Hạt Yang-Mills trong thế chuẩn không Abel SU(2) đối xứng cầu

Bài toán khảo sát chuyển động của hạt Yang-Mills trong thế chu n không-Abel SU(2) đối xứng cầu Witten được đưa về bài toán chuển động của hạt mang điện tích đơn vị trong trường điện từ hiệu dụng. Chúng tôi đã nhận được các phương trình động lực học dạng tổng quát đặc trưng cho chuyển động của hạt. Hai trường hợp riêng đã được khảo sát. Mời các bạn cùng tham khảo!

HẠT YANG-MILLS TRONG THẾ CHUẨN KHÔNG-ABEL SU(2) ĐỐI XỨNG CẦU Nguyễn Văn Thuận Viện Kỹ thuật, trƣờng Đại học Công nghệ TP Hồ Chí Minh (HUTECH) TĨM TẮT Bài tốn khảo sát chuyển động hạt Yang-Mills chu n không-Abel SU(2) đối xứng cầu Witten đƣợc đƣa tốn chuển động hạt mang điện tích đơn vị trƣờng điện từ hiệu dụng Chúng nhận đƣợc phƣơng trình động lực học dạng tổng quát đặc trƣng cho chuyển động hạt Hai trƣờng hợp riêng đƣợc khảo sát Khi thỏa mãn số điều kiện tốn hạt chuyển động nhƣ hạt mang điện tích hiệu dụng bề mặt mặt nón, chuyển động xuyên tâm tuyến tính chiều Từ khóa: Đối xứng cầu, hạt Yang-Mills, nhóm SU(2), trƣờng Yang-Mills, chu n không-Abel MỞ ĐẦU Nghiên cứu nghiệm phƣơng trình Yang-Mills theo hình thức luận điện từ cổ điển đóng vai trị quan trọng lý thuyết trƣờng lƣợng tử Dựa nghiệm này, dùng phƣơng pháp phân tích bán cổ điển ngƣời ta giải thích đƣợc số tƣợng lý thuyết trƣờng lƣợng tử [1-2] Ch ng hạn nhƣ tƣợng hiệu ứng chắn, vấn đề tai biến hồng ngoại hay giam giữ (quark) Bài toán chuyển động hạt Yang-Mills (hạt mang tích màu) đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [3-6] Một kết hấp dẫn tốn dựa vào phƣơng trình chuyển động hạt, ngƣời ta tìm đƣợc xác suất sinh cặp phân rã chân không theo phƣơng pháp thời gian ảo Hệ phƣơng trình mơ tả tƣơng tác trƣờng Yang-Mills hạt Yang-Mills giới hạn cổ điển đƣợc Wong đƣa từ phƣơng trình lƣợng tử [7] Hệ phƣơng trình có dạng: m   x  /    gFa v Ta   (1)  Ta /     g abcWb vTc   (2) đây:  ,   0,1, 2,3 số không-thời gian, a, b, c  1, 2,3 số nhóm SU(2) Trong phƣơng trình (1), (2) vectơ Wa tenxơ cƣờng độ trƣờng Fa : Fa   Wa   Wa  g abcWbWc (3) xác định cấu hình trƣờng ngồi; hạt có khối lƣợng m, đƣợc xác định vectơ bán kính bốn chiều x   , vận tốc bốn chiều v   dx / d tích màu đƣợc đặc trƣng vectơ màu Ta   khơng gian nhóm SU(2) Phƣơng trình (1) tƣơng tự nhƣ phƣơng trình tƣơng ứng điện động lực học cổ điển, nhiên có mặt bậc tự màu Ta   ảnh hƣởng đến tính chất chuyển động hạt Phƣơng trình (2) diễn tả tiến động vectơ màu Ta   khơng gian nhóm SU(2) Một chu n không-Abel đối xứng cầu đƣợc đƣa Witten [8], có dạng: 1434  a gW  W0  r  r a    1  a  r    a i  b  r  gWi a  r a r i W  r    aij r j      r r   r  r   (4)  W0  r  ,W  r  , a  r  , b  r  hàm bán kính r, r a vectơ bán kính đơn vị Trong phần báo này, nghiên cứu phƣơng trình chuyển động hạt chu n không-Abel đối xứng cầu (4) Phần khảo sát số trƣờng hợp riêng Cuối phần kết luận, đƣa vài nhận xét kết CÁC PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HẠT YANG-MILLS TRONG CẤU HÌNH TRƢỜNG WITTEN Trong trƣờng hợp phi tƣơng đối tính, phƣơng trình (1), (2) đƣa dạng: r dv   r  m  g  E a  v  Ba T a dt   (5) d  mv   r a  a    g  v E T dt     (6)  dT a  r    g abcT b  W0c   v W c   dt    (7) Trong phƣơng trình (5), (6) cƣờng độ điện trƣờng màu cƣờng độ từ trƣờng màu đƣợc xác định phƣơng trình: Eia  F0ai , Bia    ijk Fjka (8) Với (4), nhận đƣợc dạng tƣờng minh cƣờng độ điện từ trƣờng màu định luật bảo toàn lƣợng, dƣới dạng: Eia   Bia     a i '  a i  W0 a aij j W0b  r r W    r r   r     r g r    '    a i  a  b2    a i  a '  Wb aij j b  Wa r r    r r   r       g r r   r    mv2  ur    W0  r   T r   H   (9) (10) (11)  ur     số hạng W0  r   T r  (11) đồng với hạt Yang-Mills Trong phƣơng trình (9), (10) dấu phảy có nghĩa đạo hàm theo r Bài toán chuyển động hạt Yang-Mills trƣờng chu n khơng-Abel đƣa tốn chuyển động hạt mang điện tích đơn vị trƣờng điện từ hiệu dụng, nghĩa là: 1435 r d v *  * m  E  v B dt  (12)  E * , B* cƣờng độ điện trƣờng cƣờng độ từ trƣờng hiệu dụng, có dạng:    ur    W a  ur  ur    W b  ur     E *   W0 '  T r  r  T   T r  r   T  r    r  r         2 ' '   a  b   ur    a  Wb  ur  ur    b  Wa  ur      B   T  T r  r T r  r  T  r    r r r             * (13) (14) Sự tiến động vectơ màu đối xứng cầu (4) có dạng: ur dT  ur    r    ur   b ur r  W0  T  r    v r  W  T  r   T  v dt       r  r (15)    v r  b ur   W  ur  r ur r          T  r   T r  v  T v r   r  r     r Nhân vectơ hai vế phƣơng trình (12) với vectơ r ý đến phƣơng trình (13), (14), chúng     tơi nhận đƣợc phƣơng trình động lực học cho momen quỹ đạo hạt: ur dL  ur  ur      ur    r    ur  ur      W0 a  T  r   W0b T   T r  r   a '  v r  T   T r  r  dt            2  a  b  ur   r  r      r    ur  ur      (16)  T r  v   v r  r    v r  Wb T   T r  r   r            r   ur     v r  Wa  b '   T  r      ur r r Trong phƣơng trình (16), L  r  mv momen quỹ đạo Các phƣơng trình (12), (15), (16) phƣơng trình động lực học dạng tổng quát, xác định đầy đủ đặc tính chuyển động hạt Yang-Mills cấu hình trƣờng đối xứng cầu (4) Việc khảo sát phƣơng trình trƣờng hợp hàm trƣờng W0  r  ,W  r  , a  r  , b  r  tùy ý phức tạp Vì vậy, dƣới chúng tơi xét vài trƣờng hợp riêng MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT YANG-MILLS TRONG MỘT SỐ TRƢỜNG HỢP RIÊNG Trƣờng hợp hàm trƣờng a(r) = b(r) = Trong trƣờng hợp phƣơng trình (9), (10) đƣa dạng: Eia   a i ' r r W0 , g Bia  a i r r gr (17) Từ trƣờng màu có dạng đơn cực từ Chúng khảo sát chuyển động hạt Yang-Mills trƣờng điện từ màu (17) Ta viết phƣơng trình (15) dƣới dạng: 1436     d  ur   a  ur r  r   ur    b ur r  T v   v r  T r    T  v r T r   dt   r      r (18)  ur     Khi hàm a(r) = b(r) =  T r   const Phƣơng trình (16) trở thành: ur d L  ur    r  r      T r  v   v r  r  dt r        ur      Bởi  T r   const r  (19) r  r    v   v r  r , phƣơng trình (19) đƣa tới tích phân chuyển động sau: r     ur  ur    ur L   T r  r  J  const   (20) Từ (20) dễ dàng thấy rằng:  ur    ur   J r      T r   const, L  const     (21) Kết (20), (21) cho thấy hạt Yang-Mills chuyển động bề mặt mặt nón, có trục song song ur với vectơ momen góc tồn phần J góc  hợp đƣờng sinh mặt nón với trục là:  ur  ur  cos    T r / J    (22) Phƣơng trình chuyển động hạt Yang-Mills đƣa dạng: r  d v  ur    r  m   T r   W0'  r  r  v  r  dt    r  (23) Chúng tơi thấy rằng, chuyển động hạt Yang-Mills tƣơng tự chuyển động hạt mang điện tích ur  ur      hiệu dụng  T r  từ trƣờng đơn cực từ B  r / r điện trƣờng xuyên tâm  ur E  W0'  r  r Bây ta khảo sát chuyển động theo bán kính hạt Yang-Mils Sử dụng định luật bảo toàn lƣợng   r  2  (11) biểu thức L  m r  v   v r    const, nhận đƣợc:     2 r t  t0   r0 đây: dr  H  V  r   m  ur   V  r    T r W0  r   L2 /  2mr    Chuyển động hạt theo bán kính chuyển động chiều cho (25) .2 Trƣờng hợp vectơ màu không đổi 1437 (24) (25) ur Chúng khảo sát chuyển động hạt Yang-Mills vectơ màu T không đổi Điều xảy hàm trƣờng W0  r   W  r   b  r   0, a  r   Tuy nhiên trƣờng hợp tầm thƣờng, trƣờng hợp W0  r   0, W  r   0, ta có nghiệm chân khơng hạt Yang-Mills chuyển động tự Một khả không tầm thƣờng hạt chuyển động xuyên tâm tuyến tính Trong trƣờng hợp ur ur  này, theo (15) điều kiện T  const đòi hỏi T phải song song với vectơ đơn vị r Các phƣơng trình (12) (14) lúc cho thấy khơng có thành phần lực trực giao với hƣớng chuyển động hạt Phƣơng trình chuyển động hạt Yang-Mills trở thành: r  d  mv   ur      T r W0'  r  r   dt   v2    (26) Phƣơng trình (26) đồng với phƣơng trình cho chuyển động hạt mang điện tích hiệu dụng  ur  ur  ur   ' T r điện trƣờng xuyên tâm Nhƣ vậy, E   W r r T P r chuyển động xuyên tâm tuyến        ur   tính xảy ra, ta mơ tả nhƣ chuyển động chiều U  r   W0  r   T r    KẾT LUẬN Bài toán chuyển động hạt Yang-Mills chu n không-Abel SU(2) đối xứng cầu Witten đƣa tốn chuyển động hạt mang điện tích đơn vị điện trƣờng từ trƣờng hiệu dụng Chúng tơi nhận đƣợc phƣơng trình động lực học dƣới dạng tổng quát đặc trƣng cho chuyển động hạt Năng lƣợng hạt đƣợc bảo toàn Trong trƣờng hợp hàm trƣờng a  r   0, b  r   0, hạt chuyển động bề mặt mặt nón, có trục song song với momen góc tồn phần hạt; cịn trƣờng hợp vectơ màu không đổi, hạt chuyển động tự hàm trƣờng a  r   1, W0  r   W  r   b  r   0, có chuyển động xun tâm tuyến tính vectơ màu song song với vectơ bán kính đơn vị TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Singleton D (1995) Exact Schwarzschild-like solution for Yang-Mills theories Physical Review D14: 5911-5914 [2] Actor A (1979) Classical solutions of SU(2) Yang-Mills theories Review Modern of Physics 51 (3): 461-525 [3] Stern A (2009) Particle classification and dynamics in GL(2,C) gravity Physical Review D79: 105017-1-16 [4] Azizi A (2002) Planar trajectories in a monopole field Journal of Mathematical Physics 43: 299317 [5] Nguyen Vien Thọ, Nguyen Van Thuan (2000) Motion of color charge in Schwarzschild gauge field, Communications in Physics, Vol 10, No (2000) 65-71 [6] Nguyen Vien Tho, Nguyen Quoc Hoan (2012) A test for the local intrinsic Lorentz symmetry Journal of Physical Science and Application, (8): 328-334 1438 [7] Wong SK (1970) Field and particle equations for classical Yang-Mills field and particales with isotopic spin Nuovo Cimento, A 65: 689-694 [8] Witten E (1977) Some exact multipseudoparticle solution of classical Yang-Mills theory Physical Review Letter 19 (21): 121-124 1439 ...   W0  r   T r    KẾT LUẬN Bài toán chuyển động hạt Yang-Mills chu n không- Abel SU(2) đối xứng cầu Witten đƣa tốn chuyển động hạt mang điện tích đơn vị điện trƣờng từ trƣờng hiệu dụng... r  (11) đồng với hạt Yang-Mills Trong phƣơng trình (9), (10) dấu phảy có nghĩa đạo hàm theo r Bài toán chuyển động hạt Yang-Mills trƣờng chu n khơng -Abel đƣa tốn chuyển động hạt mang điện tích... , b  r  hàm bán kính r, r a vectơ bán kính đơn vị Trong phần báo này, nghiên cứu phƣơng trình chuyển động hạt chu n khơng -Abel đối xứng cầu (4) Phần khảo sát số trƣờng hợp riêng Cuối phần kết