Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình Euler-Lagrange bất định

Bài viết này giới thiệu một số phương pháp điều khiển cho hệ cơ có mô hình Lagrange bất định cả về tham số và cấu trúc. Các phương pháp giới thiệu ở đây được phát triển từ những phương pháp đã có. Kỹ thuật phát triển ở đây khá đơn giản, dựa trên nền tuyến tính từng đoạn dọc trục thời gian và tối ưu hóa từng đoạn để bù bất định, song lại mang tính hiệu quả ứng dụng rất cao. Điều đó được bài báo chứng thực thông qua kết quả mô phỏng trên một vài hệ robot.

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 93-97, DOI 10.15625/vap.2019000262 Một số phương pháp điều khiển hệ có mơ hình Euler-Lagrange bất định Nguyễn Dỗn Phước(1,*), Nguyễn Hồi Nam(1) (1) Bộ mơn Điều khiển Tự động – Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (*) E-mail: phuoc.nguyendoan@hust.edu.vn Tóm tắt Bài báo cáo giới thiệu số phương pháp điều khiển cho hệ có mơ hình Lagrange bất định tham số cấu trúc Các phương pháp giới thiệu phát triển từ phương pháp có Kỹ thuật phát triển đơn giản, dựa tuyến tính đoạn dọc trục thời gian tối ưu hóa đoạn để bù bất định, song lại mang tính hiệu ứng dụng cao Điều báo chứng thực thơng qua kết mô vài hệ robot Từ khóa: Tối ưu hóa đoạn trục thời gian, tuyến tính hóa đoạn, ổn định ISS Mở đầu Để điều khiển đối tượng người ta cần phải biết thông tin đối tượng điều khiển Thơng tin tạm xem tương đối đầy đủ cho việc phân tích điều khiển, tức đủ cho việc thiết kế điều khiển, hiểu mơ hình tốn Tuy nhiên, khơng thể không hy vọng có mơ hình tốn mơ tả xác tuyệt đối đối tượng điều khiển Nói cách khác, mơ hình tốn đối tượng ln tồn sai lệch Bởi phân tích hay thiết kế điều khiển luân phải lưu ý tới sai lệch Những sai lệch mơ hình biểu diễn thông qua tham số bất định mơ hình, thơng qua thành phần nhiễu thay đối cấu trúc mơ hình Các dạng mơ hình tốn gọi mơ hình bất định Đối với hệ đủ cấu chấp hành mà mơ hình tốn xây dựng với phương pháp Euler-Lagrange [1], rơi vào dạng sau: Mơ hình tường minh (khơng có sai lệch): (1) M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u , q  (q1,  ,qn )T , u  (u1,  ,un )T vector n biến khớp vector n tín hiệu điều khiển, M (q ),C (q ,q), g (q ) hai ma trận vector tham số mơ hình Các ma trận tham số mơ hình thỏa mãn [2, 3]:  M (q ) ma trận đối xứng xác định dương  Cặp ma trận M (q ),C (q ,q) thỏa mãn tính phản đối xứng, tức M (q )  C (q ,q)  C T (q ,q)  Ở nhiều mơ hình tường minh (1) tham số cịn thỏa mãn thêm [4]: C (q ,q)  C T (q ,q) Mơ hình chứa vector gồm m tham số khơng xác định xác, cịn gọi mơ hình bất định tham số: (2) M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  u ,   1,  ,m  số bất định T Ở loại mơ hình này, bên cạnh hai tính chất đối xứng xác định dương phản đối xứng M (q ),C (q ,q) , phụ thuộc  vào mơ hình tuyến tính, tức tồn ma trận F (q ,q,q) kiểu n  m để có [2, 4]: M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  F (q ,q,q) (3) Mơ hình chứa vector gồm n tham số hàm không xác định (cịn gọi mơ hình bất định cấu trúc): (4) M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u   (q ,q,q,t ) , với   1,  ,n  T vector hàm bất định Mơ hình vừa bất định tham số, vừa bất định cấu trúc: (5) M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  u   (q ,q,q,t ) Đã có nhiều phương pháp phân tích thiết kế điều khiển cho dạng mơ hình Euler-Lagrange công bố nhiều năm qua Đơn cử tuyến tính hóa xác, hay cịn gọi bù trọng trường, tuyến tính hóa xác thích nghi theo nguyên tắc giả định rõ giới thiệu [2], điều khiển trượt ổn định ISS [2, 3], điều khiển thụ động [4] Bài báo dựa số phương pháp để phân tích phát triển lên thành phương pháp mới, đơn giản, áp dụng hiệu cho hệ bất định số hàm số hai Với mục đích vậy, trước tiên, Phần 2, báo nhắc lại hai phương pháp sử dụng làm tảng cho phát triển sau phương pháp bù trọng trường tuyến tính hóa xác thích nghi [2] Tiếp theo, báo trình bày hai phương pháp phát triển từ Phần Cuối cùng, Phần 4, báo minh họa tính hiệu phương pháp phát triển thơng qua ví dụ số Các phương pháp điều khiển 2.1 Điều khiển bù trọng trường Phương pháp trình bày chi tiết tài liệu [2, 3, 4] Một số phiên mở rộng phân tích, nhận xét ưu nhược điểm phương pháp trình bày [5] Nó có nội dung sau: Nguyễn Dỗn Phước, Nguyễn Hồi Nam Định lý 1: Ở mơ hình loại có: Bộ điều khiển u  M (q )(r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q  g (q ) (6) e  r  q , K1, K kiểu n  n hai ma trận đối xứng xác định dương chọn cho In   A n   K1 K  với 0n , I n ma trận không ma trận đơn vị kiểu n  n , ma trận Hurwitz, làm cho biến khớp q hệ (1) bám tiệm cận theo quỹ đạo mẫu đặt trước r  (r1,  , rn )T Chứng minh: Xem [2,5] ■ Bàn thêm: Việc chọn hai ma trận đối xứng xác định dương K1, K kiểu n  n thực đơn giản với: K1  diag(k1i ), K  diag(k 2i ) thỏa k 22i  k1i  (7) 2.2 Điều khiển tuyến tính hóa xác thích nghi Đây phương pháp áp dụng cho lớp hệ có mơ hình bất định tham số (2) Tư tưởng phương pháp tạm thay vector bất định  vector hàm p (t ) sử dụng điều khiển (6), tức là: u  M (q , p ) r  K1e  K 2e   C (q ,q, p )q  g (q , p ) (8) Tiếp theo, dựa vào tính chất (3)  mơ hình để xác định quy luật chỉnh định cho p (t ) để có chất lượng bám ổn định sau: p  EBT Px , (9) đó: E ma trận kiểu m  m đối xứng xác định dương tùy chọn P nghiệm đối xứng xác định dương phương trình Lyapunov: AT P  PA  Q có Q ma trận kiểu n  n đối xứng xác định dương tùy chọn 0n m   In   e  x   , A   n , B        e   K1 K   M (q , p ) F (q ,q ,q )  K1, K kiểu n  n hai ma trận đối xứng xác định dương chọn cho A Hurwitz Định lý 2: Bộ điều khiển (8) cấu chỉnh định (9) làm cho biến khớp q hệ bất định (2) bám tiệm cận theo quỹ đạo mẫu đặt trước r  (r1,  , rn )T Chứng minh: Xem [2,5] Trước tiên thấy tất dạng bất định mơ hình Euler-Lagrange (1)-(5) đưa cấu trúc chung sau: (10) M (q )q  C (q ,q)q  u  d (q ,q,q,t ) , Ở mơ hình loại có d (q ,q,q,t )  g (q )  C (q ,q, p )  C (q ,q, )  ,q  g (q , ) p số tùy chọn M (q )  M (q , p ), C (q ,q)  C (q ,q, p ) Ở mô hình loại có d (q ,q,q,t )   (t )  g (q ) Ở mô hình loại có: d (q ,q,q,t )   (t )  M (q , p )  M (q , )  q  C (q ,q, p )  C (q ,q, )  ,q  g (q , ) Như vậy, phương pháp điều khiển áp dụng cho hệ (10) sử dụng cho bốn loại hệ Euler-Lagrange 3.1 Điều khiển bền vững ISS Phương pháp hình thành từ suy nghĩ điều xảy áp dụng điều khiển (6) nêu định lý cho hệ có thành phần bất định hàm (10), có: (11) d (q ,q,q,t )   (t )  g (q ) chuyển hệ thành (10) Từ lời chứng minh định lý [5] thấy câu trả lời rằng, điều khiển không làm cho biến khớp q hệ (10), bám tiệm cận theo quỹ đạo mẫu r mà thay vào tiệm cận tới lân cận quỹ đạo mẫu có sai lệch bám phụ thuộc vào: d  sup d (q ,q,q,t ) (12) t Vậy, hiển nhiên để nâng cao chất lượng điều khiển ta cần phải giảm sai lệch bám Để làm điều đó, ta đưa thêm vào điều khiển tín hiệu bổ sung s (t ) cho với sai lệch bám nhỏ Đó nội dung định lý sau Định lý 3: Bộ điều khiển (13) u  M (q )(s  r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q với e  r  q , K1  diag(k1i ), K  diag(k 2i ) hai ma trận đường chéo kiểu n  n có k 22i  k1i  s (t ) hàm tùy chọn, miễn có được: p  s  M (q )1d thỏa mãn điều kiện bị chặn: ■ Những phương pháp phát triển d thành phần bất định hàm Chẳng hạn: d (q ,q,q,t )  M (q , p )  M (q , )  q p   với  cho trước đưa sai lệch bám x  col(e ,e) hệ (10) tới lân cận gốc:      x  R 2n x        max k1i , k 2i  ,   k12i , k 22i  k1i  i Chứng minh: Xem [5] i ■ Một số phương pháp điều khiển hệ có mơ hình Euler-Lagrange bất định Bàn thêm: Có thể thấy chọn: k11  k12    k1n  a  k 21  k 22    k 2n  ab với b  a  có   a ,   a nên có: lim mes   , In  x   0n   0n  x      x  u  d  1C (x , x )  1    ( ) x M x 1   2  n  M (x )   A(x )x  B (x ) u  d  (15) x  q , x  q a  tức a chọn lớn, sai lệch bám nhỏ Khi a   sai lệch bám 3.2 Điều khiển bù bất định Có thể thấy trường hợp d  điều khiển (6), mà cải biên thành: (14) u  M (q )(r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q làm cho biến khớp q hệ (10) bám tiệm cận theo quỹ đạo mẫu r cho trước Như vậy, muốn sử dụng điều khiển (14) cho trường hợp có d  đơn giản ta thêm vào điều khiển  cấu ước lượng thành phần bất định hàm d  d mô tả hình  0n A(x )    0n In   0n  (16)  , B (x )   1  M (x )1C (x 1, x )   M (x )  ma trận phụ thuộc trạng thái Tiếp theo ta chọn khoảng dịch chuyển trục thời gian Ts với tk  kTs , k  0,1,  cách Đây thời điểm mà d (t ) ước  lượng xấp xỉ thành d k  d (tk ) Ở ta cần giả thiết ma trận B (x ) đủ hạng điểm trạng thái x k  x (tk ) , tức có: rank B (x k )  n , x k  Tùy chọn z 1 d 1 Gán x 1  0, k  Đo x k  x (tk ) Tính: Akx  I 2n  Ts A(x k 1 ), Akz  I 2n  Ts A(z k 1 ), Bk  Ts B (x k 1 ),  z k  Akz z k 1  Bk u  d k 1   1 d k  BkT Bk  BkT x k  z k  Akz z k 1  Akx x k 1  Đưa u  d k u lấy từ (14), vào điều khiển  Hình 1: Bù thành phần bất định hàm đầu vào Có nhiều cấu ước lượng thành phần bất định hàm sử dụng, nhiều mạng neural Ở đây, báo này, thay sử dụng mạng  neural sử dụng cấu ước lượng d  d giới thiệu tài liệu [6] theo nguyên tắc tối ưu đoạn trục thời gian mơ tả hình Khác với mạng neural mà cấu ước lượng ln phụ thuộc vào điều khiển sử dụng, ước lượng [6] không cần sử dụng tới điều khiển nên nói áp dụng cho hệ điều khiển Ngoài ra, so sánh với mạng neural, ước lượng [6] có cấu trúc đơn giản nhiều tốc độ ước lượng nhanh không cần phải thời gian để huấn luyện mạng  đối tượng Nói cách khác, tín hiệu đầu vào sau bù đối tượng là:  u  d k  d (tk ) mơ tả hình Gán k : k  quay Định lý 4: Nếu trạng thái sau bù x k  x (tk ) đo từ hệ thời điểm tk biểu diễn xác bởi:  x k  Akx x k 1  Bk u  d k 1  d (tk )  thì: (17)  d k  d (tk ) Chứng minh: Xem [6] ■ Hình 3: Cấu trúc điều khiển bù bất định Hình 2: Nguyên tắc ước lượng tối ưu đoạn Nguyên tắc làm việc ước lượng thành phần bất định hàm nêu tài liệu [6] tóm tắt sau: Trước tiên ta chuyển hệ (10) dạng song tuyến: Bàn thêm: Định lý khẳng định sai lệch ước lượng hoàn toàn phụ thuộc vào việc lượng tử hóa hệ song tuyến (15) thành (17) Ngồi ra, thấy thêm phương pháp bù bất định áp dụng cho hệ khơng dừng, tức hệ có ma trận tham số Nguyễn Dỗn Phước, Nguyễn Hồi Nam khơng phụ thuộc trạng thái mà phụ thuộc thời gian: x  A(x ,t )x  B (x ,t ) u  d  Ví dụ minh họa Trong báo tập trung vào minh họa phương pháp điều khiển bù bất định, phương pháp tổng quát phương pháp điều khiển ổn định ISS, cịn áp dụng cho lớp hệ bất định cấu trúc Đối tượng chọn để minh họa chất lượng điều khiển bù bất định hệ robot planar có thành phần bất định hàm đầu vào (hình 4): M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u   đó:  M M2   c11 c12   g1  M (q )    , C (q ,q)    , g (q )    M M c c 3   21 22   g2  u  q  u   , q    u  2 q2  với [2]: M1    m1l12 l2  1  m  l12   l1l cosq    4   m 2l  l  l1   l1 cosq       m 2l M3   2 c11  2c12  q2m 2l1l sin q M2  m 2l1l sin q , c22  m gl l   g1  1 cosq1  m 2g  l1 cosq1  cos q1  q   2   m 2gl g2  cos q1  q  g  9.81 gia tốc trọng trường, m1  m  0.3 khối lượng hai cánh tay robot, 1    0.6 moment quán tính khớp quay, l1  1, l  0.7 độ dài hai chuyển mô hình robot dạng (15) với: d (q ,t )   (t )  g (q ) nhhư ma trận A(x ), B (x ) theo (16) Quỹ đạo mẫu r đặt trước hai số: r   0.5 , 0.7  T (18) Hằng số thời gian dịch chuyển trục thời gian chọn Ts  0.1 Bộ điều khiển có nhiệm vụ đo hai giá trị biến khớp thời q  q1 , q  T thời điểm tk tại, tính tốn hai biến điều khiển u  u1 , u  T giá trị moment áp đặt cho động quay biến khớp, cho cuối đầu bám tiệm cận theo giá trị đặt chất lượng bám khơng phụ thuộc thành phần bất định hàm d (q ,t ) Bảng nội dung chi tiết điều khiển cài đặt MatLab Nó gồm hai phần, phần chương trình có tên runPlanar.m thực ứng với k  0,1,  để đưa tín hiệu điều khiển vào đối tượng robot phần thực phép tính mơ động học robot khoảng thời gian điều khiển kTs  t  (k  1)Ts có tên Planar.m Các kết mơ chất lượng thể từ hình đến hình 6, hình hình tín hiệu     nhận dạng d  d1 , d  T giá trị thực d  d1 , d  T thành phần bất định hình hai giá trị biến khớp robot c21  q1 cánh tay robot Thành phần bất định hàm giả định là:  0.1sin  0.3t   0.2cos  0.1t     0.3cos  0.2t   0.2sin  0.5t    (t )   Hình 4: Kết nhận dạng thành phần bất định hàm d1 (t ) Nó bao gồm tất thành phần sai lệch mơ sai lệch tín hiệu điều khiển cấu chấp hành gây nên Hình 4: Robot phẳng bậc tự Để cài đặt điều khiển bù bất định, trước tiên ta Hình 5: Kết nhận dạng thành phần bất định hàm d (t ) Một số phương pháp điều khiển hệ có mơ hình Euler-Lagrange bất định điều khiển tuyến tính hóa xác Thậm chí tốc độ nhận dạng nhanh, sau khoảng 2s Ở hình ta thấy quỹ đạo biến khớp bám theo hai giá trị mẫu đặt trước (18) sau khoảng 7s Kết luận Hình 6: Quỹ đạo hai biến khớp robot Bảng 1: Chương trình điều khiển bù bất định cho robot Planar runPlanar.m global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx dh d g=9.81; w=[0.5;0.7]; w_d=[0;0]; w_dd=[0;0]; m1=0.3; m2=0.3; l1=1; l2=0.7; delta1=0.6; delta2=0.6; x0=[0 -2 2]; z0=x0'; t0=0; N=200; Ts=0.1; dh=[0;0]; px=[]; ti=[]; pd=[]; pdh=[]; for i=1:N+1 [t,x]=ode45(@Planar,[t0 t0+Ts],x0); k=length(t); t0=t(k); ti=[ti (i-1)*Ts]; px=[px;x0]; Mz1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos( z0(2)))+delta2; Mz2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(z0(2)))+delta2; Mz3=(m2*l2)/2+delta2; Mz=[Mz1 Mz2;Mz2 Mz3]; cz11=-z0(4)*m2*l1*l2*sin(z0(2)); cz12=-z0(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2)); cz21=-z0(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2)); cz22=0; Cz=[cz11 cz12;cz21 cz22]; Az=[0 0;0 0 1;zeros(2) -Mz¥Cz]; B=Ts*Bx; A_x=eye(4)+Ts*Ax; A_z=eye(4)+Ts*Az; z=A_z*z0+B*(u-dh); dh=(inv(B'*B)*B')*(x(k,:)'-z+A_z*z0-A_x*x0'); z0=z; x0=x(k,:); pd=[pd d]; pdh=[pdh dh]; end figure(1); plot(ti,px(:,1),ti,px(:,2)); legend('q1','q2'); figure(2); plot(ti,pd(1,:),ti,pdh(1,:)); legend('d1','dh1'); figure(3); plot(ti,pd(2,:),ti,pdh(2,:)); legend('d2','dh2'); Planar.m function dx = Planar(t,x) global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx dh d M1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos(x(2 )))+delta2; M2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(x(2)))+delta2; M3=(m2*l2)/2+delta2; M=[M1 M2;M2 M3]; c11=-x(4)*m2*l1*l2*sin(x(2)); c12=-x(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2)); c21=-x(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2)); c22=0; C=[c11 c12;c21 c22]; g1=m1*g*l1/2*cos(x(1))+m2*g*(l1*cos(x(1))+l2/2*cos( x(1)+x(2))); g2=m2*g*l2/2*cos(x(1)+x(2)); d=[0.1*sin(0.3*t)+0.2*cos(0.1*t);0.3*cos(0.2*t)+0.2 *sin(0.5*t)]-[g1;g2]; e=w-[x(1);x(2)]; e_dot=w_d-[x(3);x(4)]; K1=eye(2); K2=2*eye(2); u=M*(w_dd+K1*e+K2*e_dot)+C*[x(3);x(4)]; Ax=[0 0;0 0 1;zeros(2) –inv(M)*C]; Bx=[0 0;0 0;inv(M)]; dx=Ax*x+Bx*(u+d-dh); end Các kết mô khẳng định chất lượng điều khiển bù giống thiết kế Hai thành phần bất định hàm nhận dạng tốt phục vụ cho điều khiển bù Bộ điều khiển (hình 3) sử dụng đơn giản điều khiển (14) cải biên từ Từ kết nhận xét phân tích phương pháp điều khiển có cho hệ Euler-Lagrange chứa thành phần bất định, báo đưa hai phương pháp cải biên chúng đề tổng quát hóa cho tất dạng bất định khác nhau, kể cho trường hợp hệ có sai lệch khơng cấu trúc mơ hình Với ví dụ minh họa cho trường hợp đối tượng robot Planar có chứa bất định hàm, đại diện cho tất thành phần bất định mơ hình (tham số mơ hình, sai lệch mơ hình không cấu trúc) nhiễu đầu vào, báo khẳng định chất lượng điều khiển bù đề xuất Từ thấy phương pháp điều khiển sẵn sàng áp dụng vào thực tế Tài liệu tham khảo David Morin: Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions Cambridge University 2008 Frank L.Lewis, Darren M.Dawson and Chaouki T.Abdallah: Robot Manipulator Control Theory and Practice Marcel Dekker, Inc 2004 Jean-Jacques E Slotine and Weiping Li: Applied Nonlinear Control Prentice Hall 1991 Ortega, R; Loria, A.; Nicklasson, P.J and Ramirez, H.S.: Passivity bassed Control of Euler-Lagrange Systems Springer Verlag 1998 Phước, N.D.: Phân tích điều khiển hệ phi tuyến NXB Bách khoa 2012 Phuoc D Nguyen and Nam H Nguyen: Unknown Input Disturbance Estimator for Time-Varying Bilinear Systems based on Time Receding Optimization Submitted in IEEE Trans on Automatic Control, 15.7.2019  ... pháp điều khiển bù bất định, phương pháp tổng quát phương pháp điều khiển ổn định ISS, cịn áp dụng cho lớp hệ bất định cấu trúc Đối tượng chọn để minh họa chất lượng điều khiển bù bất định hệ robot... thành phần bất định hàm d (t ) Một số phương pháp điều khiển hệ có mơ hình Euler-Lagrange bất định điều khiển tuyến tính hóa xác Thậm chí tốc độ nhận dạng nhanh, sau khoảng 2s Ở hình ta thấy... 2.2 Điều khiển tuyến tính hóa xác thích nghi Đây phương pháp áp dụng cho lớp hệ có mơ hình bất định tham số (2) Tư tưởng phương pháp tạm thay vector bất định  vector hàm p (t ) sử dụng điều khiển