Đang tải... (xem toàn văn)
Kết luận và kiến nghị đề xuất Yếu tố vuông góc trong bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy là một yếu tố cực kỳ quan trọng để giải quyết nhiều bài toán khó.. Trên cơ sở bài toán g[r]
(1)www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam YẾU TỐ VUÔNG GÓC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG OXY Hoàng Ngọc Hùng – THPT Kỳ Lâm, Hà Tĩnh A Đặt vấn đề Hình học phẳng mặt phẳng Oxy là phần kiến thức quan trọng chương trình toán THPT Đặc biệt các kỳ thi HSG các cấp, kỳ thi THPT Quốc Gia Giải câu hình học phẳng đề thi HSG kỳ thi THPT QG là niềm đam mê khó tả HS, và GV thì cách khám phá, xây dựng đề thi là niềm vui, niềm hạnh phúc GV dạy toán Trong chuyên đề này chúng tôi đưa số kỹ giải bài toán hình học phẳng theo cách đề Nhằm cung cấp cho HS, GV số kỹ thuật, tài liệu nhằm xây dựng niềm đam mê học toán qua các bài toán hình học phẳng B Giải vấn đề I Thực trạng vấn đề và các hướng giải Cách đề sau: Cần chứng minh tính chất đặc biệt hình học phẳng, sau đó áp dụng tính chất hình học phẳng để giải toán Theo thống kê từ các kỳ thi ĐH – CĐ trước đây là kỳ thi TN THPT QG, chí là các đề HSG các cấp hầu hết đề theo kiểu này Nếu HS chưa chứng minh tính chất hình học phẳng có bài toán thì bài giải không thể giải lời giải phức tạp, dài dòng dùng yếu tố giải tích Phương pháp chung giải bài toán hệ tọa độ mặt phẳng có yếu tố hình học + Chuẩn bị các tính chất hình học phẳng + Vẽ hình chính xác, bí chúng ta vẽ nhiều hình (2;3) - Lấy trung điểm, phân giác, đường vuông góc - Giả thiết cho đường tròn ta vẽ đường tròn trước sau đó vẽ đa giác nội ngoại tiếp + Phát tính chất vuông góc, nhau… + Trình bày rõ các mục + Nhớ loại nghiệm Chú ý: - Cho trung tuyến áp dụng hệ thức trung tuyến; trung điểm - Cho đường cao áp dụng quan hệ vuông góc - Cho phân giác lấy điểm đối xứng FB.com/mathvncom 1 (2) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam II.Nội dung Yếu tố hình học nhiều các bài toán là yếu tố vuông góc Ở chuyên đề này chúng tôi đưa số bài toán gốc Từ bài toán này chúng tôi xây dựng phương pháp chứng minh số yếu tố vuông góc dễ dàng, dẫn tới cách giải vấn đề nhanh gọn và chính xác Bài toán gốc = 900 Chứng minh Cho hình chữ nhật ABCD, góc BMD AMC = 900 A D I B C M Giải: BD AC M ∈ I; suy M ∈ I ; suy AMC = 90 Phương pháp chứng minh MA ⊥ MB B1:Tạo hình chữ nhật AEBF có các đường chéo AB và EF Cần chứng minh ME ⊥ MF A F I E B M FB.com/mathvncom 2 (3) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam B2:Khi đó M thuộc đường tròn đường kính EF Suy đpcm Ví dụ 1: A -2013 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y + =0 và A(-4;8) Gọi M là điểm đối xứng B qua C, N là hình chiếu vuông góc B trên MD Tìm tọa độ các điểm B, C biết N(5;-4) Giải: A(-4;8) B d 2x + y + = K C D N(5;-4) M Phân tích: Dự đoán AN ⊥ CN Giải: Ta có ABCD là hình chữ nhật, theo giả thiết NB ⊥ ND suy NA ⊥ NC C thuộc d suy C(c; -2c – 5) Vì NA ⊥ NC nên C(1; -7) Phương trình đường thẳng AC: 3x + y + = Phương trình đường thẳng BN: -x + 3y + 17 = Gọi K là giao điểm BN và AC suy K ; − Do K là trung điểm BN suy B(-4; -7) 2 11 Vậy B(-4; -7); C(1; -7) Ví dụ 2: (HSG Thanh Hóa 2015) FB.com/mathvncom 3 (4) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Cho hình chữ nhật ABCD có H(1;2) là hình chiếu vuông góc A lên BD M(5;1) là trung điểm BC Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A tam giác AHD có phương trình 4x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC K A D N 4x + y - = H(1;2) B C M(5;1) Phân tích bài toán: Từ hình vẽ ta nhận định NA ⊥ NM, tức là cần tạo hình chữ nhật có đường chéo là AM Theo giả thiết ta có hình chữ nhật ABMK, cần chứng minh NK ⊥ NB với KB là đường chéo còn lại Từ đó ta chứng minh NA ⊥ NM Giải: Gọi K là trung điểm AD, N là trung điểm HD, ta có ABMK là hình chữ nhật Suy KN //AH ⇒ NK ⊥ NB Theo chứng minh trước ta có NA ⊥ NM Gọi N(n;4 - 4n), MN = (n − 5;3 − 4n) suy MN ud = ⇔ −1(n − 5) + 4(3 − 4n) = ⇔ n = Ta có N(1; 0), N là trung điểm HD suy D(1;-2) Phương trình đường thẳng AH qua H và vuông góc HN ta có x -2 = 4 x + y − = x = Tọa độ điểm A thỏa mãn: ⇒ y − = y = Phương trình BC qua M và song song AD có phương trình 8x + y - 41 = FB.com/mathvncom 4 (5) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A D thuộc cạnh AB cho BD = 2DA H là hình chiếu B −3 Tìm tọa độ điểm 2 lên CD A(-1;3), B thuộc d: x + y + = M là trung điểm HC và M ; B, C? Giải: A E D H M B F C Phân tích bài toán: Dự đoán: MA ⊥ MB Giải: Gọi F là trung điểm BC, Từ A kẻ At song song với BC, kéo dài CD cắt At E Do BD =2AD và AE //BC nên AEBF là hình chữ nhật Ta có MF ⊥ ME nên MA ⊥ MB Điểm B thuộc d suy B(b; -7 - b) Do MA ⊥ MB nên B ( −4; −3) Theo gt ta có BD = BA suy D(-1;-1) Ta có MC = DC suy C ; − 4 4 5 7 Vậy B ( −4; −3) và C ; − 4 4 FB.com/mathvncom 5 (6) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Ví dụ (Đề thi thử tỉnh Quảng Ninh) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I Trung điểm cạnh AB là M (0;3) , trung điểm đoạn CI là J (1; 0) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng ∆ : x − y + = M A B I J D N C Gọi N là trung điểm CD đó NJ//DI, Do DI ⊥ AC nên JN// JA Ta có AMND là hình chữ nhật suy JM ⊥ JD D thuộc ∆ nên D (t ; t + 1) ⇒ JD (t − 1; t + 1), JM ( −1;3) Theo (1) JD.JM = ⇔ −t + + 3t + = ⇒ t = −2 ⇒ D(−2; −1) a2 Cách Gọi a là cạnh hình vuông ABCD Dễ thấy DM = = a + ⇒ a = 4 x = −2; y = 2 AM = x + ( y − 3) = Gọi A( x; y ) Vì ⇒ ⇔ 2 ( x + 2) + ( y + 1) = 16 AD = x = ; y = - Với A(−2;3) ⇒ B(2;3) ⇒ I (0;1) ⇒ C (2; −1) ⇒ J (1; 0) (thỏa mãn) - Với 6 7 23 −8 −22 11 A ; ⇒ B − ; ⇒ I ; ⇒ C ; ⇒ J ( −3; ) (loại) 5 5 5 5 5 Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là A(−2;3), B(2;3), C (2; −1), D (−2; −1) FB.com/mathvncom 6 (7) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A và D có CD = 2AB và B(2;3) , gọi E là trung điểm cạnh CD, H là hình chiếu vuông góc E lên AC, biết phương trình đường thẳng DH: x + 2y – = và đường thẳng AC qua K(1;3) B(2;3) A K(1;3) H D C E Phân tích: Dự đoán HB ⊥ HD Giải: ABED là hình chữ nhật và HA ⊥ HE (gt) suy HB ⊥ HD Phương trình đường thẳng BH qua B và vuông góc DH: -2x + y + = Suy H là giao điểm HD và HB có tọa độ H(1;1) Đường thẳng AC qua K và H có phương trình x = suy HE qua H và vuông góc với AC có phương trình y = 1, E thuộc BE suy E(e;1) 2+e Gọi M là trung điểm AC Ta có M là trung điểm BE suy M ; Do M thuộc AC nên e = A thuộc AC suy A(1;a) suy C(1; 4- a) suy D(-1; a- 2) Theo giả thiết AD ⊥ AB nên a = Vậy A(1;4) B(2;3), C(1;0), D(-1; 2) Bài toán gốc 2: Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm BC và E là hình chiếu H trên AC Gọi I là trung điểm đoạn thẳng HE Chứng minh AI vuông góc với BE FB.com/mathvncom 7 (8) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam A E K I B C H Gọi K là trung điểm EC ta có IK //BC nên KI ⊥ AH (1) Theo gt ta có HI ⊥ AK (2) Từ (1) và (2) suy I là trực tâm tam giác AHK suy AI ⊥ HK Do HK //BE nên suy AI ⊥ BE( (đpcm) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A(2;-4) Gọi H là trung điểm BC, E là hình chiếu H xuống cạnh AC Biết I ; là trung điểm HE; điểm B thuộc đường thẳng 2 2 ∆ : x − y − = và đường thẳng BE qua điểm N(5;1) Tìm tọa độ các điểm B, C tam giác ABC 1 A(2;-4) E N(5;1) ∆:x - 2y - = FB.com/mathvncom I(1/2;1/2) B H K C (9) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Phân tích: Dự đoán AI ⊥ BE Giải: Gọi K là trung điểm EC ta có IK //BC nên KI ⊥ AH (1) Theo gt ta có HI ⊥ AK (2) Từ (1) và (2) suy I là trực tâm tam giác AHK suy AI ⊥ HK Do HK //BE nên suy AI ⊥ BE B thuộc ∆ nên B(2b+4; b), AI ⊥ BE nên B(8; 2) Phương trình đường thẳng BE: x- 3y – = 0, Gọi E thuộc BE có tọa độ E(3e +2; e) e = −1 Do IE ⊥ AE nên AE.IE = ⇔ 20e + 16e - = ⇔ suy e = B(−1; −1) B 13 ; 5 Phương trình đường thẳng AI: 3x + y – = Đặt f(M) = f(x;y) = 3x + y – = với M(x;y) Với e = ta có f(B).f(E) = 24.(-6) < suy B, E nằm khác phía với AI nên E(-1;-1) thỏa mãn Với e = ta có f(B).f(E)=24.6 > suy B, E nằm cùng phía AI nên loại Do I là trung điểm HE nên H(2;2) Do H là trung điểm BC nên C(-4; 2) Vậy B(8;2) và C(-4;2) Bài toán gốc Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I Gọi E và F là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C Chứng minh EF vuông góc IA A E M F I B FB.com/mathvncom C 9 (10) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Giải: Gọi Ax là tiếp tuyến đường tròn (C) điểm A, M là điểm trên Ax nằm cùng phía với B so với đường thẳng AC = BCA cùng chắn cung AB Ta có Góc BAM (vì cùng bù với BFE ) suy Lại có tứ giác EFBC là tứ giác nội tiếp nên AFE = BCA ⇒ AM// EF MA ⊥ AI suy EF ⊥ AI AFE = BAM Ví dụ (Tạp chí THTT) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x + y = 20 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Chân đường cao hạ từ B và C tam giác ABC là M(-1;3) và N(2;-3) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết A có tung độ âm A O M N C B Giải: + Đường tròn (C) có tâm O và bán kính r = x − y = x = y x = −4 + Theo chứng minh trên ta có MN ⊥ OA Gọi A(x; y) ta có hệ x + y = 20 ⇔ y = ⇔ y = −2 y < y < Suy A(-4;-2) +Phương trình đường thằng AM: -5x + 3y -14 = 0; Phương trình đường thẳng AN:x + 6y + 16 = FB.com/mathvncom 10 10 (11) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam + Phương trình đường thẳng BM qua M và vuông góc AC là: 3x + 5y -12 = Phương trình đường thẳng CN qua N và vuông góc AB là: -6x + y + 15 = 152 60 59 159 Ta có B = BM ∩ AN suy B ; − ; C = CN ∩ AM suy C ; 13 13 13 13 Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I(1;2) Gọi E và F là chân đường cao hạ từ đỉnh B và C, phương trình đường thẳng EF là 3x – y – = 0, biết tiếp tuyến A đường tròn (C) qua M(3;-2) và điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC A M F E I C B Giải: Theo chứng minh trên ta có MA//EF suy phương trình đường thẳng AM: 3(x – 3) – (y + 2) = ⇔ 3x – y – 11 = Phương trình đường thẳng AI qua I và vuông góc với EF có phương trình x - + 3( y – ) = ⇔ x + 3y – = 3 x – y – 11 = x = ⇔ x + 3y – = y = Tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình B thuộc Oy nên B(0;b) , b> 0Ta có IA = IB nên (4 − 1) + (1 − 2)2 = (0 − 1) + (b − 2)2 b = ⇔ b = −1(l ) FB.com/mathvncom 11 11 (12) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Với b = suy B(0;5) ta có phương trình đường thẳng AB: x − y −1 = ⇔ x + y −5 = 0 − −1 x = 3 x – y – = ⇔ x + y − = y = Tọa độ E là nghiệm hệ Phương trình đường thẳng CE là: ( x − 3) − ( y − ) = ⇔ -x + y − = Gọi C thuộc CE suy C(c; c + 1) ta có IB = IC ⇔ (c− 1) + (c− 3)2 = 10 ⇔ c = suy C(4;5) và C(0;1) ⇔ c = Ví dụ 9: Đề thi HSG Hà Tĩnh Lớp 10 – năm 2015 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Gọi H , K là chân đường cao hạ từ 1 3 các đỉnh B, C tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết H ( 5; −1) , K ; , 5 5 phương trình đường thẳng BC là x + y + = và điểm B có hoành độ âm A H I K B M x + 3y + = FB.com/mathvncom 12 C 12 (13) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Giải: Theo chứng minh trên ta có tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn đường kính BC Gọi M là trung điểm BC ta có MH = MK Phương trình đường trung trực HK là x − y − = Tọa độ M là nghiệm hệ 3 x − y − = x = Vậy M ( 2; −2 ) ⇔ x + 3y + = y = −2 Gọi B ( −3b − 4; b ) Ta có: MB = MH ⇔ ( 3b + ) + ( b + ) 2 = 10 b + = b = −1 ⇔ 10 ( b + ) = 10 ⇔ ⇔ b + = −1 b = −3 Suy B ( −1; −1) B ( 5; −3) (loại) ⇒ C ( 5; −3) Phương trình đường thẳng AC là x = Phương trình đường thẳng AB là x − y + = Suy A ( 5;7 ) Bài tập tự luyện Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD A và D có CD =2AB, đỉnh B(1;2) Hình chiếu vuông góc D lên AC là điểm H(-1;0) Gọi N là trung điểm HC Tìm tọa độ các đỉnh hình thang biết DN: x – 2y – = Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A(-2;0) Gọi E là hình chiếu A lên BC và F là điểm đối xứng E qua A, biết trực tâm tam giác BCF là H(-2;3) và trung điểm BC thuộc đường thẳng d: 4x – y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật, đỉnh B thuộc d1: 2x – y + = 0; đỉnh C thuộc 9 2 d2: x – y – = Gọi H là hình chiếu B xuống AC Biết điểm M ; và K(9;2) là 5 5 trung điểm AH và CD Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(0;3), đỉnh B(0;-2) Gọi E và F là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C tam giác ABC Đường thẳng EF: 4x – 3y + = Tìm tọa độ đỉnh A và C Bài 5: (Thi thử Nguyễn Đổng Chi- Hà Tĩnh) FB.com/mathvncom 13 13 (14) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD với M, N là trung điểm các đoạn AB và BC Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết 5 N −1; − , H(-1;0) và D nằm trên đường thẳng d: x – y – = 2 Bài 6: Thi thử THPT Can Lộc – Hà Tĩnh Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm F và E cho AE = BF Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên BE Tìm tọa độ đỉnh C biết C thuộc đường thẳng d: x - 2y + = và tọa độ F(2;0), H(1;-1) Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm H (1;2) là hình chiếu vuông góc A trên đoạn BD, M( ;3 ) là trung điểm cạnh BC Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ADH là d: x + y − = Viết phương trình cạnh BC Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A(1;4), tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác góc ADB có phương trình x- y + = 0, điểm M(-4;1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB C Kết luận và kiến nghị đề xuất Yếu tố vuông góc bài toán hình học tọa độ mặt phẳng Oxy là yếu tố quan trọng để giải nhiều bài toán khó Trên sở bài toán gốc, chúng ta có thể xây dựng các bài toán liên quan, từ đó chúng ta đưa vào đó các yếu tố tọa độ để vẽ nên các bài toán tọa độ thú vị Chuyên đề có ý nghĩa việc xây dựng cho HS các tư hình học, giúp HS giải nhanh gọn các bài toán hình học phẳng dựa vào yếu tố giải tích thì không thể giải được, giải thì lời giải dài dòng phức tạp Hi vọng đây là tài liệu quý giúp GV và HS quá trình dạy học Từ đó hình thành cho HS kỹ giải vấn đề sống sau này cách đơn giản, nhanh gọn và chính xác Qua chuyên đề này tôi mong các đồng chí góp ý, bổ sung thêm số bài toán khác góc, độ dài, quan hệ song song để chuyên đề hoàn thiện và trở thành tư liệu quý cho HS và GV quá trình giảng dạy và học tập Kỳ Lâm, tháng năm 2016 Hoàng Ngọc Hùng FB.com/mathvncom 14 14 (15)