c Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH...[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP Đề thi có : 01 trang Đề chính thức (Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề) C©u ( ®iÓm): Cho biÓu thøc : A= ( x −21 − 42−xx + 2+1 x ) ⋅( 2x −1) (víi x 0, 2) a) Rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x tho¶ m·n: 2x2 + x = c) Tìm x để A= d) Tìm x nguyên để A nguyên dơng C©u ( ®iÓm): a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Cho a,b,c lµ ba sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=1 vµ a3+b3+c3=1 Chøng minh r»ng: a2011+b2011+c2011=1 C©u ( ®iÓm): a) Chứng minh m, n, p, q ta có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) b) T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y tho¶ m·n 3xy x 15y 44 0 C©u ( ®iÓm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M trên cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB b) Cho BMC 120 và S AED 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi H BC Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng BH, d) Kẻ DH BC DH Chứng minh CQ PD HÕt Hä vµ tªn häc sinh: ., sè b¸o danh: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP C©u ( ®iÓm): Cho biÓu thøc : A= ( x −21 − 42−xx + 2+1 x ) ⋅( 2x −1) víi x 0, 2 a) Rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x tho¶ m·n: 2x2 + x = c) Tìm x để A= d) Tìm x nguyên để A nguyên dơng §¸p ¸n a) 2x A= − + ⋅ −1 x −2 − x 2+x x ( )( ) 4 = = x b) 2x2 + x = x(2x + 1) = x= 0(Kh«ng tháa m·n §K) 1 hoÆc x = 4 8 1 1 2 Víi x = th× A = 4 1 c) §Ó A = hay x = Thang ®iÓm 2® 1® 0,5® 1® x +2 = -8 x = -10 d) Để A nguyên dơng thì x+2 là ớc âm 4, đó: x + = -1 x= -3 đó A = x + = -2 x = -4 đó A = x + = -4 x = -6 đó A = C©u ( ®iÓm): a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Cho a,b,c lµ ba sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=1 vµ a3+b3+c3=1 Chøng minh r»ng: a2011+b2011+c2011=1 §¸p ¸n a) Ta cã: (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VËy (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Do a3+b3+c3=1 vµ a+b+c=1 ta cã a3+b3+c3 = (a+b+c)3 ⇔ 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 ( theo phÇn a) ⇔ a=-b hoÆc b=-c hoÆc c=-a NÕu a=-b ta cã a2011+ b2011+ c2011 = a2011 - a2011+ c2011 = c2011= T¬ng tù ta còng cã kÕt luËn nh trªn 0,5® 0,5® 0,5® Thang ®iÓm 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® (3) VËy a2011 + b2011 + c2011 = C©u ( ®iÓm): a) Chứng minh m, n, p, q ta có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) b) T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y tho¶ m·n 3xy x 15y 44 0 §¸p ¸n a) m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) m2 m2 m2 m2 − mn +n2 + − mp+ p2 + − mq+q2 + − m+1 ≥ 4 4 2 2 m m m m ⇔ − n + − p + − q + −1 ≥ (luôn đúng) 2 2 ⇔ ( ( )( )( )( )( )( m −n=0 m − p=0 m −q=0 m −1=0 )( ) m m p= m q= m=2 { { DÊu b»ng x¶y ) ⇔ n= 0,5® Thang ®iÓm 1® 0,5® 0,5® ⇔ {n=m=2 p=q=1 b) 3xy x 15y 44 0 x 3y 1 49 x, y nguyªn d¬ng vËy x + 5, 3y + nguyªn d¬ng vµ lín h¬n Tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n x + 5, 3y + lµ íc lín h¬n cña 49 nªn cã: 0,5® 0,25® 0,5® 0,5® x 7 x 2 3y 7 y 2 0,25® VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn lµ x = y = C©u ( ®iÓm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M trên cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB b) Cho BMC 120 và S AED 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi H BC d) Kẻ DH BC Chứng minh CQ PD Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng BH, DH §¸p ¸n Thang ®iÓm (4) E D A M Q B P I H C a)* Chøng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) EB ED EA.EB ED.EC EC EA - Từ đó suy EAD ECB 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® * Chøng minh - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) - Suy EAD ECB b) Tõ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o - XÐt 0,5 ® EDB vu«ng t¹i D cã B = 30o ED ED = EB EB 0,5 ® 0,5 ® S EAD ED S EB từ đó ECB - Lý luËn cho SECB = 144 cm2 c)- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) - Chøng minh CM.CA = CI.BC - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® d)- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® (5) BDP DCQ CQ PD o ma`BDP PDC 90 Ghi chó: - Nếu học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng thì cho điểm tối đa - Trong quá trình chấm bài giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ bµi lµm cña häc sinh CÇn thèng nhÊt chia ®iÓm nhá tíi 0,25 ®iÓm (6)