Thời điểm markov đối với bộ lọc và lọc chỉ số tập

MỤC LỤC Lời nói đầu Chương Thời điểm Markov thời điểm dừng 1.1 Các σ -đại số tự nhiên dãy phù hợp 1.2 Khái niệm thời điểm Markov thời điểm dừng 1.3 Các tính chất thời điểm Markov 1.4 Martingale với thời gian rời rạc 12 Chương Thời điểm Markov lọc (Ft ) lọc số 18 tập (FA ) 2.1 Martingale với thời gian liên tục 18 2.1.1 Định nghĩa 19 2.1.2 Định lý 19 2.2 Thời điểm Markov lọc Ft 20 2.3 Các thời điểm Markov quan trọng 20 2.4 Các tập dừng 24 2.4.1 Các kí hiệu 24 2.4.2 Giả thiết (S) 25 2.4.3 Cấu trúc xác suất số tập 25 2.4.4 Các đại số liên quan đến lịch sử C ∈ C(u) \ A 26 2.4.5 tập dừng 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 LỜI NÓI ĐẦU Khái niệm thời điểm Markov thời điểm dừng công cụ quan trọng để nghiên cứu lí thuyết Matingale Nói cách nơm na: Đối với trị chơi cơng thời điểm Markov tương ứng với chiến lược người chơi, theo người chơi định thời điểm cần chấm dứt chơi vào thông tin thu khứ người chơi Do tầm quan trọng thời điểm Markov nghiên cứu lí thuyết Martingale Vì chúng tơi lựa chọn đề tài "Thời điểm Markov lọc lọc số tập ", làm nôi dung luận văn Chương Thời điểm Markov thời điểm dừng Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở thời điểm Markov thời điểm dừng dãy không giảm σ đại số Fn Chương Thời điểm Markov lọc Ft lọc số tập FA Chương trình bày số kết qủa tương ứng chương trước cho trường hợp Martingale với thời gian liên tục Nói chung chuyển kết qủa từ trường hợp rời rạc sang trường hợp liên tục có vấn đề ta làm tương tự trường hợp rời rạc để chứng minh Tuy nhiên, mở rộng gặp khó khăn mang tính ngun tắc Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành tới Thầy, Cơ giáo tổ Lý thuyết xác suất thống kê toán Khoa Toán - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nhiều hạn chế mặt lực, kiến thức thời gian nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG THỜI ĐIỂM MARKOV VÀ THỜI ĐIỂM DỪNG Thời điểm Markov thời điểm dừng công cụ quan trọng để nghiên cứu lí thuyết Martingale Chương trình bày số kiến thức thời điểm Markov thời điểm dừng dãy không giảm σ - đại số Các định nghĩa tính chất phần phần sau nói chung thay tập số nguyên không âm N∗ = {1, 2, 3, } tập hữu hạn {1, 2, 3, , N }, N ∈ N 1.1 Các σ -đại số tự nhiên dãy phù hợp Giả sử (Xn , n ∈ N) dãy biến ngẫu nhiên Kí hiệu σ(Xk , k ≤ n) σ - đại số nhỏ chứa σ(X1 ), σ(X2 ), , σ(Xn ) Khi đó, dãy (σ(Xk , k ≤ n), n ∈ N) gọi dãy σ -đại số tự nhiên sinh từ dãy biến ngẫu nhiên (Xn , n ∈ N) Giả sử (Xn , n ∈ N) dãy biến ngẫu nhiên, (Fn , n ∈ N) dãy tăng σ -đại số σ - đại số F : F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn ⊂ · · · ⊂ F Khi đó, Xn ∈ Fn , (∀n ∈ N) dãy (Xn , Fn , n ∈ N) gọi dãy phù hợp Chẳng hạn, (Xn , n ∈ N) dãy biến ngẫu nhiên Fn = σ(Xk , k ≤ n) dãy (Xn , Fn , n ∈ N) dãy phù hợp Trong suốt mục mục sau, ta giả thiết (Ω, F, P) không gian xác suất,(Fn , n ∈ N) dãy tăng σ - đại số σ -đại số F F∞ σ -đại số bé chứa tất Fn , (n ∈ N).Hơn nữa, Fn σ -đại số đầy đủ theo nghĩa: A ∈ Fn , B ⊂ A P(A) = B ∈ Fn 1.2 Khái niệm thời điểm Markov thời điểm dừng Định nghĩa Giả sử τ : Ω −→ N ∪ {∞} biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị ∞) Ta nói τ thời điểm Markov dãy tăng σ -đại số σ -đại số F (Fn , n ∈ N), {ω : τ (ω) = n} ∈ Fn , (∀n ∈ N) Nếu thêm vào P(τ < ∞) = τ gọi thời điểm dừng Chú ý τ thời điểm Markov {ω : τ (ω) ≤ n} ∈ Fn , (∀n ∈ N) Thật vậy, điều suy từ bất đẳng thức sau n {ω : τ (ω) ≤ n} = {ω : τ (ω) = k} ∈ Fn , (∀n ∈ N) k=0 {ω : τ (ω) = n} = {ω : τ (ω) ≤ n} \ {ω : τ (ω) ≤ n − 1} ∈ Fn , (∀n ∈ N) Kí hiệu Fτ lớp gồm tất tập A Ω cho A ∈ F∞ A ∩ {τ ≤ n} ∈ Fn , (∀n ∈ N) Như vậy, Fτ gồm biến cố quan sát tính đến thời điểm τ Dễ dàng chứng minh Fτ σ -đại số σ -đại số F Thật *) Ω ∈ Fτ Ω ∩ {τ ≤ n} = {τ ≤ n} ∈ Fn ; *) Giả sử A ∈ Fτ Ac = Ω \ A Ta thấy Ac ∩ {τ ≤ n} = Ω ∩ {τ ≤ n} \ A ∩ {τ ≤ n} = {τ ≤ n} \ A ∩ {τ ≤ n} ∈ Fn Suy Ac ∈ Fτ *) Giả sử Ak ∈ Fτ , k = 1, 2, , tức Ak ∩ {τ ≤ n} ∈ Fn , k = 1, 2, Khi đó, ta có ∞ ( k=1 ∞ Ak ) ∩ {τ ≤ n} = (Ak ∩ {τ ≤ n}) ∈ Fn , k=1 Suy ∞ Ak ∈ Fτ k=1 Ví dụ Nếu τ (ω) = k (k ∈ N), hiển nhiên τ thời điểm Markov Ví dụ Giả sử (Xn , n ∈ N) dãy biến ngẫu nhiên, B tập Borel R Đặt τB =   min{n : Xn ∈ B} ω ∈ ∞ n∈N {Xn ∈ B} nếuXn ∈ / B (∀n ∈ N) Khi đó, τB thời điểm Markov dãy σ -đại số tự nhiên Điều suy từ hệ thức n {τB ≤ n} = {Xk ∈ B} ∈ σ(X1 , , Xn ), ∀n ∈ N k=0 Ví dụ Giả sử (Xn , n ∈ N) dãy biến ngẫu nhiên Bn , n = 1, 2, , dãy tập Borel R Đặt τ1 = τB1 ;   min{n > τ1 : Xn ∈ B2 } ω ∈ n∈N {Xn ∈ B2 } ∩ {τ1 < ∞} τ2 = ∞ trường hợp lại τn định nghĩa tương tự Khi đó, (τn , n ∈ N) dãy thời điểm Markov dãy σ -đại số tự nhiên Chẳng hạn τ2 thời điểm Markov n {τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∩ {Xk ∈ B2 } k>τ1 1.3 Các tính chất thời điểm Markov Tính chất Giả sử τ thời điểm Markov (Fn , n ∈ N), Khi {τ < n} ∈ Fn Chứng minh Thật vậy, ta thấy n {τ < n} = {τ ≤ n − k} ∈ Fn−1 ⊂ Fn k=1 Cần lưu ý rằng, nói chung, từ điều kiện {τ < n} ∈ Fn không suy τ thời điểm Markov Tính chất Nếu τ1 , τ2 thời điểm Markov (Fn , n ∈ N), τ1 ∧ τ2 = min(τ1 , τ2 ), τ1 ∨ τ2 = max(τ1 , τ2 ), τ1 + τ2 , thời điểm Markov (Fn , n ∈ N) Chứng minh Ta có {τ1 ∧ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∪ {τ2 ≤ n} ∈ Fn {τ1 ∨ τ2 } = {τ1 ≤ n} ∩ {τ2 ≤ n} ∈ Fn n {τ1 + τ2 = n} = {τ1 = k} ∩ {τ2 = n − k} ∈ Fn k=0 Từ rút điều phải chứng minh Tính chất Nếu τ1 , τ2 , , thời điểm Markov (Fn , n ∈ N), τn = sup τn , n τn = inf τn n thời điểm Markov (Fn , n ∈ N) Chứng minh Điều phải chứng minh suy từ {τn ≤ n} ∈ Fn , {sup τn ≤ n} = n n {τn ≤ n} ∈ Fn {inf τn ≤ n} = n n Tính chất Nếu τ thời điểm Markov (Fn , n ∈ N), τ ∈ Fτ Nếu τ σ thời điểm Markov (Fn , n ∈ N) cho P(τ ≤ σ) = 1, Fτ ⊂ Fσ Chứng minh Thật vậy, giả sử A = {τ ≤ m} Để chứng minh τ ∈ Fτ ta phải A ∈ Fτ , tương đương A ∩ {τ ≤ n} ∈ Fn Ta có {τ ≤ m} ∩ {τ ≤ n} = {τ ≤ n ∧ m} ∈ Fn∧m ⊂ Fn Bây giả sử A ⊂ {ω : σ < ∞} A ∈ Fτ Khi đó, P(τ ≤ σ) = 1, σ -đại số Fn đầy đủ, hai tập A ∩ {σ ≤ n} A ∩ {τ ≤ n}{σ ≤ n} sai khác tập có độ đo khơng Tập thứ hai thuộc vào Fn , nên A ∩ {σ ≤ n} ∈ Fn , tức A ∈ Fσ Tính chất Nếu τ1 , τ2 , , thời điểm Markov (Fn , n ∈ N), τ = inf k τk , Fτ = Fτk k Chứng minh Thật vậy, theo tính chất 4, ta có Fn ⊂ Mặt khác, A ∈ k Fτk , A ∩ {τ ≤ n} = A ∩ ( k Fτk {τk ≤ n}) = k (A ∩ {τk ≤ n}) ∈ Fn , k 10 Tính chất Giả sử (Xn , Fn , n = 0, 1, 2, , N ) Martingale τ, σ hai thời điểm Markov (đối với (Fn , n = 0, 1, 2, , N )) cho P(σ ≤ τ ≤ N ) = Khi đó, Xσ = E(Xτ | Fσ ) Và EX0 = EXσ = EXτ = EXN Tính chất i) Nếu (Xn , Fn , n ∈ N) Martingale, τ thời điểm Markov (Xn∧τ , Fn , n ∈ N) Martingale ii) Nếu (Xn , Fn , n ∈ N) Martingale dưới, τ thời điểm Markov (Xn∧τ , Fn , n ∈ N) Martingale Tính chất 8.( Khai triển Doob) Nếu (Xn , Fn , n ∈ N) Martingale ta có khai triển Xn = Mn + An (∀n ∈ N) h.c.c (Mn , Fn , n ∈ N) Martingale, An ∈ Fn−1 , (∀n ≥ 1) = A0 ≤ A1 ≤ A2 ≤ · · · ≤ An ≤ h.c.c Đồng thời khai triển 17 CHƯƠNG THỜI ĐIỂM MARKOV ĐỐI VỚI BỘ LỌC (Ft)t ≥ VÀ LỌC CHỈ SỐ TẬP (FA), A ∈ A Chương trình bày số kết tương ứng chương trước cho trường hợp Martingale với thời gian liên tục Nói chung chuyển kết từ trường hợp rời rạc sang trường hợp liên tục có vấn đề ta làm tương tự trường hợp rời rạc để chứng minh Tuy nhiên, mở rộng gặp khó khăn mang tính ngun tắc 2.1 Martingale với thời gian liên tục • Cho trước q trình ngẫu nhiên X = {Xt , t ∈ T } với T ⊂ R Gọi σ({Xt , t ∈ T }) σ -đại số bé F chứa tất σ -đại số σ(Xt ), t ∈ T Ta gọi σ({Xt , t ∈ T }) σ -đại số sinh từ X = {Xt , t ∈ T } Đặt: X σ≤t = σ≤t = σ({Xs , s ≤ t}), s, t ∈ T, X σt = σ({Xu , u > t}), u, t ∈ T • Cho họ σ -đại số F Họ gọi không giảm, Fs ⊂ Ft , s≤t ∀s, t ∈ T • Ta nói X = {Xt , Ft , t ∈ T } q trình tương thích, i) Ft , t ∈ T không giảm ii) Xt ∈ Ft với t ∈ T 18 2.1.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) khơng gian xác suất Q trình X = {Xt , Ft , t ∈ T } gọi là: * Martingale (đối với {Ft , t ∈ T }), i) {Xt , Ft , t ∈ T } q trình tương thích ii) E | Xt |< ∞, ∀t ∈ T iii) Với s ≤ t, s, t ∈ T E(Xt | Fs ) ≥ Xs P − h.c.c * Martingale (đối với {Ft , t ∈ T } ) nếu: i) {Xt , At , t ∈ T } q trình tương thích ii) E | Xt |< ∞ ∀t ∈ T iii) Với s ≤ t; s, t ∈ T E(Xt | Fs ) ≤ Xs P − h.c.c * Martingale (đối với Ft , t ∈ T ) i) {Xt , Ft , t ∈ T } q trình tương thích; ii) E | Xt |< ∞, ∀t ∈ T ; iii) Với s ≤ t; s, t ∈ T E(Xt | Fs ) = Xs P − h.c.c 2.1.2 Định lí Cho dãy Martingale X n = (Xtn ) Giả sử với t tồn giới hạn lim Xtn = Xt n Lp Khi X = (Xt ) Martingale Thật ta có E(Xtn | Fs ) = Xsn 19 với s < t Ta biết kì vọng có điều kiện tốn tử tuyến tính liên tục Lp nên qua giới hạn ta có: E(Xt | Fs ) = Xs với s < t 2.2 Thời điểm Markov loc (Ft ) Một họ σ đại số (Ft , t ≥ 0) F, Ft ⊂ F , gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường * (Ft , t ≥ 0) họ tăng theo t, nghĩa Fs ⊂ Ft s < t * (Ft , t ≥ 0) họ liên tục phải, nghĩa Ft = >0 Ft+ kí hiệu (Ft+ ) * Nếu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (và A nằm Ft ) Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) Ta xét σ -đại số FtX sinh tất biến ngẫu nhiên Xs , vớis ≤ t : nghĩa FtX = σ(Xs , s ≤ t) σ -đại số chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên q trình X , hay lịch sử X , hay gọi trường thông tin X Một không gian xác suất (Ω, F, P) gắn thêm lọc (Ft ) gọi không gian xác suất lọc kí hiệu (Ω, F, (Ft ), P) Định nghĩa Cho không gian xác suất với lọc Ft : (Ω, F, (Ft ), P) Một biến ngẫu nhiên τ gọi thời điểm Markov ∀t ≥ {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft Mội thời điểm Markov τ gọi thời điểm dừng τ hữu hạn hầu chắn, nghĩa là: P{ω ∈ Ω : τ (ω) < ∞} = 2.3 Các thời điểm Markov quan trọng 20 Mệnh đề Giả sử (ξn ) n = 0, 1, 2, dãy ngẫu nhiên nhận giá trị không gian đo (X, B) B ∈ B Gọi τB thời điểm dãy ξn đạt tới tập B   min{n : ξn ∈ B} ∃n τB =  +∞ ξn không đạt tới giá trị B Khi đó, τB thời điểm Markov họ σ -đại số F≤n Chứng minh Do hệ thức n {τ ≤ n} = {ξk ∈ B}, k=0 mà {ξk ∈ B} ∈ Fk ⊂ Fn Vậy τB thời điểm Markov họ σ -đại số F≤n Mệnh đề Trong điều kiện mệnh đề giả sử B1 , B2 , , Bn , tập đo X Đặt   min{n : ξn ∈ B1 } ∃n τ1 =  +∞ ξn không đạt tới giá trị B1 τ2 =   min{n : ξn ∈ B2 } τ1 < ∞ dãy đạt tới B2 với n > τ1  +∞ trường hợp ngược lại Nói chung τk+1 thời điểm sau τk đạt tới Bk+1 min{n > τk : ξn ∈ Bk+1 } τk+1 = +∞ dãy ξn không đạt tới Bk+1 sau thời điểm τk Khi τ1 , τ2 , , τk , τk+1 thời điểm Markov họ σ -đại số F≤n 21 Chứng minh Ta có: n1 −1 (ξi ∈ / B1 ) ∩ (ξn1 ∈ B1 ) {τk ≤ n} = 0≤n1