De thi hoc sinh gioi de 3

Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.. Gọi N là trung điểm của DE.[r]

§Ò sè 3: đề thi học sinh giỏi M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4  C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n C©u Cho ®a thøc P ( x ) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 vµ 9  10 vµ nhá h¬n 11 Q ( x ) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a/  ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/   12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = |x +1| +5 B= x +15 x +3 Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC a Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE b Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chøng minh: MA  BC Đáp án đề toán a 4 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 0 a => = 0; 1; 2; ; a * = => a = a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = -  C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x Ta cã: 9  10 vµ nhá h¬n 11 9 9 63 63 63     10 x 11 =>  70 x  77 => -77 < 9x < -70 V× 9x 9 => 9x = -72 => x =  VËy ph©n sè cÇn t×m lµ C©u Cho ®a thøc P ( x ) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 vµ Q ( x ) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y x y xy 84 a/  ; xy=84    4 => 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn:  x = 6; y = 14  x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y   12 5x 4x ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y  7y   5y 2y  5y   3y 2y       12 5x 4x 4x  5x x 5x  12 5x  12 2y 2y  =>  x x  12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào trên ta đợc: 1 3y y   y 12 2 =>1+ 3y = -12y => = -15y 1 => y = 15 1 Vậy x = 2, y = 15 thoả mãn đề bài C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau :  A = |x +1| +5 Ta cã : |x +1| DÊu = x¶y ⇔ x= -1 ⇒ A DÊu = x¶y ⇔ x= -1 VËy: Min A = ⇔ x= -1  B= x +15 x +3 Ta cã: x ❑2 ⇒ x ❑2 + ⇒ 12 x +3 ( x2 +3 ) +12 = =1+ x +3 DÊu = x¶y ⇔ x = ( vÕ d¬ng ) 12 ⇒ 12 x +3 ⇒ B DÊu = x¶y ⇔ x = VËy : Max B = ⇔ x = C©u 6: a/ XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE XÐt AIE vµ TIC I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC b/ Ta cã: MNE = 12 x +3  BE AND (c.g.c) ⇒ 1+ 122 x +3 1+ => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3) Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H Tõ E h¹ EP  MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900=> MA  BC (®pcm)