Giai bai tap hinh hoc khong gian bang nhieu cach

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng[r]

Ví dụ (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a, AD a Hình chiếu vuông góc điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Giải Phân tích: Do B1C // (A1BD) nên nên thay vì việc tính d  C ,  A1 BD   B1 C1  AO   ABCD  A1 Gọi E là trung điểm AD D1  OE  AD & A1E  AD  A1 EO 600 a AO OE.tan A1EO  B Vlt  AO S ABCD O H 3a  d  B1 ;  A1 BD   A D E : Cách 1: Do B1C // (A1BD) Hạ C K S ABCD a * Tính ta tính * Gọi O là giao điểm AC và BD d  B1 ,  A1 BD    d  B1 ;  A1 BD   d  C ;  A1BD   CH  BD  CH   A1BD   d  C ;  A1 BD   CH  Cách 2: d  B1 ;  A1BD   d  C ;  A1BD   d  A;  A1BD    3VA ABD S A BD CB.CD CB  CD  a Trong đó: VA ABD 1 a3  Vlt  1 a a2 SA BD  AO BD    a  2 2 a3 3 a  d  B1 ;  A1BD     a Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B' C ' D' có cạnh a Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D ' ) và (C ' BD) Giải Cách 1: Vì (AB’D’)//(C’BD) nên d  ( AB ' D '),(C ' BD)  d  A,( AB ' D ')  Gọi O là giao điểm AC và BD Trong mặt phẳng (ACC’A’), kẻ AH  C’O (C ' BD)  ( ACC ' A ')  (C ' BD)  ( ACC ' A ') C ' O  AH  (C ' BD )   d ( A,(C ' BD ))  AH Ta có:  AH  ( ACC ' A '), AH  C ' O + Tính AH: 1 a2  S ACC ' A '  a.a  4  a2   SAOC ' a     AH  OC ' a 3 a 2 a 3 OC '  OC  CC '2    a   2    SAOC ' Vậy d  ( AB ' D '),(C ' BD)   Cách 2: a Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc sau : Oxyz ; O≡ A (0 ; ; 0) A ' (0 ; ; a) B (a ; ; 0) ; B ' (a ; ; a) ; C( a ;a ;0) ; C '( a ; a ; a) ; D(0 ; a ; 0) ; D' (0 ; a ; a) Tính d ((AB ' D') ,(C ' BD) ) Ta có : ( AB' D ') : x+ y − z =0 (C ' BD) : x+ y − z − a=0 (AB' D ' ) // (C ' BD) ⇒ ⇒ a d  ( AB ' D '),(C ' BD)  d  A,(C ' BD)   Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC=AD=4 cm BC=5 cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Giải Cách 1: BC=5 cm AC 4cm Vì AB=3 cm ; ; nên tam giác ABC vuông A Do đó tứ diện ABCD vuông A Vậy gọi H là hình chiếu vuông góc A trên mp(BCD) thì và AH Vậy  AB  d  A,( BCD)   AH AC d  A,( BCD )    AD  32  42  42  17 34  AH  72 17 34 17 Cách 2: Δ ABC có : AB 2+ AC2=BC2=25 nên vuông A ; AB=3 cm ; Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O≡ A (0 ; ; 0) ; B (3 ; ; 0) ; D(0 ; ; ) C( ; ; 0) x y z   1  x  y  z  12 0 Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD): 4 Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d ( A ,(BCD) )= |−12| 12 34 = √ √ 16+9+ √ 34 17 = Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN và AC Giải Cách 1:  MP / / AD    MP  AD Ta có: ;  NC / / AD    NC  AD nên tứ giác MNCP là hình bình hành  MN / /  SAC  Do hình chóp S.ABCD  BO  SO    BO   SAC   BO  AC Cách 2: Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥(ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O(0 ; ; 0) ; S (0 ; ; h) ;  a  a  ;0;0  ;0;0      ; C  D A (0 ; a √22 ; 0) ;B (0 ; − a √2 ; 0)  a  a a  h ; ;  ; ; h      2  ; E  Toạ độ trung điểm P SA P   a a h a a  ; ;  ; ;0     2 4    M N         MN , AC   0;  ah ;0  AM  0;  a ; h         ,  Ta có    MN , AC  AM  a h 0  Vì  nên MN và AC chéo    a 2h [ MN , AC ] AM a d  MN , AC       [ MN , AC ] a 2h 2 Cách 3:         Đặt : OA a, OB b, OS c     S E    Ta có : a c 0, b c 0, a b 0       1 MN MA  AC  CN  SD  AC  CB 2    1   SO  OD  AC  CO  OB 2     M P c A D a B b O N C 3 1 a c 2     AC  a Gọi PQ là đoạn vuông góc chung MN và AC , ta có:        PQ PM  MA  AQ xMN  SD  y AO       x   a  c    c  b  ya       1   y  x a  x  c  b      2     PQ MN 0     PQ AC 0 2  2 3  y  x a  x  a 0       2    2   2 y  x a 0      x     y   1 a2 a  PQ  b  PQ  OB   PQ  Ví dụ ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a Gọi M là trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C Giải Cách 1: Gọi E là trung điểm BB’ Khi đó (AME)//B’C nên d ( AM , B ' C ) d ( B ' C ,( AME )) d (C,( AME )) d ( B,( AME )) Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi vuông góc nên: h  BA Do đó  h BM  BE  a  a  a  a2 a a d ( AM , B ' C )  Vậy Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: B (0;0;0) ; A  0; a;0  ; C  a;0;  ; B’  0;0; a  a   ;0;0   ; M   a2   a     ;a  AM  ;  a;0  B ' C  a; 0;  a AB '  0;  a; a  AM , B ' C   a 2;   2  ; ; ,   Vì    AM , B ' C  AB '  a      nên AM và B’C chéo a3   a  AM , B ' C  AB '      d  AM , B ' C   2a  a  a  AM , B ' C    Ví dụ (Đề thi đại học khối D năm 2007)   Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang ABC BAD 90 , BA BC a , AD 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) Giải       AB a; AD b; AS c Cách 1: Đặt       a  c  0; b  c  0; a b 0 Ta có:       1        SB a  c; SC a  b  c; SD b  c S  N E H K A Q D Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ H P lên mặt phẳng (SCD) B C  d ( H ;( SCD)) HN M SH  Dễ dàng tính SB     2  HN HS  SN  SB  xSC  ySD Khi đó : 2  x      x   a    y  b    x  y  c 3  2  3    HN SC 0       HN SD 0 Ta có:  2  x   2   2 x  a   y b   x  y      c 0  3 2   3      2 x   y  b    x  y  c 0      3   x     y       1 1  HN  a  b  c  HN  12 6    a    a  b c    Cách 2: Gọi d1 , d là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD), d1 SH 2 3V 2V    d1  d   BSCD  BSCD 3 S SCD SSCD ta có: d SB Trong đó VBSCD 1 1 a3  SA S BCD  SA S BID  SA  AB ID  3 3 CD  AC  CD  SC  CD  SA Ta có:  1 a  S SCD  SC CD  SA2  AB  BC  CE  ED a 2  d1  2 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh Gọi M là trung điểm BC, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  AMD  Giải Cách 1: Gọi K là hình chiếu A trên MD  AK  MD (1) Gọi H là hình chiếu A trên AK  AH  AK (2) Có AA   ABCD   AA  MD (3) MD   AAK   MD  AH Từ (1) và (3)  (4) AH   AMD   d  A,  AMD    AH Từ (2) và (4)  Xét AMB vuông B Xét CMD vuông  AM  AB  BM   C  DM   Chu vi tam giác AMD là  2 p  1  p  1  Áp dụng công thức Hê-rông ta S AMD  p  p  AM   p  MD   p  AD   S AMD Mặt khác ta có: có diện tích tam giác AMD là 1  1   1   1     1       2  2    2 S AMD  AK MD  AK   2 MD 5 1   1    AH   2  AH AA AK 4  A AK Xét tam giác vuông có d  A,  AMD    AH  AMD  Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng  là Cách 2: Chọn hệ tọa độ hình vẽ, có A  0; 0;  , B  1; 0;  , D  0; 1;  , A 0; 0; 1 , M  1; 1;  Kéo dài DM cắt AB E , MB // AD và MB MC  BA BE  E  2; 0;  Phương trình mặt phẳng  ADE  theo đoạn x y z   1  x  y  z  0 chắn là: 1 Ta có: M  ED  M   AED    AMD   AED   d  A,  AMD   d  A,  AED    Vậy khoảng cách từ điểm A 2 1   AMD  tới mặt phẳng  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng  (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB 2a và SBC 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD 600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách các đường thẳng SB và AD Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc và OA OB OC 1 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM và CN Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác · vuông A, ABC 30 , SBC là tam giác cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài (Đề thi Đại học khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) V a3 a d(A, SCD)= Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với 0 · · đáy, BAD 120 , M là trung điểm cạnh BC và SMA 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) V=  a3 1a a SM  2 2 d(D, (SBC))= d(A, (SBC))= Bài 10 (Đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông,  A’AC vuông cân, A’C = a Tính VABB ' C ' a)  a3    48    a 6 d ( A,( BCD '))      b) Bài 11 (Đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, h.c.v.g S lên (ABC) là điểm H thuộc AB cho HA = 2HB, góc SC và (ABC) 600 Tính VS ABC a)  a3    12   a 42 b) d ( SA, BC ) ( = )