Giáo viên chủ nhiệm lớp 12A chọn ngẫu nhiên 7 học sinh trong số 10 học sinh đi học muộn đó để đi lao động.. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng 600.[r]
(1)TRƯỜNG THPT ÂN THI —————— ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015 - 2016 LẦN II Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ————————— Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x x+1 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = biết tiếp x−1 tuyến đó có hệ số góc k = −2 Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z và tính môđun nó, biết z thỏa mãn iz + 2z = 5i + 2iz b) Giải phương trình 31+x + 31−x − 10 = √ Z Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I = x √ dx x +1+1 Câu (1,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 5), B(−1; −1; 1) và C(1; 0; 7) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua ba điểm A, B, C? Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) 5? Câu (1,0 điểm) π π a) Cho sin α = , α ∈ 0; Tính giá trị A = cos 2α + b) Lớp 12A có học sinh nam và học sinh nữ học muộn Giáo viên chủ nhiệm lớp 12A chọn ngẫu nhiên học sinh số 10 học sinh học muộn đó để lao động Tính xác suất cho số học sinh chọn có số học sinh nam và số học sinh nữ lớn 2? Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc SB và mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng BD và SC? Câu (1,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (C) có phương trình (x − 2)2 + (y + 1)2 = 40 Điểm E(5; −5) thuộc cạnh BC, DE cắt đường tròn (C) giao điểm thứ hai là H, đường thẳng BH cắt đường thẳng DC điểm K(6; −8) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD? Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: r r x2 + xy + y x2 + y + =x+y p √ 2 y − 2x − + x3 − 14 = y − Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: ab + a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức 3a 3b ab P = + + − 2a2 − 2b2 b+1 a+1 a+b ——— Hết ——— Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: (2) SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT ÂN THI ĐÁP ÁN THI THỬ THPTQG NĂM 2015 – 2016 LẦN II MÔN TOÁN Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y x 3x TXĐ: D ; y ' 3x ; y ' x 1 Hàm số đồng biến trên (; 1) và (1; ) ; hàm số nghịch biến trên (1;1) Hàm số đạt cực đại x 1; y(1) ; Hàm số đạt cực tiểu x 1; y(1) 2 lim y ; lim y x 1,0 0,25 0,25 x x y' y 1 0,25 2 Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận O(0;0) làm tâm đối xứng và qua các điểm (2; 2),(2;2) y O -3 -2 -1 0,25 x -1 -2 -3 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 1 biết tiếp tuyến đó x 1 có hệ số góc k 2 2 Ta có y ' ( x 1) Gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho, là tiếp tuyến cần viết phương trình, M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm và (C) x0 2 Vì có hệ số góc k 2 nên y '( x0 ) 2 x ( x0 1)2 1,0 0,25 0,25 Với x0 thì : y 2 x 0,25 Với x0 thì : y 2 x 0,25 Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z và tính môđun nó, biết z thỏa mãn iz z 5i 2iz b) Giải phương trình 31 x 31 x 10 5i z 1 2i a) iz z 5i 2iz (2 i) z 5i z 2i z (1)2 22 1,0 0,25 0,25 (3) ĐÁP ÁN b) 31 x 31 x 10 3.3x x 10 3.32 x 10.3x x 3 x 1 3 x 1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x và x 1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I x dx x 1 1 Đặt t x2 t x tdt xdx Đổi cận x t ; x t ĐIỂM 0,25 0,25 1,0 0,5 t I dt 1 dt t ln t ln t 1 t 1 1 0,5 Câu (1,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;5) , B(1; 1;1) và C (1;0;7) Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua ba điểm A , B , C ? Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P) 5? 1,0 2 Ta có AB (1; 1; 4); AC (1;0; 2) Ta có AB, AC (2; 2;1) Ta có AB, AC là hai vectơ không cùng phương có giá song song nằm mặt phẳng 0,25 (P) nên n AB, AC (2; 2; 1) là vtpt (P) 0,25 Mặt phẳng (P) có phương trình: x y z 2b b 2b 15 M (0; b;0) Oy ta có d ( M , ( P)) b 10 Vậy M (0;5;0) M (0; 10;0) Câu (1,0 điểm) a) Cho sin , (0; ) Tính giá trị A cos(2 ) b) Lớp 12A có học sinh nam và học sinh nữ học muộn Giáo viên chủ nhiệm lớp 12A chọn ngẫu nhiên học sinh số 10 học sinh học muộn đó để lao động Tính xác suất cho số học sinh chọn có số học sinh nam và số học sinh nữ lớn 2? 16 25 25 Suy cos vì 0; 2 0,25 0,25 1,0 Ta có cos2 sin 2 Ta có A cos 2 cos 2 sin 2 (cos2 sin 2sin cos ) 4 2 16 2.3.4 17 25 25 25 50 b) Phép thử: “Chọn ngẫu nhiên học sinh số 10 học sinh học muộn lớp 12A” Ta có n() C107 120 0,25 0,25 0,25 (4) ĐÁP ÁN ĐIỂM Gọi A là biến cố: “Trong học sinh chọn có số học sinh nam và số học sinh nữ lớn 2” Số phần tử biến cố A là n( A) C53C54 C54C53 100 100 Xác suất biến cố A là P( A) C10 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , AB BC a , AD 2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc SB và mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng BD và SC 3a AB.( BC AD) 2 Ta có SA ( ABCD) nên AB là hình chiếu SB trên mặt phẳng (ABCD) Suy ABS ( AB, SB) (SB,( ABCD)) 600 N K D 0,25 SA AB tan 600 a 1 3a a3 (đvtt) VS ABCD SA.S ABCD a 3 2 H M B 1,0 +) Ta có S ABCD S A 0,25 0,25 C Gọi M BD AC Dựng Mx / / SC , Gọi N Mx SA , Ta có MN / / SC SC / /( BDN ) d (SC, BD) d (C,( BDN )) BC / / AD MC BC nên Ta có AM AD AD 2a BC Suy d ( SC , DB) d (C , ( BDN )) d ( A, ( BDN )) Dựng AH DB , AK NH Ta có AN ( ABCD) AN DB , lại có DB AH nên BD ( AHN ) BD AK BD AK AK ( BDN ) d ( A, ( BDN )) AK Ta có: NM AK Ta có tam giác ABD vuông A và AH là đường cao nên 1 1 2 2 2 AH AB AD a 4a 4a AN AM 2 2a AN AS Ta có MN / / SC nên AS AC 3 Ta có tam giác ANH vuông A và AK là đường cao nên 1 a AK 2 AK AH AN a 4a 4a a Vậy d ( SC , BD) AK 2 Câu (1,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (C ) có phương trình ( x 2)2 ( y 1)2 40 Điểm E (5; 5) thuộc cạnh BC, DE cắt đường tròn (C ) 0,25 0,25 1,0 (5) ĐÁP ÁN H , đường thẳng BH cắt đường thẳng DC điểm K (6; 8) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD? Đường tròn (C) có tâm I (2; 1) bán kính R 10 A B Ta có góc DHB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên DHB 900 Xét tam giác BDK có BC DK , DH BK nên E là trực tâm tam giác BDK, suy EK BD BD qua I nhận EK (1; 3) làm vtpt nên BD có phương trình x y I H E D C K AC qua I nhận EK (1; 3) làm vtcp nên AC có phương trình 3x y x x 3y y 1 Tọa độ B, D là nghiệm hệ phương trình 2 x 4 ( x 2) ( y 1) 40 y 3 ĐIỂM 0,25 0,25 0,25 Nếu B(8;1), D(4; 3) thì thỏa mãn (vì B và E cùng phía so với đường thẳng AC) Nếu B(4; 3), D(8;1) thì không thỏa mãn (vì B và E không cùng phía so với AC) x 3x y y 7 Tọa độ A, C là nghiệm hệ phương trình 2 x ( x 2) ( y 1) 40 y Nếu C(4; 7), A(0;5) thì thỏa mãn (vì C và E cùng phía so với đường thẳng BD) Nếu A(4; 7), C (0;5) thì không thỏa mãn (vì C và E không cùng phía so với BD) Vậy A(0;5), B(8;1), C(4; 7), D(4; 3) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: x2 y x xy y x y (1) 3 (2) 2 y x x 14 y ĐK: y x Ta thấy điều kiện có nghiệm phương trình (1) là x y Khi đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có x2 y (12 12 )( x y ) ( x y)2 hay 4 x2 y x y 2 1,0 (3) 2 2 1 x y y x y y x xy y 2 4 3 x xy y x y (4) (Chú ý: Ta có thể chứng minh (3), (4) phương pháp biến đổi tương đương) hay 0,25 0,5 (6) ĐÁP ÁN ĐIỂM Dấu (3) và (4) xảy x y (5) Từ (3), (4), (5) suy (1) x y Với x y thay vào (2) ta có phương trình x2 x x3 14 x x2 x 1 x3 14 x (6) x 1 ĐK: Kết hợp với điều kiện x y và x y ta điều kiện x x Xét hàm số f ( x) x3 14 x trên tập [1 2; ) x2 f '( x) x 14 1 ; f '( x) x x 1 y' y x 14 x6 x3 14 x 2 0,25 Suy f ( x) 0, x [1 2; ) 2 2 x x 0, x [1 2; ) 2 x x Ta có nên (6) x 1 3 3 0,25 x 14 x 0, x [1 2; ) 14 x x Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y Câu 10 (1,0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: ab a b Tìm giá trị lớn 3a 3b ab 1,0 biểu thức P 2a 2b b 1 a 1 a b Đặt t a b ta có ab a b t ab (1) Ta có a, b, c là các số dương nên từ (1) suy t (2) t t2 0,25 ab Ta lại có t ab hay (3) t t 4t 12 t 6 Từ (2) và (3) suy t 3(a b2 ) 3(a b) ab 5(a b)2 3(a b) ab 5ab 2 2(a b ) Ta có P a b ab ab ab 2 0,25 ab a b 5 5t 5(a b) 3(a b) Hay P t ab 2 5t Xét hàm số f (t ) t trên [2;3) 5t 0,25 Có f '(t ) 0, t [2;3) suy hàm số f '(t ) nghịch biến trên [2;3) Suy f (t ) f (2), t [2;3) hay f (t ) , t [2;3) Vậy P lớn a b 0,25 (7)