Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb

Trong bài báo khảo sát động lực học của máy bào khi có ma sát Coulomb tại các khớp trượt. Đây thuộc trường hợp cơ hệ chịu liên kết không lý tưởng cho đến nay chưa có phương pháp tổng quát để xử lý vì rằng phản lực tiêu hao năng lượng. Do phản lực liên kết tiêu hao công nên việc xác định lực suy rộng để thành lập phương trình chuyển động gặp khó khăn.

  Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 332-337, DOI 10.15625/vap.2019000298 Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb Đỗ Đăng Khoa1),Ngô Hồng Đăng2),Phan Đăng Phong2) ,Đỗ Sanh1) 1) Trường Đại Học Bách khoa Hà nội,2) Viện Nghiên cứu Cơ Khí Email: dangnh@narime.gov.vn Tóm tắt Trong báo khảo sát động lực học máy bào có ma sát Coulomb khớp trượt Đây thuộc trường hợp hệ chịu liên kết không lý tưởng chưa có phương pháp tổng qt để xử lý phản lực tiêu hao lượng [5] Do phản lực liên kết tiêu hao công nên việc xác định lực suy rộng để thành lập phương trình chuyển động gặp khó khăn Điều gây khó khăn việc tính lực suy rộng phản lực liên kết Phản lực liên kết tiêu hao công phụ thuộc vào thông số vật lý mơi trường tiếp xúc nên khó xác định Một hướng mô lực ma sát theo định luật ma sát Coulomb [15] Việc khảo sát tốn khó khăn vấn đề tránh khỏi đặc biệt động lực máy độ xác gia cơng dù hồn hảo đến đâu khơng thể loại trừ hồn tồn xuất hiên ma sát Bài toán gặp khó khăn trường hợp khơng trường hợp ma sát mà ma sát Trường hợp sau gặp phổ biến động lực máy Trong báo cáo khảo sát tốn có xuất ma sát Dựa vào Nguyên lý Phù hợp để đưa lực ma sát Coulomb vào lực hoạt động việc thiết lập phương trình chuyển động hệ tách vật sử dụng phương pháp Tĩnh hình học - động lực phương pháp ma trận truyền để xác định định lực ma sát nhờ tính lực suy rộng lực ma sát nhờ nhận hệ đầy đủ mơ tả chuyển động hệ có xuất ma sát [2,9,11,12] Từ khóa: Định luật ma sát Coulomb, Nguyên lý Phù hợp, Liên kết không lý tưởng, Phương pháp ma trận truyền, Phương trình chuyển động dạng ma trận Mở đầu Khảo sát hệ có tương tác lực ma sát theo Định luật Coulomb Khó khăn trường hợp hệ khảo sát chịu liên kết không lý tưởng nên phản lực nội ngoại liên kết tiêu hao lượng khơng thể tính lực suy rộng Tuy lực ma sát mô theo Định luật Coulomb công thức mô lực ma sát qua lực chưa xác định khác phản lực pháp tuyến Hơn công thức mô cho biết quan hệ giá trị tuyệt đối Đối với ma sát lực ma sát xuất đôi trực đối tổng công chúng khác không Để giải tốn theo thực theo hai hướng Hướng thứ theo phương pháp tính gần liên tiếp; bước đầu xem chỗ tiếp xúc khơng có ma sát, có phản lực pháp, tính phản lực pháp, dùng kết dựa vào Định luật Coulomb để tính lực ma sát bước tiếp dùng lực ma sát tính cho bước lực ma sát biết Hướng thứ hai khảo sát môi trường từ thông số vật lý môi trường đo qua thực nghiệm đưa mô lực ma sát đưa chúng vào “Sổ tay kỹ sư” Trong báo sử dụng Nguyên lý Phù hợp đưa lực ma sát vào biểu thức lực suy rộng tìm cách (bằng cách tách vật sử dụng phương pháp Tĩnh hình học với trợ giúp phương pháp ma trận truyền) tính lực ma sát đưa chúng vào hệ phương trình mơ tả chuyển động Trong cách nhận phương trình đầy đủ để mơ tả chuyển động hệ Phương pháp chứng minh qua việc thiết lập phương trình chuyển động với khớp trượt có ma sát Coulomb máy bào [2,9,11,12] Cơ sở lý thuyết Khảo sát hệ vị trí xác định tọa độ xk,yk,zk (𝑘 1, 𝑁) chịu liên kết ma sát [8,9,10,15]: f   f  ( t , xk , y k , z k )  (1) Phương trình chuyển động hệ viết dạng mk  rk  N k  Fkms ; k  1, N (2) Trong đó: N k - phản lực pháp tuyến tác dụng lên chất điểm Mk, Fk lực ma sát Coulomb, xác định từ biểu thức: Fkms  fNk (3) Ở tiếp sau ma trận viết đậm nét véctơ đồng với ma trân cỡ (3x1) Trong tọa độ suy rộng dư ( q1 , q2 , , qm ) , phương trình viết hệ tọa độ suy rộng: f (t , q1 , q2 , , qm )  0;   1, r  m  k (4) k số tọa độ suy rộng độc lập Phương trình chuyển động hệ trường hợp lý tưởng có dạng [8,9,10] DAq = D(Q + Q qt ) (5) Trong đó, Q - lực suy rộng lực hoạt động ; Qqt- lực suy rộng lực quán tính, chúng xác định từ ma trận quán tính A       Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh   Ma trận D cỡ ( k  m ) xác định từ hệ số nhận viết phương trình liên kết dạng đạo hàm bậc hai theo thời gian tính gia tốc suy rộng qua gia tốc suy rộng độc lập từ việc giải hệ phương trình Nói cách khác ma trận D gồm hệ số d j           k qj   d j q ; (  1, k ; j  1, m, k  m  r ) (6)      1 Trong trường hợp liên kết khơng lý tưởng, phương trình chuyển động hệ viết dạng: DAq = D(Q + Q qt + Q lk ) (7) Trong Qlk lực suy rộng phản pháp tuyến lực ma sát Do phản lực pháp tuyến không tiêu hao công, nên lực suy rộng Qlk lực liên kết, ma trận cỡ (mx1), thành phần chúng có biểu thức:  m  r Q lkj   Fkms k ; j  1, m q j j 1    (8) Trong trường hợp liên kết (1) có ma sát, nên liên kết khơng lý tưởng, hệ phương trình (9), (10) hệ phương trình chưa đầy đủ xuất lực ma sát biểu thức (8) Để mô tả chuyển động hệ trường hợp (trường hợp liên kết không lý tưởng) cần thiết lập điều kiện bổ sung từ giả thiết ma sát thỏa mãn Định luật ma sát Coulomb để tính lực ma sát Cho mục đích thực theo hai bước sau: - Bước đầu tiên: viết phương trình (7) cho hệ với liên kết khơng lý tưởng - Bước tiếp theo: tách vật sử dụng Định luật ma sát Coulomb để tính lực ma sát liên quan đến yếu tố động lực tác dụng lên hệ trạng thái chuyển động hệ (gia tốc,vận tốc, tọa độ) loại trừ phản lực pháp tuyến nhờ Định luật Coulomb từ tính lực suy rộng lực ma sát qua biểu thức (8), thay chúng vào (7), từ nhận hệ phương trình đầy đủ với điều kiện đầu Tích phân chúng xác định chuyển động hệ khảo sát Khảo sát động lực học máy bào chịu tương tác ma sát Coulomb Khảo sát động lực học máy bào cho Hình Tay quay OA có độ dài l1, cân có mơ men qn tính trục quay J1 Cần lắc 01B đồng chất, có khối lượng m2, có mơmen qn tính (khối) khối tâm C2 J2 Thân máy bào trượt theo phương ngang có khối lượng m Con trượt A B xem vật có khối lượng tương ứng 11 m3 m4 Thanh 0A chịu tác dụng ngẫu lực M đầu bào C chịu tác dụng lực tải F Hệ số cản nhớt khâu OA, Hình Mơ hình máy bào khảo sát O1B tương ứng b1,b2 Ma sát trượt khâu có hệ số ma sát fms Xác định chuyển động máy bào có tải F Để xác định vị trí máy bào ta chọn tọa độ suy rộng 1 ,  , 3 y ,trong 1 ,  góc định vị khâu 0A 01B phương ngang, 3 -góc khâu 0B 0A ,còn y tọa độ đầu bào hình Hệ có bậc tự nên có phương trình liên kết: f1  h1 cos 2  l1 sin(2  1); f  l2 sin   y  h1  h2  0; (9) f    3  0.5  Chọn tọa độ suy rộng độc lập, từ ta dễ dàng xác định biểu thức gia tốc qua gia tốc độc lập Đó là: l1 cos(1  2 ) 2  1 ; h1 sin 1  l1 cos(1  2 )         3  y   l1 cos(1   ) 1 ; h1 sin 1  l1 cos(1   ) (10)  l1l cos  cos(1  2 ) h1 sin 1  l1 cos(1  2 ) Xét trường hợp khớp trượt A, B C đề có    lực ma sát trượt, ký hiệu qua F2 , F3 , F4 Để tính thơng số động học sử dụng ma trận sau: cos 1  sin 1  cos   sin     t1   sin 1 cos 1  ; t2   sin 2 cos   h1  ;   0    cos 3 t3   sin 3   sin 3 l2  1 y   cos 3  : t4  0  ;  0     Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb 1 y   cos 1 sin 1  T4    ; T1    sin 1 cos 1  ;   0     cos 1  cos  sin  sin     2    T2    sin 2 cos   ; t11   cos   sin 1  ;   0  0    sin 1  cos 1    sin 1  cos 1  t21   cos   sin 1  t31   cos   sin 1  ;   0  0  0  l1  c2  c3  0          t41   0  ; r    ; r2    ; r3    ; r  0  ;  0        1  (11) Để viết phương trình chuyển động máy bào phương trinh chuyển động hệ dạng ma trận sử dụng Đó [9,10,12-14]: DAq = D(Q + Q qt  Q ms ) (12) Đầu tiên tính ma trận D Từ hệ thức (10) có biểu thức sau: (13) 1  1 ;2  d 211 ;3  d 31; y  d 411 Trong đó: l1 cos(1  2 ) ;  h1 sin 1  l1 cos(1  2 ) l1 cos(1  2 ) ;  d31= h1 sin 1  l1 cos(1  2 ) l1l 2cos  2cos(1  2 )   d41=   h1 sin 1  l1 cos(1  2 )   (14)      (15) có hệ số quán tính aij (i, j  1,3) : a11  mr T t T 11t11r  J1  ml12  J1 : a12  0; a13  0; a14  0; T T T a22  m2 r2T t21 t21r2  m3r3T t3T t21 t21t3 r3  m4 r4T t3T t21 t21t3 r4  J1  J  m2c2  m3l22  m4l22  J1  J T T T T a23  m3 r3T t31 t2 t21t3 r3  m4 r4T t4T t31 t2 t21t3t4 r4 T T T a24  m4 r4T t41 t3 t2 t21t3t4 r4  m4l2 sin 3 ; (16) Ở tiếp sau, ký hiệu T góc phải cao ký tự ký hiệu phép tính chuyển vị ma trận Thế hệ có dạng:   mgl1 sin   m2 gc2 sin   m3 gl2 sin  (17) Các lực suy rộng lực khơng tính qua cơng suất W1 chúng [12-14]: W1  M 1  Fv4 (18) Trong đó: v4  l2 sin  22 (19) Do đó: W1  M 1  Fl2 sin  22 Q01  (20) W1 W1 W1 W1 ; Q02  ; Q03  ; Q04  (21) 1 2 3 y Q qt  Q1qt  Q2qt Ma trận quán tính A cỡ (4x4) đối xứng, khơng suy biến,  m4 y  m4l2 cos 3 y T T T a44  m4 r4T t41 t3 t2 t2t3t41r4  m4 Lực suy rộng Q0 ma trân (4x1) gồm phần tử:      Từ tính ma trận D:   T T T a34  m4 r4T t4T t41 t3 t2 t2t3t41r4  0; Do đó: d21= 1 d 31  D      d 32  T T a33  m3 r3T t3`T t2T t2t31r3  m4 r4T t31 t2 t2t31t4 r4  m4 y ; (22) Các lực Q1qt , Q2qt tính dựa vào ma trận quán tính A Cho mục đích ta tính đại lượng sau:  a11    i  a12   i i A    a12   i  a14   i a12 i a22 i a23 i a24 i a13 i a23 i a33 i a34 i a14  i   a24  i  ;(i  1,3); (23) a34   i  a44   i        Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh    a11  y   a12  y 4 A    a12   y  a14   y a12 y a22 y a23 y a24 y a13 y a23 y a33 y a34 y X  1 2 3 y  ; Y  1 2 3 y  ; a14  y   a24  y  a34   y  a44   y  T Y1  12 12 13 y1  ; Y2  12  22 23 Y3  13 23  32 y2  ; Y4  1 y 2 3 y Q43  (24) y3  ; y  Từ ta tính được: a2 y  c2 cos  22  c2 sin 2 22 ; (25) (29) 2 Lực ma sát xuất khớp trượt A,B C, chúng ký hiệu tương ứng F2ms ,F3ms ,F4ms Lực suy rộng lực ma sát tính dựa vào biểu thức công suất chúng Công suất lực ma sát có biểu thức: (26) Trong v2r, v3r, v4r vận tốc tương đối khớp trượt A, B, C Nhờ phương pháp ma trận truyền tính được: v2 r  l1 sin(  1)1 ; v3 r  y ; v4 r  2l1 sin(  1 )3 : W2   F2l1 sin(  1 )1  F4 l1 sin(  1 )2  F3 y : (27) Lực suy rộng lực ma sát lực ma sát có biểu thức: W  F2ms l1 sin(1   );  1 W  2l1 sin  F4ms ; Q42  2 a3 x  l2 sin 22  l2 cos 2 22 ; a3 y  l2 cos 22  l2 sin  ; Q2qt  1 AY1 +  AY2 +  AY3 +  AY4 W2   F2ms v2 r  F3ms v3r  F4ms v4 r Khi thay đại lượng tính vào phương trình (12) để mô tả chuyển động máy bào khảo sát Tuy nhiên phương trình cịn chứa đại lượng chưa xác định lực ma sát Nói cách khác, chuyển động đối tượng khảo sát phụ thuộc vào lực ma sát, chúng phụ thuộc vào thông số vật lý môi trường trường tương tác Các thông số xác định nhờ thực nghiệm, nhờ qua kinh nghiệm dựa vào để mơ Một hướng lực ma sát mô nhờ Định luật Coulomb Trong báo dựa vào mô lực ma sát theo Định luật Coulomb để xác định lực ma sát thay chúng vào lực suy rộng Để tính ma trận quán tính A đại lượng Q qt sử dụng phương pháp ma trận truyền để xác định gia tốc khối tâm khâu, 0A, 01B, CD, ký hiệu chúng tương ứng qua a2(a2x,a2y), a3(a3x,a3y), a3(a3x,a3y): a2 x  c2 sin  22  c2 cos  2 22 ; Q11qt  0.5 X 1 AY ; Q12qt  0.5 X  AY : Q13qt  0.5 X  AY ; Q14qt  0.5 X  AY; W W  0; Q44    F3ms ; 3 y Q41  (28) a4 x  l2 sin  22  l2 cos 2 22 ; Dựa vào tính lực quán tính khâu viết phương trình theo phương pháp Tĩnh hình học –động lực:  J11  J 1  M  b11  F2 ms l1 sin(2  1 )  mgl1 cos 1  ml121  0; F2 ms cos 1 F l1  3ms l2 sin 2  f ms cos 2 f ms F3ms l2 cos 2  m2 a2 x c2 sin 2  J 22  (30) m2 c2 a2 y cos 2  m3 a3 x l2 sin 2  m3 a3 y l2 cos 2  m3 gl2 cos 2  0; F4 ms  F3ms  m4 g  f ms Từ hệ phương trình (30) tính lực ma sát thay chúng vào biểu thức (27) tiếp thay vào phương trình (12) nhận hệ phương trình đầy đủ với điều kiện đầu xác định chuyển động máy bào khảo sát, tức tìm được: 1 (t ), (t ),3 (t ), y (t ) Kết xử lý toán phương pháp số:   Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb Số liệu: l1  0.2(m); l2  3l1 ( m); h1  l1 3(m); h2  l1 (3  3)(m); m2  m  m3  1; m4  5(kg ); J1  10( kgm ; J  2( kgm ); b1  b2  b3  0.1( Nms / rad ); b4  0.1( Ns / rad ); M  2.5( Nm); g  10( m / s ); F  25( N ); f ms  0.1; c2  0.5l2 ( m); Điều kiện đầu: 1 (0)  0;2 (0)   / 3;3 (0)   / 6;1 (0)  0; 2 (0)  0;3 (0)  0; y (0)  y (0)  l1 (3  1.5 3); Kết cho toán vị trí khâu thể Hình 2, đó: q1=1(t), q2=2(t); q3=3(t); q4=y(t), vận tốc khâu tương ứng thể Hình Các lực ma sát trượt khớp A, B, C tính tốn với kết thể Hình Sai lệch quỹ đạo thể Hình cho thấy sai số quỹ đạo đặt khoảng 10-8   Hình Lực ma sát trượt khớp A, B, C       Hình Đồ thị xác định vị trí chuyển động máy bào Hình Sai lệch quỹ đạo Kết luận Trong báo xây dựng lộ trình khảo sát động lực học cấu máy với ma sát Coulomb Khảo sát trường hợp lực ma sát xuất liên kết liên kết Để giải toán phải tính lực suy rộng lực ma sát Điều gặp khó khăn lực ma sát chúng xuất đơi trực đối Bài toán giải nhờ sử dụng dạng phương trình chuyển động viết dạng ma trận kết hợp với phương pháp Tĩnh hình học-Động lực Phương pháp áp dụng vào việc khảo sát máy bào kết minh họa nhờ sử dụng phần mềm Maple     Hình Đồ thị vận tốc chuyển động khâu máy bào Tài liệu tham khảo [1] Galiulin F.R., Constructing Systems of Controlled Motion Controlled motion, Publish, “Nauka” (in Rusian), 1971       [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]   Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh Do Sanh, On the principle of Compatibility and the Equations of Motion of a Constrained Mechanical System, ZAMM, pp 210-212, 1980 DoSanh, On the Problem of First Integrals of Mechanical Systems, Problems of Nonlinear Vibration, Vol 20, pp 55-70, Varsaw Erughin N.P., Construting a Set of Differential Equations Having Given Trajectory, Applied Matematics and Mechanics (PMM), No 6, Russia, 1952 Rumantsep V.V., Về chuyển động hệ với liên kết không lý tưởng, Vestnist MGU N04 (tiếng Nga)., 1961 Rumantsep V.V., Cơ hệ với ma sát, PMM, N06, 1961 Đỗ Sanh, Luận án Tiến sỹ khoa học, Đại học Bách khoa Hà Nội, 1984 Gutowski R., Analytical Mechanics, PWN, 1995 Do Sanh, Dinh Van Phong, Do Dang Khoa, Tran Duc, A Method for Solving the Motion of Constrained Systems, Proceedings of the 16th Asian Pacific Vibration Conference APVC 2015, Hanoi, Vietnam Đỗ Sanh, Cơ học kỹ thuật, NXB Giáo dục, 2008 Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Quy luật nhân - sở Cơ học Newton Nguyên lý Phù hợp, Kỷ yếu Hội nghị Toàn quốc Cơ kỹ thuật, Đà Nẵng, 2015 Do Sanh, Analytical Mechanics, Publs Bach khoa, Hanoi 2008 (in Vietnamese) Do Sanh, Do Dang Khoa, Điều khiển tối ưu hệ động lực - Điều khiển chương trình Điều khiển tối ưu DoSanh, Do Dang Khoa, Analytical Dynamics, Publ Bachkhoa, pp 52-61, 2017 Le Xuan Anh, Dynamics of Mechanical Systems with Coulomb Friction, Springer-Verlag Berlin Heidelberrg, 2003 Vu Duc Binh, Do Dang Khoa, Phan Dang Phong, Do Sanh, Analysics of Manipulator Dynamics in Interaction with Environment, Vietnam Journal of Science and Technology, Vol l, N0, June, 2019  ... xác định vị trí chuyển động máy bào Hình Sai lệch quỹ đạo Kết luận Trong báo xây dựng lộ trình khảo sát động lực học cấu máy với ma sát Coulomb Khảo sát trường hợp lực ma sát xuất liên kết liên... tính lực suy rộng lực ma sát qua biểu thức (8), thay chúng vào (7), từ nhận hệ phương trình đầy đủ với điều kiện đầu Tích phân chúng xác định chuyển động hệ khảo sát Khảo sát động lực học máy bào. .. (12) để mơ tả chuyển động máy bào khảo sát Tuy nhiên phương trình cịn chứa đại lượng chưa xác định lực ma sát Nói cách khác, chuyển động đối tượng khảo sát phụ thuộc vào lực ma sát, chúng phụ thuộc