Tính với đáy, BAD theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBC.. 3a , hình 2 chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB.[r]
(1)(2) Gv: Trần Quốc Nghĩa MỤC LỤC Bài Quan hệ vuông góc - Khoảng cách Bài Hình chóp - Khối đa diện Bài Hình lăng trụ - Hình hộp 23 Bài Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu 28 (3) Tài liệu LTĐH - Hình không gian Bài Quan hệ vuông góc - Khoảng cách Cho hình vuông ABCD cạnh a mặt phẳng (P) Hai điểm M, N di động trên hai cạnh CB và CD Đặt CM = x, CN = y Trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S Tìm hệ thức x, y để: a) Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo thành góc 450 b) Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với ĐS: a) xy 2a( x y ) 2a b) x a( x y ) ĐH Kiến trúc TpHCM - 94 Trên các cạnh Ox, Oy, Oz tam diện vuông Oxyz, lấy ba điểm A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c Gọi H là trực tâm ABC a) Tính độ dài OH và diện tích tam giác ABC b) Khi a, b, c thay đổi cho a b2 c k với k là số dương, tìm giá trị lớn độ dài OH, diện tích tam giác ABC c) Chứng minh a tan A b tan B c tan C ĐH NL TpHCM - 95 ĐS: b) OH max a) OH k k2 k ; S ABC(max) a b c abc 2 2 b c c a a b ; S ABC 2 b c c a a b2 Cho tam diện vuông đỉnh O Trên ba cạnh tam diện lấy ba điểm A, B, C cho AC = 2OB, BC = 2OA a) M, N là chân các đường vuông góc kẻ từ O xuống AC và BC Chứng minh MN vuông góc với OC b) Tính cos MON c) Gọi D là trung điểm AB Chứng minh: ĐH Kinh tế TpHCM - 95 MN tan OCD 1 AB tan OCA ĐS: b) cos MON / Cho tứ diện ABCD cho AB = 2x, CD = 2y và cạnh còn lại có độ dài a) Tính diện tích toàn phần tứ diện theo x và y b) Xác định x và y để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn ĐH DL Ngoại ngữ - Tin học - 97 ĐS: a) S x x y y b) S max x y / (4) Gv: Trần Quốc Nghĩa Cho hình chóp O.ABC với OA, OB, OC vuông góc với đôi và OA = a, OB = b, OC = c a) Kẻ OH (ABC) Chứng minh H là trực tâm ABC b) Chứng minh H là trực tâm ABC thì OH (ABC) c) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c d) Chứng minh a tan A b tan B c tan C ĐH Ngoại ngữ HN - 97 ĐS: c) S ABC 2 b c c a a b2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt SA = h a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và H là trực tâm SBC Chứng minh OH (SBC) ĐH QG TpHCM khối A - 97 ĐS: a) 3a 4h Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m, CD = 2n a) Xác định vị trí và tính độ dài đường vuông góc chung IJ hai cạnh đối AB và CD (I AB, J CD) b) Một mặt phẳng () vuông góc với IJ O cho JO = x Vẽ thiết diện MNPQ mặt phẳng () cắt tứ diện Tính diện tích thiết diện Xác định vị trí điểm O để thiết diện có diện tích lớn và tính giá trị lớn đó ĐS: a) d IJ a n m ĐH Văn Lang khối A - 97 b) S ah 4mnx( d x ) d ; Smax mn x a n m2 Cho ABC vuông A với BC = a và AC = b S là điểm di động trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) C Mặt phẳng (P) qua C và vuông góc với SB cắt SA và SB H và K a) Chứng minh CH (SAB) và tìm quỹ tích H S di động trên d b) Đặt SC = x Tính độ dài HK theo a, b và x ĐH QG TpHCM đợt - 98 ĐS:a) Đường tròn đkính CA mp(A; d) b) HK x a b2 ( x a )( x b2 ) (5) Tài liệu LTĐH - Hình không gian Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy các góc a) Chứng minh hình chóp có các cạnh bên b) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh mặt phẳng (SAI) vuông góc với mặt phẳng (ABC) c) Gọi K là hình chiếu vuông góc A lên SI Chứng minh AK vuông góc với mặt phẳng (SBC) , khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là d Tính d) Cho biết BAC diện tích tam giác ABC theo d, , ĐS: d) S 2d cot sin cos ( α/2 ) ĐH Ngoại ngữ HN - 98 10 Cho tứ diện ABCD, có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại a và CBD vuông a) Chứng minh các góc CAD b) Tính diện tích toàn phần tứ diện ABCD c) Chứng minh: (ACD) (BCD) ĐS: b) S ( )a ĐH Văn hóa - 98 11 Xét hình chóp S.ABC, SA (ABC), SA = h, AB = AC = b, BC = a AD a) D là điểm trên cạnh A, hãy xác định tỉ số x (0 < x < 1) AB cho mặt phẳng qua D, song song với SA và BC cắt hình chóp theo thiết diện là hình vuông b) Tìm mối liên hệ a, b, h để tam giác SBC là tam giác vuông HV Ngân hàng khối D ban C - 98 12 h ; b) a 2( b h ) ah Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông 450 Gọi B Cho BSC ASB , tìm để góc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) 600 ĐH Y khoa HN - 99 13 ĐS: a) x ĐS: cos / Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng () song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB M, N, P, Q a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Xác định vị trí () diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn ĐH SP Vinh khối D - 99 ĐS: () qua trung điểm các cạnh AB, AC, CD, DB (6) Gv: Trần Quốc Nghĩa 14 2 Trên đường thẳng Cho ABC cân A có AB = AC = a và góc BAC d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho SA = 2a Gọi I là trung điểm BC Hạ AH SI a) Chứng minh AH (SBC) Tính độ dài AH theo a và AK b) Gọi K là điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt x Mặt phẳng (R) AI qua K và vuông góc với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tính diện tích tứ giác này ĐH Quốc gia TpHCM Khối D - 99 15 ĐS: a) 2 a2 c) arccos Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt SA = h a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và H là trực tâm SBC Chứng minh: OH (SBC) HV Chính trị QG TpHCM - 01 17 ĐS: MNPQ là hcn, S = 4a2x(1 - x)sin Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a a) Tính diện tích tam giác SBD theo a b) Chứng minh BD SC c) Tính góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) ĐH SP Vinh - 99 16 ĐS: a) ah 3a 4h Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a , SC (ABC), ABC vuông A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a và t b) Tìm giá trị t để đoạn MN ngắn c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung BC và SA ĐH Đà Nẵng khối A - 01 ĐS: a) MN 3t 4at 2a b) t = 2a/3 (7) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 18 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC = a Kí hiệu K, M, N là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Gọi E là điểm đối xứng O qua K và I là giao điểm CE với mặt phẳng (OMN) a) Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng (OMN) b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a ĐS: a /6 ĐH Huế khối A - 01 19 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M và N là trung điểm các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) ĐS: a 10 /16 (đvdt) ĐH Khối A - 02 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Dự bị ĐH Khối B - 02 21 ĐS: 3a /5 Cho tứ diện OABC có ba cạnh đôi vuông góc với Gọi , , là các góc mặt phẳng (ABC) với các mặt (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh: cos cos cos Dự bị ĐH Khối B - 02 22 Cho hình tứ diện ABCD, cạnh a = cm Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AD và BC Dự bị ĐH Khối D - 02 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA Dự bị ĐH Khối D - 02 24 ĐS: cm a ĐS: a / Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = cm; AB = cm; BC = cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) ĐH Khối D - 02 ĐS: 34 /17 (cm) (8) Gv: Trần Quốc Nghĩa 25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B và AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh rằng, tam giác AMB cân M và tính diện tích tam giác AMB theo a ĐS: a 2 /2 (đvdt) Dự bị ĐH Khối D - 03 26 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh 2S abc (a b c) Dự bị ĐH Khối D - 03 27 ĐS: S a b b2 c c2 a /2 (đvdt) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN và AC ĐH Khối B - 07 28 ĐS: a /4 900 , Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BAD BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SB Chứng minh SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ĐH Khối D - 07 29 ĐS: a/3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Hệ CĐ ĐH Sài Gòn Khối D - 07 ĐS: a 11 /4 (9) Tài liệu LTĐH - Hình không gian Bài Hình chóp - Khối đa diện 30 Trong mp(P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với (P) O cho OS = R Gọi I là điểm thuộc đoạn SO với SI = 2R , M là điểm thuộc (C) SH với H là hình chiếu I lên SM Từ đó suy quỹ tích SM H M di động trên (C) b) Xác định vị trí M trên (C) để hình chóp H.AMB có thể tích lớn Tính giá trị lớn này c) Tính góc tạo hai mặt phẳng (SAB) và (SMB) BAM ĐH Bách khoa TpHCM - 94 ĐS: a) SH/SM=1/2 a) Tính tỉ số b) Vmax R3 /8 M trung điểm AB c) arctan2 31 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) A, lấy điểm S cho SA = h (h > 0) M là điểm di động trên cạnh SB Gọi I, J là các trung điểm BC và AB a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SI và AB b) Tính tỉ số thể tích các hình chóp BMIJ và BSCA độ dài đoạn vuông góc chung hai đường AC và MJ đạt giá trị lớn ĐH Bách khoa TpHCM - 95 ĐS: a) bh b 4h 32 b) V BMIJ VBSCA Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi Xét tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm tam diện Một mặt phẳng qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là a, b, c a) Chứng minh tam giác ABC không phải là tam giác vuông a b c b) Chứng minh: 1 OA OB OC c) Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ ĐH Y Dược TpHCM - 95 ĐS: c) Vmin abc OA 3a;OB 3b;OC 3c (10) Gv: Trần Quốc Nghĩa 33 Cho tứ diện SABC có các góc phẳng đỉnh S vuông a) Chứng minh 3S ABC S SAB S SBC S SAC b) Biết SA = a, SB + SC = k Đặt SB = x Tính VSABC theo a, k, x và xác định SB, SC để VSABC lớn ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 96 34 ĐS: b) V Cho tam giác ABC, AB = AC Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) A (M A) a) Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H tam giác ABC b) Gọi O là trực tâm tam giác ABC, hãy xác định vị trí điểm M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn ĐH Quốc gia HN Khối B - 97 35 ĐS: AM AM AD Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi H là hình chiếu vuông góc A xuống mặt phẳng (BCD) và O là trung điểm AH a) Tính thể tích tứ diện ABCD b) Chứng minh: AB CD Tính khoảng cách AB, CD theo a c) Chứng minh: OB, OC, OD đôi vuông góc với d) Xác định điểm M không gian cho: MA2 MB MC MD đạt giá trị nhỏ ĐH QG TpHCM khối D - 97 36 k ax( k x ) ; SB SC ĐS: a) V a3 a b) c)M G (trọng tâm) 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và có độ dài a Mặt phẳng qua CD cắt các cạnh SA, SB M và N Đặt AM = x a) Tứ giác MNCD là hình gì ? Tính diện tích MNCD theo a và x b) Xác định giá trị x để tỉ số thể tích hai khối chóp S.MNCD và S.ABCD ĐH QG TpHCM khối A - 97 ĐS: a) S ( 2a x ) a x /2 (đvdt) b) x 2a/3 37 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, tất các cạnh a a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên hình chóp ĐH Đà Nẵng khối D - 97 38 ĐS: a3 /6 (đvtt); a /6 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C) Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cùng phía (11) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 10 mặt phẳng đó Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n a) Tính thể tích hình chóp B.AMNC 900 b) Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện a, m, n để MIN ĐH Quốc gia HN khối D - 97 ĐS: a) V ( m n )a /6 (đvtt); b) MN 2a ( m n )2 ; MIN 90 a 2mn 39 AB là đường vuông góc chung hai đường thẳng x, y chéo nhau, A thuộc x, B thuộc y Đặt độ dài AB = d M là điểm thay đổi thuộc x, N là điểm thay đổi thuộc y Đặt AM = m, BN = n (m, n ≥ 0) Giả sử ta luôn có m2 + n2 = k > 0, k không đổi a) Xác định m, n để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ b) Trong trường hợp hai đường thẳng x, y vuông góc với và mn 0, hãy xác định m, n (theo k và d) để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn và tính giá trị đó ĐH Quốc gia HN khối A - 97 ĐS: a) MN max d k k cos m n k/2 và AM ,BN MN d k k cos m n k/2 và AM ,BN (với là góc hai đường thẳng x và y) b) VABMN(max) kd/12 m n k/2 40 Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (S) đường kính AB = 2R Trên đường thẳng vuông góc với (P) A, lấy điểm C cho AC = AB M là điểm thuộc (S), H là hình chiếu A xuống CM a) C/m M di động trên (S) thì H di động trên đường tròn cố định b) Xác định vị trí M trên (S) (tính độ dài AM theo R) cho hình chóp H.ABC có thể tích lớn Tính giá trị lớn đó ĐH Văn Lang khối B, D - 97 41 ĐS: a) Vmax R3 /3 AM 2R /3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Lấy M, N SM SN trên các cạnh SB, SD cho: BM DN SP a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC P Tính tỉ số CP b) Tính VS.AMPN theo VS.ABCD ĐH Cần Thơ khối A - 98 ĐS: a) SP/CP=1 b) VS.AMPN =VS.ABCD /3 (12) Gv: Trần Quốc Nghĩa 42 11 Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lất ba điểm A, B, C a) Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c b) Giả sử A, B, C thay đổi luôn thỏa: OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi Hãy xác định giá trị lớn thể tích tứ diện OABC ĐH Ngoại thương khối A - 98 b) Vmax 43 2 a b b2 c c a 2 k3 k a b c 162(1 )3 3(1 ) ĐS: a) S Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng a a) Chứng minh SA SC b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a c) Tính khoảng cách đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC) ĐS: b) V=a /6 c) a /3 ĐH Cần Thơ khối D - 98 44 Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D, E, F là các điểm mà AD x AB , AE x AC , x là số dương nhỏ Mặt phẳng qua D, E, F chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó theo x HV Ngân hàng khối D ban B - 98 45 ĐS: ( x )2 ( 2x ) x ( 2x ) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD =BC= a, AC =BD = b, AB = CD = c a) Chứng minh đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện là đoạn vuông góc chung các cặp cạnh đó b) Tính thể tích tứ diện theo a, b, c ĐH QG TpHCM khối A - 98 ĐS: b) V 46 ( b c a )( a b c )( c a b ) Hai tia Ax, By nằm trên hai đường thẳng chéo và tạo với góc Đường thẳng AB cùng vuông góc với Ax và By Lấy M Ax, N By Biết AB = d, AM = m, BN = n a) Hãy dựng đường vuông góc chung AB và MN và tính độ dài đường vuông góc chung ó theo m, n, và d b) Tính thể tích tứ diện ABMN ĐH Thái Nguyên khối D - 98 ĐS: a) mn sin 2 m n 2mn cos b) V dmn sin (13) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 47 12 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x và các cạnh còn lại a) Chứng minh SA SC b) Tính thể tích hình chóp Xác định x để bài toán có nghĩa Phân viện Báo Chí Tuyên Truyền - 98 48 ĐS: a) V Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a và CD = 2a a) Chứng minh AB CD Hãy xác định đường vuông góc chung B và CD b) Tính thể tích tứ diện ABCD ĐS: b) a / CĐ Kỹ nghệ TpHCM - 98 49 Cho tứ diện ABCD có cạnh a a) Chứng minh đường thẳng nối các trung điểm cặp cạnh đối tứ diện là đường vuông góc chung cặp cạnh đó b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo a c) Một mặt phẳng () song song với các cạnh AB, CD cắt ứ diện theo thiết diện PQRS (P BC, Q AC, R AD, S BD) Chứng minh PQRS là hình chữ nhật, tìm vị trí () để PQRS là hình vuông CĐ SP Nghệ An - 98 50 x x x ĐS: b) V a3 c) () qua trung điểm BC 12 Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo và vuông góc với nhau, có AB là đường vuông góc chung, AB = a Ta lấy các điểm M trên Ax, N trên By với AM = x, BN = y a) Chứng minh các mặt bên tứ diện ABMN là các tam giác vuông b) Tính thể tích và diện tích toàn phần tứ diện ABMN theo a, x, y ĐH QG TpHCM khối D - 98 ĐS: b) Stp ( x a y ax y a y ay ) /2 ; V axy/6 51 Trong mặt phẳng () cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R Gọi C là điểm di động trên (T) Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng () lấy điểm S cho SA = R Hạ AH SB, AK SC a) Chứng minh: AK (SBC), SB (AHK) b) Tìm quỹ tích điểm K C thay đổi Tìm giá trị lớn thể tích tứ diện SAHK ĐH Cần Thơ - 99 ĐS: Vmax R3 /75 (đvtt) (14) Gv: Trần Quốc Nghĩa 52 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại a) Tính thể tích hình chóp theo x, y b) Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn ? ĐH An ninh - 99 53 ĐS: a) V xy x2 y 2 1 (đvtt); x y Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác với AD = 2a, AB = BC = CD = a và đường cao SO = a , đó O là trung điểm AD a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a b) Gọi () là mặt phẳng qua A và vuông góc với SD Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng () ĐS: a) V 3a / ĐH Quy Nhơn - 99 54 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA (ABC) và SA = a Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh AB Đặt ACM , hạ SH CM a) Tìm quỹ tích các điểm H Suy giá trị lớn VSAHC b) Hạ AI SC, AK SH Tính SK, AK và thể tích tứ diện SAIK theo a ĐS: a) Vmax a / 12 ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 99 b) SK 55 a sin ; AK a sin sin ;VSAIK a sin cos 12( sin2 ) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm là O Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và cùng phía (P) ta lấy hai điểm M, N Đặt AM = x, CN = y a) Tính độ dài MN Từ đó chứng minh điều kiện cần và đủ để tam a2 b) Giả sử M, N thay đổi cho tam giác OMN vuông O Tính thể tích giác OMN vuông O là xy tứ diện BDMN Xác định x, y để thể tích tứ diện này ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 99 a b) V a3 ĐS: a) MN 2a ( x y )2 a x a a4 a2 a3 x 2 ( x y ) x y ; V a 4 y y a (15) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 56 14 Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân, AB = AC = 3a, BC = 2a Biết các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với mặt phẳng đáy (ABC) góc 600 Kẻ đường cao SH hình chóp a) Chứng tỏ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SA BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS: 2a 3 /3 (đvtt) ĐH Quốc gia HN Khối D - 01 57 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đường cao SH và mặt phẳng () qua điểm A vuông góc với cạnh bên SC Biết mp() cắt SH H1 mà SH1: SH = 1:3 và cắt các cạnh bên SB, SC, SD B, C, D a) Tính tỉ số diện tích thiết diện ABCD và diện tích đáy hình chóp b) Cho biết cạnh đáy hình chóp a Tính thể tích hình chóp S.ABCD ĐH SP HN II Khối A - 01 58 ĐS: a) S AB' C' D' 15 a3 b) V (đvtt) S ABCD 15 90 Cho hình chóp S.ABC đỉnh S có các cạnh đáy a, đường cao SH = h a) Xác định thiết diện tạo hình chóp và mặt phẳng (P) qua cạnh BC và vuông góc với SA b) Nếu h = a thì mặt phẳng (P) chia thể tích hình chóp đã cho theo tỉ số nào ? ĐH GTVT HN - 01 59 ĐS: b)17/20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB = 2a; BC = a Các cạnh bên hính chóp và a a) Tính thể tích khối chóp theo a b) Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và CD, K là điểm trên a cạnh AD cho AK = Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng MN và SK theo a ĐH Kinh tế QD HN - 01 60 ĐS: a) a 3 /3 b) a 21 /7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông các đỉnh A và D Biết AB = 2a, AD = CD = a, (a > 0) Cạnh bên SA = 3a vuông góc với đáy a) Tính diện tích tam giác SBD theo a b) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a ĐH DL Đông đô - 01 ĐS: a) 7a /2 b) a /2 (16) Gv: Trần Quốc Nghĩa 61 15 Trong không gian, cho đoạn OO = h và nửa đường thẳng Od, Od cùng vuông góc với OO và vuông góc với Điểm M chạy trên Od, điểm N chạy trên Od cho ta luôn có OM2 + ON2 = k2, k cho trước a) Chứng minh đoạn MN có độ dài không đổi b) Xác định vị trí M trên Od, N trên Od cho tứ diện OOMN có thể tích lớn HV Ngân hàng - 01 ĐS: a) MN k h2 b) Vmax hk /2 OM O' N k /2 62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Đặt ACM Hạ SN CM a) Chứng minh N luôn thuộc đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a và b) Hạ AH SC, AK SN Chứng minh SC (AHK) và tính HK ĐH QG TpHCM Khối A - 01 63 ĐS:a) V a cos a 2 s in2 b) HK sin Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a, AC = b, AD = c và CAD DAB 600 BAC Dự bị ĐH Khối A - 02 64 ĐS: abc /12 (đvdt) Trên các tia Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với lấy các điểm khác O là M, N và S với OM = m, ON = n và OS = a Cho a không đổi, m và n thay đổi cho m + n = a a) Tính thể tích khối chóp S.OMN Xác định vị trí các điểm M và N cho thể tích trên đạt giá trị lớn MSN NSO 900 b) Chứng minh: OSM ĐS: m n a / CĐ Sư phạm Nha Trang - 02 65 Cho hình chóp S.ABC, cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc (00 < < 900) Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Dự bị ĐH Khối B - 03 ĐS: a tan a sin (đvtt); 22 (17) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 66 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy (00 < < 900) Tính tan góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ĐH Khối B - 04 67 16 ĐS: tan ; a3 tan (đvtt) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N là trung điểm AD và SC, I là giao điểm BM và AC Chứng minh mp(SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB ĐS: a /36 (đvtt) ĐH Khối B - 06 68 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ĐS: 3a /50 (đvtt) ĐH Khối D - 06 69 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = Dự bị ĐH Khối A - 06 70 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH là đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt phẳng bên (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD Dự bị ĐH Khối D - 06 71 ĐS: 10 3a /27 (đvtt) ĐS: a3b (đvtt) a 16b2 600 , SA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD vuông góc với mp(ABCD), SA = a Gọi C là trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD hình chóp B, D Tính thể tích khối chóp S.ABCD Dự bị ĐH Khối B - 06 ĐS: a 3 /18 (đvtt) (18) Gv: Trần Quốc Nghĩa 72 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP ĐS: a 3 /96 (đvtt) ĐH Khối A - 07 73 Cho hình chóp S.ABC có góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 600, ABC và SBC là các tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC) Dự bị ĐH Khối A - 07 74 ĐS: 3a/ 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H và K là hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK ĐS: 2a /27 (đvtt) Dự bị ĐH Khối B - 07 75 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) 600 Gọi H, K là hình chiếu A trên SB, SC Chứng minh AHK vuông và tính VSABC? ĐS: R /12 (đvtt) Dự bị ĐH Khối B - 07 76 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c Tính thể tích tứ diện đó CĐ KT- CN HCM - 07 77 ĐS: 2( b2 c a )( c2 a b2 )( a b c2 ) / 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi G là trọng tâm a Tính khoảng cách từ tâm O đáy đến mặt bên SCD và thể tích khối chóp S.ABCD tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD Hệ CĐ ĐH Sài Gòn Khối A, B - 07 78 ĐS: a) a /4 ; b) a 3 /6 (đvtt) Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh Biết thể tích là V 9a3 Tính độ dài cạnh hình chóp CĐ KT Đối ngoại - 07 ĐS: 3a (19) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 79 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy, ACB 600 , BC = a, SA = a Gọi M là trung điểm cạnh SB a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối tứ diện MABC ĐS: a /4 (đvtt) CĐ Cao Thắng - 07 80 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ĐH Khối B - 08 81 ĐS: V = a 3 /3 (đvtt) , cosφ = /5 900 , Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BAD AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N là trung điểm SA, SD Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a ĐS: a / (đvtt) CĐ - 08 82 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E AB và SE = 2a Gọi I, J là trung điểm EC, SC; M là ( 900 ) và H là điểm di động trên tia đối tia BA cho ECM hình chiếu vuông góc S trên MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a, và tìm để thể tích đó lớn Dự bị ĐH Khối A - 08 83 5a s in2 (đvtt) , = 24 Cho hình chóp S.ABC mà mặt bên là tam giác vuông, SA = SB = SC = a Gọi N, M, E là trung điểm các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng S qua E ; I là giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN) Chứng minh AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI Dự bị ĐH Khối A - 08 84 ĐS: V = ĐS: V = a3/36 (đvtt) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin góc hai đường thẳng SB, AC Dự bị ĐH Khối B - 08 ĐS: V = a3 /6 (đvtt); /4 (20) Gv: Trần Quốc Nghĩa 85 Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo góc hai đường thẳng AD, BC Dự bị ĐH Khối B - 08 86 ĐS: V = 3a3 15 /5 (đvtt) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N và P là trung điểm các cạnh SA, SB và CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP CĐ - 09 90 ĐS: 8a /45 (đvtt) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính VS.ABCD theo a ĐH Khối A - 09 89 ĐS: AQ/AD = 3/5 ; V1 /V2 = 7/13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC H, K Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK Dự bị ĐH Khối D - 08 88 ĐS: V = a /12 (đvtt); 600 Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P thuộc các cạnh BC, BD, AC cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (MNP) cắt AD AQ Q Tính tỉ số và tỉ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD AD phân chia mặt phẳng (MNP) Dự bị ĐH Khối D - 08 87 19 ĐS: a /48 (đvtt) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a ĐH Khối A - 10 91 ĐS: V = 5a3 /24 (đvtt) , 2a / 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD CĐ - 10 ĐS: a /6 (đvtt) (21) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 92 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H AC thuộc đoạn AC, AH = Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và tính VSMBC theo a ĐS: V = a 14 /48 (đvtt) ĐH Khối D - 10 93 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a ĐS: V = a 3 (đvtt); 2a 39 /13 ĐH Khối A - 11 94 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách SB 2a và SBC từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a ĐH Khối D - 11 95 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 300 Gọi M là trung điểm cạnh SC.Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a CĐ Khối A, B, D - 11 96 ĐS: V = a 3 /36 (đvtt) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a ĐH Khối A & A1 - 12 97 ĐS: V = 2a 3 (đvtt); 6a /7 ĐS: V = a /12 (đvtt); d( SA,BC ) a 42 /8 Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a ĐH Khối B - 12 ĐS: V = 7a 11/96 (đvtt) (22) Gv: Trần Quốc Nghĩa 98 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, ABC 30 , SBC là tma giác cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a VS.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) ĐH Khối A & A1 - 13 99 21 ĐS: V = a /16 (đvtt); d( C,SAB ) a 39 /13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) ĐH Khối B - 13 ĐS: V = a3 /6 (đvtt); d( A,SCD ) a 21 /7 100 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc 1200 , M là trung điểm cạnh BC và SMA 450 Tính với đáy, BAD theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) ĐH Khối D - 13 ĐS: V = a /4 (đvtt); d( D,SBC ) a /4 3a , hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khẳng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 101 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD ĐH Khối A & A1 - 14 ĐS: V = a /3 (đvtt); d( A,SBD ) 2a/3 102 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SA, BC ĐH Khối D - 14 ĐS: V = a 3 /24 (đvtt); d( BC,SA ) a /4 103 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) CĐ các khối - 14 ĐS: V = a /3 (đvtt); d( B,( SCD )) a /3 104 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD), góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SB, AC (23) Tài liệu LTĐH - Hình không gian THPT Quốc gia - 2015 22 ĐS: V = a /3 (đvtt); d( AC,SB ) a 10 / 105 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân B, ABC 1200 , AB = a, SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) 450 Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm SM Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABN) THPT Quốc gia (đề dự bị) - 2015 ĐS: V = a 3 /24 ; d( C,( ABN )) a 21 / (24) Gv: Trần Quốc Nghĩa 23 Bài Hình lăng trụ - Hình hộp 106 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AA = a, AB = b, AD = c Tính thể tích tứ diện ACBD theo a, b, c HV Quan hệ QT - 97 ĐS: V = abc/3 (đvtt) 107 Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh a a) Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng AA và BD b) Chứng minh đường chéo BD vuông góc với mặt phẳng (DAC) HV Quan hệ QT - 98 108 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh đáy 2a và chiều cao a a) Dựng thiết diện lăng trụ tạo mặt phẳng qua B và vuông góc với cạnh AC b) Tính diện tích thiết diện nói trên ĐH Huế khối B - 98 ĐS: b) S 3a 15 /8 109 Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh a và điểm M trên cạnh AB, AM = x, < x < a Xét mặt phẳng (P) qua điểm M và chứa đường chéo AC hình vuông ABCD a) Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (P) b) Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, hãy tìm x để thể tích hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích khối đa diện HV Ngân hàng khối D - 99 ĐS:a) S x2 ( 2a x ) a 2 3 b) x a 110 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD và điểm M trên cạnh AD Mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AC hình hộp điểm H a) Chứng minh M thay đổi trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng AB điểm cố định b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo mặt phẳng (ABM) cắt hình hộp trường hợp M là trung điểm cạnh AD c) Giả sử AA = AB và MB vuông góc với AC Chứng minh mặt phẳng (ABM) vuông góc với AC và điểm H là trực tâm ABM ĐH Ngoại ngữ HN - 99 ĐS: b) 1/11 (25) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 24 111 Cho hình lập phương ABCD.ABCD với cạnh a Giả sử M và N là trung điểm BC và DD a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABD) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD và MN theo a ĐH Ngoại thương TpHCM - 01 ĐS: a /6 112 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, AD = 2a, AA = a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và BC b) Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) c) Tính thể tích tứ diện ABDC ĐS: a) a; b) a/2 c) 2a3/3 Học viện CN BCVT - 01 113 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD (AA, BB, CC, DD) song song và AC là đường chéo hình chữ nhật ABCD) có AB = a, AD = 2a, AA = a ; M là điểm thuộc đoạn AD, K là trung điểm BM a) Đặt AM = m (0 m < 2a) Tính thể tích khối tứ diện AKID theo a và m, đó I là tâm hình hộp Tìm vị trí điểm M để thể tích đó đạt giá trị lớn b) Khi M là trung điểm AD: i) Hỏi thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (BCK) là hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó theo a ii) Chứng minh BM tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA ĐH SP Hà Nội khối B - 01 ĐS: a) V a 2( 2a m ) a3 , Vmax M A 24 12 b) Hình thang, S 3a 2 /2 114 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, BC = b, AA = c a) Tính diện tích tam giác ACD theo a, b, c b) Giả sử M và N là trung điểm AB, BC Hãy tính thể tích tứ diện DDMN theo a, b, c HV QHQT khối D - 01 ĐS: a) S ACD' 2 2 2 abc a b b c c a ; b) V 115 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B và B1D b) Gọi M, N, P là các trung điểm các cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP và C1N ĐH Khối B - 02 ĐS: a /6 ; 900 (26) Gv: Trần Quốc Nghĩa 25 116 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a Giả sử M, N là trung điểm BC, DD1 Tính khoảng cách hai đường thẳng BD và MN theo a CĐ KTKT Hải Dương - 02 ĐS: a /6 117 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thoi 600 Gọi M là trung điểm cạnh AA và N là trung điểm cạnh cạnh a, BAD CC Chứng minh bốn điểm B, M, D, N cùng thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là hình vuông ĐH Khối B - 03 ĐS: AA' a 118 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và 1200 , cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng góc BAC minh rằng, tam giác AB'I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) Dự bị ĐH Khối A - 03 ĐS: cos 30 /10 119 Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tìm điểm M thuộc cạnh AA cho mặt phẳng (BDM) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Dự bị ĐH Khối B - 03 ĐS: M trung điểm AA 120 Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có các cạnh AB = AD = a, a 600 Gọi M và N là trung điểm các cạnh và BAD AD và AB Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN AA = Dự bị ĐH Khối A - 06 ĐS: 3a /16 (đvtt) 121 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a và điểm K thuộc cạnh CC cho: CK = a Mặt phẳng () qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện đó Dự bị ĐH Khối D - 06 ĐS: a /3; 2a /3 (đvtt) 122 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi O1 là tâm hình vuông A1B1C1D1 Tính thể tích khối tứ diện A1O1BD CĐ Điện lực TpHCM - 06 ĐS: a /6 (đvtt) (27) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 26 123 Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AC = b, ACB 600 Đường chéo BC mặt bên BBCC tạo với mặt phẳng (AACC) góc 300 a) Tính độ dài đoạn AC b) Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: 3b ; b (đvtt) CĐ Kỹ thuật Cao Thắng - 06 124 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có A.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA = b Gọi là góc mp (ABC) và (ABC) Tính tan và thể tích khối chóp A.BBCC Dự bị ĐH Khối B - 06 ĐS: tan 3b2 a a 3b a ; (đvtt) a 125 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a và 1200 Gọi M là trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB MA1 BAC và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Dự bị ĐH Khối A - 07 ĐS: a /3 126 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 a Gọi M, N là trung điểm đoạn AA1 và BC1 Chứng minh MN là đường vuông góc chung các đường thẳng AA1 và BC1 Tính VMA 1BC ĐS: a /12 (đvtt) Dự bị ĐH Khối D - 07 127 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất các cạnh a M là trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM B1C và tính d(BM, B1C) Dự bị ĐH Khối D - 07 ĐS: a 30 /10 128 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a và hình chiếu vuông góc đỉnh A' trên mp(ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C' ĐH Khối A - 08 129 Cho lăng ĐS: V = a /2 (đvtt) , cosφ=1/4 trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C ĐH Khối D - 08 ĐS: V = a /2 (đvtt) , a /7 (28) Gv: Trần Quốc Nghĩa 27 130 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có BB = a, góc đường thẳng BB và mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C và 600 Hình chiếu vuông góc điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng BAC với trọng tâm tam giác ABC Tính VAABC theo a ĐS: V = 9a /208 (đvtt) ĐH Khối B - 09 131 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA = 2a, AC = 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AC, I là giao điểm AM và AC Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) ĐS: V = 4a /9 (đvtt) , 2a /5 ĐH Khối D - 09 132 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD a Hình chiếu vuông góc điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a ĐS: V = 3a /2 (đvtt); a /2 ĐH Khối B - 11 133 Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác AAC vuông cân, AC = a Tính thể tích khối tứ diện ABBC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) theo a ĐS: V = a /48 (đvtt); d( A,( BCD')) a /6 ĐH Khối D - 12 134 Cho lăng trụ ABC.ABC có AB = a và đường thẳng AB tạo với đáy góc 600 Gọi M và N là trung điểm các cạnh AC và BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC và độ dài đoạn thẳng MN CĐ Khối A, A1, B, D - 13 ĐS: V = 3a /4 (đvtt); MN a 13 /2 135 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng AC và mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACCA) ĐH Khối B - 14 ĐS: V = 3a 3 /8 (đvtt); d( B,( ACC' A')) 3a 13 /13 (29) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 28 Bài Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu 136 Cho tứ diện SABC có SA (ABC), góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) 450 , 900 Biết SB a , BSC ASB (00 < < 900) a) Chứng minh BC SB Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b) Tính VSABC Với giá trị nào thì thể tích đó lớn c) Xác định để góc hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) 600 ĐH Sư phạm TpHCM - 94 ĐS: a) R a ; a3 450 c) arctan b) V a s in2 ; Vmax 3 137 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân, AB = AC = a, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = SB = a a) Chứng tỏ SBC là tam giác vuông S b) Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết SC = x ĐH Tổng hợp TpHCM - 94 ĐS: b) R a / 3a -x 138 Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng d và điểm A ngoài d Một góc di động quay quanh A, cắt d B và C Trên đường thẳng qua A và xAy vuông góc với (P) lấy điểm S Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc A lên SB và SC a) Chứng minh A, B, C, H, K cùng thuộc mặt cầu 600 b) Tính bán kính mặt cầu trên biết AB = 2, AC = 3, BAC c) Giả sử ABC vuông A Chứng minh mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn luôn qua đường tròn cố định S thay đổi ĐH Y Dược TpHCM - 94 ĐS: b) R 21 /3 1200 , 900 Trên các tia 139 Cho góc tam diện Sxyz với xSy ySz 600 , zSx Sx, Sy, Sz lấy các điểm A, B, C cho: SA = SB = SC = a a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông Xác định hình chiếu vuông góc H S lên mặt phẳng (ABC) b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a c) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) và (BAC) ĐH Sư phạm TpHCM - 95 ĐS: b) r a /2(1+ 2+ ) ; c) 450 (30) Gv: Trần Quốc Nghĩa 29 140 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a và CD = 2a a) Chứng minh AB vuông góc với CD Hãy xác định đường vuông góc chung AB và CD b) Tính thể tích tứ diện ABCD c) Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD d) Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc điểm I trên mặt phẳng (ABC) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC ĐS: b) V a /3 ; c) I là trung điểm CD ĐH Qui Nhơn - 97 141 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = và đáy ABC có cạnh Điểm M, N là trung điểm cạnh AC, AB Tính VS.AMN và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó ĐH Kinh tế QD HN - 97 ĐS: V /2 ; r /(1+2 2+ ) 142 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S khác A a) Chứng minh tứ diện SABC có cặp cạnh đối diện vuông góc với b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Tính bán kính mặt cầu này mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 300 c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiêp tứ diện SABC S chạy trên d (S khác A) d) Lấy S đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng qua S, M và song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diện tích thiết diện đó SA = a ĐS: b) R a 42 /6 ; d) S 5a 10 /36 ĐH Vinh - 97 143 Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy ba điểm A, B, C a) Tính d[O, (ABC)] theo OA = a, OB = b, OC = c b) Giả sử A cố định còn B và C thay đổi luôn thỏa mãn: OB + OC = OA Hãy xác định vị trí B và C cho thể tích tứ diện OABC là lớn Chứng minh đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC lại nhỏ ĐH Ngoại thương CSII khối A - 98 ĐS: a) abc/ a b2 +b c +c a b) Vmax a /24 a b a/2 (31) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 30 144 Cho đường tròn tâm O bán kính R Xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (S và A cố định), SA = h cho trước, đáy ABCD là tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho mà các đường chéo AC và BD vuông góc với a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b) Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn ? ĐH Quốc gia HN khối B - 98 ĐS: a) R' h2 +4R /2 ; b) Hình vuông 145 Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (C) bán kính a, chiều cao h = 3a/4 và cho hình chóp đỉnh S, đáy là đa giác lồi ngoại tiếp (C) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp (mặt cầu bên hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên hình chóp) Biết thể tích khối chóp lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần hình chóp HV CNBCVT - 98 ĐS: r a/3; Stp 9 a2 146 Bên hình trụ tròn xoay có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó ĐH Ngoại ngữ HN - 99 ĐS: S sx 3πa /2 ; V 3πa 2 /16 1200 , 147 Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ASB 600 , BSC ASC 900 a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông b) Tính thể tích tứ diện SABC c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC HV Chính trị QG - 99 ĐS: b) V d /12 ; c) r d /[2( 3+ 2+1)] 148 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với đôi và SA = a, SB = b, SC = c a) Tính thể tích hình chóp S.ABC Chứng minh hình chiếu vuông góc S trên (ABC) là trực tâm tam giác ABC b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ĐH Bách khoa HN - 00 ĐS: a) V abc/6 ; b) R a +b +c /2 (32) Gv: Trần Quốc Nghĩa 31 149 Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo) và ABEF (AE là đường chéo) không cùng nằm mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện: AB = a, AD = AF = a ; đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF Gọi HK là đường vuông góc chung AC và BF (H thuộc AC, K thuộc BF) a) Gọi I là giao điểm DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF DI Tính tỉ số DF b) Tính độ dài đoạn KH c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK ĐH Sư phạm HN Khối A - 01 ĐS: a) DI a a 3( ) ; b) ; c) r DF 150 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh có độ dài a Trên các đường thẳng vuông góc với (P) B và C lấy các điểm D và E nằm cùng phía (P) cho BD a / 2, CE a a) Tính độ dài các cạnh AD, AE, DE tam giác ADE b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE c) Gọi M là giao điểm các đường ED và BC Chứng minh đường thẳng AM vuông góc với mặt phẳng (ACE) Tính số đo góc hai mặt phẳng (ADE) và (ABC) ĐH BK HN Khối D - 01 ĐS: a) AD a /2, AE 2a, DE a /2 ; b) R a 39 /6 ; c) 600 151 Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD có cạnh a S là điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với (P) A a) Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD SA = 2a b) M, N là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M thuộc CB, N thuộc CD) và đặt CM = m, CN = n Tìm biểu thức liên hệ m và n để các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với góc 450 ĐH Luật, Dược HN - 01 ĐS: a) VC a ; b) 2a 2a( m n ) mn 152 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có các cạnh bên AA1, BB1, CC1, DD1 và độ dài cạnh AB = a Cho các điểm M, N trên cạnh CC1 cho CM = MN = NC1 Xét mặt cầu (K) qua điểm A, B1, M và N a) Chứng minh các đỉnh A1 và B thuộc mặt cầu (K) b) Hãy tính độ dài bán kính mặt cầu (K) theo a ĐH An Giang khối A, B - 01 ĐS: a 211 /18 ; (33) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 32 153 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Trên AB lấy điểm M, trên CC lấy điểm N, trên DA lấy điểm P cho AM = CN = DP = x (0 x a) a) Chứng minh tam giác MNP là tam giác Tính diện tích tam giác MNP theo a và x Tìm x để diện tích nhỏ a b) Khi x , hãy tính thể tích khối tứ diện BMNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ĐS: a) S MNP 3( a x ax ) / ; ĐH Hàng hải - 01 S 3a /8 x a/2 b) V 3a /16 ; R 5a /12 154 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a và mặt chéo (SAC) là tam giác a) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b) Qua A dựng mặt phẳng () vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo () và hình chóp CĐ Sư phạm Khối A - 02 ĐS: R a /3 ; S a /6 (đvdt) 155 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất các cạnh a Chứng minh rằng: a) Đáy ABCD là hình vuông b) Năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó CĐ Sư phạm Hà Tĩnh - 02 ĐS: R a /2 156 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng Trên lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD cùng vuông góc với và AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a ĐH Khối D - 03 ĐS: a /2; a /2 157 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) và 900 Xác định tâm và tính bán (ABC) vuông góc với và góc BDC kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b Dự bị ĐH Khối A - 03 ĐS: R a / 4a -b (34) Gv: Trần Quốc Nghĩa 33 158 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy chiều cao và a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB ĐH Khối A - 06 ĐS: a 3 /12 (đvtt) 159 Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S bất kỳ, dựng mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với SC Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD B, C, D Chứng minh các điểm A, B, C, D, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu cố định CĐ KTKT CN2 - 06 ĐS: Mặt cầu đường kính AC 160 Cho hình nón có đường cao h Một mặt phẳng () qua đỉnh S hình nón tạo với mặt đáy hình nó góc 600, qua hai đường sinh SA, SB hình nón và cắt mặtt đáy hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo 600 Tính diện tích thiết diện SAB CĐ KTKT CN1 - 06 ĐS: 2h /3 (đvdt) 161 Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy, ACB 600 , BC = a, SA a Gọi M là trung điểm cạnh SB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC CĐ KT Y tế I - 06 ĐS: V = a /4 (đvtt) 162 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a và CD = 2a a) Chứng minh AB vuông góc với CD Hãy xác định đường vuông góc chung AB và CD b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD CĐ Kinh tế Kỹ thuật CN2 - 07 163 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB = a, góc hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a ĐH Khối B - 10 ĐS: V = 3a 3 /8 (đvtt) , 7a/12 (35) Tài liệu LTĐH - Hình không gian 34 164 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = a ; SA = SB = SC Góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tính khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS: V = a 3 /3 (đvtt) , R 2a /3 (36)