Phân tích động bài toán nứt phẳng của vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4)

Trong bài viết này, hệ số cường độ ứng suất động (DSIFs) của vật liệu FGM trong bài toán nứt phẳng hai chiều được tính toán và phân tích bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4). Phần tử XCQ4 là sự kết hợp giữa phần tử hữu hạn mở rộng (XQ4) với thủ tục nội suy kép (CIP) được phát triển gần đây nhằm làm trơn trường đạo hàm thay vị bất liên tục tại nút.

  Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 275-282, DOI 10.15625/vap.2019000290 Phân tích động toán nứt phẳng vật liệu FGM phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Nguyễn Đình Dư1, Nguyễn Đình Đức2, Bùi Quốc Tính3 Khoa Kỹ thuật Cơng trình, Đại học Lạc Hồng Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội Department of Civil and Environmental Engineering, Tokyo Institute of Technology, Tokyo, Japan E-mail: dinhdu85@gmail.com Tóm tắt Trong báo này, hệ số cường độ ứng suất động (DSIFs) vật liệu FGM toán nứt phẳng hai chiều tính tốn phân tích phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Phần tử XCQ4 kết hợp phần tử hữu hạn mở rộng (XQ4) với thủ tục nội suy kép (CIP) phát triển gần nhằm làm trơn trường đạo hàm thay vị bất liên tục nút Tại đỉnh vết nứt làm giàu hàm chức hàm Heaviside hỗ trợ làm giàu dọc theo đường nứt Hệ số DSIFs tính tốn từ dạng động tích phân tương tác khơng đồng kết hợp với trường tiệm cận gần vết nứt Kết thu từ phương pháp nghiên cứu so sánh với kết tham khảo phương pháp không lưới, phương pháp XFEM, phương pháp phần tử biên (BEM) Từ khóa: Thủ tục nội suy kép CIP, Vật liệu FGM, Cơ học phá hủy Mở đầu Vật liệu chức hay vật liệu có tính chất lý biến đổi, tên quốc tế thường nhắc đến Functionally Graded Material (FGM), thu hút đáng kể quan tâm cộng đồng khoa học ngồi nước tính ưu việt mà mang lại [1] Sự đời ban đầu đòi hỏi thực tế dạng vật liệu có khả khắc phục nhược điểm kim loại chịu nhiệt độ cao, sau áp dụng cách rộng rãi nhanh chóng vào nhiều lĩnh vực hàng khơng vũ trụ, lượng hạt nhân, sinh học, điện tử, quang học, chuyển đổi lượng Cấu tạo vật liệu FGM bao gồm hai thành phần gốm kim loại, đẳng hướng khơng đồng Với thuộc tính biến đổi đều, vật liệu FGM giúp cải thiện khả chống lại phân tách lớp hình thành vết nứt mỏi Đặc biệt làm giảm loại bỏ đáng kể tập trung ứng suất lớp vật liệu vật liệu composite Nhìn chung, thiết kế kết cấu vật liệu FGM, vấn đề học phá hủy cần quan tâm, quan trọng chịu tải trọng động, giúp kéo dài tuổi thọ kết cấu [2] Mặc dầu vật liệu FGM khác với liệu đồng tận dụng tối đa phân hóa để khai thác ưu điểm vật liệu cấu thành Tuy nhiên, trường ứng suất gần đỉnh vết nứt mang tính đơn lẻ, giống vật liệu đồng nhất, giống cho thay đổi mô đun đàn hồi [3] Năng lượng biến dạng tích tụ mạnh mẽ vùng lân cận đỉnh vết nứt trường ứng suất cục này, nguyên nhân cho phát triển vết nứt bắt đầu Trường ứng suất khơng thể tính điểm mà miền lân cận đỉnh vết nứt đại diện hệ số cường độ ứng suất (SIFs) Hiện nay, nhiều phương pháp giải tích tính SIFs, phân tích động gọi DSIFs, vật liệu FGM công bố rộng rãi [4], [5] Tuy nhiên, phương pháp giải toán đơn giản phương pháp số linh hoạt phù hợp với nhiều toán phức tạp Phương pháp BEM tác giả Gao cộng tính SIFs theo mode I cho FGM bị nứt [6], cịn DIFs cơng bố hai nhóm tác giả Zhang [7] Sladek [8] Nhóm tác giả Bùi Quốc Tính áp dụng thành công phương pháp không lưới với hàm dạng cải tiến việc tính tốn SIFs DSIFs cho vật liệu FGM [9] Phổ biến hết phương pháp Phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM), cơng bố nhiều tác giả Có thể nhắc đến nhóm tác giả Kim Paulino, họ sử dụng dạng tích phân tương tác khác để tính SIFs DSIFs cho nhiều dạng tốn khác nhau, tìm thấy chi tiết [10], [11] Kết thu đáng tin cậy Gần đây, phương pháp số phát triển dựa tảng FEM truyền thống cải tiến với thủ tục nội suy kép (consecutive-interpolation procedure – CIP) nhằm khắc phục hạn chế FEM bất liên tục trường đạo hàm Bắt đầu từ cuối năm 2014, nhóm tác giả Bùi Quốc Tính cơng bố thành cơng phân tích vấn đề vật rắn chịu tải tỉnh với phần tử CQ4 (Phần tử hữu hạn tứ giác nội suy kép) [12], cơng bố tốn động [13] nhóm tác giả Nối tiếp thành cơng đó, tác giả Zuoyi Kang cộng áp dụng phần tử CQ4 với kỹ thuật làm giàu, gọi XCQ4, để phân tích tính tốn hệ số SIFs cho vật liệu đồng đẳng hướng [14] DSIFs cho vật liệu composite dị hướng [15] Trong báo này, phần tử XCQ4 áp dụng vào tính tốn phân tích hệ số DSIFs vật liệu FGM Hai ví dụ số   Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức Bùi Quốc Tính thực so sánh với cơng bố trước nhằm đánh giá hiệu phương pháp Cơ học phá hủy vật liệu FGM Xét vật thể 2-D bị nứt, cấu thành từ vật liệu FGM chịu điều kiện Hình Phương trình tổng thể dạng thu gọn sau áp dụng điều kiện biên tương ứng viết [9]: u  T  d     S  u d     uT b d     uT t d  u    (1) Trong đó,  khối lượng riêng, b lực thân, t ngoại lực,  u biến phân trường chuyển vị u,  trường ứng suất Mỗi quan hệ ứng suất biến dạng tuân thủ theo Định luật Hooke’s viết sau:   C(x) (2) Trong đó, C(x) ma trận tính chất vật liệu không đồng phụ thuộc môđun đàn hồi E(x) hệ số nở hông (x) Đối với toán phẳng, C(x) viết bên dưới: 1   ( x)  ( x) E ( x)  C ( x)   ( x)   ( x)   ( x )   ( x )     0     1   ( x)  /  Cho trường hợp biến dạng phẳng C ( x)    ( x) E ( x)   ( x) 1   ( x)2   0     1   ( x)  /  (3) cho trường hợp ứng suất phẳng (4)   Trường ứng suất chuyển vị vùng lân cận đỉnh vết nứt vật liệu FGM giống vật liệu đồng Tuy nhiên có điều chỉnh môđun đàn hồi chống cắt trường chuyển vị cho phù hợp Đối với mode phá hoại thứ nhất, trường ứng suất chuyển vị viết sau:  KI       3   cos   1  sin   sin     xx  2 r         KI       3     yy  2 r cos   1  sin   sin      KI u x  TIP   KI  u y   TIP  r      cos    TIP   2sin    2     (5) r      sin   TIP   2cos    2     Tương tự cho mode phá hoại thứ 2,  K II      3   sin     cos   cos     xx   2 r    2      K II sin    cos    cos  3         yy 2 r 2 2     K II r      sin    TIP   2cos    u x          TIP  K II r       cos    TIP   2sin    u y   2 2      TIP  (6) Trong đó, KI KII hệ số SIFs cho mode I mode II, µTIP mơđun đàn hồi chống cắt đỉnh nứt với TIP  0.5ETIP / 1  TIP  ; TIP    TIP  / 1  TIP  cho toán ứng suất phẳng TIP   4 TIP cho toán biến dạng phẳng Phần tử hữu hạn tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) 3.1 Phần tử CQ4 Phần tử CQ4 cải tiến từ phần tử Q4 với thủ tục CIP phát triển nhóm nghiên cứu mà đứng đầu tác giả Bùi Quốc Tính Những thuộc tính ưu việt chi tiết phần tử CQ4 dễ dàng tìm thấy [12], [13], [14], [15] Để tiện theo dõi, viết này, phần tử CQ4 trình bày cách ngắn gọn sau Giá trị điểm cần nội suy x(x, y) phần tử hữu hạn tứ giác thể Hình Hàm dạng CQ4 với thủ tục CIP viết sau: n4  [I] [I] R   I N [ I ]  Ix N ,x  Iy N ,y I 1   (7) N [I ] hàm dạng Lagrange, đạo hàm [I] [I] trung bình N ,x , N ,y viết sau: Hình Mơ hình nứt 2-D vật liệu FGM N ,x[ I ]    we N ,x[ I ][ e ] , S I N ,y[ I ]    we N ,y[ I ][ e ]  S I (8)   Phân tích động tốn nứt phẳng vật liệu FGM phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Hình Minh họa miền nội suy phần tử CQ4 Hình Mơ hàm dạng Q4 thông thường (a) hàm dạng CQ4 (b) 2D Trong phương trình (8), SI số phần tử có chung nút I, N ,x[ I ][ e ] đạo hàm N [I] tính theo phần tử thứ e we hàm trọng số phần tử thứ e định nghĩa [12] we  e với e diện tích phần tử thứ e  e (9) e S I Các hàm I ,Ix ,Iy phương trình (7) chìa khóa phương pháp CFEM, chi tiết tìm thấy [12], [13], [14] Bằng kỹ thuật nội suy kép, đạo hàm trung bình cộng vào cơng thức nội suy truyền thống phần tử Q4, hàm dạng CQ4 có trơn liên tục nút cạnh biên Hình minh họa hàm dạng cho CQ4 Q4 3.2 Kỹ thuật nội suy vùng nứt phần tử XCQ4 Cũng giống phần tử XQ4, việc xấp xỉ trường chuyển vị đỉnh vết nứt dọc theo vết nứt thực tương tự cho pần tử XCQ4 [14] Bằng cách thêm hàm chức để làm giàu hàm nội suy nhằm tăng xác mơ trường chuyển vị Hai vùng chức chọn để làm giàu Đầu tiên vùng dọc theo vết nứt, nghiên cứu từ trước đến chọn hàm Heaviside có giá trị H  f ( x)   1 f ( x)  H  f ( x)   1 f ( x)  với f ( x ) hàm khoảng cách từ điểm nội suy đến đường nứt Tiếp theo vùng kỳ dị xung quanh đỉnh nứt Bốn hàm chức làm giàu trích xuất từ lời giải giải tích có cơng thức phương trình (10) cộng dồn vào hàm nội suy Cũng phương trình (10), r khoảng cách từ điểm cần nội suy đển đỉnh vết nứt,  góc tạo tiếp tuyến với đường nứt đỉnh vết nứt đường nối từ điểm x đến đỉnh vết nứt, tất minh họa Hình   Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức Bùi Quốc Tính     r sin     2       r cos     2   F  ( x),   1, ,         r sin   sin( )  2        r cos   sin( )    2 * ETIP  ETIP cho trường hợp ứng suất phẳng * ETIP  ETIP / 1TIP  cho trường hợp biến dạng phẳng (10) Sau vài phép biến đổi tốn học định, tích phân J viết lại sau: J d  J (1)  J (2)  I (1,2) (14)   J(1) J(2) tích phân J trạng thái (1) trạng thái (2), I(1,2) tích phân tương tác mơ hình vật liệu FGM [10] tính sau: (2) (1) (2) (1) I (1,2)    ij(1)ui(2) ,1   ij ui ,1   ij  ij 1 j q, j dA A (2) (1) (1) (2)   ui(1)ui(2) ,1   ij , j ui ,1  Cijkl ,1 kl  ij  qdA (15) A   Hình Hình ảnh minh họa thơng số phương trình (10) Cuối cùng, chuyển vị điểm xấp xỉ theo phần tử XCQ4 có cơng thức tổng quát sau: u h ( x)   R ( x)u   R ( x)  a H  f ( x)   I Ws  I I R K Wt K J Wc J J ( x) F  ( x)bK (11) liên quan đến hàm dật cấp Heaviside hàm làm giàu tiệm cận Tính tốn DSIFs cho vật liệu FGM Hệ số cường độ ứng suất (DSIFs) tham số để đánh giá hành vi đỉnh nứt vùng lân cận phân tích động Tích phân tương tác thường dùng hình thành cách kết hợp trường thực trường ảo tích phân độc lập (tích phân J) tính tốn DSIFs Cơng thức tích phân J phân tích động [16] định nghĩa sau:   J d    ij ui ,1  W 1 j q j dA     ui ui ,1  Cijkl ,1 ij  kl qdA A A   (12) W  / 2 ij  ij mật độ lượng biến dạng; C ijk l tensor đàn hồi; q hàm trọng số có giá trị vùng lân cận đỉnh nứt biên tích phân J, chi tiết hàm q tìm thấy [14] Trong học rạng nứt đàn hồi tuyến tính, mối quan hệ DSIFs (KI, KII) tích phân J diễn giải bên dưới: K I2  K II2     *  ETIP (1, ) * K I  I ModeI ETIP / 2, (1, ) * K II  I ModeII ETIP /2 (16)   Kết số  1 Trong RI hàm dạng CQ4 phương trình (7) Ws, Wc, Wt tập hợp nút thông thường, nút thuộc đường nứt nút thuộc đỉnh nứt uI chuyển vị nút phần tử, aI b K  lần lượt chuyển vị nút bổ sung Jd  Sau cùng, giá trị DISFs trích xuất từ tích phân tương tác sau: (13)  Trong phần này, vài ví dụ số phân tích nhằm đánh giá hiệu suất phần tử XCQ4 áp dụng vào vật liệu FGM Các mẫu thử có hình dáng đơn giản phức tạp Kết thu tất trường hợp so sánh với kết cơng bố trước để đánh giá xác phương pháp đề xuất 5.1 Tấm chữ nhật nứt trung tâm (CCT) Mẫu thử hữu hạn hình chữ nhật có kích thước hình học 2H = 40mm, 2W = 20mm, vết nứt có chiều dài 2a = 4.8mm phương nằm ngang, chi tiết Hình Lực tác động có dạng hàm Heaviside áp đặt vào biên biên FGM Hệ số nở hông  = 0.3 số suốt Trong môđun đàn hồi Young khối lượng riêng biến đổi theo hàm số mũ, cần lưu ý tỷ số E/ số, cho sau: E  E exp(  x   y ) (17)    exp( 1 x   y ) E0 = 199.992 GPa and 0 = 5000 kg/m3 môđun đàn hồi khối lượng riêng vật liệu đồng 1 2 hai hệ số mô tả biến đổi vật liệu theo hai phương x y Khi vật liệu đồng (1=2=0), phần tử XCQ4, Z Kang cộng phân tích thu kết DSIFs tốt với phương pháp hành so sánh [15] Trong ví dụ này, hệ số  chọn có giá trị cao, 1=2=0.1 mm-1, để thấy phân hóa vật liệu mạnh mẽ   Phân tích động tốn nứt phẳng vật liệu FGM phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Hình Dạng hình học CCT cách chia lưới Mẫu thử CCT tương tự xem xét Song cộng với kỹ thuật DTC [10] Bùi Quốc Tính cơng với phương pháp không lưới mở rộng (X-PRIM) [9] Phương pháp tích phân miền thời gian Newmark chọn với bước thời gian t = 0.1 µs Lưới chia với 2109 (3757) phần tử có quy tắc, xem Hình Kết DSIFs đỉnh nứt bên phải thu phân tích thể Hình Trục hồnh thể thời gian chuẩn hóa tCd/H, Cd vận tốc sóng dọc,  giá trị DSIFs chuẩn hoá với K I ,K II /   a Hình Đồ thị biểu diễn giá trị DSIFs theo thời gian phương pháp nghiên cứu XCQ4, XPRIM [9] XFEM với kỹ thuật DTC [10]  thể trục tung Dữ liệu hình ảnh cho thấy giá trị chuẩn hóa KI KII khơng thời điểm chưa đến t* = 0.9 sau giá trị bắt đầu tăng dần tác dụng tải trọng động, dễ dàng nhận thấy giá trị KII tăng chậm giá trị KI Độ lớn hai DSIFs biến đổi DSIF mode-I có giá trị cực đại lớn mode-II rõ ràng mẫu thử bị phá hoại theo mode-I Kết thu cho thấy phần tử XCQ4 đáng tin cậy đường DSIFs-Thời gian khớp với hai phương pháp tham khảo Hành vi DSIFs Hình dễ dàng giải thích ý nghĩa vật lý Tại thời điểm bắt đầu lực tác dụng, sóng dọc tạo biên lực sau lan truyền đến đỉnh nứt Trong khoảng thời gian này, tức từ lúc t = đến tCd/H = 1, giá trị DSIFs không Độ lớn DSIFs bắt đầu tăng sóng đàn hồi tiếp cận đỉnh nứt Đỉnh DSIFs tương ứng với sóng đàn hồi truyền tới đỉnh nứt, sau độ lớn giảm chút sóng tiếp tục xa đỉnh nứt Sóng đàn hồi bị phản xạ chúng gặp phải cạnh biên mẫu thử Sự tương tác sóng đến sóng phản xạ vùng lân cận đỉnh nứt gây nhiễu động DSIFs mơ ta Hình kề đỉnh Các diễn biến Hình giải thích tương tự Hình Giá trị DSIFs chuẩn hóa với ba mật độ lưới lời giải tham khảo Mật độ chia lưới ln có ảnh hưởng định đến kết thu thực với phương pháp Phần tử hữu hạn thông thường mô số Phương pháp nghiên cứu ngoại lệ, khảo sát ảnh hưởng mật độ chia lưới đến giá trị DSIFs thực ví dụ với ba cách chia lưới có mật độ tăng dần từ 21×33, 29×45 37×57 Kết so sánh giá trị chuẩn hóa DSIFs cho ba giải pháp chia lưới tốt gần so với kết tham khảo thể Hình Tuy nhiên, quan sát kỹ hơn, kết lưới thô gây độ lệch so với kết tham chiếu vùng nhiễu động vị trí đỉnh cực trị Trong kết thu từ lưới mịn có trùng khớp tốt Như vậy, mật độ lưới có ảnh hưởng đến độ   Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức Bùi Quốc Tính xác DSIFs nên việc chọn lưới thích hợp cần thiết phân tích 5.2 Tấm FGM có lỗ trịn hai vết nứt Một đích ví dụ để chứng minh đa dạng phần tử XCQ4 phân tích mẫu thử có hình dạng phức tạp với lỗ tròn hai vết nứt xuất phát từ lỗ trịn Mẫu thử có dạng hình chữ nhật có chiều cao 2H=60mm chiều rộng 2W=30mm Một lỗ tròn nằm tâm hình chữ nhật có bán kính r = 3.75mm Vết nứt nằm đường thẳng qua tâm hình trịn có góc nghiên θ=30° so với phương ngang, xem Hình Khoảng cách hai đỉnh nứt 2a=15mm Ngoại lực tác dụng lực dựt cấp áp đặt vào biên biên Mơ hình chia lưới với 1441 phần tử CQ4 biến dạng phẳng thể Hình Bước thời gian t=0.2µs chọn mơ hình số Vấn đề xem xét với vật liệu dạng đồng Các thông số tính chất vật liệu lấy sau: Mơđun đàn hồi Young’s E=199.992Gpa, khối lượng riêng =5000kg/m3 hệ số Poisson’s =0.3 Hình thể giá trị DSIFs thu từ phần tử XCQ4 so sánh với hai lời giả tham khảo Song [10] Fedelinski [17] Kết cho thấy DSIFs thu từ phương pháp nghiên cứu phù hợp với lời giải tham chiếu Mặc khác, đường cong thu tác giả Fedelinski có độ lệch tương đối so với đường cong Song đường cong thu từ XCQ4 Một điểm cần lưu ý tổng số phần tử CQ4 1441 bao gồm phần tử có quy tắc bất quy tắc Song dùng 1350 phần tử Q8 204 phần tử T6 phân tích Nhưng kết tương đồng hai phương pháp Như vậy, với số bậc tự kết qua thu từ XCQ4 tốt so với Song phân tích FEM [10] Hình Kết so sánh phương pháp nghiên cứu lời giải tham khảo (Fedelinski et al, 1994 Song et al, 2006) Bảng Tính chất vật liệu vận tốc sóng dọc biên trái biên phải Biên trái Biên phải E (Mpa)  (kg/m3) Vận tốc sóng dọc (mm/s) 3811 11130 948 1812 2.33 2.88 Tiếp theo, ứng xử động FGM bị nứt khảo sát với tính chất vật liệu biến đổi tuyến tính theo phương ngang đề xuất Rousseau cộng [18] Môđun đàn hồi khối lượng riêng mô tả sau: E ( x )  244 x  7471 (MPa),  ( x )  28.8 x  1380 (kg / m ) (18) Hệ số nở hông  = 0.3 số tồn miền Tính chất vật liệu vận tốc sóng đàn hồi (sóng dọc) biên trái biên phải thể Bảng Cần lưu ý vận tốc sóng dọc khác hai biên tỷ số mơđun đàn hồi khối lượng khơng cịn số Mode-I Đỉnh phải Đỉnh trái Mode-II     Hình Hình dạng FGM với lỗ trịn trung tâm có vết nứt cách chia lưới Hình 10 Kết so sánh XCQ4 với lời giải tham khảo FGM biến đổi tuyến tính theo phương x   Phân tích động toán nứt phẳng vật liệu FGM phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Trong nghiên cứu độ xác, hành vi phản ứng động tính tốn phần tử XCQ4 so sánh với kết từ Song [10] cho đỉnh phải trái thể Hình 10 Cũng tương tự vật liệu đồng nhất, kết phân tích với vật liệu FGM biến đổi tuyến tính theo phương ngang phương pháp nghiên cứu cho kết tốt với lời giải tham chiếu số phần tử Điều cho thấy hiệu suất phần tử XCQ4 mang lại tốt Dễ dàng nhận thấy DSIFs đỉnh phải có độ lớn bắt đầu khác không sớm đỉnh trái, điều vận tốc sóng dọc bên phải lớn bên trái, tham khảo Bảng Tương tư, độ lớn DSIF mode-I đỉnh phải cao đỉnh trái thời điểm thuộc tính vật liệu lớn t=9µs, sóng đàn hồi bắt đầu đến đỉnh nứt phải chưa đến đỉnh nứt trái, xem Hình 11b Do đó, độ lớn DSIFs đỉnh nứt phải bắt đầu thay đổi giá trị đỉnh nứt trái giữ ngun giá trị khơng, xem Hình 10 Trong khoảng thời gian xung quanh t=11µs, xem Hình 11c, sóng đàn hồi lan truyền đến đỉnh nứt phải, giá trị DSIF đạt đỉnh Sóng đàn hồi sau tiếp tục lan truyền lấp đầy tồn miền FGM Hình 11d Kết luận Trong nghiên cứu này, hướng tiếp cận hiệu xử dụng phần tử XCQ4 vào phân tích động vật liệu FGM bị nứt Phần tử CQ4 cải tiến từ Q4 mang liên tục cho trường ứng suất biến dạng, điều phù hợp cho mơ hình tốn nứt Đặc biệt vật liệu FGM với tính chất vật liệu biến đổi liên tục toàn Các kết thu cho thấy hiệu suất phương pháp nghiên cứu tốt Do đó, nghiên cứu thêm phân tích động với nhiều dạng tải khác cho loại vật liệu phức tạp khác đa pha, vật liệu tổng hợp Những nghiên cứu tiếp cho toán động phát triển vết nứt tải trọng tuần hoàn hướng thú vị Lời cảm ơn Nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Kỹ thuật Cơng trình, trường Đại học Lạc Hồng trường Đại học Công nghệ - ĐHQG Hà Nội tạo điều kiện hoàn thành nghiên cứu Tài liệu tham khảo Hình 11 Trường ứng suất yy nhiều thời điểm khác FGM có lỗ trịn bị nứt Một điểm thú vị phân tích tính chất vật lý hành vi rạng nứt Hình 10 giải thích thơng qua trường ứng suất yy nhiều thời điểm khác nhau, thể Hình 11 Có thể xem lan truyền trường ứng suất yy vận tốc sóng dọc Tại thời điểm t = 8µs, xem Hình 11a, rõ ràng sóng dọc chưa lan truyền đến đỉnh nứt nên DSIFs đỉnh phải trái không, xem Hình 10 Tiếp đến, thời điểm [1] K Shirvanimoghaddam, M Naebe, "Functionally graded materials: a review of fabrication and properties," Appl Mater, vol Today 5, pp 223-245, 2016 [2] Nguyễn Đình Đức Nguyễn Hoa Thịnh, Vật liệu composite – Cơ học Công nghệ Hà Nội: Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2002 [3] F Erdogan F Delale, "The crack problem for a nonhomogeneous plane," J Appl Mech, vol 50, pp 609614, 1983 [4] G.J Weng, N Brunswick, Z Duan C Li, "Dynamic stress intensity factor of a functionally graded material under antiplane shear loading," Acta Mech, vol 149, no 1-4, pp 1-10, 2001 [5] M Ayatollahi M Monfared, "Dynamic stress intensity factors of multiple cracks in an orthotropic strip with FGM coating," Engng Fract Mech., vol 109, pp 45-57, 2013 [6] C Zhang, J Sladek, V Sladek X.W Gao, "Fracture analysis of functionally graded materials by a BEM," Compos Sci Technol, vol 68 , pp 1209–1215, 2007 [7] A Savaidis, G Savaidis, H Zhu C Zhang, "Transient dynamic analysis of a cracked functionally graded material by a BIEM," Comput Mater Sci, vol 26, pp 167–174, 2003 [8] V Sladek, C Zhang J Sladek, "An advanced numerical method for computing elastodynamic fracture parameters in functionally graded materials," Comput Mater Sci., vol 32 , pp 532–543, 2005   Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức Bùi Quốc Tính [9] Nha Thanh Nguyen, Le Van Lich, Minh Ngoc Nguyen, Thien Tich Truong Tinh Quoc Bui, "Analysis of transient dynamic fracture parameters of cracked functionally graded composites by improved meshfree methods," Theoretical and Applied Fracture Mechanics, vol 96, pp 642-657, 2018 [10] G.H Paulino S.H Song, "Dynamic stress intensity factors for homogeneous and smoothly heterogeneous materials using the interaction integral method," Int J Solids Struct, vol 43, pp 4830–4866, 2006 [11] G.H Paulino J.-H Kim, "Finite element evaluation of mixed mode stress intensity factors in functionally graded materials," Int J Numer Meth Eng, vol 53, pp 1903– 1935, 2002 [12] Vo DQ, Zhang Ch, Nguyen DD Bui QT, "A consecutiveinterpolation quadrilateral element (CQ4): formulation and applications ," Finite Elem Anal, vol 84, pp 14–31, Des 2014 [13] Nguyen DD, Zhang XD, Hirose S, Batra RC Bui QT, "Analysis of 2-dimensional transient problems for linear elastic and piezoelectric structures using the consecutiveinterpolation quadrilateral element (CQ4)," Eur J Mech A/Solids, vol 58, pp 112-130, 2016 [14] Bui QT, Nguyen DD, Saitoh T, Hirose S Kang ZY, "An extended consecutiveinterpolation quadrilateral element (XCQ4) applied to linear elastic fracture mechanics," Acta Mech, vol 226, pp 3991–4015, 2015 [15] Tinh Quoc Bui, Du Dinh Nguyen, Sohichi Hirose Zuoyi Kang, "Dynamic stationary crack analysis of isotropic solids and anisotropic composites by enhanced local enriched consecutive-interpolation elements," Composite Structures, vol 180, pp 221–233, 2017 [16] G.H Paulino J.H Kim, "Consistent formulations of the interaction integral method for fracture of functionally graded materials," J Appl Mech, vol 72, pp 351-364, 2005 [17] P., Aliabadi, M.H., Rooke, D.P Fedelinski, "The dual boundary element method: bJ-integral for dynamic stress intensity factors," International Journal of Fracture, vol 65, no 4, pp 369-381, 1994 [18] C.-E., Tippur, H.V Rousseau, "Dynamic fracture of compositionally graded materials with cracks along the elastic gradient: experiment and analysis," Mechanics of Materials 33, vol 33, no 7, pp 403–421, 2001  ... hình nứt 2-D vật liệu FGM N ,x[ I ]    we N ,x[ I ][ e ] , S I N ,y[ I ]    we N ,y[ I ][ e ]  S I (8)   Phân tích động tốn nứt phẳng vật liệu FGM phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4). .. chọn có giá trị cao, 1=2=0.1 mm-1, để thấy phân hóa vật liệu mạnh mẽ   Phân tích động tốn nứt phẳng vật liệu FGM phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4) Hình Dạng hình học CCT cách chia lưới... đỉnh nứt với TIP  0.5ETIP / 1  TIP  ; TIP    TIP  / 1  TIP  cho toán ứng suất phẳng TIP   4 TIP cho toán biến dạng phẳng Phần tử hữu hạn tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4)