2 cos i sin i cos i sin 4, 3 , 1 i 7 7 i i 2 cos i sin cos i sin 12 12 , i 12 12 cos i sin c) 2 cos i sin 3 b) cos i sin 2 2 d) Bài 4: Cho hai số phức z1 1 i và z i a) Tìm dạng lượng giác z1; z2 b) Sử dụng kết câu a) tính z1 z2 ; z1 z2 Bài 5:Viết dạng lượng giác số phức z và bậc hai z cho trường hợp sau: a) z 3 5 và Acgumen iz là ; b) z z i và Acgumen i z là 3 z z c) và Acgumen i là ; cos HD: a) G/s z = a +bi có môđun r và acgumen là , ta có: 2 z a b 3 iz i a bi b cos ; a a b 3 3 z 3 cos isin 4 và bậc hai z là: Từ đó suy ra: 3 3 11 11 cos isin isin và cos 8 8 a a b2 sin ;sin 5 3 cos 4 b a b2 (15) b) Đ/s: z cos isin 3 c) Gọi là acgumen z thì là acgumen z mà 1+i có acgumen là nên z i có acgumen là Theo giả thiết ta có: 3 k 2 k l 2 l 4 z cos isin 2 Do đó dạng lượng giác z là: Loại 2: Ứng dụng Bài 1: Chứng minh các công thức: a) cos 3a 4 cos a cos a b) sin 3a 3 sin a sin a Giải: Xét z cos a i sin a , ta có: z cos 3a i sin 3a (1) Mặt khác z cos a i sin a cos a cos a.i sin a cos a i sin a i sin a cos a cos a.i sin a cos a sin a i sin a cos a cos a sin a cos a.i.sin a i sin a cos a cos a sin a cos a sin a sin a i (2) cos 3a cos a cos a cos a sin 3a 3 sin a sin a sin a Từ (1), (2) đpcm i Bài 2: Tính i 2012 i 1 i 1 i i 2 1 2 i cos isin 2 2 4 2 Giải: Ta có i i 1 i 2012 2 cos isin 4 2 2 2012 A Bài 3: Tính giái trị biểu thức: 2012 cos isin i 10 i 1 i Bài 4: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 2012 cos503 isin503 1 1006 10 Đ/s: A = -1 (16) A a) i 10 i b) Bài 5: Tính tổng sau: S i 2012 1 i z 2009 z 2009 , biết z 1 z 2012 2006 2008 Bài 6: Tính tổng sau: S C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 Giải: Ta có thể làm theo các cách sau: 2 4 2006 2006 2008 C2009 i 2008C2009 Cách 1: Ta có S C2009 i C2009 i C2009 i 2009 2008 2009 1 i C2009 iC2009 i 2C2009 i 2008C2009 i 2009C2009 Mà 2008 2009 iC2009 i 2C2009 i 2008C2009 i 2009C2009 i 2009 C2009 Suy ra: 2009 2009 1 i 1 i S Mặt khác: i 2009 i i 1004 i 2009 i i i 2i 1004 1004 i 2i i 21004 i 1004 i 502 1004 21004 21004 i i2 502 21004 21004 i 1004 Vậy S 2 Cách 2: :Bằng phương pháp quy nạp dễ cm với số nguyên m > 0, ta có: i 4m 1; i 4m1 i; i 4m 2 1; i 4m 3 i Do đó ta có khai triển sau: 1 i 2009 2009 k 2008 2009 C2009 i k C2009 C2009 C2009 C2009 C12009 C2009 C2009 C2009 i k 0 Mặt khác: i 2009 i i 1004 i 2i 1004 i 21004 i 502 21004 21004 i Hoặc sử dụng dạng lượng giác sau: 1 i 2009 cos isin 4 2009 2 2009 cos 2009 2009 isin 4 1004 1004 2 i 2 1004 So sánh phần thực và phần ảo ta S 2 Bài 7: Tính các tổng sau: 2008 2010 a) S C2010 C2010 C2010 C2010 C2010 2008 2010 2012 b) M C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 CÁC ĐỀ THI TN VÀ ĐH-CĐ CÁC NĂM GẦN ĐÂY (17) 1) Giải các phương trình sau trên tập số phức: 7 x1 i; x2 i 4 4 Đ/s: x 2 3i; x2 2 3i Đ/s: Đ/s: x1 3 4i; x2 3 4i a) x x 0 (TNTHPT 2006) b) x x 0 (TNTHPT 2007 lần 1) c) x x 25 0 (TNTHPT 2007 lần 2) d) x x 0 (TNTHPT 2008 lần 2) e) x x 0 (TNTHPT 2009 CB) f) z iz 0 (TNTHPT 2009 NC) Đ/s: x1 1 i; x2 1 i 1 1 x1 i; x2 i 4 4 Đ/s: z1 i; z2 i Đ/s: 3 z1 i; z2 i 2 2 Đ/s: g) z z 0 (TNGDTX 2010) 2) Tìm giá trị biểu thức P 1 i 1 i (TNTHPT 2008 lần 1) Đ/s: P = - z i z i 3) Cho hai số phức , Xác định phần thực, phần ảo số phức z1 z2 (TN2010-CB) Đ/s: Phần thực là -3; phần ảo là 4)Cho hai số phức z1 2 5i , z2 3 4i Xác định phần thực, phần ảo số phức z1.z2 (TN2010-NC) Đ/s: Phần thực là 26; phần ảo là 5) Giải phương trình z z 1 0 trên tập số phức 1 1 z1 i; z2 i 4 4 Đ/s: (TN2011-CB) 6) Giải phương trình z iz 0 trên tập số phức (TN2011-NC) Đ/s: z1 i; z2 i 7)Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z z 10 0 2 Tính giá trị biểu thức (ĐH2009A-CB) A z1 z2 Đ/s: A = 20 z i 10 8)Tìm số phức z thỏa mãn và z.z 25 (ĐH2009B-CB) Đ/s: z 3 4i; z 5 9)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i 2 (ĐH2009D-CB) Đ/s: đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R = 2 10)Cho số phức z thỏa mãn: z CĐ 2009 – A,B,D – CB i i z 8 i 2i z Xác định phần thực và phần ảo Đ/s: Phần thực là -2; phần ảo là z 7i z 2i z i 11) Giải phương trình trên tập số phức: CĐ 2009 – A,B,D – NC Đ/s: z = 1+2i;z = 3+i 12)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z (CĐ2010ABD-CB) 3i z i z 3i Tìm phần thực và phần ảo (18) 13)Giải phương trình z i z 3i 0 trên tập số phức (CĐ2010ABD-NC) Đ/s: Phần thực là -2; phần ảo là 14)Tìm phần ảo số phức z , biết z i 1 2i Đ/s: Phần ảo là (ĐH2010A-CB) z 15)Cho số phức z thỏa mãn 1 3i Tìm môđun số phức z iz 1 i (ĐH2010A-NC) Đ/s: 16)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i 1 i z (ĐH2010B-CB) Đ/s: đường tròn x y 1 2 17)Tìm số phức z thỏa mãn z và z là số ảo Đ/s: i; i (ĐH2010D-CB) z2 z z 18)Tìm tất các số phức z , biết: z ĐS: z 0 , z 1 i z 1 i 2 2i 19)Tính môđun số phức z , biết (ĐH2011A-CB) (ĐH2011A-NC) 20)Tìm số phức z , biết: ĐS: z 1 i 2 z 5i 0 z ĐS: i , i (ĐH2011B-CB) 1 i z i 21)Tìm phần thực và phần ảo số phức (ĐH2011B-NC) ĐS: Phần thực , phần ảo 22)Tìm số phức z , biết: z 3i z 1 9i 13 z i 5 ĐS: (ĐH2011D-CB) 2i z z 4i 20 Tính mô đun z 23)Cho số phức z thỏa mãn (CĐ2011-CB) 24)Cho số phức z thỏa mãn (CĐ2011-NC) ĐS: z i z 2i 0 z 5 Tìm phần thực và phần ảo z 1 ĐS: Phần thực , phần ảo (19)