Có nhiều cách liên hợp để phân tích phương trình thành nhân tử, nhưng chung qui thì chúng đều tuân theo các bước sau đây: Thuật toán chung: Các em sẽ được hướng dẫn chi tiết trên lớp Bướ[r]
(1)Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (với trợ giúp toàn diện MTĐT CASIO VINACAL) PHẦN PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Hiện kì thi Quốc Gia ta thường gặp phương trình vô tỉ dạng không mẫu mực Do đó ta cần trang bị các công cụ mạnh để chinh phục câu hỏi thuộc loại tương đối khó này Ta nghiên cứu số phương pháp mạnh mẽ và hay dùng như: Phương pháp Lũy thừa đưa phương trình thành phương trình bậc cao, thường là bậc nhỏ 7, sau đó phân tích thành nhân tử; Phương pháp Liên hợp; Phương pháp đổi biến và Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số Dù ta có dùng phương pháp nào thì phải cần hổ trợ đắc lực MTĐT Casio/Vinacal thì ta có đường lối và lời giải chính xác khoảng thời gian ngắn Một bài toán phương trình thông thường ta có thể giải nhiều phương pháp khác Song việc lựa chọn phương pháp nào để giải đúng, giải nhanh gọn và đẹp là điều không phải làm Để nâng cao sức tính giúp ta cảm nhận bài toán và lựa chọn phương pháp giải hợp lý thời gian ngắn không có cách nào tốt việc chúng ta học hỏi nhanh chóng từ người có nhiều kinh nghiệm và sau đó tự mình rèn luyện thật nhiều để kiểm chứng kĩ thuật học Cách xử lí phương trình và bất phương trình là tương đối giống nhau, vì ta chủ yếu xét các bài toán giải phương trình Khi giải hệ phương trình theo xu hướng đề thì chẳng qua là tìm mối quan hệ biến này theo biến từ phương trình hệ sau đó vào phương trình còn lại, từ đây ta lại gặp bài toán giải phương trình Do đó việc nắm thật vững các kỹ giải phương trình là điều cực kì quan trọng, có việc giải phương trình quá trình giải hệ nó lại còn khó việc tìm mối quan hệ hai biến hệ Các kỹ này các em hướng dẫn chi tiết trên lớp cách cẩn thận nhất! Tài liệu đưa các bài toán để phục vụ việc luyện tập, còn kiến thức thuộc phạm trù lí thuyết và phương pháp cung cấp trên lớp Các bài toán phương trình không cho trước đáp số vì các em có thể dùng CASIO để tìm hết các nghiệm nó, ngoại trừ bài toán bất phương trình cho đáp án để các em tự luyện nhà Một lý (2) tài liệu không đưa đáp số phương trình vì làm gián tiếp giúp các em lười bấm máy dẫn đến kĩ dùng máy kém là điều khó tránh khỏi I LŨY THỪA ĐƯA ĐẾN BẬC CAO VÀ PHÂN TÍCH NHÂN TỬ NHỜ CASIO ? Em có biết cách giải phương trình bậc ? Chẳng hạn, giải phương trình sau 16 x 32 x 232 x 81x 0 ? Em có biết cách chứng minh phương trình bậc vô nghiệm? 4 Chẳng hạn, CMR các phương trình sau x x x x 0 , x x 10 x x 36 0 vô nghiệm? ? Em có biết cách chứng minh phương trình bậc vô nghiệm? Bài (ĐH KD 2006) Giải phương trình x x x 0 Bài (Đề thi thử ĐH Hồng Đức 2012) Giải phương trình (x 1 ) x 3x 2 3x Bài (Đề thi thử Chuyên PBC-Nghệ An 2011) Giải phương trình x x x 1 Bài Giải phương trình 2 x 2 x x 0 x2 x ( x 1)( x 2) Bài (Đề thi QG 2015) Giải phương trình x x 2 (2 x 5) x ( x 1) x 3 Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình ( x 3) x x x 2 x Bài Giải phương trình x x x x 3x x 1 Bài Giải phương trình x x x 11 3x 2 x 3 Bài 10 Giải phương trình 2 x x 2 Bài 11 Giải phương trình 3x x 3( x 1) x x 7 x x x Bài 12 Giải phương trình Bài 13 Giải phương trình x x x Bài 14 Giải phương trình x x 4 x x Bài 15 Giải phương trình 3( x 1) x 4 x x (3) Bài 16 Giải phương trình 3x x 23 3 x x 63 Bài 17 Giải phương trình x 20 x 64 x Bài 18 Giải phương trình x x 5 x x 2 Bài 18 Giải phương trình x x x 3 x (Đề thi thử Chuyên PBC-Nghệ An 2015) Bài 19 Giải bất phương trình x 3x x 3x (1 x 2) 17 ( x 3) Bài 20 Giải bất phương trình x x 8 x x Bài 21 Giải bất phương trình ( x 1) 2 x (4 Bài 22 Giải bất phương trình x 13 x x 9 x ( x 1) Bài 23 Giải bất phương trình 3x 27 7 x x 10 ( x 2) Bài 24 Giải bất phương trình x x x ( x 0) Bài 25 Giải bất phương trình 81x 27 x 42 x ( x 0) x 4 6) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ (Phần này dễ nên các em tự nghiên cứu sau đó trao đổi không hiểu nhé!) Phương trình có chứa f ( x) và Bài Giải các phương trình sau n f ( x) 1) ( x 1)( x 4) 5 x x 28 Nghiệm 4; 2 2) x 10 x 7 x x 3) (4 x)(6 x) x x 12 4) x( x 5) 2 x x Bài Tìm để phương trình có nghiệm 1) x x (3 x)(1 x) m 2 2) x x (3 x)(1 x) m Bài Giải các phương trình sau 1) x x 2 x 4 2x m [ 1;11] m [ 1; 41 56 ] (4) 2) x x 2 x 7 2x Phương trình có chứa A B và AB Bài Giải các phương trình sau 1) x x 3x 2 x x Nghiệm 25 17 2) x x 49 x x 42 181 14 x 3) x x 2 x 12 x 16 4) 3x x 4 x 3x x 2 Bài (ĐH KB – 2011) Giải phương trình: x x 4 x 10 3x Đặt t x 2 x Nghiệm Bài Tìm m để phương trình có nghiệm 1) x x x x m x m [ 6 2 ;3] 2) x x (3 x)(6 x) m 3) 3( x x ) m x x x Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Giải các phương trình sau: 2 1) x x x x 1 x 2 Đặt t x nghiệm t 3;1 x 2 2) ( x 1) x x x 2 3) x 2 x x x 2 4) x x 48 (3 x 10) x 15 2 5) 2( x 1) x x x x 2 6) x x ( x 2) x x 15 39 2 7) (1 x) x 8 x x 3 8) (4 x 1) x 2 x x 3 9) x 3x ( x 2) x x Phương pháp chia để làm xuất ẩn phụ Bài Giải các phương trình sau: Nghiệm x 1 (5) 2 a) ( x 2) x x 2 x bình phương, chia x b) Đặt t x x t 0;5 thử lại x 4 x 3x x x 2 x chia cho x Nghiệm x 2 (ĐH KB 2012) x x x 3 x Chia vế cho t x x và đặt 1 x x 4 x Bài Giải các phương trình sau: 1) 2( x 2) 5 x 2) x 14 x x x 20 5 x 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta x x 5 ( x x 20)( x 1) 2( x x 5) 3( x 4) 5 ( x 4)( x x 5) 2 x2 x x2 4x 5 61 5 x 8; x4 x4 2 3) x 25 x 19 x x 35 7 x 2 Chuyển vế, bình phương ta : 3( x x 14) 4( x 5) 7 ( x x 14)( x 5) Chia vế cho ( x 5) Nghiệm 7; 61 11137 18 Đặt nhiều ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp Bài Giải các phương trình và bất phương trình sau: 2 1) 2( x 2) 5 x Đặt a x 1; b x x PT 2a 2b 5ab 2 x 37 2 2) x x 7 x Đặt u x 1; v x x PT 3u 2v 7uv x 4 2 Phương trình đã cho có dạng a.u b.v c.uv đó thường uv 2 3) x x x x 2 Cách 1: Đặt a x ; b x PT a 3b a b nghiệm: x 1 Cách : Đặt a x , thay vào PT ta 36a 136a 200a 100 0 a 1 4) x 14 x 2 x x 20 5 x 2 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta x x 5 ( x x 20)( x 1) 2( x x 5) 3( x 4) 5 ( x 4)( x x 5) Bài Giải phương trình: x 8; x x x 3x x 61 (6) Điều kiện: x x Bình phương vế ta có: x x 1 x x x x 1 x x x 1 1 v u 2 uv u v u x x 1 u v Ta có thể đặt: v 2 x đó ta có hệ : 1 1 u v x2 2x x 1 x x u , v 2 Do nên ' 1 2 4 Bài Giải phương trình: 0 0 PT vô nghiệm x x x x 9 x x x a a b a, b a b a b a b a b 1 0 2 x x b a b 1 Đặt ta có : x x 4 x x x x x x 1 x 2 x x 1 x x 1 x 3 x 4 3 Bài Giải phương trình: x x ( x 2) x 0 3 3 Đặt y x ta phương trình: x x y x 0 x y 3x( x 2) 0 x y x 3xy y 0 x 2; 2-2 x y Bài Giải phương trình: x 25 x 19 x x 35 7 x 2 ĐS: 7; 61 11137 18 Chuyển vế, bình phương ta được: 3( x x 14) 4( x 5) 7 ( x x 14)( x 5) Bài tập tự luyện: A(x) B(x) A(x).B(x) 2 Lưu ý dạng quang trọng: u v m.u n.v Giải các phương trình, bất phương trình sau: 2 1) x x 5 x x x 6x2 4x 5 x x 1 2) ( x 0) (7) 3) 3x 27 7 x x 10 ( x 2) 4) x 13 x x 9 x ( x 1) 4 5) ( x 1) 2 x 6;4 6) x x 5 x x 7) x x x 8) x 20 x 64 x 9) 3x x 23 3 x x 63 x 2 x 3 (2 x 1)(2 x) 10) 11) 3x 4 x 7 12 x 17 x 12) 2 3 x 6x 6x x x 13) x 25 x 14 3 x 31x 30 (x 65 ) 21 53 53 ;1 5; 2 14) x x x x 15) x x 1 x x x (2(4 x x 1) 16) x ( x 0) 17) x x x x 2 18) x x 3x x 23x 19 6 x2 x 19) 3x 14 x 27 1 1;3 2 20) 2 x x 3x x 19 x 28 x x2 x 21) 10 x x x x2 1 1 (VN) 22) 5x 2x 1 (x ) 23) x x x x x 13 x 17 ( x 2) 3 24) x x x 3x x 25) x x3 x 3x3 x 3 26) x x x x x x 14 2 27) x 24 x 28 5 x x x 20 ( x 4) (8) 28) x2 x x 3x x 19 0 Đặt nhiều ẩn phụ để đưa hệ phương trình Bài Giải phương trình x x (2 x 1)( x 4) 0 u x v x Đặt 3u 6v uv 0 2 2v u 7 Bài Giải các phương trình sau 1) x x 0 (ĐH KA – 2009) Nghiệm x 2) x x 16 0 2 3) x 17 x x 17 x 9 Nghiệm x Nghiệm x 1; 3 3 4) x 35 x ( x 35 x ) 30 Nghiệm x 2 ; 1 2 x x 5) Nghiệm 3 6) x 2 x Nghiệm x 1; 1 x 1; 1 7) x 3 x 2 Bài Giải phương trình 33 x x (2 x 1) ( x 2 2) (Đề nghị Olympic 30/04/2012) III PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP VỚI SỰ HỔ TRỢ ĐẮC LỰC CỦA CASIO Phương pháp liên hợp là công cụ mạnh dùng để tách nhân tử gặp phương trình vô tỉ phức tạp không mẫu mực biến hai biến Có nhiều cách liên hợp để phân tích phương trình thành nhân tử, thì chúng tuân theo các bước sau đây: Thuật toán chung: (Các em hướng dẫn chi tiết trên lớp) Bước 1: Dùng MTĐT tìm hết các nghiệm phương trình (nhớ là phải tìm hết nghiệm) Bước 2: Tùy theo tính chất tập nghiệm phương trình, ta tìm biểu thức liên hợp cho thức Bước 3: Nhân liên hợp để phân tích phương trình thành nhân tử Bước 4: Giải, đánh giá phương thành phần và đưa kết luận nghiệm phương trình… Liên hợp ghép đối xứng (liên hợp trực tiếp) (9) Bài Giải phương trình: 3x x x Bài Giải phương trình: 9( x 3x 2) x Bài Giải phương trình: 2x 6x x2 2 2 x Bài Giải phương trình: 10 x 3x x x 2 Bài Giải phương trình: 3x x 1 2 x x Bài Giải phương trình: 3x x 2 x x Bài Giải phương trình: 3x x x x x 1 x2 3x 2 2 Bài (Thi thử ĐH SP Hà Nội 2013) Gpt: x x x 3x x x x Bài Giải phương trình: x x x3 x x x x 2 Bài 10 Giải phương trình: x x x x 3 x Liên hợp có nghiệm hữu tỉ đơn Bài (ĐH Khối D 2006) Giải phương trình: x x 3x 1 0 Bài Giải phương trình: 3(2 x 1) 2 x x Bài Giải phương trình: x x 2 x Bài Giải phương trình: x x 20 2 x 10 Bài Giải phương trình: x 1 2 x ( x 1)( x 2) Bài (ĐH Khối B 2010) Giải phương trình: 3x x 3x 14 x 0 Bài Giải phương trình: x x x x Bài Giải phương trình: x 11x 21 x Bài Giải phương trình: 3x x 16 0 2 Bài 10 Giải phương trình: x x 10 x x 12 x 20 Bài 11 Giải phương trình sau: x 12 3 x x Bài 12 Giải phương trình sau: x x 2 x x Bài 13 (HSG Hà Nội 2013) Giải phương trình sau: x x 3x x Bài 14 (ĐH KD 2014) Giải bất phương trình: (x 1) x ( x 6) x x x 12 ( x 2) (10) Bài 15 Giải bất phương trình: Bài 16 Giải bất phương trình: x x x 3x 2 x 1 x 5x 5x Bài 17 Giải bất phương trình: x 2 x ( x 1)( x 2) ( x 2) ( x 4) ( x x 3) Bài 18 Giải phương trình: x x x x (TH&TT) Bài 19 Giải phương trình: 3x 14 x 13 ( x 1) x 2( x 5) x Bài 20 (TH& TT – T11/396) Giải phương trình: x 22 3x x Liên hợp truy ngược dấu (không cần đánh giá): Đây là kĩ thuật quan trọng đòi hỏi các em rèn luyện nhiều, áp dụng cho phương trình có nghiệm x0 hữu tỉ Khi đó đưa phương trình dạng ( x x0 ).D( x) 0 , ta không cần biến đổi gì D(x) vô nghiệm trên tập điều kiện phương trình Bài Giải phương trình: x x 17 x 26 2 x Bài Giải phương trình: x x x 3 Bài Giải phương trình: x x x x 3 Bài Giải phương trình: x x x 0 Bài Giải phương trình: x x x x (TH&TT) x x 4 x Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: x x 2 3x x Bài Giải phương trình: ( x 1)( x 1) x x 5 Bài Giải phương trình: x x x Bài 10 Giải phương trình: x x 10 x Bài 11 Giải phương trình: x x x 3x Bài 12 Giải phương trình: x 3x x x 2 Bài 13 Giải phương trình: x ( x 1)(2 x x ) 3x Bài 14 Giải phương trình: x x x 1 x 2 x3 x x (11) 2 Bài 15 Giải phương trình: 3x x (1 x)( x x 3) Bài 16 Giải phương trình: ( x 2) x 3x x x x 13 x Bài 17 (ĐH KD 2014) Giải Bpt: ( x 1) x ( x 6) x x x 12 ( x 2) Bài 18 Giải phương trình: 3x 14 x 13 ( x 1) x 2( x 5) x Bài 19 Giải phương trình: 5x (3x 1) x 17 x 28 3( x 13) x Bài 20 Giải phương trình: 2(8 x x 1) ( x 1) x 2(3 x 1) x Bài 21 Giải phương trình: ( x 2) x (4 x 5) x x 23 Bài 22 Giải phương trình: x ( x 1) x (x 1) x 0 Bài 23 Giải phương trình: (8 x 13) x 12 x 35 2( x 2) x Bài 24 Giải phương trình: (3x 8) x (4 x 13) x 4 x 12 Bài 25 (TH& TT – T11/396) Giải phương trình: x 22 3x x Bài 26 Giải phương trình: x x x x x Bài 27 Giải phương trình: x 14 x x x x Bài 28 Giải phương trình: 15 x x x 11x 2 Bài 29 (TH& TT – T4/419) Giải phương trình: 6( x 1) x ( x 2)( x 3) x( x 2) Bài 30 Giải phương trình: ( x 6) x x Bài 31 Giải phương trình: x x ( x 1)( x x 5) 2 x Bài 32 (Cuộc thi 45 năm TH& TT ) Giải phương trình: x x x 11 x 2 x Liên hợp có hai nghiệm hữu tỉ đơn hai nghiệm vô tỉ đơn có tổng, tích hữu tỉ Bài Giải phương trình: 3x x x x 0 2 Bài Giải bất phương trình: x x x x 21x 17 Bài Giải bất phương trình: x x x x 11 0 2 Bài Giải bất phương trình: x x ( x 2) x x 4 Bài Giải bất phương trình: x x x 20 x 7 x Bài Giải bất phương trình: x 2( x 1) x 4 x 13 x 13 ( x 1) (12) Bài Giải phương trình: x x x Bài Giải phương trình: x x x x x Bài Giải phương trình: ( x 4) x x x x Bài 10 Giải phương trình: x 22 x 22 x x 0 Bài 11 (DB KD 2006) Giải phương trình: x x 2 x x x 2 Bài 12 Giải phương trình: x(4 x 1) (x x 1) x x 2 Bài 13 Giải phương trình: x 13 x 2 x x(1 x 3x ) Liên hợp có nghiệm vô tỉ đơn Bài Giải phương trình: x x ( x 1) 8x x Bài Giải phương trình: x x 2 x 1 Bài Giải phương trình: x x x ( x 4) x 2 Bài Giải phương trình: (1 x) x x 0 Bài Giải phương trình: x 3x 2 x x 2 Bài (ĐH KD 2006) Giải phương trình: x x 3x 1 0 x2 2x ( x 1)( x 2) Bài (Đề thi QG 2015) Giải phương trình: x x (có thể giải cách) 2 Bài Giải phương trình: x x ( x 1) x Bài Giải phương trình: x x x Bài 10 Đề thi thử Chuyên PBC-NA 2011 Giải phương trình: x x x 1 Bài 11 Giải phương trình: 12 x 46 x 15 Bài 12 Giải phương trình: x3 x 2( x 1) x2 x 1 x2 2 x4 x 1 Bài 13 Giải phương trình: x 3x x 2 Bài 14 Giải phương trình: x x ( x 2) x x Liên hợp có nghiệm kép hữu tỉ Lưu ý: Cách kiểm tra nghiệm bội: (13) ( n) x0 là nghiệm bội n f(x) f(x0) = và f(k)( x0) = k 1, n , f ( x0 ) 0 Bài Giải phương trình: 2 x x x x Bài Giải phương trình: x x x 0 Bài Giải phương trình: x 2 x x Bài Giải phương trình: x 3x x 0 Bài Giải phương trình: x 1 x 3x 3 Bài Giải phương trình: x x x x x Liên hợp có nghiệm kép vô tỉ Bài Giải phương trình: x x x x ( x 1) x Bài Giải phương trình: x x 3x 2 x x 0 x x (1 2) x x Bài Giải phương trình: Bài Giải bất phương trình: 3( x 2) 2 x x 1 x ( x x 1) 1 ( x 1 x ) ĐS: (Đề thi thử THPTQG 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội) 2 Bài Giải phương trình: x x x 2( x 1) x x x x 0 Bài Giải phương trình: x x ( x 1) x x x x Liên hợp ngược – Tạo tích nhân tử Bài Giải phương trình: x x 4 x x Bài Giải phương trình: 3x x 4 x x Bài Giải bất phương trình: x 3x x 3x 2 Bài Giải bất phương trình: x 3x 8 x x Bài Giải phương trình: (7 x 9) x 10 2 x x 11x Bài Giải phương trình: ( x 4) x x x x 2 Bài Giải phương trình: 10 x 3x 2(3 x 1) x 0 Bài Giải phương trình: x x 7 x ( x 2 ) 17 x 3 ( ) (14) 2 Bài Giải phương trình: x 15x x (3x x 1) x x x2 2x ( x 1)( x 2) Bài 10 (Đề thi QG 2015) Giải phương trình: x x 3 Bài 11 Giải bất phương trình: x (1 x x ) x ( x 1 2 1 x ) 2 3 Bài 12 Giải phương trình: x 12 x x 3x (Lưu ý: Phương pháp này không mạnh vì chất giống đặt ẩn phụ mà giải khá cồng kềnh và thường thì giải thuận lợi với phương trình có căn) Liên hợp xét tổng hiệu Phương pháp này thường dùng phương trình có tổng hai bậc hai phức tạp Bài Giải phương trình: x x x 1 x 2 Bài Giải phương trình: x 3x x x x 2 Bài Giải phương trình: x x 1 x x x Bài Giải phương trình: x x x x x 2 Bài Giải phương trình: x 16 x x x 2 Bài Giải phương trình: x ( x 1) x x 0 IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Dùng tính đơn điệu hàm số ? Cho biết dấu hiệu để chọn phương pháp này? ? Em có biết sử dụng MTĐT CASIO vào dạng này nào không? x x 0 Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: x x x x 3 Bài Giải phương trình: x x 7 x (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng 2011) 3 Bài Giải phương trình: x x x 4 2 Bài Giải phương trình: 3( x 1) x(1 x x 1) Bài Giải phương trình: (4 x 1)( 3x x 3) 4 x (15) Bài Giải phương trình: ( x 1)(3 x x 1) x (Đề thi HSG tỉnh Thái Bình 2010) Bài Giải phương trình: ( x 2)(2 x 1) x 4 ( x 6)(2 x 1) x (Đề thi HSG tỉnh Cao Bằng 2014 - 2015) 3 Bài Giải phương trình: ( x 1) x ( x 5) x x 31 0 Dùng hàm đặc trưng ? Cho biết dấu hiệu để chọn phương pháp này? ? Em có biết sử dụng MTĐT CASIO vào dạng này nào không? Bài Giải phương trình: (9 x 1) x 8 x 12 x 10 x 3 Bài (Cao đẳng 2012) Giải phương trình: x x ( x 1) x 0 3 3 Bài Giải phương trình: x x x 3x 3x x (Đề thi HSG các trường chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ 2010) 3 Bài Giải phương trình: x 36 x 53 x 25 3x Bài Giải phương trình: x 28 x 21 x Bài Giải phương trình: ( x 5) x x Bài Giải phương trình: 24 x 60 x 36 1 0 5x x (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh 2011) x Bài Giải bất phương trình: Bài Giải phương trình: 1 x x3 x x3 x x ĐS: x 3 2x x 1 1 x 1 2x 3 x x 2 3x 2 x x3 x 0 Bài 10 Giải phương trình: (Chọn đội tuyển Ninh Bình 2010) Bài 11 Giải phương trình: x 3x x 13 2x 543 27 (Đề nghị Olympic 30/4/2011) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Đề minh họa THPT 2015 (0; 3 ) (16) Giải bất phương trình 3;3 13 ĐS: x x x 3( x x 2) THTT số 453 tháng 04 năm 2015 Giải phương trình ( x ln x) x x ĐS: x = THPT Chu Văn An (Hà Nội) 3( x 2) x2 x 1 Giải bất phương trình 1 1; \ x ( x x 1) ĐS: THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 3 Giải hệ phương trình x x 10 x x x x 13 0 ĐS: x = Sở GDĐT Quảng Nam Giải hệ phương trình x x x x x 0 ĐS: x 2 Sở GDĐT Bình Dương Giải bất phương trình x x 2 x x THPT Chuyên ĐH Vinh Giải bất phương trình x 5x x 2x 4x ĐS: 1 17 65 5;0 ; 2 THPT Nguyễn Trung Thiên lần Giải phương trình ( x 2) x2 4x 1 x x 0 ĐS: x = -1 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) Giải bất phương trình x x 11 1 ;2 (4; ) ĐS: x 10 THPT Chuyên ĐH Vinh lần 3 Giải bất phương trình 3( x 1) x 2( x x ) 11 Sở GDĐT Vĩnh Long ĐS: 3 3;1 3; (17) Giải bất phương trình 2x x x 3x ĐS: 1;2 PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Hệ đối xứng loại Bài Giải hệ phương trình x xy y 5 2 x y xy 6 a) 2 x xy y 7 x y x y 21 b) (ĐHSP Hà Nội 2000) x y 9 3 x y 5 c) ĐS: a) (1; 2), (2;1) b) (1;2), (2;1), ( 1; 2), ( 2; 1) x y xy 30 3 Bài Giải hệ phương trình x y 35 xy ( x y ) 3 Bài Giải hệ phương trình x y 1 x y 4 x y x2 y 4 x2 y Bài Giải hệ phương trình x y xy 8 Bài Giải hệ phương trình x y x2 y x y 2 Bài Giải hệ phương trình xy x y c) (1;64), (64;1) ĐS: (2;3), (3; 2) ĐS: (1; 1) ĐS: (1;1) ĐS: (0;1), ( 1;0) x3 x x 22 y y y 2 x y x y Bài (ĐH KHỐI A NĂM 2012) Giải hệ ĐS: 1 3 ; ; ; 2 2 (18) 9 x y ( )( 1)( 1) 18 3 y y x Bài Giải hệ x (Đề thi chính thức Olympic 30/4/2010 – lớp 10) 1 (1; ), ( ;1) ĐS: 8 x y xy 3 Bài Giải hệ phương trình x y ĐS: (3;3) (Đề thi chính thức Olympic 30/4/2010 – lớp 11 ĐH KA 2006) Hệ đối xứng loại x x 3 y Bài Giải hệ phương trình y y 3x ¿ 4y x 4x y −3 x= y ¿{ ¿ x−3 y= Bài Giải hệ phương trình x3 3x y Bài Giải hệ phương trình y 3 y x ĐS: (- ; - 2) (ĐHQGHN 97) (ĐHQGHN 98) (4 x 2)2 y 15 Bài Giải hệ phương trình (4 y 2) x 15 (HSG TP HCM 2004-2005) x 3x ln(2 x 1) y Bài Giải hệ phương trình y y ln(2 y 1) x (HSG quốc gia 1994 – bảng B) x x 2 y Bài Giải hệ phương trình y y x (HSG Bến Tre 2010-2011) x y y Bài Giải hệ phương trình y x x (Czech And Slovak Mathematical Olympiad 2008) Bài Giải hệ phương trình ¿ x+ √ y −3=5 y + √ x −3=5 ¿{ ¿ x 91 y y y 91 x x Bài Giải hệ phương trình ĐS: (4; 4) (19) x y 7 y x 7 Bài 10 Giải hệ phương trình ĐS: (1; 1) Hệ có yếu tố đẳng cấp 2 x xy y 9 (1; 2), ( ; ) 2 x xy y 17 17 Bài Giải hệ phương trình ĐS: 2 x xy y 9 2 Bài Giải hệ phương trình 2 x 13 xy 15 y 0 (HV Ngân hàng 2001) 2 3 x xy y 11 2 x xy y 17 m Bài Giải hệ phương trình (ĐHQG TP.HCM 1998) 1) giải hệ m= 2) Tìm m để hệ có nghiệm x xy y 2 x y Bài Giải hệ phương trình x xy 1 2 x y xy y 2 3 Bài Giải hệ phương trình x y 1 x x y x y y Bài Giải hệ phương trình x y 5 ĐS: (9 ; 4) 2 5 x y xy y 2( x y ) 0 2 Bài Giải hệ phương trình xy ( x y ) ( x y ) (ĐH KA NĂM 2011) ( 1; 1), ( 2 ; ) 5 ĐS: 3 x y xy 1 4 Bài Giải hệ phương trình 2 x y x y 0 2 2 x x( y 1) y 3 y 2 Bài Giải hệ phương trình x xy y x y 3 3 x y x y Bài 10 Giải hệ phương trình x y 1 x3 y y 16 x 0 2 Bài 11 Giải hệ phương trình y 5 x (Đề nghị Olympic 30/4/2009 ) (20) x3 x y y 2 Bài 12 Giải hệ phương trình x y 6 12 (1 y x ) x 2 (1 12 ) y 6 y 3x Bài 13 Giải hệ phương trình 4 x y ) 2 x( x y 4 x y ) 1 y(4 x y Bài 14 Giải hệ phương trình (HSG Quốc gia 2006-2007) (Đề nghị Olympic 30/4/2009) Hệ bậc hai tổng quát 14 x 21 y x 45 y 14 (1) 2 35 x 28 y 41x 122 y 56 (2) ta lấy 49 (1) 15 (2) ta có ĐVĐ: Để giải hệ này phương trình có thể phân tích thành nhân tử dạng (ax by c)( px qy r ) 0 Từ đó hệ giải ! Tất nhiên là không dại gì vào phòng thi mà dùng hệ số bất định quá thời phép đặt ẩn phụ để dời hệ trục tọa độ đầy rủi ro? Vậy làm nào để biết 49 (1) 15 (2) thời gian vài phút sử dụng chìa khóa vạn đại CASIO? Chú ý: Dạng: A a1 x b1 y c1 d1 xy e1 x f1 y 0 2 B a2 x b2 y c2 d xy e2 x f y 0 2 Giả sử A mB ax by c dxy ex fy 0 (1) - Nếu A B phân tích nhân tử thì OK! ( x y chính phương) - Nếu A B không phân tích nhân tử thì tìm m thỏa mãn: y ( x ) 0 af be cd 4abc def đó (1) phân tích nhân tử (OK!) - Ngoài ta còn cách hệ số tỉ lệ - UCT! (đoán trước nghiệm) rút sau đó giải phương trình bậc Ok! - Cách giải theo kiểu đặt y x z x quá thì qúi giá phòng thi, đặt x u a, y v b sau đó tìm a, b để có phương trình đẳng cấp bậc hai mà chưa đã khả thi! 2 2 x xy y x y 0 2 Bài Giải hệ phương trình x y x y 0 13 ; ,(1;1) 5 ĐS: (21) ¿ y − xy −3 y +2 x=−1 Bài Giải hệ phương trình y − xy − y+3 x +2 x = ĐS: ( 2+2√2 ; 2+ √2) , ¿{ ¿ ( 2−2√2 ; 2− √2) 2 x y x y 0 2 Bài Giải hệ phương trình x y xy x y 12 3;0 ,(1; 2) ĐS: 2 x y 4 x 3x 57 y (3x 1) 25 Bài (HSG Nghệ An 2011) Giải hệ phương trình ĐS: 2 14 x 21 y x 45 y 14 2 Bài Giải hệ phương trình 35 x 28 y 41x 122 y 56 ĐS: 2 (2x 3x 4)(2y 3y 4) 18 2 Bài Chứng minh hệ sau vô nghiệm x y xy 7x 6y 14 0 11 ; , ; 5 25 2;3 ,(1; 2) II PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ Hệ có phương trình phân tích nhân tử x y 6 13 − √ 37 13 − √ 37 ; ,(3 ; 0) 2 2 x xy y Bài Giải hệ phương trình ĐS: xy x y x y x y y x 2 x y Bài (ĐH KD 2008) Giải hệ phương trình ĐS: (5; 2) 2 x y 3xy 3x y 0 4x y2 x 2x y x y 0;1 ,(1; 2) Bài (ĐH KB 2013) Giải hệ phương trình ĐS: x x y xy y y 0 7 ( ; ) x y Bài Giải hệ phương trình ĐS: (2; 1) và 1 x 1 y 1 x x y y x 1 y 1 2 y x3 2 Bài (ĐH A NĂM 2003) Giải hệ sau: ĐS: ( Bài Giải hệ phương trình xy 2 x y x y 1 x y x2 y ) ĐS: (1; 0) và (-2; 3) (22) 5 x y xy y 2( x y ) 0 2 Bài (ĐH KA NĂM 2011) Giải hệ phương trình xy ( x y ) ( x y ) ĐS: xy x 0 2 Bài (ĐH K D 2012) Giải hệ 2 x x y x y xy y 0 ĐS: (1; 1), ( (1;1), ( 2 ; ) 5 1 ; 5) x y x y 10 y x y 3 x y x 6x 3y Bài Giải hệ phương trình x y 2 y 2(2 y3 x3 ) y ( x 1)2 x( x 1) 0 Bài 10 Giải hệ phương trình x y x y ( 2; − ) , ; − 2 x y x y 12 Bài 11 Giải hệ phương trình ĐS: x y x y 2 y 4 ( x; y ) 1; x y 3 5 Bài 12 Giải hệ phương trình ĐS: x y 2 x y 1 ; x y x y Bài 13 Giải hệ phương trình ĐS: 2 x x y y 2 0;1 ,(2;1) Bài 14 (ĐH KA 2013) Giải hệ phương trình x x( y 1) y x 0 ĐS: (Các em hãy phân tích nhân tử phương trình (2) thử xem nhé!) ( ) Hệ đa thức bậc cao x3 y 35 2 x y 4 x y ĐVĐ: Để giải hệ phương trình này ta lấy (1) - 3(2) thì có phương trình có thể phân tích thành nhân tử, từ đó hệ giải ! Tất nhiên là không dại gì vào phòng thi mà dùng hệ số bất định quá thời phép đặt ẩn phụ để dời hệ trục tọa độ đầy rủi ro? Vậy làm nào để biết để lấy (1) – 3(2) thời gian vài phút sử dụng chìa khóa vạn đại CASIO? 3 x y 35 2 x y 4 x y Bài Giải hệ phương trình ĐS: 3; ,(2; 3) (23) 4 x y 240 x y 3( x y ) 4( x y ) Bài Giải hệ phương trình (HSG Quốc gia - 2010) 3 x y 9 2 x y x y 0 Bài Giải hệ phương trình (Đề thi chính thức Olympic 30/4/2012) xy x y 3 3 Bài Giải hệ phương trình 4 x 12 x x y y ĐS: 4; ,( 4; 2) 17 17 ; ) 2 ĐS: ( 3 x y 5 x x 10 x 17 x 2 x y Bài Giải hệ phương trình x y 9 x y x y Bài Giải hệ phương trình 17 97 97 ( ; ) 12 12 ĐS: ĐS: 1; ,(2;1) III PHƯƠNG PHÁP THẾ - PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Phương pháp Nguyên tắc dùng phương pháp này là thấy hệ có cái chung hạng tử chứa biến, biểu thức chứa biến hay số tự Nhiều cái chung xuất sau qua vài phép biến đổi tương đương hợp lý, sau đó thử rút cái chung này vào phương trình kia! 2 x x y 7 Bài Giải hệ sau xy x y 3 ĐS: ( 1; ) , ( −2 ; −1 ) , ( −3+4√17 ; 9+1+ √√1717 ) ,( −3 −4√ 17 ; 91 −−√√1717 ) ( xy 1)3 2 y (9 xy ) 1;1 Bài Giải hệ phương trình xy (5 y 1) 1 y ĐS: x( x y 1) 0 1;1 , (2; ) ( x y ) x 0 Bài Giải hệ phương trình (ĐH K D NĂM 2009) ĐS: x y 3 x x y x y 52 xy 7;3 Bài Giải hệ phương trình ĐS: x( x y ) 18 2 3; 3 x ( x 1) xy y 18 Bài Giải hệ phương trình ĐS: x y 3 3 0; , 1; Bài Giải hệ phương trình x y 3 y x ( y 1) ĐS: (24) ( x y ) xy 4 2 Bài Giải hệ phương trình ( x 1) (y 1) 2 x ( y 1)( x y 1) 3x x Bài Giải hệ phương trình x( y 1) x x y y x 1 2 y x xy 2 x y x Bài Giải hệ phương trình x y xy ( x 3) 2 2 Bài 10 Giải hệ phương trình x (1 xy ) y (1 x ) 3 3 x y x y Bài 11 Giải hệ phương trình x y 1 ĐS: ĐS: VN ĐS: ĐS: ĐS: 1; 1 ,( 2; 1;1 , 0;0 , ) 22 35 ; ) 3 ( ( 1; ) 1 ; , ( ; ) 5 2 x3 y xy 1 0;1 , (1;0), (1;1), ( ;3 ) 25 25 Bài 12 Giải hệ phương trình 4 x y 4 x y ĐS: 2 x3 y ( x 1) 4 x 1 0;0 , (1;1), ( ; ) 2 Bài 13 Giải hệ phương trình 5 x x y ĐS: x xy x y 0 2 Bài 14 Giải hệ phương trình x x y x y 0 2 x 3xy 3 y 13 Bài 15 Giải hệ phương trình 3 y xy 2 x 11 2 x y x y 23 2 Bài 16 Giải hệ phương trình x y x y 2 x3 x y y x 3 y 1 Bài 17 Giải hệ phương trình ĐS: ( ; ) , ( −3 ; ) , ĐS: ĐS: 0;0 , (1; 2), (2; 2) 4;3 , ĐS: 17 ( ; 7), ( 2; ) 1; 3 ( √9613 ; − 13√78 ) ,( − √ 9613 ; 13√78 ) Bài 18 Giải hệ phương trình ¿ y − x3 = y − x y 2+ x2 =x − y ¿{ ¿ ĐS: (0; 0), (1; 0), (0; - 1), (1; -1) x x3 y x y 2 x x xy 6 x Bài 19 Giải hệ sau (ĐH K B NĂM 2008) 17 4; ĐS: (25) Bài 20 Giải hệ phương trình x ( y 1)( x y 1) 3 x x xy x x x 1 y x y ĐS: x y( y x) 4 y ( x 1)( y x 2) y Bài 21 Giải hệ phương trình (DB ĐH K A 2006) ĐS: (1; 2), ( 2;5) x 3xy 49 x xy y 8 y 17 x Bài 22 Giải hệ phương trình ĐS: ( 1; 4), ( 1; 4) x xy y 2 x y Bài 23 Giải hệ phương trình x xy 1 y x( x 1).3 3 x log x y 1 Bài 24 Giải hệ phương trình Phương pháp cộng đại số Đây là phương pháp và chúng ta đã gặp nó từ bài học “vỡ lòng” hệ phương trình Tuy nhiên các bài toán kì thi lớn thường giải nhờ phương pháp này Phương pháp cộng nó xuyên suốt bên cạnh và là công cụ cho các phương pháp khác đặc biệt là hệ bậc hai tổng quát (chứa hệ đối xứng, đẳng cấp), hệ đa thức bậc cao nên phạm vi tài liệu này không đưa quá nhiều bài tập nào thì chúng ta sử dụng nó các phần bài tập khác x1 y 4 x6 y 4 6 Bài Giải hệ phương trình x y xy 8 x y 4 Bài Giải hệ phương trình x y 4 x y 6 Bài Giải hệ phương trình x x y x y x y y 18 x x y x y x y y 2 Bài Giải hệ phương trình ĐS: (3; 5) ĐS: (2; 2) 13 17 (1; ), ( ; ) ĐS: 20 20 ĐS: (4; 4) IV PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đây là phương pháp mà ta cần nghĩ đến đầu tiên thấy hệ có cái chung, cái xuất nhiều lần hai phương trình Có chúng chưa xuất nhiều lần thì ta phải cố làm cho nó xuất nhiều lần đặt ẩn phụ Một số phép đặt ẩn phụ phép đặt cần biết: (26) a) Đặt u = x + y, u = x + y Ta cần nhớ các khai triển quan trọng sau: u v u v ; y 2 3 x xy y ( x y ) ( x y ) u v 4 4 3 x xy y ( x y ) ( x y ) v u 4 4 2 u v x y uv; x y 2 u v xy u v3 u v3 x xy ; y yx 2 4 2 4 u v 2( x x y y ); u v 8 xy ( x y ); x 1 u x , v y x y Ta cần nhớ các khai triển quan trọng sau: b) Đặt 1 2; v y 2; x y 1 u v ( x y )(1 ); u v ( x y )(1 ) xy xy u x2 x2 y u y x2 1 ; xy xy v x y2 1 u v (x y )(1 2 ) x y uv xy 1 u x , v y y x Ta cần nhớ các khai triển quan trọng sau: c) Đặt x y ; v2 y y y x x 1 u v ( x y )(1 ); u v ( x y )(1 ) xy xy u x uv xy 2; xy v y u v (x y )(1 )2 xy u x2 (27) 2 2 x x y 7 2( x y ) 5 Bài Giải hệ phương trình x y 6,5 x y x 17,5 Bài Giải hệ phương trình x y 1 x 3y2 x y Bài Giải hệ phương trình ( x y )(1 xy ) 18 xy 2 2 2 Bài Giải hệ phương trình ( x y )(1 x y ) 208 x y y ( x 1) 2 x(y 1) 2 ( x y )(1 ) 16 2 x y Bài Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình ( x y )(1 ) 4 xy xy 2 xy xy (2 x y 6) y x 0 2 ( x y )(1 ) 8 xy Bài Giải hệ phương trình x x y 1 2 Bài Giải hệ phương trình x xy y 7 ĐS: (-3;2), (1;2) 2 x xy y ( x y ) x xy y x y Bài Giải hệ phương trình ĐS: (0;0), (0;1), (1;0) 2 x y 2y x Bài 10 Giải hệ phương trình ( x y ) 5 ĐS: 4 x x y y ( x y )3 3 Bài 11 Giải hệ phương trình 1 3 ( ; ),( ; ) 2 3 ĐS: ( 1 ; ) 2 (Đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần năm 2015 (28) xy y x 14 x y Bài 12 Giải hệ phương trình y2 x y x y 2 x y 9 ĐS: (5;3) x y 2 72 xy 2 x y 29 x y 4 Bài 13 Giải hệ phương trình ĐS: (3; 1),( 16 ; ),( ; ) 9 9 Kỹ thuật tách - nhóm, thêm - bớt hạng tử để xuất ẩn phụ ¿ x + y + x 2+ y 2=8 Bài Giải hệ xy ( x +1)( y +1)=12 ĐS: ¿{ ¿ ( 2; ) , ( 1; ) , ( ;− ) , ( −3 ; ) , ( − 2; ) , ( 2; − ) , ( − 2; − ) , ( − 3; − ) Bài Giải hệ phương trình ¿ x + y − x+ y=1 x2 −2 y − x − y =3 ¿{ (ĐH.SPHN2 1999) ĐS: ¿ ( x 1)( y 1)( x y 2) 6 x y x y 0 Bài Giải hệ phương trình xy 3x y 16 x y x y 33 (ĐH.GTVT TPHCM 1999) Bài Giải hệ 13 ; y 0 x 13 ; y x ĐS: (3;2), (2;3) ĐS: ( 3; 3) 2 11 ( x ) (y ) 2 xy ( x 1)( y 1) 6 Bài Giải hệ phương trình (1; 13 13 13 13 ),( 2; ),( ;1),( ; 2) 2 2 ĐS: 2 x xy 1 9x2 xy 2(1 x) 1 2(1 x) Bài Giải hệ phương trình x x y y 0 2 Bài Giải hệ phương trình x y x y 22 0 1 ( ;2) ĐS: ĐS: x 2 x x x y 3 ; y 3 ; y 5 ; y 5 (29) x y x y xy xy x y xy (1 x ) Bài Giải hệ sau (ĐH KA 2008) x x3y x y2 1 Bài Giải hệ sau x y x xy 1 (ĐỀ DB KA NĂM 2007) Bài 10 Giải hệ phương trình ( x y )( x y ) 3 2 ( x y )( x y ) 15 x 3 y ĐS: x 1 25 y 16 x 1 y 1 ĐS : x y ĐS: (1;2), (2;1) 5y x x y x y 4 2 5 x y x y 5 xy Bài 11 Giải hệ phương trình 3 (1; ), ( ; ),(- ;3) ĐS: 2 x2 y2 2x 3 3 2 Bài 12 Giải hệ sau 2(x y ) 6x 3(x y ) x2 xy x 0 y(x 3) x 2 x y 2y Bài 13 Giải hệ sau 2 3( x y ) ( x y ) ( x y )2 7 2 x 3 x y Bài 14 Giải hệ phương trình x ( y 2) x xy m x x y 1 2m Bài 15 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm (ĐỀ TSĐH KD - 2011) x x y 3 y 2 x y 8 y Bài 16 Giải hệ sau ĐS: (1;0), (-1;2) ĐS: (-1;3) ĐS: (1;0) ĐS: m 2 ĐS: (3;1),(5; 1),(4 10;3 10),(4 10;3 10) (HSG Hải Phòng, bảng A, năm 2010 – 2011) 2y 2 x y x 1 x y x 4 y Bài 17 Giải hệ sau ĐS: (1;-1), (-1;1), (3;1), (-3;-1) (30) (HSG Hà Tĩnh, bảng A, năm 2010 – 2011) Kỹ thuật nhân - chia để xuất ẩn phụ ( x y )(1 xy ) 18 xy 2 2 2 Bài Giải hệ phương trình ( x y )(1 x y ) 208 x y 16 x y 17 y 0 Bài Giải hệ phương trình 4 xy x y 0 Bài Giải hệ phương trình 8 x y 27 18 y 2 4 x y x y 1 ( x; y ) {(1;1), ( ; )} 4 ĐS: 3(3 5) ; ĐS: y 2 x y x 1 x y xy 4 y Bài Giải hệ phương trình ĐS: (1;2), (-2;5) (4 x xy y 51)( x y ) 0 Bài Giải hệ (2 x 7)( x y ) 0 1 1 ; ; , 2 2 ĐS: x xy x y 0 x 3x y x y 0 Bài Giải hệ phương trình ĐS: (0;0), (1;1) 2 x y y x y x 6 xy y x xy xy x y 4 Bài Giải hệ phương trình ¿ y =x (9 − x ) x2 y + y 2=6 x ¿{ ¿ Bài Giải hệ phương trình ĐS: (0;0), (1;2), (2;2) x 1 xy x 7y x 3 y 1 2 x y xy 13y Bài Giải hệ phương trình (ĐH K B NĂM 2009) ĐS: hay y 1 x(x y 1) 0 y 1 y 2 (x y) 0 x 1 x 2 x Bài 10 Giải hệ phương trình (ĐH K D NĂM 2009) ĐS: 2 x x y 2 3 3 ; ; y y x y 2 1 Bài 11 Giải hệ phương trình ĐS: (-1;-1),(1 ;1), , 2 x y xy 4 y 2 Bài 12 Giải hệ phương trình y ( x y ) 2 x y ĐS: ( x; y ) {(1; 2), ( 2; 5)} (31) 1 xy xy x 1 y y 3 x x x Bài 13 Giải hệ phương trình 1 x y xy 10 x (1;1), Bài 14 Giải hệ 1 xy y 2 x ĐS: Bài 15 Giải hệ phương trình y ĐS: ( 1; 0) 1 ; ; ; 3 , 2 , 2 y ( x y ) 3 x 2 x( x y ) 10 y 10 x xy y 2 2 Bài 16 Giải hệ phương trình 30 x xy xy x y 1 x y ( x y ) 4 y Bài 17 Giải hệ phương trình ( x 1)( x y 2) y x y y 7 xy 2 Bài 18 Giải hệ phương trình x y y 3xy 1 ĐS: (1;4), ( ;0), ( ;1), ( ;2) ĐS: (1; 2), (–2; 5) 1 5; ĐS: (2;2), (-1;-1), 2 ( x y )(1 x y ) 5 1 ; 1 ( xy 1) x y 2 Bài 19 Giải hệ phương trình ĐS: x y 2 xy Bài 20 Giải hệ phương trình x y 2 xy 6 x ( x3 x) y ( y 12) x 0 17 ; , ;1 2 2 x ( x 1) y 11 x Bài 21 Giải hệ phương trình ĐS: Phép đặt ẩn phụ với hệ chứa ¿ x+ √ y −3=5 Bài Giải hệ phương trình y + √ x −3=5 ¿{ ¿ y x 3 Bài Giải hệ phương trình x y 82 x y 1 y x 1 Bài Giải hệ phương trình x y 7 x y 7 Bài Giải hệ phương trình ĐS: (4;4) ĐS: (9;1) ĐS: (1;1) 17 17 ; ĐS: 4 (32) 2 x y xy 8 Bài Giải hệ phương trình x y x y x y 5 x y x y 2 Bài Giải hệ phương trình 10 ĐS: x x y 3 y 2 x y 8 y Bài Giải hệ phương trình ĐS: (4 10), (3 10), (3;1), (5; 1) x y x y 10 x y x y 1 Bài Giải hệ phương trình ĐS: (2;1) 12 x y xy 16 x y 6 Bài Giải hệ phương trình ĐS: (1; 4) 77; 11 77 x y xy 3 ? Em hãy tìm mối liến quan với hệ (ĐH KA 2006): x y V PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG ? Khi nào thì dùng phương pháp này? x3 x ( y 1)3 9( y 1) 1 x y Bài Giải hệ phương trình ĐS: (1; 2), (2; 5) (Thi HSG tỉnh Hải Dương 2012) x x y y 1 1 − ;− , ; 6 √ √ √2 √ Bài Giải hệ phương trình x y 1 ĐS: 3 x x y y y Bài Giải hệ phương trình x y 0 ĐS: (0; 1) 2 x (4 y 1) 2( x 1) x 6 2 (1; ) x y (2 y 1) x x Bài Giải hệ phương trình ĐS: x 3x y y 3 x y y Bài Giải hệ phương trình ĐS: (3; 1) x (2 y ) 1 ( ;2) x ( y 2) Bài Giải hệ phương trình ĐS: (-1; -1), ( )( ) (33) Bài Giải hệ phương trình y2 x2 x e y 1 3log ( x y 6) 2log ( x y 2) 2 x y m y x m Bài Cho hệ phương trình ĐS: (4; -4) Xác định m để hệ có nghiệm ĐS: 2≤ m ≤2 √ x3 y y x 0 x x y y m 0 Bài Tìm m để hệ phương trình ĐS: 1 m x y 0 (3 x) x y y 0 Bài 10 Giải hệ phương trình ĐS: (1;1) 3x x y 1 y y x 1 y x y 2 y Bài 11 Giải hệ phương trình ĐS: (3; 2), (8, 3) (Thi thử THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng) 2 y 12 y 25 y 18 (2 x 9) x x x 14 x y y Bài 12 Giải hệ phương trình ĐS: (5;1) (Thi thử THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) x3 y 17 x 32 y 6 x y 24 ( y 2) x (x 9) y x x y Bài 13 Giải hệ phương trình ĐS: (5;6) (Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc K A, B 2015) x x y y x x( y 2) y y 0 Bài 14 (THTT) Giải hệ phương trình ĐS: (2;0), (3;1) x 3 x 3x y y y ln y 0 y log ( x 3) log y x Bài 15 Giải hệ phương trình ĐS: (5;3) (Thi thử THPT Chuyên – Vĩnh Phúc) 3x y ( y x)( y xy x 6) (x y 13)( y 14 x 1) 5 Bài 16 Giải hệ phương trình ĐS: (3;5), (8;10) (Thi thử THPT Chuyên – Vĩnh Phúc) 2 y y x x 3 x y 2 x y Bài 17 Giải hệ phương trình ĐS: (1 2; 4 2) (34) (Thi thử THPT Trần Phú – Thanh Hóa) 2 x3 x x 2 x3 (2 y ) y x 14 x y Bài 18 Giải hệ phương trình (7; 111 ) 98 ĐS: (Thi thử THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng) ( x 2016 x )( y 2016 y ) 1 x x xy 4 xy x Bài 19 Giải hệ 2 x y y 2 x x x y x 1 Bài 20 Giải hệ phương trình sau x2 1 y 12 3 y x 2 2 x y x y 2 Bài 21 Giải hệ phương trinh Bài 22 Giải hệ phương trình 11 11 ; 2 ĐS: (1; -1), ĐS: 3;3 , 3;3 1 ; ĐS: 5 x y s inx e siny x 0; 3 x 6 y y y 1 1 ; ĐS: 8 3 2 y xy 8 Bài 23 Giải hệ phương trình sau x y y 6 ĐS: (2;1);(-1;-2) 2 x 1 x y 3 y 53 31 53 ; 4 x y Bài 24 Giải hệ phương trình ĐS: x 3 x y y 0 ( ;0), (1;1), (1;0), ( ; 2) 2 Bài 25 Giải hệ phương trình 4 x x y y y 0 ĐS: x y 0 x x y y 0 Bài 26 Giải hệ phương trình ĐS: (1; 2) 2 x y x y y 0 y x y 2 xy x x xy y y Bài 27 Giải hệ phương trình ĐS: (4; 2) 2 x x 6 y x y y x x Bài 28 Giải hệ phương trình sau 2 y y x x x 3 x y x x 4024 2012 Bài 29 Giải hệ phương trình sau 1 1; ĐS: x 12 x y y 16 0 x x y y 0 Bài 30 Giải hệ phương trình sau ĐS: (0; 2) ĐS: (3; 0) (35) x xy y10 y x y 6 Bài 31 Giải hệ phương trình x x 3 y y y 3x Bài 32 Giải hệ phương trình y y y x 22 x 21 x 1 x Bài 33 Giải hệ phương trình 2 x 11x 2 y xy y x y x 2( x 1) x x 2 x Bài 34 Giải hệ phương trình x x2 2x 3y y y2 2y 3x Bài 35 (DB K A 2007) Giải hệ phương trình ĐS: (1; 1) ĐS: (0; 0) ĐS: (1;0), (5;2) 1 13 ; 2 ĐS: ĐS: (1;1) x 1 x y 3 y 0 ;2 2 x y x Bài 36 (ĐH K A 2010) Giải hệ phương trình ĐS: 3 x x x 22 y y y 1 3 ; ; ; x y x y Bài 37 (ĐH KA 2012) Giải hệ ĐS: 2 2 x x y y x x( y 1) y y 0 Bài 38 (ĐH KA 2013) Giải hệ phương trình ĐS: (1; 0) ( ) y (3 x x 1) y 8 2 Bài 39 Giải hệ phương trình y x y x y y 4 5 y y y 3x 35 x x 14 2 Bài 40 Giải hệ phương trình x y x y 0 ĐS: (1; 1) ĐS: (1; 3), (2;4) VI PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP Nếu không có dấu hiệu nào để dùng các phương pháp trên thì ta tìm mối quan hệ hai biên x, y từ phương trình chìa khóa vạn CASIO, thông thường thì có hai mối quan hệ Tiếp theo ta sử dụng kĩ thuật ghép liên hợp cho các để ép nhân tử ngoài ta phương trình tích theo hai biến x, y Đánh giá và giải phương trình này ta ẩn này theo ẩn vào phương trình còn lại Đến đây ta gặp lại người bạn quen thuộc là phương trình chứa Ok chưa! Nói không làm, ta giải các ví dụ sau: ( x 4) x y y 0 2 Bài Giải hệ phương trình 2 x y 3x 12 x x 11 0 ĐS: (-1; 2), (2; 1) (36) (Thi thử L1 THPT Lục Ngạn – Bắc Giang - 2016) x y 3x 12 y 3x y x y x3 y x y Bài Giải hệ phương trình ĐS: (-1; 2), (2; 1) (Thi thử L1 THPT Chuyên - Vĩnh Phúc - 2016) 8 x y y y x ( y 1) x 8 x3 13( y 2) 82 x 29 Bài Giải hệ phương trình ĐS: (-1; 2), (2; 1) (Thi thử L1 THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh - 2016) xy y y x y x y x y 2 x Bài Giải hệ phương trình ĐS: (-1; 2), (2; 1) (Thi thử L1 THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh - 2016) x3 x 3x y ( y 4) y y x 2( x y 1) Bài Giải hệ phương trình ĐS: (-1; 2), (2; 1) (Thi thử L1 THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - 2016) x x x y y 1 ; 4 4x x y y Bài Giải hệ phương trình ĐS: x x x 17 y y x y y 21 2 y x Bài Giải hệ phương trình ĐS: (0; 4) x y y y 1 x x2 Bài Giải hệ phương trình ĐS: (2; 2) x( x y ) x y y 2 y x y x 2 y Bài Giải hệ phương trình x 91 y y y 91 x x Bài 10 Giải hệ phương trình 2 x xy y 1 y ( xy y y xy ) 1 Bài 11 Giải hệ phương trình x( x y ) y x y ( y 1) x(4 y 1) 2( x y 1) y Bài 12 Giải hệ phương trình 1 1 ; 2 ĐS: ĐS: (3;3) 1 1 ; 2 ĐS: ĐS: VN (37) x3 (x y ) x y 2 y 9 y 33 y 29 x x y (4 x 1) y Bài 13 Giải hệ phương trình 2 y ( x y 1) ( x y 2) x y y x y x 2 x y x Bài 14 Giải hệ phương trình x 2 y (2 x y 1) x y x x y 2 Bài 15 Giải hệ phương trình 3 x x x y x x y y x y x x x y y x 14 x 20 Bài 16 Giải hệ phương trình (1 y ) x y x 2 ( x y 1) y 2 y 3x y 2 x y x y Bài 17 Giải hệ sau ĐS: (2; 2) ĐS: (2;3) ĐS: (1;0) ĐS: (6;1) 1 1 ; , (3;1) 2 ĐS: (Đề ĐH KB 2014 (1 y ) x y x y 6 ( x y 4) y x y x 1 x y Bài 18 Giải hệ sau ĐS: (3;1) 2 x y x 3 y ( x 1) (2 x y 1) y x 4x y2 x 2x y x y Bài 19 Giải hệ phương trình ĐS: (0;1), (1; 2) x y y x x y ; , (1; 1) x x y x 3 y 3 Bài 20 Giải hệ phương trình ĐS: 8x y xy x x y x y 3 x Bài 21 Giải hệ phương trình ĐS: (1;4) x x y y x 20 x y y 7 xy 2 Bài 22 Giải hệ phương trình x xy y 1 TỔNG HỢP ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 THPT chuyên Hà Tĩnh x ( y y 1) x y y 0 y xy x x 0 Giải hệ phương trình THPT chuyên Hưng Yên ĐS: 3; 11 (38) (1 y ) x y x y 3xy 1 1 ; 2 y x y 2 y x Giải hệ phương trình ĐS: THPT chuyên Lê Hồng Phong (TP.HCM) 2 2 9.3x y (2 x y )52 y x 2 1 x 1; 4 x y x 2 Giải hệ phương trình ĐS: THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 3 y x x 10 y xy 12 ( ; 5) y x y xy x Giải hệ phương trình ĐS: 5 THPT Chuyên Vĩnh Phúc Khối A, B x xy y x xy y 3( x y ) x y 12 x y 2 xy x Giải hệ phương trình ĐS: (0;0), (1;1) THPT Chuyên Vĩnh Phúc Khối D x3 y x y 3 x x y 19 2 x y 14 Giải hệ phương trình ĐS: (0;-1), (-1;-2) THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 4 x x y y 1 3 ( ; ),( ; ) ( x y ) 3 2 3 Giải hệ phương trình ĐS: THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần x y y x y 5 Giải hệ phương trình y xy y ĐS: (2;1) THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 3x 12 y 24 xy 9( x y ) xy 0 2 Giải hệ phương trình 5 x y xy 15 ĐS: (2;1) 10 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn (Bình Định) (1 y )( x y 3) x ( y 1)3 x 1 ; 2 x y x 2( y 2) Giải hệ phương trình ĐS: 11 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 2 x x y y 2 x x y x 16 y 2 x x 12 Giải hệ phương trình ĐS: (2;0), (-1;-3) 12 Sở GDĐT Phú Yên 27 x3 x (9 y 7) y 1 1 5 109 0 ; x y 3x 81 Giải hệ phương trình ĐS: (39) 13 Sở GDĐT Vĩnh Phúc lần xy y x 2 Giải hệ phương trình y 2( x 1) x x 2 x x 14 Sở GDĐT TP.HCM y2 2 ( y 1) x y x x x y y2 y y x Giải hệ phương trình ;1 ĐS: ĐS: (4; 2) 15 Sở GDĐT Thanh Hóa x y x 2 x x y 1 ; 2 2 y ( x 1) y ( x 2) y Giải hệ phương trình ĐS: 16 Sở GDĐT Quảng Ngãi x y 2 x y 4 Giải hệ phương trình ĐS: (2; 2) 17 Sở GDĐT Lào Cai 2 x 2 y x (2; ) x xy x y y 5 y Giải hệ phương trình ĐS: 18 Sở GDĐT Lâm Đồng x y 2(1 y )( x3 1) (2; ) (3 x) x y y 0 Giải hệ phương trình ĐS: 19 THPT số Bảo Thắng (Lào Cai) x y y x x y 3 1;0 ,(5;4) Giải hệ phương trình x 3x 2 y y ĐS: 20 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) x ( x 3) y y x y ( y 8) 3;1 Giải hệ phương trình ĐS: 21 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 3 y (2 x y) x (5 y x ) 4 y 1 1 ; 2 2 x y x y Giải hệ phương trình ĐS: 22 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) x y x 4( y 1) 1 2 1; x y xy Giải hệ phương trình ĐS: 23 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) (40) xy ( x 1) x y x y y (2 x 3) (4 y 2)( x x 1) 0 Giải hệ phương trình 24 THPT Lục Ngạn số (Bắc Giang) y2 2 x y x x y x 1 Giải hệ phương trình 25 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) x y x y x( x y 1) y (4 y 3) 5 Giải hệ phương trình 26 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần x x( x x 3) y y 3 x x x y Giải hệ phương trình 27 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) x3 y 3( y 1)( x y ) 2 ( x y )2 x y Giải hệ phương trình 28 THPT Minh Châu (Hưng Yên) 2 ( x y ) x y (2 x y ) y x(2 x y ) 2( y 4) x y ( x 6) x y 3( y 2) Giải hệ phương trình 29 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2 x y x y 0 2 Giải hệ phương trình x 12 x y xy y x y 0 30 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) x x y x y y x y x y x y 3x y Giải hệ phương trình 31 THPT Quỳnh Lưu (Nghệ An) 2 x y 1 y x xy y 0 Giải hệ phương trình 32 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) x xy x y y 5 y y x y x Giải hệ phương trình 33 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 1 ; ĐS: 5 1 ;0 ĐS: ĐS: ĐS: 5; 3 ,( 11; 5) 5;62 ,( 127 ; ) 64 ĐS: 1;3 ,( 3;1) ĐS: 2; ,(4;4),(6;6) ĐS: 2; ,(3;3) ĐS: (1;-1) ĐS: (1;-3) ĐS: (5;2) (41) y x x 1 2log 2.4 2 y x x ( y 1)( xy 1) x Giải hệ phương trình 34 THPT Thuận Châu (Sơn La) x3 12 y x 8 y y x y 5 x y Giải hệ phương trình 35 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 2 y y y x x xy x y x y 3x 14 x 0 Giải hệ phương trình 36 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) y x 3 xy y 4( x xy y ) 2 2( x y ) 2x y Giải hệ phương trình 37 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) x y y 32 x 9 x y 36 x 16 y x Giải hệ phương trình 38 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) x x 2( x x) y (2 y 3) x x x3 x 3 2y 2x 1 Giải hệ phương trình 39 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) ( x y ) 2 xy (6 x y ) 36 y x 6 x xy y Giải hệ phương trình 40 THPT Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) x y (2 y x x x (4 y 1) 2( x 1) x 6 Giải hệ phương trình 41 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) x3 x x y y x (3 y 7) 1 ( x 1)3 Giải hệ phương trình 42 THPT Hồng Quang (Hải Dương) y ( x 1) y y 1 y x ( x 1) x y Giải hệ phương trình 43 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) ĐS: (2;1) ĐS: (1;1), (11;6) ĐS: (5;6) ĐS: (0;0), (1;1) ĐS: (-1;-3), (2;0) ĐS: VN ĐS: (1; 1) (1; ) ĐS: ĐS: (0;1) ĐS: ( 5;5) (42) 2 x y y 2 x y y x y y 0 Giải hệ phương trình 44 THPT Thường Xuân (Thanh Hóa) 4x2 5 x ( x 2) 2 Tìm m để hệ sau có nghiệm x x 16mx 16m 32m 16 0 45 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) x x y y y x 2 Giải hệ phương trình y y x x 46 THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) x x y y x x3 x x y x y ( x 1) Giải hệ phương trình ĐS: (1;1), (-1;1) ĐS: m = ĐS: ( 3 ; ),( ; ) 2 4 25 25 ; ) ĐS: 16 16 y y 16 y 3x 11 0 47 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình x 3x x y 0 ĐS: (0;-1) 48 THPT Hậu Lộc (Thanh Hóa) 1 y2 2 ( x 1) y 2 x 4 y ( y x 3x 2) x Giải hệ phương trình ĐS: (1;0) 49 THPT Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh) x3 3x y y x y x2 Giải hệ phương trình ĐS: (3;1) 50 THPT Thủ Đức (TP.HCM) (1 y ) x y x y 3xy 1 1 ; 2 y x y 2 y x Giải hệ phương trình ĐS: 51 THPT Nông Cống (Thanh Hóa) lần x xy y y xy x 2( x y ) 34 34 (2;2), ; (8 y 6) x y y x 9 Giải hệ phương trình ĐS: 52 THPT Lam Kinh (Thanh Hóa) x y xy 4 y 2 Giải hệ phương trình y ( x y ) 2 x y ĐS: (1;2), (-2;5) 53 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh) ( (43) x2 2x y x y x 3( x y 4) x xy x 6 x xy x Giải hệ phương trình 11 11 (1; 3), ; ĐS: 54 THPT Đa Phúc (Hà Nội) x2 y x xy y x y x xy x 4 xy x Giải hệ phương trình ĐS: (3;3) 55 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) ( xy 3) ( x y ) 8 y x 2 Giải hệ phương trình x y ĐS: ( 1; 3), (2 3; 1) 56 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) x3 x 13 x y y 10 x y x y x 3x 10 y Giải hệ phương trình ĐS: (2;-1) 57 THPT Quảng Hà (Quảng Ninh) x y ( x 1) y y 1 1 2 0; , (0; 1), 2 2; y x x y Giải hệ phương trình ĐS: 58 THPT Thống Nhất (Bình Phước) x y xy 0 1 2; , (10; ) x y 1 Giải hệ phương trình ĐS: 59 THPT Hồng Quang (Hải Dương) y 1 y x ( x 1) x y y ( x 1) y 5;5 Giải hệ phương trình ĐS: 60 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) x y x y 12 y x y 12 Giải hệ phương trình ĐS: (5;3), (5;4) (44)