www.facebook.com/toihoctoan
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008 Môn thi: TOÁN, khối A,B,D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số x y . x 1 = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. 2. Tìm m để đường thẳng d : y x m= − + cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình sin 3x 3 cos3x 2sin 2x. − = 2. Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình x my 1 mx y 3 − = ⎧ ⎨ + = ⎩ có nghiệm ( ) x; y thỏa mãn xy 0.< Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( ) A 1; 1; 3 và đường thẳng d có phương trình x y z 1 . 1 1 2 − = = − 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O. Câu IV (2 điểm) 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2 P : y x 4x=− + và đường thẳng d : y x.= 2. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2 x y 2.+ = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 3 3 P 2 x y 3xy.= + − PHẦN RIÊNG __________ Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b __________ Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 2y 3 0. − + = 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của ( ) 18 5 1 2x x 0 . x ⎛ ⎞ + > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải phương trình ( ) 2 2 2 log x 1 6log x 1 2 0. + − + + = 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, n n o BAD ABC 90 ,= = AB BC a, = = AD 2a, = SA vuông góc với đáy và SA 2a.= Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a. ---------------------------Hết--------------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………… .………………………… Số báo danh: ………………………… http://nghiepbt3.violet.vn/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008 Môn: TOÁN, khối A,B,D (Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) Ta có 1 y 1 . x 1 = + − • Tập xác định: D = \{1}.\ • Sự biến thiên: 2 1 y' 0, x D.=− (x 1) < ∀ ∈ − 0,25 Bảng biến thiên: Hàm số không có cực đại và cực tiểu. 0,25 • Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 1. 0,25 • Đồ thị: 0,25 2 Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt (1,00 điểm) d: y x m=− + Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là () 2 x x m x mx m 0 1 x 1 =− + ⇔ − + = − (do không là nghiệm). x 1= Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 0,50 x − ∞ 1 + ∞ y' − − 1 + ∞ y −∞ 1 O 1 1 y x Điều kiện là : hoặc m 0 2 m 4m 0 m 4Δ= − > ⇔ > . . < Vậy m hoặc 4> m 0< 0,50 II 2,00 1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) Phương trình đã cho 1 3 sin 3x cos3x sin 2x⇔ 2 2 − = sin 3x sin 2x 3 π ⎛ ⎞ ⇔ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0,50 1/4 http://nghiepbt3.violet.vn/ 3x 2x k2 3 3x 2x k2 3 π ⎡ −= + π ⎢ ⇔ ⎢ π ⎢ −=π− + π ⎢ ⎣ ⇔ π 4π 2π xk2π,x k 315 =+ = + 5 (k ∈ Z ). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: π 4π 2π xk2π,x k 315 =+ = + 5 (k ∈ ). Z 0,50 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn (1,00 điểm) xy 0< Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có Thay vào phương trình thứ hai ta có: () xmy11.=+ () () 2 3m mm y 1 y 3 y 2. m1 − ++=⇔= + Thay (2) vào (1) ta có 2 3m 1 x. m1 + = + 0,50 Xét điều kiện xy 0 :< ()() () > ⎡ +− ⎢ <⇔ <⇔ ⎢ <− + ⎣ 2 2 m3 3m 1 3 m xy 0 0 1 m. m1 3 Vậy m hoặc 3> 1 m. 3 <− 0,50 III 2,00 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) . (1,00 điểm) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là () u1;1;2=− . G Do (P) vuông góc với d nên (P) có vectơ pháp tuyến là () P n1;1;2=− . JJG 0,50 Phương trình mặt phẳng (P) là: ()()() 1. x 1 1. y 1 2. z 3 0−− −+ − = xy2z60.⇔−+ −= 0,50 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho cân tại đỉnh O (1,00 điểm) MOAΔ +) ⇒ Md∈ () Mt; t;1 2t.−+ +) cân tại đỉnh O và M, O, A không thẳng hàng. MOAΔ OM OA⇔= 0,25 OM hoặc OA= () 2 22 tt 2t1 11⇔++ + = t1⇔= 5 t 3 =− . 0,25 +) Với ta có Với t1= () M1; 1;3.− 5 t 3 =− ta có 55 7 M;; 33 3 ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ . 0,25 +) Thử lại: cả hai điểm M tìm được đều thỏa mãn điều kiện M, O, A không thẳng hàng. Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là và () 1 M1; 1;3− 2 55 7 M;; 33 3 ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ . 0,25 IV 2,00 1 Tính diện tích hình phẳng (1,00 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: 2 x4xx x0−+ =⇔= hoặc x3.= 0,25 Diện tích của hình phẳng cần tìm là: S = 33 22 00 x 4x x dx x 3x dx.−+ − =−+ ∫∫ 0,25 2/4 http://nghiepbt3.violet.vn/ Do nên . Suy ra 0x3≤≤ 2 x3x0−+ ≥ () 3 3 32 2 0 0 xx S x 3x dx 3 32 ⎛⎞ =−+ =− + = ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 9 2 . Vậy 9 S (đvdt). 2 = 0,50 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của (1,00 điểm) () 33 P 2 x y 3xy=+− Ta có: () () ()( ) 22 P 2 x y x y xy 3xy 2 x y 2 xy 3xy.=+ +−−=+ −− Đặt Do nên x y t.+= 22 xy+= 2 2 t2 xy 2 − = . Suy ra 22 32 t2 t2 3 P2t2 3 t t 6t3. 22 2 ⎛⎞ −− =− − =−−++ ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 Do nên () 2 xy 4xy+≥ () 22 t2t2 2t2≥−⇔−≤≤. 0,25 Xét () 32 3 ft t t 6t 3 2 =− − + + với [ ] t2;2∈− . Ta có : () 2 f' t 3t 3t 6=− − + () [ ] [] t2 2;2 f' t 0 t1 2;2. ⎡ =− ∈ − =⇔ ⎢ =∈− ⎢ ⎣ Bảng biến thiên: Vậy 13 ma x P , min P 7. 2 ==− 0,50 V.a 2,00 1 Tìm A (1,00 điểm) Ox, B Oy ∈∈ +) ()() ( AOx,BOy Aa;0,B0;b,AB a;b∈∈⇒ =− ) . JJJG 0,25 +) Vectơ chỉ phương của d là () u2;1= G . Tọa độ trung điểm I của AB là ab ;. 22 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 +) A, B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi 2a b 0 a2 AB.u 0 a b 4. b30 Id 2 −+= ⎧ ⎧ = ⎧ = ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎨ = −+= ∈ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎩ JJJG G Vậy A2 ()() ;0,B0;4. 0,50 13 2 f(t) t -2 1 2 + 0 - f’(t) -7 1 3/4 http://nghiepbt3.violet.vn/ 2 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển . (1,00 điểm) Số hạng tổng quát trong khai triển Niutơn của 18 5 1 2x x ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ là () k 6k 18 18 k kk 5 k1 18 18 5 1 TC.2x. C.2.x x − − − + ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ 18k . 0,50 Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn: 6k 18 0 k 15. 5 −=⇔= Vậy số hạng cần tìm là 15 3 16 18 T C .2 6528.== 0,50 V.b 2,00 1 Giải phương trình logarit (1,00 điểm) Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với x1>− . () () 2 22 log x 1 3log x 1 2 0.+− ++= 0,25 Đặt ta được hoặc ( 2 tlogx1= ) + 1 . 2 t3t20 t−+=⇔= t2= 0,25 Với ta có (th ỏa mãn điều kiện). t1= () 2 log x 1 1 x 1 2 x 1+=⇔+=⇔= Với ta có (thỏa mãn điều kiện). t2= () 2 log x 1 2 x 1 4 x 3+=⇔+=⇔= Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x1,x3.== 0,50 2 Chứng m inh BCNM là hình chữ nhật và tính . (1,00 điểm) +) MN là đường trung bình của Δ MN // AD và SAD ⇒ 1 MN AD 2 = ⇒ MN // BC và BCNM là hình bình hành (1). MN BC= ⇒ 0,25 S A B C N M D +) () ( BC AB, BC SA BC SAB BC BM 2 .⊥⊥⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ) 0,25 Từ (1) và (2 ) suy ra BCNM là hình chữ nhật. +) Ta có: S2 BCNM BCM S.BCNM S.BCM S V 2V. Δ = ⇒ = 3 S.BCM C.SBM SBM SAB 1111a V CB.S CB.S CB. .SA.AB . 36626 ΔΔ == = = = V 0,50 3 S.BCNM a Vậy V (đ vtt). 3 = NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh. ----------------Hết---------------- 4/4 http://nghiepbt3.violet.vn/ . giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………… .………………………… Số báo danh: ………………………… http://nghiepbt3.violet.vn/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH