Hình chóp tam giác đều đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng nhau và chân đường cao của hình chóp là trọng tâm của tam giác.Cho hình chóp đều S.ABC, khi đó: +Tam giác ABC đều;chân đườ[r]
(1)Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Lời nói đầu Chào các Em học sinh thân mến ! Câu hình học không gian là nội dung quan trọng đề thi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.Câu này không quá khó Tuy nhiên nhiều Em học sinh lúng túng gặp phần này Đặc biệt là các Em tính khoảng cách hay ý sau bài toán Qua nhiều năm tham gia chấm thi Thầy nhận đa phần các Em hay bị 0,5 điểm ý sau câu này Với mục tiêu có thể giúp Em cảm thấy nhẹ nhàn với hình học không gian và có thể lấy trọn điểm câu này Thầy biên soạn tài liệu “CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” gửi đến các Em Với cách hệ thống lý thuyết và các ví dụ xây dựng từ cái góc vấn đề, nâng dần đến giải các vấn đề tổng quát Thầy tin có thể mang đến cho các Em cái nhìn rỏ ràng hình không gian và có tự tin hình học không gian Để thuận lợi cho việc đọc tài liệu Thầy chia thành chương Chương Tóm tắt lý thuyết quan trọng Chương Phân dạng các bài toán khoảng cách Chương Thể tích và khoảng cách Chương Phương pháp tọa độ hóa tối ưu bài toán hình không gian Cuối cùng, Thầy không quên nói dù đã cố gắng tài liệu chắn không tránh khỏi sai sót định Hi vọng nhận phản hồi từ phía các Bạn đọc Để lần chỉnh sửa sau mang đến cho chúng ta tài liệu tiến mong ước Trần Duy Thúc ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 (2) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chương TÓM TẮT LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG Trong phần này Thầy điểm qua lý thuyết hay sữ dụng giải bài toán hình không gian Những phần lý thuyết khác có sữ dụng Thầy nhắc lại các bài tập mẫu A Hình học phẳng I Các hệ thức lượng tam giác thường A Định lí côsin b a c 2ac.cos B a C B c b a 2ab.cosC b c a b c 2bc.cos A 2 Định lí sin a b c R Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sin A sin B sinC II Các hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AH và đường trung tuyến AM.Ta có: A BC AB AC AH BC AB AC 1 2 AH AB AC MA MB MC BH BC AB ; CH CB AC B H C M III Diện tích tam giác 1 aha bhb chc 2 1 ab sinC bc sin A ac sin B 2 a.b.c ; SABC pr R abc p p a p b p c , p SABC SABC SABC SABC ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 A b c a B C (3) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM + , hb , hc là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C ABC + R: bán kính đường tròn ngoại tiếp + r: bán kính đường tròn nội tiếp + p: chu vi ABC IV Diện đa giác A Diện tích tam giác vuông Diện tích tam giác vuông ½ tích hai cạnh góc vuông SABC AB AC C B Diện tích tam giác Cho tam giác ABC cạnh a, ta có: A + SABC + AH a a2 a + Diện tích tam giác cạnh bình phương nhân + Đường cao cạnh nhân B chia chia C H Diện tích hình chữ nhật và hình vuông Diện tích hình vuông cạnh bình phương Diện tích hình chữ nhật chiều dài nhân chiều rộng Diện tích hình thang Diện tích hình thang đường cao nhân tổng hai cạnh đáy S ABCD h AD BC D A h C B A Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc S ABCD AC.BD B D C ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 (4) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Chú ý: Trường hợp không nhớ công thức tính diện tích tứ giác thì chia thành các tam giác các hình dễ tính, sau đó cộng lại ta co diện tích cần tính B Hình không gian I Đường thẳng vuông góc mặt phẳng d Định nghĩa: d P d a, a P a P Định lí ( cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng) d d a d P d b a, b P , a b O a b P Góc đường thẳng và mặt phẳng a Định nghĩa: Góc đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc đường thẳng d và hình chiếu vuông góc nó trên (P) b Cách xác định góc đường thẳng d và (P): d S B1: Tìm A d P B2 Lấy điểm S d (thường có sẳn), sau đó tìm H là hình chiếu vuông góc S trên (P) A H Suy AH là hình chiếu d trên (P) Suy d ; P d ; AH SAH P Q II Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng Định nghĩa: d Hai mặt phẳng gọi là vuông góc hai mặt phằng chứa đường thẳng vuông góc mặt phẳng P ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 (5) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2.Định lí P Q P Q a d Q d P , d a d a P d P2 3.Định lí P1 P d Q P2 P P1 P2 d P1 P Góc hai mặt phẳng a Định nghĩa Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc giao tuyến hai mặt phẳng đó b Cách xác định góc (P) và (Q) B1: Xác định d P Q B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H là hình chiếu vuông góc S trên (Q) B3: Từ H kẻ HA vuông góc d(A thuộc d) Ta chứng minh SA vuông góc với d Suy S P A H d Q P ; Q SA; HA SAH III Hình chóp Định nghĩa Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Nhận xét: + Hình chóp có các mặt bên là các tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy các góc + Các cạnh bên và cung với đáy các góc Các hình chóp thường gặp a) Hình chóp tam giác S Hình chóp tam giác đáy là tam giác đều, các cạnh bên và chân đường cao hình chóp là trọng tâm tam giác.Cho hình chóp S.ABC, đó: +Tam giác ABC đều;chân đường cao hình chóp là trọng tâm G ABC C A M G ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 B (6) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM +Các mặt bên là tam giác cân tai S và +Góc các cạnh bên và mặt đáy Chú ý: Hình chóp tam giác khác với tứ diện + tứ diện các cạnh bên cạnh đáy và các mặt bên các tam giác Hình chóp tam giác đáy là + hình chóp tam giác các cạnh bên chưa đã cạnh đáy b) Hình chóp tứ giác Hình chóp tứ giác đáy là hình vuông, các cạnh bên và S chân đường cao hình chóp là tâm hình vuông.Cho hình chóp S.ABCD, đó: +ABCD là hình vuông;chân đường cao hình chóp là I hình vuông ABCD D A +Các mặt bên là tam giác cân tai S và I C B +Góc các cạnh bên và mặt đáy IV Xác định đường cao hình chóp Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy Đường cao hình chóp là đường cao mặt bên chứa mặt phẳng vuông góc đáy Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc đáy Ta kẻ SH vuông góc AB thì SH là đường cao hình chóp Hình chóp có hai mặt bên vuông góc đáy Đường cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc đáy Khi đó đường cao là SA V Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta phải dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng Cho điểm M và (P) để dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ M đến (P) ta thường dùng hai cách sau: Q Cách 1: M + Xây dựng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P) + Xác định d (P) (Q) H + Dựng MH d MH d M;(P) P Cách 2: Nếu bài toán đã có SA (P) Ta dựng MH song song với SA (H thuộc (P)) Khi đó: + Nếu MH / / SA thì d M;(P) d S;(P) d M S I H A P ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 (7) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM d M;(P ) MI d S;(P ) SI ng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P) + Xác định d (P) (Q) + Nếu MH SA I thì + Dựng MH d MH d M;(P) Khoảng đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và (P) ta có: d P O + d d; P d P + d / / P d d; P d A;(P) , A d Khoảng hai mặt phẳng (Q) P d + d (Q); P ( Q ) P + (Q) / / P d (Q); P d A;(P) , A (Q) Khoảng hai hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1; đó: 2 d 1; + + 1 / / 2 d 1; 2 d M; 2 d N; 1 , M 1; N 2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng 1; chéo Khi đó đoạn thẳng MN đồng thời vuông góc với 1 và (M thuộc 1 ;N thuộc ) gọi là đoạn thẳng vuông góc chung 1 và MN chính là khoảng cách 1 và Phương pháp: Cách 1:Dựng mặt phẳng (P) chứa 1 và song song Khi đó: d 1; 2 d 2 ;(P) Cách 2:Dựng đoạn thẳng vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó Phần này ta tìm hiểu kỉ và giải nhanh gọn S chương VI Thể tích khối đa diện Thể tích khối chóp V Bh + B:Diên tích đáy + h: độ dài đường cao hình chóp oảng cách h A D B C Thể tích khối lăng trụ V Bh + B:Diên tích đáy + h: độ dài đường cao hình chóp ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 (8) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Thể tích hình hộp chữ nhật V a.b.c Thể tích hình lập phương: V a3 S C' Tỉ số thể tích: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' VS ABC SA SB SC A' B' A C B Chương PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH A Phương pháp tính trực tiếp I Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên S Phương pháp: Cho hình chóp có đỉnh là S và chân đường cao H Để tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng bên chứa S ta thực các bước sau: K A + Xác định giao tuyến d mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy + Từ chân đường cao H dựng đoạn HM d Kẻ HK SM , đó HK là khoảng cách cần tính Để tính HK ta nhớ là phải tính D B H d M C đường cao hình chóp trước nhé Chú ý: Trong tính khoảng cách ta nên vẻ thêm mặt phẳng đáy cho dễ phát các tính chất vuông góc, song song, để thuận tiện cho việc tính độ dài Tức là đáy là hình vuông thì ta vẻ đúng hình vuông bên cạnh… Bài tập mẫu ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 (9) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc mặt phẳng đáy SC hợp với đáy góc 60 a) Tính d A; SBC b) Tính d A; SBD Phân tích: Tính khoảng cách từ chân đường cao tới các mặt bên là khá dễ, tính khoảng cách quy khoảng cách chân đường cao Do các Em phải làm thật vững phần này muốn tính các khoảng cách phần sau Bởi vì lúc tính khoảng cách ta dựng thêm các đường vuông góc mặt phẳng đáy nên tốt là ta vẽ mặt đáy Để có thể dự đoán chân đường vuông góc để tính chúng Trong số bài toán thì đường vuông góc từ chân đường cao kẻ đến mặt bên có sẳn nên ta không cần kẻ thêm Ví dụ bài này để tính d A; SBC thì ta cần kẻ AE vuông góc BC vì AB BC E B Tiếp theo ta cần kẻ AK vuông góc SB thì AK là khoảng cách cần tính Giải a) Ta có C SC ABCD và A là hình chiếu S trên S (ABCD) Suy AC là hình chiếu SC trên (ABCD) Do đó: SC;( ABCD SCA 60 Tam giác SAC vuông C nên H K D A I B tan SCA SA SA a 2.tan 60 a AC Ta đã có AB BC , kẻ AK SB 1 Ta chứng minh 60 C AK SBC AB BC Ta có: BC SAB BC AK Từ (1) và (2) suy SA BC AK SBC AK d A; SBC Tam giác SAB vuông A, có đường cao AK nên ta có: AK a 42 Vậy d A; SBC a 42 7 AK AS AB2 AK 6a2 a2 b) Gọi I là giao điểm AC và BD thì AI BD Kẻ AH SI 3 , ta chứng minh AH SBD BD AI Ta có: BD SAI BD AH BD SA Từ (3) và(4) suy AH SBD AH d A; SBD Tam giác SAI vuông A, có đường cao AH nên ta có: ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 (10) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM AH AS AI AK a AK a 78 Vậy d A; SBC a 78 13 13 a 2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc mặt phẳng đáy SC hợp với đáy góc 60 Gọi M là trung điểm BC Tính d A; SMD Phân tích: Giao tuyến SMD ABCD MD Do đó ta cần kẻ AH vuông góc MD Ở ví dụ thì ta không vẽ mặt phẳng đáy vì việc xác định hình chiếu vuông góc từ A đến các giao tuyến có sẳn Nhưng ví dụ này ta vẻ thêm mặt phẳng đáy cho việc xác định hình chiếu từ A đến MD và tính độ dài AH Giải S A a D K a D A H B H a a B M C M C Ta có C SC ABCD và A là hình chiếu S trên (ABCD) Suy AC là hình chiếu SC trên (ABCD) Do đó: SC;( ABCD SCA 60 Tam giác SAC vuông C nên tan SCA SA SA a 2.tan 60 a AC Giao tuyến (SDM) và (ABCD) là MD nên ta kẻ AH vuông góc MD H Kẻ AK vuông góc SH K MD AH Ta chứng minh AK SMD Ta có: MD SAH MD AK MD SA Từ (1) và (2) suy AK SBC AK d A; SMD Ta có: MD BD BM a 2 2 Và SAMD SABCD SAMM SBMD a2 a a a Mà SAMD AH MD a AH 2a 2 4 Xét tam giác SAH vuông A, có đường cao AK nên ta có: ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 10 (11) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM AK 2a 51 Vậy d A; SBC 2a 51 17 17 AK AS AH AK 6a2 4a2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SD 3a ; hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H cạnh AB a) Tính d H; SDC b) Tính d H ; SBD Giải S B a C M K E H B C M N H A A D D a) H là trung điểm AB và SH ABCD SH HD Suy ra: SH SD2 HD2 SD2 HA2 AD2 a Kẻ HN DC N;kẻ HK SN 1 K Ta chứng DC HN minh HK SDC Ta có: DC SHN DC HK DC SH Từ (1) và (2) suy HK SDC HK d H; SDC Tam giác SHN vuông H, có đường cao HK nên: HK a Vậy d H; SDC a 2 HK HS HN b) Kẻ HM BD M;kẻ HE SM 1 E Ta chứng minh HE SBD Ta có: BD HM BD SHM BD HE BD SH Từ (1) và (2) suy HE SBD HE d H; SBD Ta có HM HB.sin 45 a Tam giác SHM vuông H, có đường cao HE nên: ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 11 (12) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM HE a Vậy d H; SBD a 3 HE HS HM Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc SC và (ABC) 60 a) Tính d H ; SAC b) Tính d H ; SBC Giải a) Ta có C SC ABC và H là hình chiếu S trên (ABC) Suy HC là hình chiếu SC trên (ABC) Do đó: SC; ABC SCA 60 Xét tam giác BHC ta có: a a3 a.cos60 HC a 37 HC HB BC 2HB.BC.cos HBC HC a 2 2 2 S C N K M E A 60 C N H A H B M B Xét tam giác SHC ta có: SH HC.tan SCH a a 21 Kẻ HM BC M;kẻ HE SM 1 3 BC HM K Ta chứng minh HE SBC Ta có: BC SHM BC HE BC SH Từ (1) và (2) suy HE SBC HE d H; SBC Tam giác HBM vuông M, có HM HB.sin 60 a a Tam giác SHM vuông H, có đường cao HE nên: HE a 609 Vậy d H; SBC a 609 87 87 HE HS HM b) Kẻ HN AC N;kẻ HK SN 1 K Ta chứng minh HK SAC Ta có: AC HN AC SHN AC HK Từ (1) và (2) suy HK SAC HK d H; SAC AC SH ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 12 (13) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Tam giác HAN vuông N, có HN HA.sin 60 2a a Tam giác SHN vuông H, có đường 3 cao HK nên: HK a 42 Vậy d H; SDC a 42 12 12 HK HS HN Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A; ABC 30 ; SBC là tam giác cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc đáy a) Xác định chân đường cao H hình chóp S.ABC và tính độ dài đường cao này b) Tính: d H ; SAC và d H; SAB Phân tích: Để xác định chân đường cao hình chóp các Em xem lại mục IV Do mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC) và có chung đường thẳng BC nên ta cần kẻ SH vuông góc BC; SH là đường cao hình chóp Để ý, tam giác SBC nên H là trung điểm BC Giải S A E K C A N H M N C 30 H B M 30 B a) Kẻ SH BC , tam giác SBC nên H là trung điểm BC Khi đó: SBC ABC SBC ABC BC SH ABC Vậy SH là đường cao hình chóp S.ABC SH BC; SH SBC Tam giác SBC cạnh a nên SH a b) + Tính d H ; SAC Kẻ HN AC N;kẻ HE SN 1 E Ta chứng minh HE SAC Ta có: AC HN AC SHN AC HE Từ (1) và (2) suy HE SAC HE d H; SAC AC SH ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 13 (14) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Tam giác HCN vuông N, có HN HC.sin 60 a a Tam giác SHN vuông H, có đường 2 cao HE nên: HK a 15 Vậy d H; SDC a 15 10 10 HE HS HN + Tính d H; SAB Kẻ HM AB M;kẻ HK SM 1 K Ta chứng minh HK SAB Ta có: AB HM AB SHM AB HK Từ (1) và (2) suy HK SAB HK d H; SAB AB SH Tam giác HBM vuông M, có HM HB.sin 30 a a Tam giác SHM vuông H, có đường cao 2 HK nên: HE a 39 Vậy d H; SBC a 39 26 26 HK HS HM Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B; AB BC 2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC) Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60 Tính d A; SBC Phân tích: Trước tiên ta cần xác định đường cao hình chóp Bài này ta thấy SA là đường cao hình chóp Giải S SAB ABC SA ABC Ta có: SAC ABC SAC SAB AB K BC AB Mặt khác, BC SAB SB BC Do đó: BC SH C A 2a 30 B SBC ; ABC SB; AB SBA 30 Tam giác SAB vuông tai B nên tan SBA SA SA AB.tan 30 2a AB Kẻ AK SB K, ta có: AK BC BC SAB AK SBC AK d A; SAB AK SB Tam giác SAB vuông A, có đường cao AK nên: ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 14 (15) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM AK a Vậy d A; SBC a AK AS AB2 Bình luận: Trong ví dụ để tính AK, các Em cung có thể xét tam giác ABK vuông K và áp dụng định lý cosin cho tam giác vuông Tức là: AK AB.sin30 a Khi đó các Em không cần tính SA Nhưng vì các bài toán này thường chung câu tính thể tích nên đây Thầy rèn luyện cho các Em cách tính đường cao luôn Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H AB Góc đường thẳng A’C và mặt đáy 60 a) Tính đường cao A’H b) Tính: d H; ACC ' A ' Giải A' C' a) Ta có: A ' H ABC và A ' HC 60 Do đó A ' H CH tan 60 a 3a 2 B' b) Kẻ HM AC M, kẻ HK SM K Khi đó: HK d H; ACC ' A ' Ta có: K A HM HA.sin 60 a , 60 C M HK 13a 26 HK HM HA '2 a H B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và B; DC=2AB=2BC; BC=a; SA ABCD và SB hợp với mặt phẳng đáy góc 45 Tính d A; SDC Phân tích: Bài toán đã cho ta đường cao SA, không khó để ta xác định độ dài SA Để tính d A; SDC , ta cần kẻ AH vuông góc DC H Để xác định vị trí điểm H Em nên vẻ hình thang ABCD ra, đó Em thấy H trùng C Tức là AC DC ?? Thử vẻ lại cho đúng tỷ lệ ta tin điều này có thể Vậy ta chứng minh AC DC Tiếp theo thì đã biết nhé.! S Giải I A K A D a I D a B B ThS Trần Duy Thúc CSđt: 0979.60.70.89 C 15 (16) Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ta có: SA ABCD và SBA 45 Do đó SA AB a Gọi I là trung điểm AD, ta có ABCI là hình vuông CI AB AD ADC vuông C hay AC DC và AC a Kẻ AK SC K Khi đó: AK d A; SDC Ta có: AK a Vậy d A; SDC a 3 AK AS AC ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 16 (17)